导数竞赛辅导

第15讲导数中的极值点偏移问题（高阶拓展、竞赛适用）（8类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数解决函数的基本问题2能理解并掌握极值点偏移的含义3能结合极值点偏移的形式综合证明及求解【命题预测】极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习1. 极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则mx =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系：若221x x m +<，则称为极值点左偏；若221x x m +>，则称为极值点右偏.如函数xe xx g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.2. 极值点偏移问题的一般题设形式1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ；4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f .3. 极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）4. 对数平均不等式5. 运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a x x e -=+-．(1)若()0f x ³，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.1．（2022·全国·模拟预测）设函数()()ln f x x ax a =-∈R .(1)若3a =，求函数()f x 的最值；(2)若函数()()g x xf x x a =-+有两个不同的极值点，记作12,x x ，且12x x <，求证：12ln 2ln 3x x +>.1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数()2ln ,R a xf x x a x=+∈.(1)当12a =-时，求函数()f x 的极值；(2)若()f x 有两个极值点12x x ，，求证：()()12124f x f x x x +>+.2．（2024·河北保定·二模）已知函数()ln ,()f x ax x x f x '=-为其导函数．(1)若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(2)若存在两个不同的正数12,x x ，使得()()12f x f x =，证明：0f '>．1．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数()e -=x k f x x ．(1)若()f x 在()0,¥+上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()()ln g x f x k x =-存在极小值，且极小值等于()2ln k -，求证：ln 2e k k +>．1．（2023·全国·模拟预测）已知函数()()221e 1e e e 2xf x x x x =---+．(1)求函数()f x 的单调区间与极值．(2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，求证：31e 12x x -<-．2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设a ，b 为函数()e xf x x m =×-（0m <）的两个零点．(1)求实数m 的取值范围；(2)证明：e e 1a b +<．1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()e x f x x a =-恰有两个零点12,x x ．(1)求a 的取值范围；(2)证明：122x x +<-．2．（2023·山西·模拟预测）已知函数()ln 1,f x x a =-∈R .(1)若()0f x ≤，求a 的取值范围；(2)若关于x 的方程()22e e axf x x =-有两个不同的正实根12,x x ，证明：12x x +>3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()2e (0)xf x ax a =->．(1)当2e 4a =时，判断()f x 在区间()1,+¥内的单调性；(2)若()f x 有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：1233x x x ++>.1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()()2ln R af x x x a x=+∈有两个零点()1212,x x x x <．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>．2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()22ln 1f x x x x =-+．(1)证明：()1f x <；(2)若120x x <<，且()()120f x f x +=，证明：122x x +>．3．（2024高三·全国·专题练习）设函数23115e ()e e (1),[0,)232x f x x x x =---+∈+¥．(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若12x x ≠，且()()126e f x f x +=，求证：122x x +<．1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数()23ln 4(0)f x x ax x a =+->.(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当12a =时，若方程()f x b =有三个不相等的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，证明：314x x -<.1．（23-24高三上·河南·开学考试）()()2ln e 124x ax x f x b +=+-++有两个零点()1212,x x x x <．(1)0a =时，求b 的范围；(2)1b =-且54a <时，求证：21x x -<2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数2()24ln f x x ax x =-+．(1)讨论()f x 的单调区间；(2)已知[4,6]a ∈，设()f x 的两个极值点为()1212,l l l l <，且存在b ∈R ，使得()y f x =的图象与y b =有三个公共点()123123,,x x x x x x <<；①求证：1212x x l +>；②求证：31x x -<．1．（22-23高三上·云南·阶段练习）已知函数()1ln xf x ax+=，0a >．(1)若()1f x ≤，求a 的取值范围；(2)证明：若存在1x ，2x ，使得()()12f x f x =，则22122x x +>．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()1ln af x x a x=--∈R ．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：212e x x a <-．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数ln 1()xf x x+=，e ()=xg x x ．(1)若对任意的,(0,)m n ∈+¥都有()()f m t g n ≤≤，求实数t 的取值范围；(2)若12,(0,)x x ∈+¥且12x x ≠，121221ex x x x x x -=，证明：33122x x +>．1．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()2ln f x x ax =-.(1)讨论函数()f x 的单调性：(2)若12,x x 是方程()0f x =的两不等实根，求证：22122e x x +>；2．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数()ln 1x f x ax+=.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()2112e e xxx x =（e 是自然对数的底数），且1>0x ，20x >，12x x ≠，证明：22122x x +>.3．（2023·山西·模拟预测）已知函数()ln xf x ax x=-.(1)若()1f x ≤-，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有2个不同的零点12,x x （12x x <），求证：221212235x x a+>.1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()e ln xf x x x a x=-+-.若()f x 有两个零点12,x x ，证明：121x x <.2．（2024·广东湛江·一模）已知函数()()1ln1ln e axf x x =+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若方程()1f x =有两个根1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：121x x >．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数21()ln (1),(R)2f x x ax a x a =+-+∈.(1)当1a =时，判断函数()y f x =的单调性；(2)若关于x 的方程21()2f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明212e x x ×>.1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数21()(21)2ln (R)2f x ax a x x a =-++∈.(1)若()f x 有唯一极值，求a 的取值范围；(2)当0a ≤时，若12()()f x f x =，12x x ≠，求证：124x x <.2．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）设()()211ln 2f x ax a x x =-++，a ∈R .(1)当2a =时，求()f x 的极值；(2)若0x ∀>有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(3)当0a <时，若()()12f x f x =，求证：121x x <.3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知()2sin f x x x x =-．