2011年高考第二轮专题复习（教学案）：复数
考纲指要：
了解引进复数的必要性，理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．
考点扫描：
1.数的概念的发展;复数的有关概念.
2.复数的向量表示.
3.复数的加法与减法，乘法与除法.
考题先知：
例1 。 设1990=n ，求
)333331(2
11990
1990198899463422n n n n n n
C C C C C -++-+- 的值。 分析：将所求式子变形为
1990
199019881988664422333331(2
1n n n n n n C C C C C A -++-+-=
，显然它是 n
n
i )31(2
1+-的展开式的部分之和，即复数的实部。不妨取展开式的其余的项的和为A 的对偶式i C C C C C B n n n n n n )33333(2
11989
19891987198755331-++-+-= 。
则i i B A n n n 2321)31(21663
3+-====+-=
+?ωωωω，所以2
1=
A . 例2．复平面内点A 对应的复数是1,过点A 作虚轴的平行线l ,设l 上的点对应的复数为z ,
求
z
1
所对应的点的轨迹. 分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点A 的坐标为(1,0),l 过点A 且
平行于虚轴,所以直线l 上的点对应的复数z 的实部为1,可设为z =1+b i(b ∈R ),然后再求
z
1
所对应的点的集合.
解:如下图.因为点A 对应的复数为1,直线l 过点A 且平行于虚轴,所以可设直线l 上的点对应的复数为z =1+b i(b ∈R
).
因此i b z +=
11
1i 1111i 12
22b b b b +-+=+-=.[来源:https://www.doczj.com/doc/268333248.html,] 设
z
1
=x +y i(x 、y ∈R ),于是 x +y i=2
2111b
b
b +-+i.
根据复数相等的条件,有???
????+-=+=.
1,1122
b b y b x
消去b ,有x 2
+y 2
=
22
22)1()1(1b
b b +-++ =22222)1()1(1b b b +++=2
22211)1(1b
b b +=++=x . 所以x 2
+y 2
=x (x ≠0), 即(x －21)2+y 2=4
1
(x ≠0). 所以
z 1所对应的点的集合是以(21,0)为圆心,2
1
为半径的圆,但不包括原点O (0,0). 评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为(x ,y ).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标(x ,y )所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有:轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去,就可把参数方程转化成普通方程.无论用什么方法求得曲线的方程,都要注意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.对此,常从以下两个方面入手:一是看对方程的化简是否采用了非同解变形的手法;二是看是否符合题目的实际意义.其中,用参数法求得的曲线方程中的x 、y 的范围可由参数函数的值域来确定. [来源:https://www.doczj.com/doc/268333248.html,]
复习智略：
例3．对任意复数),(R y x yi x z ∈+=，定义)sin (cos 3)(y i y z g x
+=。 (1) 若3)(=z g ，求相应的复数z ；
（2）若),(R b a bi a z ∈+=中的a 为常数，则令)()(b f z g =，对任意b ，是否一定有常数)0(≠m m 使得)()(b f m b f =+？这样的m 是否唯一？说明理由。 （3）计算)2
1(),4
1(),4
2(i g i g i g π
π
π
+
+
-+
，并设立它们之间的一个等式。由此发现一个
一般的等式，并证明之。
解：（1）由???==0sin 33cos 3y y x x ，得???==331cos x y 则???
∈==Z k k y x ,21π故Z k ki z ∈+=,21
（2） )()(b f m b f =+，得?
