【2020高考数学】复数的三角表示专题复习

高考复习：复数的概念及运算contents•复数的基本概念•复数的运算性质目录•复数的三角形式•复数的应用与例题解析CHAPTER复数的基本概念0102复数的定义复平面复数的实部是`a`，表示在实轴上的点；虚部是`b`，表示在虚轴上的点。

实部和虚部模和辐角复数的几何意义复数的四则运算01020304加法减法乘法除法CHAPTER复数的运算性质运算法则例子定义运算法则例子030201运算法则例子定义CHAPTER复数的三角形式总结词通过运用正弦函数，可以将复数表示为正弦形式，简化复数的表示和计算。

详细描述复数的正弦形式是利用正弦函数将复数表示成三角形式，其公式为z=r(cosθ+sinθ)，其中r为模长，θ为辐角。

这种表示方法将复数转化为实数和虚数的和，方便进行计算和简化。

例如，计算复数的乘法时，可以将正弦和余弦部分分别相乘，再相加得到结果。

总结词详细描述总结词通过运用正切函数，可以将复数表示为正切形式，方便进行计算和简化。

详细描述复数的正切形式是利用正切函数将复数表示成三角形式，其公式为z=r(tanθ)，其中r为模长，θ为辐角。

这种表示方法将复数转化为实数和虚数的比值，方便进行计算和简化。

例如，计算复数的乘法时，可以将实数部分相乘，虚数部分相乘，再相除得到结果。

但是需要注意正切函数在某些角度下存在无穷大或无穷小的值，这会导致计算出现误差或溢出等问题。

因此在实际计算中需要注意角度的范围和数值稳定性。

CHAPTER复数的应用与例题解析复平面向量解析几何力学在处理波动、振动等问题时，复数能够帮助我们更好地理解系统的稳定性和频率响应。

电学在电学中，复数被广泛应用于交流电、电磁场等领域。

量子力学在量子力学中，复数被用来描述微观粒子的波函数和能量。

控制理论在控制系统中，复数被用来描述系统的稳定性和性能。

信号处理在信号处理领域，复数被用来进行傅里叶变换、滤波等操作。

图像处理在图像处理中，复数被用来进行图像的频域分析和滤波。

【高中数学】高考数学《复数》解析一、选择题1．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i -C ．3iD ．3-【答案】D 【解析】 【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-. 本题选择D 选项. 【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．若复数21z i i=+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）A BC D ．5【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可. 【详解】22(1)121(1)(1)i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.3．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25- B ．25C ．7-D ．7【答案】A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可【详解】Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题4．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )A B C ．3D ．5【答案】B 【解析】(2)2z i i i i =-=-==B ．5．已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A 【解析】因为|2(1)11(1)(1)i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ．6．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.7．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1 B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.8．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi9．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x+++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1i + B ．i -C ．iD ．0【答案】D 【解析】 【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果． 【详解】 解：复数2(1ix i i=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．10．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限. 本题选择D 选项.11．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.12．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．13．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -【答案】A 【解析】 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .14．已知复数122iz i+=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．0C ．1D ．i【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案． 【详解】 复数()()()()1221252225i i i iz i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．iC ．1-D ．i -【答案】A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A.17．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i -- B ．1i +C ．312i -D ．312i +【答案】D 【解析】21z z +=-323122i i i -=+- ，选D.18．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为19．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r.故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．复数321i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ）A ．2155i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133i - 【答案】C 【解析】试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-，则共轭复数为：2155i --． 考点：复数的运算及共轭复数的概念.。

