高考理科第一轮复习课件(8.7双曲线)

新高考数学新题型一轮复习课件第八章§8.7　双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的 等于非零常数( |F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F 1，F 2叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .绝对值小于焦点焦距标准方程 (a >0，b >0) (a>0，b>0)图形性质焦点_______________________________________焦距__________范围_______或_____，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：_______；对称中心：_____2.双曲线的标准方程和简单几何性质F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)|F1F2|＝2cx≤－a x≥a坐标轴原点性质顶点________________________________________轴实轴：线段_____，长：___；虚轴：线段B 1B 2，长：___，实半轴长：___，虚半轴长：___离心率e ＝ ∈_________渐近线_________________ a ，b ，c 的关系c 2＝______(c >a >0，c >b >0)A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )A 1A 22a 2b a b (1，＋∞)a 2＋b 2(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为 .(4)若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则＝ ，其中θ为∠F 1PF 2.(5)与双曲线 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为 (t ≠0).12PF F S △判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.( )(2)方程 (mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(3)双曲线 (m >0，n >0)的渐近线方程是 .( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .( )√×√×1.若双曲线 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为√A. B.5 C. D.2由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.2.设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于√A.1B.17C.1或17D.以上均不对根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|等于1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.3.(2022·汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为的双曲线方程(答案不唯一，符合要求就可以)_____________________________________.因此，符合条件的双曲线方程为 (答案不唯一，符合要求就可以).T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型例1　(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆√题型一双曲线的定义及应用所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线.如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______.不妨设点P 在双曲线的右支上，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得∴|PF 1|·|PF 2|＝8，12F PF S △∴延伸探究　在本例(2)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“ ”，则△F1PF2的面积为___.2不妨设点P 在线的右支上，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴ ＝ |PF 1|·|PF 2|＝2.12F PF S △教师备选1.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为√设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以点M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，√△P AF的周长为|PF|＋|P A|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|P A|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|P A|有最小值，为|AF′|＝3，故△P AF的周长的最小值为10.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.跟踪训练1　(1)(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为，则双曲线C的实轴长为√A.1B.2C.3D.6由题意知，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a，所以12PF F S △所以a ＝1，实轴长2a ＝2.(2)已知F是双曲线的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，9则|PF|＋|P A|的最小值为___.设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|P A|最小时满足|PF|＋|P A|最小.由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|P A|最小，|AF1|＋4即|PF|＋|P A|的最小值.又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.题型二双曲线的标准方程√(2)若双曲线经过点(3， )，且渐近线方程是，则双曲线的标准方程是___________.教师备选1.过双曲线C： (a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为√2.经过点的双曲线的标准方程为___________.设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 (λ≠0)，再根据条件求λ的值.跟踪训练2　(1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程是√√命题点1　渐近线例3　(1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 (a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为题型三双曲线的几何性质√由题意知，b＝2，(2)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C： (a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为√A.4B.8C.16D.32因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时等号成立)，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8.命题点2　离心率例4　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为√设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中，高考改编已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为√点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，设|AF1|＝m，由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，由双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos 120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，又|F1F2|＝2c，(2)(2022·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为√A.(1,2)B.(1,3)C.(3，＋∞)D.(2,3)。