??=+=+b m b b m b a
a a a sin 3)sin(3cos 3)cos(3即???=+=+
b m b b
m b sin )sin(cos )cos( ∴Z k k m ∈=,2π，所以m 是不唯一的。[来源:https://www.doczj.com/doc/268333248.html,]
（3）)2222(
9)4
2(i i g +=+
π
，)2222(31)41(i i g +=+-π，i i g 3)2
1(=+π； ∴)2
1()4
1()4
2(i g i g i g π
π
π
+
=+
-+
一般地，对任意复数21z z 、，有)()()(2121z z g z g z g +=。 证明：设i y x z 111+=，i y x z 222+=),(2,12,1R y x ∈
)sin (cos 3)(1111y i y z g x +=，)sin (cos 3)(2222y i y z g x += )]sin()[cos(3)(21212121y y i y y z z g x x +++=++
∴)()()(2121z z g z g z g +=。
[来源:学|科|网] 检测评估：
1,若非零复数,x y 满足2
2
0x xy y ++=,则20052005
(
)()x y x y x y
+++的值是 A,1 B,1- C,2004
2 D,2004
2
-
2,设复数z 的共轭复数是z ,且1z =,又(1,0)A -与(0,1)B 为定点,则函数()f z =︱
(1)z +
()z i -︱取最大值时在复平面上以z ,A,B 三点为顶点的图形是
A,等边三角形 B,直角三角形 C,等腰直角三角形 D,等腰三角形
3．已知,x C ∈且1,x =则()2
1f x x x ??=- ??
?的最小值 （ ）[来
源:https://www.doczj.com/doc/268333248.html,]
A ．等于 -2
B ．等于 0
C ．等于 -4
D ．不存在
4．设复数(),z x yi x y R =+∈，则满足等式20z x ++=的复数z 对应的点的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
5.设f (n )=(
i i -+11)n +(i
i +-11)n
,n ∈N,如果A ?{f (n )},则满足条件的集合A 有 A.8个 B.7个 C.3个 D.无穷多个
6．若1000
2)
1(x x ++的展开式为n
n x a x a x a x a a +++++ 332210，则
1998630a a a a ++++ = 。[来源:学§科§网]
7.复平面内，已知复数z =x －
3
1
i 所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________.
8．已知关于x 的方程x 2
+(1+2i)x －(3m －1)i=0有实根,则纯虚数m 的值为 .
9,在复平面内,设点A,P 所对应的复数分别为2,0
sin(260)(260)t icos t -+-,则当t 由015
变到0
45时,向量AP 所扫过的图形区域的面积是 . 10.定义运算
d c b a =ad －bc ,则对复数z =x +y i(x 、y ∈R )符合条件 i
21
z z =3+2i 的复数z 等于
__________.
11．若复数x +y i=(1+cos θ)+(t －cos2θ)i(其中x 、y 、θ∈R ),且点(x ,y )在抛物线y =x 2
上,试求实数t 的最大值与最小值.
7．已知复数i a a a a a z 4
15
262
22
--++--=， （1）当()2,2-∈a 时，求i a a a z 4
15
22
2--+-的取值范围； （2）是否存在实数a ，使得02
点拨与全解： 1. 2 ()10x x y y + +=,得1322x i y ω==-+或1322 x i y ω==--. (1)当 13 22x i y ω==-+时,原式=20052005200520051111()()()()11111y x x y ωω +=+++++ =200520051 1()( )ω ω- +-=200520051111 ()()()1ωωωωωω -+=-+=-+=; (2)当 1322 x i y ω==--时,同理可得:原式=1. 故选A 。 2, 因为1z =,可设cos sin z i θθ=+,则2()2[12sin()]4 f z π θ= ++2= 12sin()4πθ++,当2()4 k k Z π θπ=+∈时,max ()22f z =+,此时2222z i =+,则 2 2222( 1)()2222ZA =++=+,22222 ()(1)2222 ZB =++=+,22AB = 所以ZA =ZB ,得ZAB ?为等腰三角形. 故选D 3．解：不妨设θθsin cos i x +=，则2)sin cos 1 sin (cos )(θ θθθi i x f +-+=[来源:学。 科。网] 4sin 4)sin 2(22-≥-==θθi ，故选C 4．解：由条件得0)2(22=+++x y x ，化简得442 --=x y ，故选D 。 5．解:∵f (n )=( i i -+11)n +(i i +-11)n =i n +(－i)n (n ∈N )=??? ?? ??∈+=∈+=-∈+=∈=,,34,0, ,24,2,,14,0,,4,2N N N N k k n k k n k k n k k n 当 当 当 当 ∴{f (n )}={0,2,－2}.∵A ?{f (n )}={0,2,－2},∴A 的个数是23 =8. 故选: A 6．解：令1=x 可得200032101000 3 a a a a a +++++= ； 令ω=x 可得2000 20003322100ωωωωa a a a a +++++= （其中i 2 3 21+- =ω，则13=ω且012=++ωω）； 令2 ω=x 可得4000200063422100ωωωωa a a a a +++++= 。[来源:Z*xx*https://www.doczj.com/doc/268333248.html,] 以上三式相加可得)(33 199******** a a a a ++++= ， 所以99919986303=++++a a a a 7．解:∵z 对应的点z (x ,－ 3 1 )都在单位圆内，∴|Oz |<1,即22)31(-+x <1. ∴x 2 + 91<1.∴x 2<9 8.∴－322322< x 02+(1+2i)x 0－(3a i －1)i=0. 整理得(x 02+x 0+3a )+(2x 0+1)i=0. 由复数相等的定义,得方程组?????=+=++. 