(1)当1a =时，讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若存在1x ，212(0)x x x <<，使12()()f x f x =，求证：12<x x a ．1．（2022高三·全国·专题练习）已知函数()e (0)xa f x x a =->有两个相异零点1x ､2x ，且12x x <，求证：12e x x a<.2．（福建省宁德市2021届高三三模数学试题）已知函数()()ln 1xf x ae x a R -=+-∈.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性：（2）若函数()f x 恰有两个极值点()1212,x x x x <，且122ln 3x x +≤，求21x x 的最大值.3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数()2f x ax =，()()1lng x x x =-.(1)若对于任意()0,x ∈+¥，都有()()f x g x <，求实数a 的取值范围；(2)若函数()y g x m =-有两个零点12,x x ，求证：12112x x +>.1．（22-23高二下·湖北·期末）已知函数()ln 1xa x f x e -=+-（a ∈R ）.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个极值点1x ，2x （12x x <），且()1221ln 221e e x x e +×+≤-，求21x x 的最大值.2．（21-22高二上·湖北武汉·期末）已知函数()()2ln f x e x x =-，其中 2.71828e =×××为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()12,0,1x x ∈，且()21121212ln ln 2ln ln x x x x ex x x x -=-，证明：1211221e e x x <+<+.6．（2023·湖北武汉·三模）已知函数()()11ln f x ax a x x=+-+，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若关于x 的方程()1e ln xf x x x x=-+有两个不相等的实数根1x 、2x ，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：122112e e 2x x a x x x x +>．1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()lnf x x x =的图像与直线y m =交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，求证：1221e x x <．2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()e xm f x x=+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x x =+-的导函数为()f x '，若()f x '存在两个不同的零点12,x x .(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>.4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数()()()21ln 12f x x ax a x a =+-+∈R .(1)当1a =时，求函数()y f x =的零点个数.(2)若关于x 的方程()212f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围并证明212x x e ×>.5．（2024·云南·二模）已知常数0a >，函数221()2ln 2f x x ax a x =--.(1)若20,()4x f x a ∀>>-，求a 的取值范围;(2)若1x 、2x 是()f x 的零点，且12x x ≠，证明:124x x a +>.6．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知函数()()3213log 0,132a f x x x x a a =-+>≠．(1)若()f x 为定义域上的增函数，求a 的取值范围；(2)令e a =，设函数()()314ln 93g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求证：123x x +³+．7．（2023·山东日照·二模）已知函数()ln f x x a x =-．(1)若()1f x ³恒成立，求实数a 的值：(2)若1>0x ，20x >，1212e ln xx x x +>+，证明：12e 2x x +>．8．（2023·江西南昌·二模）已知函数()()ln f x x x a =-，()()f xg x a ax x=+-．(1)当1x ³时，()ln 2f x x --≥恒成立，求a 的取值范围．(2)若()g x 的两个相异零点为1x ，2x ，求证：212e x x >．9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()232ln x f x x a æö=-ç÷èø，a 为实数．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在e x =处取得极值，()f x '是函数()f x 的导函数，且()()12f x f x ''=，12x x <，证明：122ex x <+<10．（2023·北京通州·三模）已知函数()ln (0)af x ax x a x=-->(1)已知f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，求实数a 的值；(2)已知f （x ）在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围.(3)已知()()a g x f x x=+有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围并证明212e x x >.11．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数()()2ln f x x x a a =-∈R .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，证明121x x <+<.12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数()2ln (R)2a f x x x x x a a =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求a 的取值范围；(2)记两个极值点为12,x x ，且12x x <. 若1l ³，证明：112e x x l l+<×.13．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数()()()2ln 3,0f x x a x x a a =+-->.(1)当1x ³时，()0f x ³，求a 的取值范围.(2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12122e x x -+>.14．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()()()()2e xf x x ax a =--∈R ．(1)若2a =，讨论()f x 的单调性．(2)已知关于x 的方程()()3e 2xf x x ax =-+恰有2个不同的正实数根12,x x ．（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证：124x x +>．15．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数()232ln x f x x a æö=-ç÷èø，a 为实数．(1)当23a =时，求函数在1x =处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()f x 在e x =处取得极值，()f x '是函数()f x 的导函数，且()()12f x f x ''=，12x x <，证明：122e x x <+<．16．（23-24高三上·重庆渝中·期中）已知函数()2ln ,R f x x x ax x a =-+∈．(1)若函数()f x 是减函数，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且212x x >，证明：1228e x x >．17．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数()()21ln 02f x x x ax a =->.(1)若函数()f x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;(2)若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,证明：121x x a>.18．（2023·辽宁阜新·模拟预测）已知函数()e xf x ax=+(1)若2a =-时，求()f x 的最值；(2)若函数()()212g x f x x =-，且12,x x 为()g x 的两个极值点，证明：()()122g x g x +>19．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()2ln 2g x x ax a x =-+-（R a ∈）．(1)求()g x 的单调区间；(2)若函数()()()212f x g x a x x =++-，()1212,0x x x x <<是函数()f x 的两个零点，证明：1202x x f +æö'<ç÷èø．20．（2023·山东泰安·二模）已知函数()1e ln xf x m x -=-，R m ∈.(1)当1m ³时，讨论方程()10f x -=解的个数；(2)当e m =时，()()2eln 2tx g x f x x +=+-有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，若2e e 2t <<，证明：（i ）1223x x <+<；（ii ）()()1220g x g x +<.1．（全国·高考真题）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.2．（天津·高考真题）已知函数()()x f x xe x R -=∈（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>。

