混合高斯模型算法原理

混合高斯模型算法原理

混合高斯模型是一种经典的背景建模算法，用于背景相对稳定情况下的运动目标检测。它由单高斯模型发展而来，对于多模态的背景有一定的鲁棒性，如：树叶晃动、水纹波动等。在介绍混合高斯模型前，首先介绍单高斯模型。

1. 单高斯背景模型：

单高斯模型将图像中每一个像素点的颜色值看成是一个随机过程，并假设该点的像素值出现的概率服从高斯分布。该算法的基本原理就是对每一个像素位置建立一个高斯模型，模型中保存该处像素的均值和方差。如，可设),(y x 处像素的均值为),(y x u ，方差为),(2y x σ，标准差为),(y x σ。由于随着视频图像序列的输入，模型参数不断更新，所以不同时刻模型参数有不同的值，故可将模型参数表示为三个变量t y x ,,的函数：均值),,(t y x u 、方差),,(2t y x σ、标准差),,(t y x σ。用单高斯模型进行运动检测的基本过程包括：模型的初始化、更新参数并检测两个步骤。

1）模型初始化

模型的初始化即对每个像素位置上对应的高斯模型参数进行初始化，初始化采用如下公式完成：

⎪⎩

⎪⎨⎧===init std y x init std y x y x I y x u _)0,,(_)0,,()0,,()0,,(22σσ （1）

其中，)0,,(y x I 表示视频图像序列中的第一张图像),(y x 位置处的像素值，init std _为一个自己设的常数，如可设20_=init std 。

2）更新参数并检测

每读入一张新的图片，判断新图片中对应点像素是否在高斯模型描述的范围中，如是，则判断该点处为背景，否则，判断该点处为前景。假设前景检测的结果图为output ，其中在t 时刻),(y x 位置处的像素值表示为),,(t y x output ，),,(t y x output 的计算公式如下：

⎩⎨⎧-⨯<--=otherwise t y x t y x u t y x I t y x output ,1)1,,()1,,(),,(,0),,(σλ （2）

其中，λ是自己设的一个常数，如可设5.2=λ。以上公式表示的含义是：若新的图片中相应位置的像素值与对应模型中像素的均值的距离小于标准差的λ倍，则该点为背景，否则为前景。

模型的更新采用如下公式：

⎪⎩

⎪⎨⎧=-⨯+-⨯-=⨯+-⨯-=),,(),,()],,(),,(I [)1,,()1(),,(),,()1,,()1(),,(2222t y x t y x t y x u t y x t y x t y x t y x u t y x u t y x u σσασασαα （3）

其中，参数α表示更新率，也是自己设的一个常数，该常数的存在可以使得模型在背景的缓慢变化时具有一定的鲁棒性，如光照的缓慢变亮或变暗等。

2. 混合高斯模型

混合高斯模型是单高斯模型的推广，单高斯模型只能描述背景的单一模式，当背景表现为树叶晃动等的多模态形式时极易检错。混合高斯模型的基本思想是用多个高斯模型作为一个像素位置的模型，使得模型在多模态背景中具有鲁棒性，以树叶晃动的背景为例：树叶晃出某位置时，该位置的像素信息用一个高斯模型表示，树叶晃到该位置时，用另一个高斯模型表示该位置的像素信息，这样新的图片中的像素不论与那个高斯模型匹配都将视为背景，这样就防止模型将树叶晃动也视为运动目标，增加模型的鲁棒性。

混合高斯模型算法的基本步骤如下：

1）像素模型的定义：

每个像素由多个单模型描述：]}),,(),,,(),,,({[)(2t y x t y x u t y x w p P i i i σ=，

K i ,,2,1⋯⋯=。

K 的值一般在3~5之间，表示混合高斯模型中包含单模型的个数，),,(t y x w i 表示每个模型的权重，满足：

1),,(1=∑=K

i i

t y x w （4） 三个参数（权值、均值、方差）确定一个单模型。

2）更新参数并进行前景检测

Step1：

如果新读入的视频图像序列中的图片在),(y x 处的像素值对于K i ,,2,1⋯⋯=满足),,(),,(),,(t y x t y x u t y x I i i σλ⋅≤-，则，新像素与该单模型匹配。如果，存在与新像素匹配的单模型，判断该点为背景，并进入Step2；不存在与新像素匹配的模型，判断该点为前景，并进入Step3。

Step2：

修正与新像素匹配的单模型的权值，权值增量为))1,,(1(--⋅=t y x w dw i α，新的权值表示如下：

))1,,(1()1,,()1,,(),,(--⋅+-=+-=t y x w t y x w dw t y x w t y x w i i i i α （5）

修正与新像素匹配的单模型的均值和方差，同单高斯模型，见公式（3）。 完成Step2直接转入Step4。

Step3：

如果新像素不与任何一个单模型匹配，则：

① 如果当前单模型的数目已经达到允许的最大数目，则去除当前多模型集合中重要性最小的单模型，重要性的计算见步骤3）。

② 增加一个新的单模型，新模型的权重为一个较小的值（实验中用0.001），均值为新像素值，方差为给定的较大的值（实验中为20）。

Step4：权重归一化

),...,2,1(,),,()

,,(),,(1K i t y x w t y x w t y x w K j i

i i ==∑= （6）

3）多个单高斯模型的排序及删减

混合高斯背景模型中每个像素的模型由多个单高斯模型组合而成，为了提高算法效率，我们要依据重要性对单高斯模型进行排序，并及时删除其中的非背景模型。

我们假设背景模型具有以下特点：① 权重大：背景出现的频率高；② 方差小：像素值变化不大。据此，我们以

)

,,(),,(_t y x t y x w key sort i i σ= （7） 作为重要性排序的依据。

排序及删减过程如下：

（1）计算每个单模型的重要性值key sort _。

（2）对于各个单模型按照重要性的大小进行排序，重要性大的排在前面。

（3）若前N 个单模型的权重满足T t y x w N

i i >∑=1),,(，则仅用这N 个单模型作

为背景模型，删除其他模型，一般T=0.7。