012, 030020x a x x 解得??????? =-=. 12 1,210a x 所以m =i 121. 9, 6 π 因为0000 sin(260)sin(260)cos(1502)sin(1502)t i t t i t -+-=-+-, 当015t =时,在单位圆上的点为001(cos120,sin120)P ,当0 45t =时,在单位圆上的点为 002(cos 60,sin 60)P ,A(2,0),1P ,2P 三点围成的曲边形面积易求得 6 π . 10．解法一:由定义运算，得 i 21 z z =2z i －z =3+2i. 设z =x +y i(x 、y ∈R ),则2(x +y i)i －(x +y i)=3+2i, 即－(x +2y )+(2x －y )i=3+2i. 由复数相等，得? ??=-=+.22, 3)2y x y x －（ 解得??? ???? -==58 ,51y x ∴z =5851-i. 解法二:由定义运算,得 i 21 z z =2z i －z =3+2i, 则z ==--+---+=+-+)21)(21()21)(23(2123i i i i i i 5 8 51-i. 答案: 5 8 51-i[来源:学科网] 11．解:根据两个复数相等的条件,得? ??-=+=.2cos , cos 1θθt y x 因为点(x ,y )在抛物线上,所以t －cos2θ=(1+cos θ)2 . 故t =(1+cos θ)2 +cos2θ=1+2cos θ+cos 2 θ+2cos 2 θ－1=3cos 2 θ+2cos θ=3(cos θ+31)2－31 . 由于cos θ∈［－1,1］,所以当cos θ=－31时,t 有最小值－3 1 ;当cos θ=1时,t 有最大值5. 12．解：（1）∵()2,2-∈a ， ∴??? ??∈+? ?? ??--=++-=--=--+-425,0425216641522 2 222a a a a a i a a a z 。 （2）∵02 ()()Φ∈??? ???≠+-+-=--+=+-=--a a a a a a a a a a a a 022******* 2362 22 专题11 复数 本章内容主要是复数的概念、复数的运算．引入虚数，这是中学阶段对数集的最终扩充．需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系，掌握复数代数形式的运算(包括加、减、乘、除)，了解复数的几何表示．由于向量已经单独学习，因此复数的向量形式与三角形式就不作要求，主要解决代数形式． 【知识要点】 1．复数的概念中，重要的是复数相等的概念．明确利用“转化”的思想，把虚数问题转化为实数问题加以解决，而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现． 2．复数的代数形式：z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．应该注意到a ，b ∈R 是与z ＝a ＋bi 为一个整体，解决虚数问题实际上是通过a ，b ∈R 在实数集内解决实数问题． 3．复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算． 【复习要求】 1．了解数系的扩充过程．理解复数的基本概念与复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法及其几何意义． 3．能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 【例题分析】 例1 m (m ∈R )取什么值时，复数z ＝(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零? 【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决． 解：(1)当m 2－5m －6＝0，即m ＝－1或m ＝6时，复数z 为实数； (2)当，即m ＝4时，复数z 为纯虚数； (3)当，即m ＝－1时，复数z 为零． 【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义，需要对复数的实部、虚部加以研究．应该注意到复数的实部、虚部都是实数，解决复数的问题时实际上是在进行实数运算．这一点大家在后面的运算中更加能够体会到． 例2 判断下列命题的对错： ?????= /--=--06504322m m m m ?????=--=--0 6504322m m m m 专题二 复数 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 一、复数选择题 1．复数2 1i =+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ?? ? D ．43,55?? - ??? 3．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．6．设1z 是虚数，211 1 z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22?? - ??? ? C ．[]22-, D ．11,00,22 ????-?? ????? ? 7．设2i z i +=，则||z =（ ） A B C ．2 D ．5 8．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 9．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若2 2 (2)4x y ++=，则（ ） A ．22z += B ．22z i += C ．24z += D ．24z i += 10．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-1 11．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知i 是虚数单位，2i z i ?=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ） A ．5 B C D ．3 一、复数选择题 1．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ． 12 B ． 22 C ．2 D ．2 2．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 3．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ） A 2 B ．2 C ．