城东蜊市阳光实验学校江夏一中高三数学导数的应用培优辅导材料二一、教学内容导数的应用 二、学习指导本讲主要集中讲授判断证明函数的单调性，函数的极值和最值。

根据函数单调性的定义，函数在其定义域内某从a 到b(a ＜b)的区间内单调递增，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨记△x=x2－x1＞0).恒有y1＜y2〔记△y=y2－y1＞0〕.于是A 〔x1，y1〕，B 〔x2，y2〕两点间连线斜率k =2121x x y y --＞0.从而x lim→∆2121x x )x (f )x (f --=0x lim →∆x)x (f )x x (f 11∆∆-+=)x (f 1'＞0.由x1的任意性，知〔a ，b 〕内的导函数)x (f '值均正；反之，假设f(x)在该区间单调递减，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨仍记△x=x2－x1＞0).恒有y1＞y2.(记△y=y2－y1＜0).那么A 、B 连线斜率k=2121x x y y --＜0，从而x lim→∆2121x x )x (f )x (f --=0x lim →∆x)x (f )x x (f 11∆∆-+=)x (f 1'＜0.所以，导函数值为正的区间原函数必是单调递增的，导函数值为负的区间，原函数必是单调递减的。

而导函数值为O 的点xo 有可能〔但不一定就是〕是原函数增、减区间的接合点，也就是说，f(xo)有可能〔但不一定就是〕f(x)的一个极大〔小〕值.但到底是不是极值点，还须看导函数)x (f '在xo 的左、右是否异号，如在xo 左边)x (f '＞0，而在xo 右边)x (f '＜0，那么f(xo)为原函数的一个极大值；如在xo 左边)x (f '＜0，而在xo 右边)x (f '＞0，那么f(xo)是原函数的一个极小值；如在xo 左右)x (f '符号一样，那么f(xo)不是原函数的极值.我们原先用定义证明函数在某区间单调，过程相当繁杂〔对较复杂的函数更是如此〕.而判断单调区间的界限，那么无明章可循，如今我们可以使用导数这个利器，过程就显得简单明了多了，今后再遇到类似问题，尽可以使用它。

