矩形八结点单元刚度矩阵的通用公式

rur r u r =-+=πππεθ22)(2由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变θr v 和r v θ均为零。

将应变写成向量的形式，则{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=r w z u z w r u r u rz z r γεεεεθ根据上式，可推导出几何方程{}[]{})(e B ϕε=其中几何矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆=ij jikiikjkkj ji ik kj k j i ijkjjkz r z r z rr r r r z r N r z r N r z r N z z z B 0000),(0),(0),(00021 3.弹性方程和弹性矩阵[D]依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应变之间的弹性方程，其形式为[])(1θσσσε+-=z r r u E [])(1z r u E σσσεθθ+-=[])(1θσσσε+-=r z z u Erz rz Er τμ)1(2+=所以弹性方程为{}[]{}εσD = 式中应力矩阵{}{}T rz z r τσσσσθ=弹性矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+=221000010101)21)(1(μμμμμμμμμμμμED 4.单元刚度矩阵[])(e k与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为[][][][]dV B D B k VT e ⎰=)(在柱面坐标系中，drdz dV π2=将drdz dV π2=代入[][][][]dV B D B k VT e ⎰=)(，则[][][][]rdrdz B D B k T e ⎰⎰=π2)(即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。

与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题中，几何矩阵[B]有的元素（如rz r N i ),(等）是坐标r 、z 的函数，不是常量。

各单元的单元刚度矩阵一）杆件单元刚度矩阵局部坐标系中：整体坐标系中：αμαλsin ;cos ==二、）梁单元刚度矩阵剪弯梁局部坐标系下：坐标转换矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111][l EA ke ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI k z z z z z z z z z z z z z z z z e 46612266122661246612][223223223223[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=ααααααααcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos T轴剪弯梁局部坐标系下：坐标转化矩阵为：三、）平面三节点三角形单元刚度矩阵{}[]{}e N δδ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=m j i m j i N N N N N N N 000000][ )(21y c x b a AN i i i i ++=； ),,(m j i i = j m m j i y x y x a -=，m j i y y b -=，j m i x x c -=。

单元为等腰直角三角形，直角边长为1。

泊松比为0，弹性模量为1。

（单元节点编号为逆时针i ，j ，m ；直角顶点为m ）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA K e 460260612061200000260460612061200000222322222223[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000000sin cos 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos ααααααααT⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=23211212102302121110002*********][E k e 1)集中力：}{][}{P N R T e =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧y x y x m m j j i i m m j j i i P P N N N N N N Y X Y X Y X p p ),(000000 2)体力：⎰⎰=tdxdy p N R T e }{][}{3）分布面力：⎰=s T e tds P N R }{][}{例题3：在均质、等厚的三角形单元ijm 的ij 边上作用有沿x 方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。

单元刚度矩阵的计算-回复首先，我们需要了解刚度是什么。

刚度是指材料抵抗形变的性质。

在结构中，它表示了结构单元（如梁或柱）受到外部力作用时的形变反应。

刚度可以用它对这些力的反应程度来测量。

计算单元刚度矩阵的第一步是建立结构单元的局部坐标系。

局部坐标系是以结构单元自身为参考的坐标系，用于描述结构单元的几何特征和材料性质。

接下来，需要确定结构单元的几何特征和材料性质。

这包括结构单元的长度、截面形状、材料弹性模量等。

这些参数将用于计算结构单元的刚度。

然后，需要建立结构单元的位移-应变关系。

位移-应变关系是描述结构单元变形特征的方程。

它可以通过应变能原理或力平衡方程得到。

接下来，可以使用有限元分析方法推导出结构单元的刚度矩阵。

有限元分析方法将连续的结构分割为离散的有限单元，然后对每个单元进行力学分析。

在计算单元刚度矩阵时，可以使用单元的位移-应变关系和材料性质来推导出刚度矩阵的公式。

最后，根据结构单元的连通性和边界条件，可以将单元刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。

这样可以得到整个结构的刚度参数。

计算单元刚度矩阵的过程中，还需要注意以下几个问题：1.确保结构单元的局部坐标系的选择是合理的，以便正确描述结构单元的几何特征。

2.确保位移-应变关系的推导是准确的，可以选择适当的理论或公式来得到位移-应变关系。

3.在有限元分析方法中，需要选择适当的数值方法和积分方法来计算刚度矩阵。

4.在组装整个结构的刚度矩阵时，需要正确处理结构单元之间的连通性和边界条件。

总之，单元刚度矩阵的计算是一个繁琐而重要的任务。

它需要合理的坐标系选择、准确的位移-应变关系、适当的数值方法和正确的组装过程。

通过计算出单元的刚度矩阵，可以通过有限元分析方法分析结构的静力性能。

单元刚度矩阵单元刚度矩阵是在结构力学中的一个重要概念，它是一个矩阵，用来表示刚性和结构特性。

它可以用来描述广泛的结构，如桥梁，大型建筑物和其他复杂的构造。

它的研究有助于更好地理解结构的运动和反应。

它也可以用来预测和控制结构的变形和损坏，从而减少结构建设过程中可能发生的各种问题。

单元刚度矩阵是一个n x n等阶矩阵，其中n是一个复杂结构中的单元数量。

它代表了单元之间的约束关系，表明它们如何互相影响。

这也就是所谓的单元刚度矩阵。

每个矩阵元素代表了任意两个单元之间的受拉或受压力的数量，可以用来计算结构中每一个单元之间的刚度和约束。

单元刚度矩阵有几种不同的类型，其中一种是静态刚度矩阵，它用来表示复杂结构在静态荷载作用下的刚度。

它可以用来预测荷载作用下结构变形的情况，并作出相应的改善。

另外一种是有限元分析，它可以用来对复杂结构在动态荷载下的变形，受力，反应，以及可能发生的结构破坏作出分析。

单元刚度矩阵的计算方法有很多。

有些是利用有限元分析的方法来进行的，也有些是直接从节点和单元的计算和配置来得出的。

有些方法只需简单地求解结构中一组特定问题，而另一些方法则要求对结构中所有部件进行复杂的数值计算。

单元刚度矩阵的计算可以帮助从两个角度来改善设计：一方面，单元刚度矩阵可以帮助改善结构运动的性能，另一方面，它可以帮助减少结构上可能发生的变形以及提高结构的耐久性。