2 D ．8 4．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A 5B ．52C ．32D ．255．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B 5 C 5 D ．5 6．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i - 7．设复数z 满足方程4z z z z ?+?=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 2，则z 为（ ） A ．1 B 2 C ．2 D ．4 8．若复数()4 1i 34i z += +，则z =（ ） A ． 4 5 B ． 35 C ． 25 D ． 25 9．若1i i z ，则2z z i ?-=（ ） A ． B ．4 C ． D ．8 10．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．1- 12．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i + B ．68i - C ．68i -- D ．68i -+ 13．已知i 是虚数单位，设复数22i a bi i -+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A ．7 5 B ．75- C ． 15 D ．15 - 14．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（ ） A B C D 15．题目文 件丢失！ 二、多选题 16．已知复数2020 11i z i += -(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ） A ．z 的实部为2 B ．z 的虚部为1 C ．z i = D ．||z =17．已知复数z 满足2 20z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0 B ．2- C ．2i D ．2i+1- 18．已知复数z 满足2 20z z +=，则z 可能为（ ） A ．0 B ．2- C ．2i D ．2i - 19．下面是关于复数2 1i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ） A ．||z = B ．22z i = C ．z 的共轭复数为1i -+ D ．z 的虚部为1- 20．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ） A ．1z z ?= B ．2z z = C ．31z =- D ．2020122 z =- + 21．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．2 0z B ．z 的虚部是yi 高考专题：复 数 1、 已知0 【最新】数学《复数》高考复习知识点(1) 一、选择题 1．已知为虚数单位， m R ∈，复数()()22288z m m m m =-+++-，若z 为负实数， 则m 的取值集合为（ ） A ．{}0 B ．{}8 C ．()2,4- D ．()4,2- 【答案】B 【解析】由题设可得2280{280 m m m m -=-++<，解之得8m =，应选答案B 。 2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v 向左平移一个单位后得到00 O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( ) A ．1－i B ．1－2i C ．－1－i D ．－i 【答案】D 【解析】 【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000 OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数 【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即0 OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题． 3．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】 设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】 设()z x yi x y R =+∈、， 1x yi ++= ，()11iz i x yi +=++= y x =-， 所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题． 4．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A B C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】 () 11z i i i =-=+，故z = A. 5．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1 B ．2 C D ．3 【答案】D 【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D. 6．已知复数z 满足()1i z i += ，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A 【解析】 因为|2(1)11(1)(1) i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ． 7．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于 专题17 复数 考纲解读三年高考分析 1.复数的概念(1)理解复数的基本概念. (2)理解复数相等的充要条件. (3)了解复数的代数表示法及其几何意义. 2.复数的四则运算 (1)会进行复数代数形式的四则运算. (2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 复数的运算是考查的重点，解题时常用到复 数的运算法则、复数的模的计算、共轭复数的概 念，考查学生的数学数学运算能力，题型以选择 题，较小难度. 