赛前指导：导数第1讲主讲人：刘蒋巍1. 当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为_____.【答案】18 【解析】设3()3,[3,3]g x x x x =-∈-，2()333(1)(1)g x x x x '=-=-+.因为(1)2g -=，(1)2g =-，(3)18g =，(3)18g -=-，根据()g x 的单调性结合绝对值的性质知3()3f x x x =-的最大值为18.2. 已知直线l 是函数f (x ) = 2ln x + x 2图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是 .【答案】4x - y - 3 = 0 【解析】函数2()2ln f x x x =+的导函数2()2,0f x x x x'=+>，从而2()24f x x x'=+≥，当且仅当x = 1时等号成立. 所以直线l 的斜率最小值为4，此时切点为(1,1)，切线方程为4x - y - 3 = 0. 3. 函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 . 【答案】0，-4 【解析】极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0.4. 已知,a b 为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>. 若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. (1) 求实数,a b ； (2) 求函数()f x 的单调区间； (3) 若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <. 【答案】(1) 由题设f (1) = e + 1，f (2) =2e-ln2 + 1得 |a | + b = e + 1，|ln2-2a | + b =2e- ln2 + 1， 因为a > 2，所以a > 2ln2，从而a + b = e + 1，且2a + b =2e+ 1， 解得a = e ，b = 1. .......................................................... 5分 (2) 由(1)得f (x ) = |ln x -e x | + 1. 因为ln x -e x 在(0,+∞)上均单调递增，ln e -ee= 0. 令g (x ) = ln x -ex，所以有： 当x > e 时，g (x ) > g (e ) = 0，从而f (x ) = ln x -ex + 1单调递增； 当0 < x < e 时，g (x ) < g (e ) = 0，从而f (x ) = ln x -ex+ 1单调递减.故f (x )的单调递减区间为(0,e )；单调递增区间为(e,+∞). ................................ 15分 (3) 因为c > d ，cd = 1，所以1d c=，c > 1，于是f (c ) = |e c - ln c | + 1，f (d ) = f (1c) = |ec + ln c | + 1 = ec + ln c + 1.又因为当c > 1时，ec + ln c > ln c +e c > |ln c -ec|，所以f (c ) < f (d ).命题得证. ....................................................................................... 20分5. 设实数a ，b 满足1012a b ≤≤≤≤. 证明：2()cos cos b a a b ππ-≤-． 【答案】设f (x ) = 2x +cos πx ，欲证不等式转化为f (b ) ≤ f (a ).由于f ′(x ) = 2-πsin πx ，f ″(x ) = - π2cos πx .当x ∈(0,12)时，f ″(x ) = - π2cos πx ＜0，当x ∈(12,1)时，f ″(x ) = - π2cos πx ＞0， 所以f ′(x )在区间[0,12]上单调减，在区间[12,1]上单调增.因为f ′(0) = f ′(1) = 2和f ′(12) = 2-π＜0，所以存在α和β，0＜α＜12＜β＜1，使得f ′(α) = f ′(β) = 0，f ′(x )＜0当且仅当x ∈(α,β). ..................................10分 于是函数f (x )在区间[0,α]和[β,1]上单调增，在区间[α,β]上单调减.因为f (0) = f (12) = f (1) = 1，故对于x ∈[0,12]有f (x )≥1，对于x ∈[12,1]有f (x )≤1. 特别地，f (b ) ≤ 1 ≤ f (a ). .......................................................20分6. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 .【答案】3- 【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452ba +=-①， 又22b y ax x '=-，所以7442b a -=-②，由①、②解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-.7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x ) = e x (x > 0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 .【答案】11()2e e -+ 【解析】设00(,),x P x e 则000:()x x l y e e x x -=-，∴00(0,(1))x M x e -. 过点P 作l 的垂线000()x x y e e x x --=--，∴000(0,)x x N e x e -+.∴00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-，0001()(1)2x x t e e x -'=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，∴01x =，max 11()2t e e =+.8. 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S = (梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是 .【解析】如图，△ABC 是边长为1的正△，EF ∥BC ，四边形BCFE 为梯形；设AE =x (0 < x < 1)，则梯形BCFE 周长 = 3-x ，梯形BCFE 面积=(1-x 2)34，所以据题意知： S =(3－x)234(1－x 2)=4(3－x)23(1－x 2)(0 < x <1).对S (x )求导，令S '(x )=0，联系0<x <1得x =13，又0<x <13，S '(x )<0，13<x <1，S '(x )>0.所以当x =13时，S (x )有最小值S (13) = 3233.9. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 【答案】(-2,15)10. 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的x ∈[-1,1]都有()0f x ≥成立，则实数a的值为 .【答案】4 【解析】①若0x =，则不论a 取何值，()0f x …显然成立； ②当0x >，即(]0,1x ∈时，()3310f x ax x =-+…可化为2331a x x -…， 设()2331g x x x =-，则()()4312'x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而4a …；③当0x <，即[)1,0x ∈-时，()3310f x ax x =-+…可化为2331a x x-…， ()()4312'0x g x x-=>，()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()max 14g x g =-=，从而4a …． 综上所述4a =．1B。