第3讲复数、算法［考情分析］高考中对复数的考查多以选择题、填空题的形式出现，单独命题，一般难度较小.对程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体，考查学生对算法的理解.热点题型分析热点1复数的基本概念1•复数的分类a+bi（a，b e叫虚数（b K0』方法结论V•实数b = 0 ,'纯虚数（a = 0.非纯虚数（a^ 0）2. 处理有关复数概念的问题时，首先要找准复数的实部与虚部（若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为标准代数形式），然后根据定义解题.3. 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法.【题型分析】1.(2019北京高考)已知复数z= 2+ i，则z・z =( )A. 3B. 5C. 3D. 5答案D解析解法一：••• Z= 2+ i，二z = 2—i，二z -z = (2 + i)(2 —i) = 5.故选D.解法二：•.• z= 2+ i，二z -z = |z|2= 5.故选D.2a+ 3+ a + 2a—3 i2.若复数z= （i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为()A. —3C. 3 或—1答案D2 .解析■/z= a+ 3+ a； + 2a~°= (a2+ 2a—3) —(a+ 3)i 是纯虚数，二a + 2a —3 = 0, a= —3 或a= 1,’ c c 得'—(a + 3产0，吕M — 3,•••a= 1.故选D.I【误区警示】I1•共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.2. 解题时一定要先把复数化为z= a+ bi(a, b€ R)的形式，以确定实部和虚部•复数z为纯虚数的充要条件是a= 0且b M0.第2题易只考虑实部a2+ 2a —3= 0,得a= —3或a= 1,错选B.热点2复数的几何意义芳去结论v1.2 •复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角»M面内的点形法则解决问题.I【题型分析】I1. 设i是虚数单位，则复数g在复平面内所对应的点位于()1 —iA.第一象限 B •第二象限C.第三象限 D •第四象限答案B解析由题意= 2i 1 ： [ = = — 1 + i，其对应的点坐标为(一1 —i (1 —1(1 + i ) 21,1)，位于第二象限，故选B.2. (2016全国卷U )已知z= (m+ 3)+ (m—1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A.( —3,1) B • (—1,3)D . (— X，—3)C.(1，+x)答案A解析要使复数对应的点在第四象限应满足m+ 3>0,，解得—3<m<1,故选A.、m—1<0，【误区警示】1•分式形式的复数，要将分母实数化（分子分母同乘以分母的共轭复数），化成z= a+ bi（a, b€ R）的形式进行判断，第1题易直接根据分母1 —i得出点位于第四象限，错选D.2.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可.热点3复数的四则运算方法结论--------- ---------1•在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化.2.在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度：2 1 + i . 1 —i .①（1±；—厂| ；1 + j = _i.②一b+ ai = i（a+ bi），a，b€ R.4n 4n+1 4n+ 2 4n+ 3 4n 4n+1 4n+2 4n+ 3 *③i = 1，i = i，i = —1，i = —i，i +1 +1 +1 = 0,n€ N .I【题型分析】Ia+ 2i1. （2019烟台模拟）已知复数三丁是纯虚数（i是虚数单位），贝U实数a等于（）A. —4 B . 4C. 1答案Ca+ 2i_(a+ 2i (2+ i)_2a —2 + (a+ 4)i2 —i _ 2 —i 2+ i _ 5 2a —2 a+ 4 -5-_0且—工0，解得a_ 1.故选C.a+ 2i •••复数十为纯虚数,2—i解析4 A. —435i4—5+3■5i2. (2018 全国卷U)13^_2. 