主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、 共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件， 考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数 的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减 法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思 想．一般以选择题、填空题形式出现，难度为低 档. 1．【2019年新课标3理科02】若z（1+i）＝2i，则z＝（） A ．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i 【解答】解：由z（1+i）＝2i，得 z ＝1+i． 故选：D． 2．【2019年全国新课标2理科02】设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 【解答】解：∵z＝﹣3+2i， ∴， ∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限． 故选：C． 3．【2019年新课标1理科02】设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1 C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1 【解答】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y）， ∴z＝x+yi， ∴z﹣i＝x+（y﹣1）i， ∴|z﹣i|， ∴x2+（y﹣1）2＝1， 故选：C． 4．【2019年北京理科01】已知复数z＝2+i，则z?（） A．B．C．3 D．5 【解答】解：∵z＝2+i， ∴z?． 故选：D． 5．【2018年新课标1理科01】设z2i，则|z|＝（） A．0 B．C．1 D． 【解答】解：z2i2i＝﹣i+2i＝i， 则|z|＝1． 故选：C． 6．【2018年新课标2理科01】（） A．i B．C．D． 【解答】解：． 故选：D． 7．【2018年新课标3理科02】（1+i）（2﹣i）＝（） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【解答】解：（1+i）（2﹣i）＝3+i． 故选：D． 高考数学专题讲解：复数 第一部分：n i 和 n i 1的题型 【题型一】：计算n i 。 第一种类型：当n 为偶数时： 2 22 2)(n n n i i i ==?，2 222)1()(1n n n i i i -==?-=。 第一种：当2n 为奇数：1)1(1)1(22-=-=?-=-n n n i 。 第二种：当2n 为偶数：1)1(1)1(22=-=?=-n n n i 。 第二种类型：当n 为奇数时： i i i i i i i n n n n ?=?=?=--? -2 12 2 121 ) (，i i i i i n n n ?-=?=?-=--2 12 12 2) 1() (1。 第一种：当21 -n 为奇数：i i i i n n n -=?-=?-=?-=---1)1(1) 1(2 12 1。 第二种：当21 -n 为偶数：i i i i n n n =?=?-=?=---1) 1(1) 1(2 12 1。 例题一：化简：2020i 。 本题解析：1)1()(101010102101022 202022020 =-====?? i i i i 。 例题二：化简：999i 。 本题解析：i i i i i i i i i i i i -=?-=?-=?=?=?=?=?? 1)1()(499499249922 9982998 999 。 【训练】：化简下列复数关系式。 （Ⅰ）1482i ；（Ⅱ）383i ；（Ⅲ）1405i ；（Ⅳ）88i 。 【训练参考答案】：（Ⅰ）1)1()(741741274122 1482 21482 -=-====?? i i i i ； （Ⅱ）i i i i i i i i i i i i -=?-=?-=?=?=?=?=?? 1)1()(191191219122 3822382 383 ； 《复数》专项练习参考答案 1．（2016全国Ⅰ卷，文2，5分）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) （A ）?3 （B ）?2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++，由已知，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A ． 2．（2016全国Ⅰ卷，理2，5分）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】B 【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |2,x x y x y x x y +==+=所以故故 选B ． 3．（2016全国Ⅱ卷，文2，5分）设复数z 满足i 3i z +=-，则z ＝( ) （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C ． 4．（2016全国Ⅱ卷，理1，5分）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限， 则实数m 的取值范围是( ) （A ）(31) -， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 5．（2016全国Ⅲ卷，文2，5分）若43i z =+，则|| z z ＝( ) （A ）1 （B ）1- （C ）43i 55+ （D ）43 i 55 - 【答案】D 【解析】∵43i z =+，∴z ＝4－3i ，|z |＝2234+．则2243i ||5543 z z ==-+，故选D ． 6．（2016全国Ⅲ卷，理2，5分）若z ＝1＋2i ，则 4i 1 zz =-( ) (A)1 (B)?1 (C)i (D)?i 【答案】C 【解析】∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，则 4i 4i i (12i)(12i)1 1zz ==+---，故选C ． 7．（2015全国Ⅰ卷，文3，5分）已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i 【答案】C 【解析一】(z －1)i ＝1＋i ? zi －i ＝1＋i ? zi ＝1＋2i ? z ＝＝ ＝ 2－i ．故选C ． 