知识模块第二讲导数的应用如果你学完上一讲有隔岸观火、雾里看花的感觉，甚至有神魂颠倒、飘飘欲仙的感觉，请不要害 怕，不要彷徨，因为包括牛顿在内的大师们当年的感觉，和你们是一样一样的。

也不要害怕掌握不熟， 对以后学习有什么影响，我们帮你把今后要用的东西给你准备好了：( f (x ) ± g (x ))' = f '(x ) ± g '(x ) ； ( f (x ) ⋅ g (x ))' = f '(x )g (x ) + f (x )g '(x ) ；( f (x )) ' = g (x )f '(x )g (x ) - f (x )g '(x )； f (g (x )) ' = g (x )2f '(g )g '(x ) ；(x n ) ' = nx n -1 ； (sin x ) ' = cos x ； (cos x ) ' = - sin x ； (ln x ) ' = 1； (e x ) ' = e xx在本讲讲详细介绍导数的各种应用。

在练习中体会深化巩固求导的概念和运算。

洛比达法则：这是计算极限的一种常用方法，也可以用来比较小量的阶数. 函数求极值：掌握极值和最值的区别，体会能量取极值的意义。

多元函数极值和条件极值：这是导数与实际生活联系最紧密的领域。

不仅物理问题，许多经济学问题，生活问题都可以用这些方法解决。

小量展开：这是导数在物理竞赛中应用得最多的部分。

小量展开体现的一种逐阶展开、通过 抓住主要矛盾来抽象物理本质的思想。

在使用小量展开中注意体会小量阶数的比较与取舍的关 系。

讲义的风格与上将类似，一个类目的纯数学例题尽量只有一个，但复杂的提供自学例题课后复习 提高。

第一部分 洛比达法则知识点睛有时候会遇到 0/0 型的极限式，即分子分母的极限分别为 0，例如 lim x 2+ x。

浅议导数在竞赛中的解题应用策略郭铭纪(福建省泉州第一中学㊀３６２０００)摘㊀要:导数是高中数学的重点知识ꎬ是学习微积分的重要桥梁.在一些竞赛中常涉及导数的应用ꎬ技巧性较强ꎬ很多学生不知所措ꎬ失分较为严重.为提高导数应用水平ꎬ灵活解答相关竞赛试题ꎬ在竞赛中取得理想成绩ꎬ教学中应围绕具体试题讲解ꎬ与学生一起总结导数在解题中的应用策略.关键词:高中数学ꎻ导数ꎻ竞赛ꎻ解题ꎻ应用策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１５－００４４－０２收稿日期:２０２０－０２－２５作者简介:郭铭纪(１９７５.５－)ꎬ男ꎬ福建省泉州人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系福建省 十三五 中小学名师名校长培养工程专项课题«高中生数学直观想象素养的培养策略研究»(课题编号:ＤＴＲＳＸ２０１９０１７)阶段性研究成果.㊀㊀一㊁夯实基础ꎬ正确求导解答该类试题的策略一般应牢记以下内容:其一ꎬ保证求导结果的正确性.同时ꎬ注意函数的定义域ꎬ为后面的解题奠定基础.其二ꎬ在涉及参数的函数中ꎬ进行分类讨论.例１㊀(２０１９年全国数学联赛广西赛区预赛)已知函数ｆ(ｘ)＝(ａ＋１ａ)ｌｎｘ＋１ｘ－ｘ.(１)设ａ>１ꎬ讨论ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ１)上的单调性.(２)设ａ>０ꎬ求ｆ(ｘ)的极值.解析㊀求出ｆᶄ(ｘ)＝－(ｘ－ａ)(ｘ－１ａ)ｘ２(ｘ>０).(１)需要比较出０㊁１㊁ａ㊁１ａ的大小关系.