复数运算中i 2二一1的负号不要忽略. 热点4程序框图的应用方法结论------ -------1•判断循环结构的输出结果的方法(1)首先要清楚循环体、变量的初始条件和循环的终止条件分别是什么，再模 拟电脑的运行步骤去运行.(2)当循环次数较少时，列出每一步的运行结果，直到程序结束，自然就得出 答案•当循环次数较多时，注意列出前面的若干步骤，观察、归纳出规律，从而 得出答案.2.当型循环与直到型循环要明确当型循环是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；直到型循环是“先 循环，后判断，条件满足时终止循环” •两者的判断框内的条件表述在解决同一 问题时是不同的，它们恰好相反.3. 控制循环的变量要明确 明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化.I 【题型分析】I1.(2017全国卷U )执行下面的程序框图，如果输入的 a =— 1,则输出的S =3 4.—答案 D解析 2... J 2」/ ■一 3+ 4iD［误区警示】I1. 要注意纯虚数的a+ 4 ""5-C.—/输岀s/1I F JA.2C. 4D. 5答案B解析阅读流程图，初始化数值a=—1, K = 1, S= 0.循环结果执行如下:第一次：S= 0—1 = —1,a= 1,K= 2;第二次：s=- -1 + 2= 1, a= 一1, K=3;第三次：S= 1—3= —2,a=1,K= 4;第四次：S=--2+ 4= 2, a= 一1, K=5;第五次：S= 2 —5= —3,a= 1,K= 6;第六次：s=- -3+ 6= 3, a= 一1, K=7;结束循环，输出S= 3.故选B.2.（2019山东济宁模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的S为（答案 D解析 模拟执行程序，可得：初始化数据 S = 3, k = 1,一 1不满足条件k = 2017?，执行循环体，S = 2， k = 3, 不满足条件k = 2017?，执行循环体，S = — 2, k =4, 不满足条件k = 2017?，执行循环体，S = 3， k = 5， 4不满足条件k = 2017?，执行循环体，S = 4， k = 6，观察规律，可知S 的取值周期为4,由于2017= 504X 4+ 1,可得，S = 3，k =2017，满足条件k = 2017?，退出循环，输出S 的值为3•故选D.I【误区警示】1. 应注意第1题中“否”对应着输出框，只有不满足判断框内的条件时，循 环才能结束•另外，本题最容易出错的地方是把累加 S 和计数K 两个变量的先后 顺序颠倒.计数变量K 在本题中不仅体现了循环的次数，而且还参与了累乘变量 的变化过程.2. 第2题循环次数较多，S 的取值要从k = 1开始算规律，从而找出周期，本 题易从S = 4, k = 2开始得出周期T = 4,导致错选C.热点5程序框图的完善不满足条件k = 2017?，执行循环体,2 --k.4 一3 -- s方法结论V程序框图完善类问题的求解方法： (1) 先假设参数的判断条件满足或不满足； (2) 运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止； (3) 根据此时各个变量的值，补全程序框图. 【题型分析】执行如图所示的程序框图，若输出的 n 值为11,则判断框中的条件可以是 A.SV1022? B . S<2018?D . S>4095? C.S<4095? 答案 C 解析 第1次执行循环体，S = 3,应不满足输出的条件，n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, n = 6, n = 7, n = 8, n = 9, n = 10, n = 11, 第 第 第第 第 第 第 第 第 第 2次执行循环体， 3次执行循环体， 4次执行循环体， 5次执行循环体， 6次执行循环体， 7次执行循环体， 8次执行循环体， 9次执行循环体， 10次执行循环体， 11次执行循环体， S = 7,应不满足输出的条件，S = 15,应不满足输出的条件，S = 31,应不满足输出的条件，S = 63,应不满足输出的条件， S = 127,应不满足输出的条件， S = 255,应不满足输出的条件，S = 511，应不满足输出的条件， S = 1023,应不满足输出的条件， S = 2047,应不满足输出的条件, S = 4095,应满足输出的条件， 故判断框中的条件可以是 S v 4095?,故选C.