【解析二】(z －1)i ＝1＋i ? z －1＝ ? z ＝ ＋1 ?z ＝ ＋1＝2－i ．故 【１】复数的基本概念 (1)形如a + ｂi 的数叫做复数(其中)；复数的单位为ｉ,它的平方等于-1，即.其中a 叫做复数的实部，ｂ叫做虚部 实数:当b = ０时复数a + ｂi 为实数 虚数:当时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数：当a = 0且时的复数a ＋ ｂｉ为纯虚数 （2)两个复数相等的定义： (３)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （４)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习) (5)复数的模：对于复数z a bi =+ ，把z = 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; （2） 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi += ?≠+，当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是ｚ可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位)， R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 一、复数选择题 1．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 2．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 3．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 4．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ． 35 B ．35i - C ．15 - D ．1 5 i - 5．已知复数3 1i z i -=，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 6．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．7．设1z 是虚数，211 1 z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22?? - ??? ? C ．[]22-, D ．11,00,22 ????-?? ????? ? 8．若复数z 满足()322i z i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ． 35 B ．35i - C ．35 D ．35 i 9．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 11．若1i i z ，则2z z i ?-=（ ） A ． B ．4 C ． D ．8 12．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ） 专题十五 复数 1.【2015高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 【考点定位】复数的运算． 【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题． 2.【2015高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i -( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i 【答案】C 【解析】 32222i i i i i i i i -=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算. 【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可. 3.【2015高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ） A ．32i - B ．32i + C ．23i + D ．23i - 【答案】D ． 【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ． 【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念． 【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-． 4.【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z +-=i ，则|z|=( ) （A ）1 （B （C （D ）2 【答案】A 第91炼 复数 一、基础知识： 复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )， 2、几类特殊的复数： （1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等 （2）实数： 0b = 3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈ （1）2 1i =- （2）()()12z z a c b d i ±=+++ （3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ?=+?+=+++=-++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =- （4）()()()()()()122 2a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。 4、共轭复数：z a bi =-， 对于z 而言，实部相同，虚部相反 5、复数的模：22z a b =+ 2z z z =? (2 2z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等 7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。 8、处理复数要注意的几点： （1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈ （2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等 二、典型例题 (专题十五 复数) 1．