ȵａ>１ꎬ因此ꎬ０<１ａ<１<ａ.当ｘɪ(０ꎬ１ａ]时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)单调递减ꎻ当ｘɪ[１ａꎬ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｆ(ｘ)单调递增.(２)需要比较ａ和１ａ的大小ꎬ显然当ａ＝１ａꎬａ＝１时两者相等ꎬ为讨论的分界点.当０<ａ<１时ꎬｆ(ｘ)的递增区间为[ａꎬ１ａ]ꎬ递减区间为(０ꎬａ]和[１ａꎬ＋ɕ)ꎬ则极小值为ｆ(ａ)＝(ａ＋１ａ)ｌｎａ＋１ａ－ａꎬ极大值为ｆ(１ａ)＝－(ａ＋１ａ)ｌｎａ＋ａ－１ａ.当ａ＝１时ꎬｆᶄ(ｘ)＝－(ｘ－１)２ｘ２ɤ０ꎬｆ(ｘ)无极值.当ａ>１时ꎬｆ(ｘ)的递增区间为[１ａꎬａ]ꎬ递减区间为(０ꎬ１ａ]和[ａꎬ＋ɕ)ꎬ则极小值为ｆ(１ａ)＝－(ａ＋１ａ)ｌｎａ＋ａ－１ａꎬ极大值为ｆ(ａ)＝(ａ＋１ａ)ｌｎａ＋１ａ－ａ.㊀㊀二㊁灵活应变ꎬ巧妙转化解答部分高中数学竞赛试题时ꎬ需要在认真审题基础上ꎬ融汇贯通所学ꎬ突破惯性思维ꎬ才能找到解题思路.一方面ꎬ深入分析题干问题ꎬ能够透过现象看本质ꎬ结合问题形式ꎬ大胆设想ꎬ通过构造函数ꎬ运用导数进行分析.另一方面ꎬ解题时应认真推理ꎬ确保上下推理的严谨性ꎬ尤其有 ＝ 存在时ꎬ应明确 ＝ 成立的条件.例２㊀(２０１９年全国数学联赛福建赛区预赛)已知ｆ(ｘ)＝ｅｘ.(１)略ꎻ(２)求证:当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)>４ｌｎｘ＋８－８ｌｎ２.解析㊀令ｇ(ｘ)＝ｅｘ－４ｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｅｘ－４.当ｘɪ(－ɕꎬｌｎ４)ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎻ当ｘɪ(ｌｎ４ꎬ＋ɕ)ꎬｇᶄ(ｘ)>０.则ｇ(ｘ)的最小值为ｇ(ｌｎ４)ꎬ即ｇ(ｘ)ȡｇ(ｌｎ４)＝４－４ｌｎ４ꎬ即ｇ(ｘ)＝ｅｘ－４ｘȡ４－４ｌｎ４ꎬ则ｅｘȡ４ｘ＋４－８ｌｎ２ꎬ当且仅当ｘ＝ｌｎ４时取 ＝ .ʑｆ(ｘ)－４ｌｎｘ－８＋８ｌｎ２ȡ(４ｘ＋４－８ｌｎ２)－４ｌｎｘ－８＋８ｌｎ２＝４ｘ－４ｌｎｘ－４ꎬ当且仅当ｘ＝ｌｎ４时取 ＝ .令ｈ(ｘ)＝４ｘ－４ｌｎｘ－４ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝４－４ｘꎬ当ｘɪ(０ꎬ１]时ꎬｈᶄ(ｘ)<０ꎻ当ｘɪ[１ꎬ＋ɕ)ｈᶄ(ｘ)>０.因此ｈ(ｘ)的最小值为ｈ(１)ꎬ即ｈ(ｘ)ȡｈ(１)＝０ꎬ则４ｘ－４ｌｎｘ－４ȡ０ꎬ当ｘ＝１时ꎬ取 ＝ .综上ｆ(ｘ)－４ｌｎｘ－８＋８ｌｎ２ȡ４ｘ－４ｌｎｘ－４ȡ０ꎬ且 ＝ 成４４立的条件不同ꎬʑ当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)>４ｌｎｘ＋８－８ｌｎ２.㊀㊀三㊁注重拓展ꎬ提升能力为使学生能够运用导数顺利解答高中竞赛中一些难度较大的题目ꎬ一方面ꎬ深入讲解导数表示的几何含义ꎬ理解导数的本质ꎬ保证在解题中正确运用.另一方面ꎬ适当为学生讲解一些拓展内容ꎬ如为学生讲解导数的导数ꎬ并结合相关竞赛试题的讲解ꎬ使学生牢固掌握ꎬ在竞赛中能够迅速找到解题思路.例３㊀(２０１８年河北高中数学竞赛)已知曲线ｆ(ｘ)＝ｅｘ－１和曲线ｇ(ｘ)＝ｌｎｘꎬ分析两个曲线的公切线的条数.