【误区警示】I本题容易出错的是不清楚这个判断条件是什么，在执行循环体时弄错 S 与n的循环顺序而错选B.真题自检感悟1 — i1.(2018 全国卷 I )设 z =右 + 2i ，则 |z|=( )A.OB.2 C . 1 D. 2 答案 C解析 1 i1 i 2^^i因为 z — + 2i —+ 2i — + 2i — i ，所以 |z|— 0+1 —1.故选C.2.（2017北京高考）若复数（1 — i ）（a + i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实 数a 的取值范围是（）A.( — x, 1)B . (— x,— 1) C.(1,+x ) D . (— 1，+x )答案 B解析 T (1 — i)(a + i) = a + i — ai — i 2 = a + 1 + (1 — a)i ， 又复数(1 — i)(a + i)在复平面内对应的点在第二象限，3. （2017北京高考）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（）a+ 1v 0,1 — a >0，解得a v — 1.故选B.3 58 A.2 B. C. D.2 3 5答案 C解析开始：k = 0, s = 1 ； 第一次循环：k = 1, s = 2； 3第二次循环：k = 2, s = 2； 5第三次循环：k = 3, s = 3 此时不满足循环条件，输出s ,5故输出的s 值为3.故选C.4.（2019全国卷川）执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s 的值等于（）〔结束〕答案 C解析 =0.01, x = 1, s = 0,1/输出* /A.2 —寺S= 0+ 1 = 1 , X= 2 也、不成立;S= 1 + 2, x = 4, X〈不成立；C. 2D. 2,11 1 / 于宀、 s = 1 + 2+4，x = 8， 不成立； s = 1 + 2+4+8，x = 16，x 〈 不成立;1111 1 / 才宀、 s = 1 + 2+4+8+16，x =32，x 〈 不成立;11111s ——1 亠 +一+ + — + — s_ ［十2 4 8 16 32'1111 1 . s——1+ 2 + 4 + 8 + 屁 + 32 + 64, 1此时输出s ——2— 26.故选C.专题作业一、选择题1.(2019河南模拟)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足z + 3i ——a + ai(a € R )，若复数z 是纯虚数，则()A.a ——3 B . a ——0 C . a M 0 D . a<0答案 Ba ——0， 解析 由z + 3i ——a + ai 得z ——a + (a — 3)i ，若z 是纯虚数，则' 得.a — 3M 0， a ——0,故选B.a — 2i2.(2019湖南八校联考)若复数z ——^^(a € R )在复平面内对应的点在直线y ——一x 上，贝U z -z ——()A.1 B . 2 C .— 1 D . — 2答案 B解析z ——a 2?i ——|— i ,z 所对应的点为i |，— 1 ，由点在直线y ——一x 上得一a1 ——一二•x =64，x 〈 不成立;X ——1^8，X 〈 成立,2 a ——2,故 z ——1 — i ，z ——1 + i ，二 z -z ——(1 — i)(1 + i)——1 —1 2，3. (2017全国卷川)设复数z满足(1 + i)z——2i，则|z|——( )1 2A.Q B^^C. 2D. 2答案 C解析 解法一：由(1 + i)z = 2i 得 z ==1 + i ，二 Zl = .2故选 C.解法二：T 2i = (1 + i)，二由(1 + i)z = 2i = (1 + i)，得 z = 1 + i , 二 |z|= 2.故选 C.4. (2019达州模拟)已知z(1 + i) = - 1+ 7i(i 是虚数单位),z 的共轭复数为z , 则|z 等于()A. 2 B . 3 + 4i C . 5D . 7答案故 z = 3 — 4i , |z|= 5,故选 C.5. 若 a 为实数且(2 + ai)(a — 2i) = — 4i ，则 a =( A. — 1 B . 0C . 答案 B解析由已知得4a + (a 2 — 4)i = — 4i ,4a = 0,所以'2 解得a = 0,故选B.,a — 4= — 4,6.