复数z 满足i z z 2 2 -2--1=5，则它在复平面对应的点的轨迹是( )． A ．圆 B ．直线 C ．双曲线 D ．椭圆 2．若复数z 满足1z =，则z 的最大值与最小值是 ． 3． 满足方程02=-z z 的复数的个数有 个． 4．已知复数z 满足z z =2 ，11=+z ，则z = ． 5．已知复数1i z =+． （1）设432 -+=z z ω，求ω； （2）如果22 1i 1 z az b z z ++=--+，求实数b a ,的值． 选做题： 6． 设复数3 4z z μ?? == ??? （1）求μ的模的大小； （2）是否存在实数y x ,使得μμ 2+=+z y z x 成立，若存在，求出y x ,的值，若不存在，请说明理由． 7. 已知关于x 的方程()2 4i 4i 0x x m -++-=()m ∈R 有实根λ． （1）分别求实数根λ以及相应的m 的值； （2）在（1）的条件下，若{(,)|M x y =存在,R b n ∈, 使得(i)(1i)i,m n b x y --=+,x y }R ∈，是否存在,t α∈R 满足点(cos )P t M αα∈，若存在，求出t 的取值范围； 若不存在，请说明理由． (专题十六 排列、组合与二项式定理、概率与统计（1）) 1．某餐厅供应客饭，每位顾客可在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种，现餐厅准备了5种不同的荤菜，若保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 ． 2．A B C D E ，，，，五个人并排站成一排，若B 必须站在A 的右边，那么不同的排法共有( ) 种． A ．24 B ．60 C ．90 D ．120 3． 在5双不同的手套中，任取4只，四只手套中至少有两只配成一双的可能取法种数是( )． A ．20 B ． 30 C ．130 D ．140 4 ．设( n 展开式的各项系数和为t ，其二项式系数和为h ，若272t h +=，则展 开式的2x 项的系数是( )． A ．12 B ．1 C ．6 D ．3 5．设n l 为()1n x +的展开式中的2x 项的系数，则23 111lim n n l l l →∞?? +++ ???L 等于( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 选做题： 6． 已知n a 是函数23()(12)(12)(12)(12)()*N n n f x x x x x n =++++∈L 的展开式中的2x 的系数． （1）计算321,,a a a ； （2）求证：1212(222)n n n n a a ++=++++L ； （3）是否存在常数b a 、，使得对不小于2的自然数n ，有下列关系式 )2)(12(3 8 1b a a n n n +?-=-恒成立？并证明你的结论． 一、复数选择题 1．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数z 满足()3 11z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12 y x =- B ．直线12 y x = C ．直线1 2 x =- D ．直线12 y 3．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．5．设1z 是虚数，211 1 z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22?? - ??? ? C ．[]22-, D ．11,00,22 ????-?? ????? ? 6．设()2 211z i i =+++，则||z =（ ） A B ．1 C ．2 D 7．已知复数2021 11i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i 8．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 9．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若2 2 (2)4x y ++=，则（ ） A ．22z += B ．22z i += C ．24z += D ．24z i += 10． 3 （ ） A ．i - B ．i C ．i D ．i - 11．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i 12．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） 【2020高考数学】复数的三角表示专题复习 运用一 代数式转为三角形式 12=-3i,z =1i 【例1】把复数z 表示成三角形式 【举一反三】 1.化下列复数为三角形式： （1）2（sin π5 +icos π5 ）； （2）－２（－sin π5 ＋icos π5 ）； （3）－２（sin π5 －icos π 5 ） 运用二 三角式转代数式 【例2】把下列复数化成三角形式： （1）6（2）-5（3）2i （4）-i （5）-2+2i 【举一反三】 1.下面复数化为三角形式：（1）);5sin 5(cos 2ππ i -（2）).5 sin 5cos (2π πi +- （3）)5sin 5(cos 2ππ i +-；（4）)5 cos 5(sin 2π πi +. 运用三 辅角主值 【例3】复数5 2sin 52cos 1π πi ++-的辐角主值是多少. 【举一反三】 1、已知复数z 满足(z ＋1)(z ＋1)=|z|2 ，且1 1 +-z z 是纯虚数. (1)求z ；(2)求z 的辐角主值. 2、满足z z 5+是实数,且z+3的辐角主值是4 3π的虚数z 是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,说明理由. 3、设虚数z1,z2满足2 1 z = z2. (1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2. (2)若z1=1＋mi(m＞0,i为虚数单位)w=z2－2,w的辐角主值为θ,求θ的取值范围. 1．（2019·湖南高三（理））若θ为第二象限角．则复数cos sin z i θθ =+（i为虚数单位）对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．（2019·上海师范大学附属外国语中学高二期末）若cos sin z i θθ =+(R i θ∈，是虚数单位),则22 z i --的最小值是（） A. C.1 D.1 3．