单元刚度矩阵的计算和研究非常重要，现代的结构力学和建筑设计工程正在用这个技术来设计新型的可靠性更高，耐久性更强的建筑结构。

基于单元刚度矩阵的计算和研究，科学家们可以更好地理解结构力学，并减少建筑物的再建设和变形，以及可能发生的损坏。

总之，单元刚度矩阵的研究和计算存在着很多的优势。

现代的结构力学和建筑设计都需要用到它，以便更好地分析和控制结构的变形和损坏。

它的研究也有助于开发更安全，更高效的建筑结构，有助于结构力学中的其他方面的研究。

2龙(/・+ “)一2加・_ u2岔 r由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变％和怙均为根据上式，可推导出几何方程｛^｝=[B ]M3.弹性方程和弹性矩阵[D]依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应 变之间的弹性方程，其形式为6胡勺一心+空)] J =云&一 “(6 + 刃)]2(1 + //)N _ —E —找所以弹性方程为匕｝=[切｛耳 式中应力矩阵{cr} = {br (T 0 a. rj零。

将应变写成向量的形式,du 芬U 则{4> =<r dw 了口.dz, du dwG arj其中几何矩阵[B]=±%0 50 Ng rrs5r%0 04.单元刚度矩阵［灯“与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积 分式为［屮訂［町［卬抄在柱面坐标系中，dV = iTttlrdz将 dV = 2加加7z 代入 \k ］ey= J ［BY ［b ［B}lV ,则［k ］e}= 2叩［j?］r \p ［B\-drdzV即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。

与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题 中，几何矩阵［B ］有的元素（如业勺等）是坐标r. z 的函 r数,不是常量。

因此，乘积［B Y ［D I B ］不能简单地从式 = 2叩［町［D\B}Mz 的积分号中提出。

如果对该乘积逐项求 积分，将是一个繁重的工作。

一般采用近似的方法：用三角 形形心的坐标值代替几何矩阵［B ］的r 和Z 的值。

用屈表示 在形心（展）处计算出的矩阵［B ］。

其中-a+5+乙）-（Zi+zj+z k ），=3—3只要单元尺寸不太大，经过这样处理引起的误差也不 大。

被积函数又成为常数，可以提出到积分号外面：弹性矩阵［必而芯1-“A 00 0 0 1-2// 2［k］e） = 2/可［Q］［可［J rdrdz. = 2/可［功［亦△式中△ ——三角形的面积。

由式旧⑺=2兀两［功広j］rdrdz. = 2龙两［功厨込可以看出，两轴对称的三角形单元，当形状、大小及方位完全相同而位置不同时，其刚度矩阵也不相同。

1§2-4 单元刚度矩阵第四步：利用平衡方程，建立节点力和节点位移之间的关系，即用单元节点位移表示节点力。

上节己给出了用节点位移表示单元应力和应变。

本节来推导单元节点力和节点位移之间的关系。

一、 节点力和节点位移间的关系节点力是指弹性体离散化之后，外载、约束和其他单元通过节点作用在某一单元上的力。

对于己从整体结构中取出来的单元来说，作用在其上的节点力就是外力。

这些节点力在单元内部会引起相应的应力。

当整体处于平衡状态时，单元在节点力作用下也处于平衡状态。

在平面问题中节点力有二个分量，分别用U 和V 加节点号下标表示该节点水平和垂直节点力分量(有时还再加单元号上标表示该单元上的节点力)。

节点力的方向以节点对单元的力沿坐标正方向为正，反之为负。

对三节点三角形单元来讲，共有六个节点力分量(如图2-11所示)。

用列阵表示为：{}[][]eTTT TTijm iijj m m F F F F U V UV U V ==； {}[] (Ti i i F U V i ,j ,m= (2-24) 1． 虚位移原理为了推导单元的节点力与单元节点位移之间的关系，要用到虚位移原理。

2． 节点力和节点位移间的关系虚位移原理在一处于平衡状态的单元上的数学描述为：单元上节点力(外力)在某一虚位移上所作的虚功应等于单元应力(内力)在相应虚应变上所作的虚功。

设单元节点处的虚位移为{}**********()()()eTTTTTii j m iijjmm u v u v u v δδδδ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦；{}*iδ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧**i i v u (i,j,m ) (2-25) 采用和真实位移相同的位移模式，则单元内各点的虚位移为[]eTN vuf }]{[}{****δ== (a)相应虚应变为{}[]{}εδ**=B e(b)2 于是虚功方程可写成{}{}⎰⎰=eT e T e ytx F d d }{)}({**σεδ (2-26)将(b)式及(2-18)式代入上式，得[]{}[][]{}({}){}()d d **δδδe T eeTeeF B D B x yt =⎰⎰根据矩阵乘法逆序法则，上式可以写成[][][]{}({}){}({})d d **δδδeTeeTTeeF B D B x yt =⎰⎰由于列阵{}e*δ中的元素是常量，即与单元内点的位置坐标x ，y 无关，上式右边的T e )}({*δ可以提到积分号前面去。