设复数Z 1, z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z 1 = 2+ i ,则Z 1z 2=()A. — 5 C .— 4+ i 答案 A解析 由题意知，z 2= — 2+ i ，所以Z 1z 2= — 5,故选A.17.(2018北京高考)在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于()I — i解析 厂二-1 +71—「= 3+4i ,A.第一象限C.第三象限答案D B.第二象限D.第四象限C. 2D. 2第四象限，故选D.8. （2018天津高考）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,则输出T的值为（）（开始〕工 /输人用/ ~Ti=2J=i）T=T+lJ?---- ------申丨*/输出『/结束1A.1 C. 3答案BB. 2 D. 4解析结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：N = 20, i = 2, T= 0,N=20= 10,结果为整数，执行T=T + 1 = 1, i = i + 1 = 3,此时不满足i >5;N 20 一N=20,结果不为整数，执行i = i + 1 = 4,此时不满足i >5;N 20 一T=~ = 5,结果为整数，执行T= T + 1 = 2, i = i + 1 = 5,此时满足i>5;跳出循环，输出T= 2.故选B.9. （2 019郑州调研）如图，程序输出的结果S= 132,则判断框中应填（）A.i > 10? C . i < 11? 答案 B解析 由题意，S 表示从12开始的逐渐减小的若干个连续整数的乘积， 由于 12X 11 = 132,故此循环体需要执行两次，二每次执行后i 的值依次为11,10,由于 i 的值为10时，就应该结束循环，再考察四个选项， B 符合题意.10. 执行如图所示的程序框图，则输出的 n 的值为（）A.1009 B . 2017 C . 2018 D . 2019答案 BB . i > 11? D . i >12?（开始〕解析易知数列0门罗+13€ N*）的周期为4,各项依次为2,1,0,1,2,1,0,1,…. 执行程序框图，n= 1，s= 2，n = 2，s= 3，n= 3，s= 3，n = 4，s= 4，…，n = 2016,s = 2016, n = 2017, s = 2018,不满足判断框中的条件，退出循环.此时输出的 =2017，故选 B.二、填空题 11. （2019天津调研）已知i 为虚数单位，复数z （1 + i ） = 2-3i ,贝U z 的虚部为5答案一5解析由 z(1 + i) = 2- 3i ,得 z _2-3i (2-3i (1-i )— 1 — 5i _- 1-5i 得 z —百—1+ i 1-i — ~-2-2i ,5则z 的虚部为一2. 12.已知复数Z 1=— 1 +2i ,2— 1-i , Z 3— 3-2i ,它们所对应的点分别为 A , B ,— — —C,点O 为坐标原点，若OC — XOA + yOB,则x + y 的值是 __________ .答案 5解析 由已知得 A( — 1,2), B(1,- 1), C(3,- 2), — — —T OC — xOA + yOB ,•- (3, - 2) — x(- 1,2)+ y(1,- 1)— (-x + y,2x -y),113. （2017江苏高考）如图是一个算法流程图.若输入x 的值为16,则输出y 的 值是 ________ .x + y — 3, 2x - y —- 2,解得*x —1?J — 4,故 x + y — 5.［结束］答案—211 1解析输入x= 16,1不成立，执行尸2+ Iog2i6= 2-4=— 2.所以输出y的值为一2.14 •中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图•执行该程序框图，若输入的x=2，n = 2,依次输入的a为2,2,5,贝U输出的sn/输入耙/I5=S -^+(7k=k+ I/输出$ /〔结束］答案17解析由题意，当x=2, n= 2, k= 0, s= 0时，输入a=2,贝U s= 0X2 + 2 =2, k= 1，循环;输入 a = 2,贝U s= 2X2 + 2 = 6, k= 2,循环；输入 a = 5, s= 6X 2+ 5= 17, k= 3>2, 结束•故输出的s= 17.。