（2019·湖南长沙一中高三月考）若,0 2 π θ?? ∈- ? ?? ，则复数cos sin z i θθ =+（i为虚数单位）对应的点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．（2019·广东高二期末（理））在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（） A. B. C. D. 5、已知复数z满足等式 z z1 - ＝ 2 1 ，且 6 arg π = z，求z 。 一、复数选择题 1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ?? ? D ．43,55?? - ??? 2．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 3．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1 C ．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 4．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．5．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1 B ．i C i D i 6．设1z 是虚数，211 1 z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22?? - ???? C ．[]22-, D ．11,00,22 ????-?? ????? ? 7．已知复数()2 11i z i -= +，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 8．设复数2i 1i z =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．已知复数2021 11i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i 10．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 11． 122i i -=+（ ） 专题二 复数 一．基本知识 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为 高考数学专题复习——复数 复数在现教材中虽被“淡化”，但根据近年高考试题分析，它依然是高考得“基础分”的热点试题之一. 一、考点阐释、命题趋向与应试策略 考点阐释 复数的概念是复数理论的基础，在解题活动中它经常是思维的突破口；围绕复数的代数形式和三角形式给出的两类运算，体现了复数知识的广泛联系性和普遍渗透性，这两种形式及其运算也为我们处理复数问题提供了代数思考方法和三角思考方法；复数概念及其运算的几何意义，为我们从几何上处理复数问题或几何问题复数化提供了广阔的空间.正确地进行复数各种形式间的转换，选准复数的表示形式是灵活运用复数知识处理复数与三角、复数与几何、复数与方程综合题的关键. 命题趋向与应试策略 1.由于复数内容在新的教学大纲中已被列为选学内容，所以近几年复数部分在高考中考查的难度与题量都呈下降趋势. 2.本章内容在高考中，以选择题和解答题为主.选择题主要考查： （1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、辐角主值、复数相等、共轭复数等概念. （2）复数代数形式与三角形式的基本运算，包括复数的四则运算，乘方、开方运算，代数形式与三角形式的互化及基本运算的技能与技巧等. （3）复数的几何意义，特别是复数乘法的几何意义——向量旋转，复数运算的几何意义在平面图形中的应用等.在高考中常见的类型有： （1）与基本计算有关的问题； （2）与复数模的最值有关的问题； （3）与复数几何意义有关的问题. 解答题主要考查： （1）在复数集中解一元二次方程和二项方程. （2）复数的三角运算. （3）复数与代数、几何、三角的综合性知识运用. 在高考中常见的类型有： （1）解复数方程的问题； （2）求复数的模和辐角主值的问题； （3）复数与代数几何、三角相关联的综合性问题. 从上述我们可以看到高考常以考查复数运算为主，估计这一命题趋势还将继续下去. 3.坚持全面复习与重点复习相结合. 由于目前试题多以中低档题目出现，难度不大，但涉及面广，对基本问题掌握的熟练程度要求较高，所以对基本问题不能放松要求. 复数的三角形式问题是重点内容.首先，应熟练地确定复数的三角形式、复数的模与辐角主值、复数三角形式的结构特征.其次，要准确把握复数三角形式的运算特点，恰当选择运算形式. 4.重视复数与相关知识的联系. ①复数问题可以转化成三角问题； ②复数问题转化为实数范围内的代数问题； ③复数问题转化成平面几何问题. 复数专题 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理）） i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1 - （ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= （ ） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i 4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i -= （ ） A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个 复数根,则 （ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b . C ．1,2-=-=c b . D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为 虚数单位),则z 为 （ ） A ．35i + B ．35i - C ．35i -+ D ．35i -- 8 ．（2012年高考（辽宁理））复数 22i i -=+ （ ） A ．3455 i - B ．3455 i + C ．415 i - D ．3 15i + 9 ．（2012年高考（湖北理））方程26130x x ++=的一个根是 （ ） A ．32i -+ B ．32i + C ．23i -+ D ．23i +高考文科数学二轮专题复习：11 复数
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