解析㊀设直线ｌ为两条曲线的公切线ꎬ和两条曲线分别相切于(ａꎬｅａ－１)ꎬ(ｂꎬｌｎｂ)ꎬ则直线方程可表示为ｙ－ｅａ－１＝ｅａ－１(ｘ－ａ)ꎬ即ꎬｙ＝ｅａ－１ｘ＋ｅａ－１－ａｅａ－１ꎬ又可写作ｙ－ｌｎｂ＝１ｂ(ｘ－ｂ)ꎬ即ꎬｙ＝１ｂｘ＋ｌｎｂ－１.则有:ｅａ－１＝１ｂꎬｅａ－１－ａｅａ－１＝ｌｎｂ－１.{消元得到ｅａ－１－ａｅａ－１＋ａ＝０ꎬ方程根的个数即为两曲线公切线条数.令ｍ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｘｅｘ－１＋ｘꎬ则ｍᶄ(ｘ)＝１－ｘｅｘ－１ꎬｍᵡ(ｘ)＝(－１－ｘ)ｅｘ－１.当ｘ<－１时ꎬｍᵡ(ｘ)>０ꎬｍᶄ(ｘ)为增函数ꎬ当ｘ>－１时ꎬｍᵡ(ｘ)<０ꎬｍᶄ(ｘ)为减函数ꎬ且当ｘ<０时ꎬｍᶄ(ｘ)>１ꎬｍᶄ(１)＝０ꎬ即ꎬｘ＝１是ｍᶄ(１)＝０的根.可知当ｘ<１时ꎬｍᶄ(ｘ)>０ꎬｍ(ｘ)为单调递增ꎬ当ｘ>１时ꎬｍᶄ(ｘ)<０ꎬｍ(ｘ)为减函数ꎬ而ｍ(１)＝>０ꎬｍ(２)＝２－ｅ<０ꎬｍ(－１)＝１ｅ２－１<０ꎬｍ(０)＝１ｅ>０ꎬ且ｍ(ｘ)在Ｒ上连续ꎬ则函数ｍ(ｘ)存在两个零点ꎬ分别处在(－１ꎬ０)㊁(１ꎬ２)内.综上可知方程ｅｘ－１－ｘｅｘ－１＋ａ＝０有两个不同的根ꎬ因此ꎬ两条曲线的公切线共有两条.㊀㊀参考文献:[１]李世明.高中数学解题中的导数应用研究[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(１１):１３５.[２]邱廷月.例说导数几何意义在解题中的应用[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(０４):９６－９７.[３]王秀凤.例谈构造函数在导数解题中的应用[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１８(３２):１０４－１０５.[责任编辑:李㊀璟]核心素养视角下的高中数学概念教学朱庆斌(安徽省界首第一中学㊀２３６５００)摘㊀要:高中数学有很多重要的概念ꎬ包括集合㊁函数㊁数列等.做好这些概念教学ꎬ对深化学生理解ꎬ提升学生核心素养具有重要意义.授课中应注重设置相关情境ꎬ使学生参与到数学概念生成中ꎬ提高学生概念学习体验的同时ꎬ给其留下深刻印象ꎬ保证数学概念教学顺利㊁高效完成的同时ꎬ促进学生核心素养更好的提升.关键词:高中数学ꎻ概念教学ꎻ核心素养中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１５－００４５－０２收稿日期:２０２０－０２－２５作者简介:朱庆斌(１９８４.７－)ꎬ男ꎬ安徽省界首人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系２０１８年度阜阳市教育科学规划立项课题:基于数学核心素养培养的高中数学概念教学实践研究(课题编号:ＦＪＫ１８０１８)㊀㊀高中数学中的一些概念本身不难记忆ꎬ但要想深入理解并非易事ꎬ需要做好充分授课准备ꎬ既要融入核心素养内容ꎬ又要给予学生针对性引导ꎬ使其更加全面地认识ꎬ深刻地理解数学概念ꎬ更好地把握数学概念本质ꎬ顺利完成核心素养培养工作.㊀㊀一㊁做好集合概念教学ꎬ培养数学抽象素养集合是高中数学的基础概念ꎬ贯穿整个高中阶段.授课中为使学生对集合有个清晰的认识ꎬ可通过列出现实生活中的事物引出集合概念ꎬ引导学生从数学角度分析问题ꎬ将 现实事物 抽象成 数学语言 ꎬ并使用数学语言５４。