§ 1 复数的性质一、复习要点1．复数的有关概念和性质：（1）两个复数相等的充要条件；（2）复数是实数或纯虚数的充要条件；（3）互为共轭的两个复数的性质；（4）复数的辐角和模的性质．2．复数运算中的几个常用结论：（1）（1±ｉ）２＝±2ｉ，（1＋ｉ）／（1－ｉ）＝ｉ，（1－ｉ）／（1＋ｉ）＝－ｉ；（2）ｉｎ＋ｉｎ＋１＋ｉｎ＋２＋ｉｎ＋3＝0（ｎ∈Ｚ）；（3）设ω＝－（1／2）±（／2）ｉ，则ω3ｎ＝1；（1／ω）＝；ωｎ＋ωｎ＋１＋ωｎ＋２＝0（ｎ∈Ｚ）．3．复习中应把握好的几个要点：（1）复数的性质较多，在复习中，应尽量启发学生自己思考．要引导学生适时、恰当、准确地运用性质解题，培养自觉应用性质解题的习惯，以达到解题突破口的合理选择．（2）应注意解题后的反思．反思解题时用到复数的何种性质，采用的是什么数学思想方法，寻求不同的解法，并且比较各种解法的优劣，进一步优化解题过程，提高学生的解题速度和解题能力．二、例题讲解例1 （1）已知ａ，ｂ∈Ｒ，且ｂ＜0，ｚ１＝ａ＋ｂｉ，ｚ２＝ｂ－ａｉ，ａｒｇｚ１＝θ，则ａｒｇｚ２等于（）．Ａ．π－θＢ．（π／2）＋θＣ．θ－（π／2）Ｄ．（3π／2）－θ（2）复数（2＋2ｉ）４／（1－ｉ）５等于（）．Ａ．1＋ｉＢ．－1＋ｉＣ．1－ｉＤ．－1－ｉ讲解：（1）显然ｚ１与ｚ２有联系，欲把ａｒｇｚ２用ａｒｇｚ１表示，当找出ｚ２与ｚ１的运算联系．仔细分析，得ｚ２＝－ｉｚ１．∴ａｒｇｚ２＝θ－（π／2），选Ｃ．（2）本题结合了复数的乘方运算和除法运算，由于2＋2ｉ与1－ｉ的辐角均为特殊角，一个自然的思路是：先利用复数的三角式求得（2＋2ｉ）４＝－2６，（1－ｉ）５＝2４（1＋ｉ），∴原式＝－[4／（1＋ｉ）]＝－1＋ｉ，选Ｂ．若认真思考一下选项，发现4个选项所给复数的对应点分别位于4个不同象限，则想到：只需算辐角，便能把正确选项分离出来．∵2＋2ｉ的一个辐角是θ１＝π／4，1－ｉ的一个辐角是θ２＝－（π／3），∴所求复数的一个辐角为θ＝4θ１－5θ２＝π＋（5π／3）＝2π＋（2π／3），位于第二象限．故排除Ａ、Ｃ、Ｄ，选Ｂ．例2 设复数ｚ＝－＋ｉ，记ｕ＝（4／ｚ）３．（1）求复数ｕ的三角形式；（2）如果（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，求实数ａ、ｂ的值．讲解：这道题的两问是有联系的．第（1）问最容易想到将ｚ＝－＋ｉ代入ｕ＝（4／ｚ）３后，先得到ｕ的代数式，再化成三角形式，但是要将（4／ｚ）３化成标准的代数形式是相当麻烦的，也易出错．事实上，要求ｕ的三角形式，只要求得｜ｕ｜及ａｒｇｕ即可．注意到复数有关性质就不难得解．第（2）问是先将ｕ和ｚ代入化简后，得到带有ａ、ｂ的复数代数恒等式，由复数相等的充要条件得关于ａ、ｂ的方程组，再解方程组即可．（1）∵｜ｚ｜＝＝2，∴｜ｕ｜＝｜（4／ｚ）３｜＝（4／｜ｚ｜）３＝2．令ａｒｇｚ＝θ，则ｃｏｓθ＝－（／2）＝－（／2），ｓｉｎθ＝1／2，∴θ＝（5π／6），从而ａｒｇｕ＝－（5π／6）×3＋4π＝3π／2．∴ｕ的三角形式为ｕ＝2（ｃｏｓ（3π／2）＋ｉｓｉｎ（3π／2））．（2）由（1）知，ｕ＝－2ｉ，代入（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，得－（／8）ａ－（（／8）ａ－（／4）ｂ）ｉ＝－－3ｉ．由复数相等的充要条件，得方程组（／8）ａ＝，（／8）ａ－（／4）ｂ＝3．解得ａ＝8，ｂ＝－8．例3 已知复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，且｜ｚ１－ｚ２｜＝．（1）求｜ｚ１＋ｚ２｜的值；（2）求证（ｚ１／ｚ２）２＜0；（3）求证对于任意实数a ，恒有｜ｚ１－ａｚ２｜＝｜ｚ１＋ａｚ２｜． 讲解：（1）题除用代数式和三角式求解外，若注意到复数的性质ｚ·＝｜ｚ｜２，则由｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，得ｚ１１＝ｚ２２＝1，这时只要将｜ｚ１－ｚ２｜与｜ｚ１＋ｚ２｜分别改写成与即可． 由ｚ１１＝ｚ２２＝1及（ｚ１－ｚ２）＝2，得ｚ１２＋ｚ２１＝0．∴ （ｚ１＋ｚ２）（ｚ１＋２）＝｜ｚ１｜２＋｜ｚ２｜２＋ｚ１２＋ｚ２１＝2，故 ｜ｚ１＋ｚ２｜＝．此题也可利用复数加减法的几何意义求解．（留给读者自己去完成）（2）若（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则（ｚ１／ｚ２）２＝ａ２－ｂ２＋2ａｂｉ，要证（ｚ１／ｚ２）２＜0，即证ａ２－ｂ２+2ａｂｉ∈Ｒ－， ∴ ａｂ＝0，但ｚ１≠0，∴ （ｚ１／ｚ２）≠0，∴ 只能是ａ＝0．∴ 要证原命题，只要证（ｚ１／ｚ２）是纯虚数即可．因此，首先要在已知等式｜ｚ１－ｚ２｜＝中变出（ｚ１／ｚ２）．∵ ｜ｚ１－ｚ２｜＝，｜ｚ２｜＝1，∴ （｜ｚ１－ｚ２｜）／｜ｚ２｜＝，即｜（ｚ１／ｚ２）－1｜＝．∴ （（ｚ１／ｚ２）－1） （＝2，即（（ｚ１／ｚ２）－1）（（１／２）－1）＝2，也即 （ｚ１１／ｚ２２）－（ｚ１／ｚ２）－（１／２）＝1．∴ （ｚ１／ｚ２）＋＝0．设（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），上式化为 （ａ＋ｂｉ）＋（ａ－ｂｉ）＝0，即ａ＝0． 又∵ ｚ１≠0，∴ ａ、ｂ不能全为零，∴ ｂ≠0． 则（ｚ１／ｚ２）＝ｂｉ（ｂ∈Ｒ，ｂ≠0）． ∴ （ｚ１／ｚ２）２＝－ｂ２＜0．若注意到｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１－ｚ２｜及ｚ１与ｚ２加减法的几何意义，不难得出｜ｚ１＋ｚ２｜与｜ｚ１－ｚ２｜恰为同一平行四边形的两条对角线长，而已知恰是此平行四边形为正方形的条件，则会得出简解．（请读者证明，并加以比较） （3）利用复数性质｜ｚ｜２＝ｚ·证左、右两边等于同一个值即可．（留给读者完成）三、专题训练 1．已知复数ｚ＝＋ｉ，则ａｒｇ（1／ｚ）是（ ）．Ａ．π／6Ｂ．11π／6Ｃ．π／3Ｄ．5π／32．已知ｚ１＝－（1／2）＋（／2）ｉ，ｚ２＝－（1／2）－（／2）ｉ，并且＝ｉ，那么ｎ可以取（）．Ａ．6Ｂ．8Ｃ．1Ｄ．123．复数ｚ１＝3＋ｉ，ｚ２＝ａ－ｉ，ｚ＝ｚ１·ｚ２，则是实数与是纯虚数的充要条件分别是（）．Ａ．ａ＝3与ａ＝－（1／3）Ｂ．ａ＝－（1／3）与ａ＝3Ｃ．ａ＝3与ａ＝（1／3）Ｄ．ａ＝（1／3）与ａ＝34．（（1－ｉ）６／（－1－ｉ）３）＋（（1＋ｉ）／（1－ｉ））３的值等于（）． Ａ．0Ｂ．2ｉＣ．－2ｉＤ．ｉ5．已知ｉ＝－－ｉ，则｜ｚ｜＝________，ａｒｇｚ＝________．6．已知关于x的实系数方程x２-2ax+a２-4a+4=0的两虚根分别为x１、x２,且|x１|+|x２|=3,则a的值为________．7．给出下列命题：①a,b∈R，且a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件；②ｚ１、ｚ２为复数，ｚ１-ｚ２＞0是ｚ１＞ｚ２的必要条件；③复数z的辐角主值为θ是z２的辐角主值为2θ的充分条件；④非零复数ｚ１、ｚ２对应的向量与垂直的充要条件是ｚ１=ki·ｚ２（k∈R，且k≠0）．其中正确命题的序号为________．8．设复数ｚ１、ｚ２、ｚ３满足ｚ１２＋ｚ３ｚ１＋ｚ３ｚ２＝0，且ｚｉ≠0（ｉ＝1，2，3），求ａｒｇ（ｚ１＋ｚ３／ｚ２＋ｚ３）．9．设非零复数z的辐角主值为（3π／4），且z３+2（z２-zi）是实数．（1）求复数z；（2）若w＝ｃｏｓθ＋isinθ（0≤θ≤2π），求|z-w|的最大值与最小值．10．设ｚ１，ｚ２∈Ｃ，w＝ｚ１ｚ２＋ｚ２ｚ1，ｕ ＝ｚ１ｚ1＋ｚ２２．问w与ｕ能否比较大小．如果能，比较它们的大小；如果不能，说明理由．。