数学导数竞赛试题及答案试题一：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 的导数。

答案一：函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 的导数是 \( f'(x) = 6x - 2 \)。

试题二：若函数 \( g(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7 \)，求 \( g'(2) \)。

答案二：首先求导得到 \( g'(x) = 3x^2 + 4x - 5 \)，然后代入 \( x = 2 \) 得到 \( g'(2) = 3(2)^2 + 4(2) - 5 = 12 + 8 - 5 = 15 \)。

试题三：求函数 \( h(t) = \ln(t) + t^2 \) 的导数。

答案三：函数 \( h(t) = \ln(t) + t^2 \) 的导数是 \( h'(t) = \frac{1}{t} + 2t \)。

试题四：若 \( k(\theta) = \theta^3 \sin(\theta) \)，求 \( k'(\pi/4) \)。

答案四：首先求导得到 \( k'(\theta) = 3\theta^2 \sin(\theta) +\theta^3 \cos(\theta) \)，然后代入 \( \theta = \pi/4 \) 得到\( k'(\pi/4) = 3(\pi/4)^2 \sin(\pi/4) + (\pi/4)^3 \cos(\pi/4) \)。

试题五：求函数 \( m(z) = z^4 - 4z^3 + 6z^2 \) 的导数。

答案五：函数 \( m(z) = z^4 - 4z^3 + 6z^2 \) 的导数是 \( m'(z) = 4z^3 - 12z^2 + 12z \)。

结束语：以上是数学导数竞赛的五道试题及其答案，希望对参赛者有所帮助。

导数是微积分中的一个重要概念，掌握其求解方法对于理解函数的局部变化和全局行为至关重要。

高中数学竞赛辅导近年来，高中数学竞赛在学生中逐渐兴起，成为一项备受追捧的活动。

参加数学竞赛不仅可以锻炼学生的数学思维能力，还能提高解决问题的能力和创造力。

然而，高中数学竞赛的题目复杂多变，对学生的知识面和技巧要求较高。

为了帮助学生提高数学竞赛的成绩，以下是一些高中数学竞赛辅导的方法和建议。

一、了解竞赛规则在开始任何辅导之前，了解数学竞赛的规则是非常重要的。

不同的竞赛可能有不同的题型、时间限制和评分标准。

了解这些规则可以帮助学生更好地备战竞赛，针对性地进行复习和训练。

二、全面复习数学知识高中数学竞赛的题目通常涉及到多个数学领域，因此学生需要全面复习数学知识。

首先，要掌握高中数学的基础概念和定理，这是解题的基础。

其次，要熟悉各种题型的解法和解题思路，例如代数、几何、概率等。

最后，要通过大量的练习题来提高解题速度和准确性。

三、培养数学思维能力高中数学竞赛注重培养学生的数学思维能力，而不仅仅是死记硬背知识点。

因此，在辅导过程中，除了讲解知识点，还要注重培养学生的思维能力。

可以通过引导学生思考、提出问题和解决实际问题等方式，帮助学生培养数学思维能力和逻辑推理能力。

四、参加模拟考试和竞赛模拟考试和竞赛是检验学生水平和训练解题能力的有效方式。

在辅导过程中，可以安排定期的模拟考试，让学生在竞赛环境中进行练习，提高应试能力和心理承受能力。

同时，还可以鼓励学生积极参加各类数学竞赛，锻炼自己的实战能力和竞争意识。

五、提供个性化辅导每个学生在数学竞赛中的困难点和薄弱环节可能不同，因此，辅导过程中要给予个性化的指导。

可以根据学生的水平和需求，有针对性地提供习题训练、重点讲解和解题思路指导。

同时，也要及时给予学生反馈，帮助其发现和纠正错误。

六、培养坚持和自信高中数学竞赛是一项长期的、持续的过程，对学生的毅力和耐心有一定的要求。

在辅导过程中，要培养学生坚持不懈地学习和练习的意识，激发他们对数学的兴趣和热爱。

同时，也要给予学生鼓励和赞扬，增强他们的自信心，在竞赛中敢于展示自己的才能。