高三数学培优补差辅导专题讲座-集合、函数与导数单元易错题分析与练习p

解析几何单元易错题练习一．考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求：(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识:(一)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(二)椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ace =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+by a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x换成y 就可以了，即ca y 2±=.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、ace =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件. 4.椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：θαtan tan ab=；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 5.椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.6. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0A x B y C ++=相切的条件是2222A a B b c+= (三)双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (四)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e =＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是ca x 2-=和c a x 2=.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.4.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.5.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 6. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.(五)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

集合与函数、导数部分易错题分析赵玉苗整理1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ [问题]:{}1|2-=x y x 、{}1|2-=x y y 、{}1|),(2-=x y y x 的区别是什么？4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？ [问题]:如何解不等式：()0122>--b x a ？6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗？7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？ [问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别.什么是映射、什么是一一映射？ [问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个A 到B 上的一一映射.9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ [问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]()22x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位）[问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,132图象与()11+=-x fy 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =.10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？ 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗?[问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是： 。

2019年高考数学复习集合与函数易错知识点总结集合(简称集)是数学中一个基本概念, 下面是集合与函数易错知识点总结, 请考生学习掌握。

1.进行集合的交、并、补运算时, 不要忘了全集和空集的特殊情况, 不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。

2.在应用条件时, 易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗4.简单命题与复合命题有什么区别四种命题之间的相互关系是什么如何判断充分与必要条件5.你知道否命题与命题的否定形式的区别。

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。

7.判断函数奇偶性时, 易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时, 易忽略标注该函数的定义域。

9.原函数在区间[-a, a]上单调递增, 则一定存在反函数, 且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数, 此函数不一定单调。

例如: 。

10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗定义法(取值, 作差, 判正负)和导数法11.求函数单调性时, 易错误地在多个单调区间之间添加符号和或单调区间不能用集合或不等式表示。

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)。

这几种基本应用你掌握了吗14.解对数函数问题时, 你注意到真数与底数的限制条件了吗(真数大于零, 底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次)的关系及应用掌握了吗如何利用二次函数求最值16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性, 易忽略参数的范围。

17.实系数一元二次方程有实数解转化时, 你是否注意到：当时, 方程有解不能转化为。

若原题中没有指出是二次方程, 二次函数或二次不等式, 你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形。

集合问题易错点突破钱磊明集合的概念多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，这对同学们带来了较多的学习障碍，在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常犯错误进行剖析，帮助大家突破易错点。

一、对代表元素理解不清致错。

例1. 已知集合}R x ,16x 6x y |y {B },R x ,x 2x y |y {A 22∈++==∈-==，求B A 。

错解1：令2x ,16x 6x x 2x 22-=++=-得，所以}8{B A ,8y == 。

错解2：令16x 6x x 2x 22++=-，得2x -=，所以}8,2{B A ,8y -== 。

剖析：用描述法表示的集合}p x |x {∈中，x 表示元素的形式，p x ∈表示元素所具有的性质，集合}R x ),x (f y |)y ,x {(∈=表示函数)x (f 的图象上全体点组成的集合，而本题}R x ),x (f y |y {∈=表示函数)x (f 的值域，因此某某B A 际上是求两个函数值域的交集。

正解：由},1y |y {}1)1x (y |y {}R x ,x 2x y |y {A 22-≥=--==∈-==}7y |y {B A },7y |y {}7)3x (y |y {}R x ,16x 6x y |y {B 22≥=≥=++==∈++== 得。

二、遗漏空集致错。

例2. 已知集合}5x 2|x {A ≤≤-=，}1m 2x 1m |x {B -≤≤+=，若B A ⊇，某某数m 的取值X 围。

错解：解不等式3m 2,51m 21m 2≤≤≤-≤+≤-得。

剖析：空集Φ是特殊集合，它有很多特殊性质，如,A A ,A =ΦΦ=Φ 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。

本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研究B A ⊇时，首先要考虑Φ=B 的情况。

正解：①若Φ=B 时，则2m ,1m 21m <->+即。

②若2m ,1m 21m ,B ≥-≤+Φ≠即则时。

第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析： 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减． 应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数， 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称． 又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2， 那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1， 可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析： 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

高中数学总复习知识点专题讲解与练习专题1集合、复数、逻辑一、单项选择题1．(2021·华大新高考联盟5月)已知集合M＝{(x，y)|x－y＝0}，N＝{(x，y)|y＝x3}，则M∩N 中元素的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析因为直线y＝x与曲线y＝x3交于(－1，－1)，(0，0)，(1，1)三点，所以M∩N中有3个元素．故选D.2.(2021·安徽六校联考)设全集为实数集R，集合P＝{x|x≤1＋2，x∈R}，集合Q＝{1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{4} B．{3，4}C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}答案 B解析本题考查集合的表示方法．因为全集为U＝R，集合P＝{x|x≤1＋2，x∈R}，Q ＝{1，2，3，4}，所以∁U P＝{x|x>1＋2，x∈R}，所以图中阴影部分表示的集合为(∁U P)∩Q ＝{3，4}．故选B.3．(2021·湖北八市联考)1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》.2021年是中国共产党建党100周年．仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B4．(2021·山东临沂一模)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，且|z |＝5，则1z－＝( )A.15＋25i B ．－15－25i C.15－25i D ．－15＋25i答案 D解析 由题意，设z ＝－1＋b i(b >0)，则|z |＝1＋b 2＝5，解得b ＝2，即z ＝－1＋2i ，所以1z －＝1－1－2i ＝－1＋2i （－1－2i ）（－1＋2i ）＝－1＋2i 5＝－15＋25i.故选D. 5．(2021·唐山市三模)已知i 是虚数单位，a ∈R ，若复数a －i 1－2i为纯虚数，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12 答案 A解析 由题意a －i 1－2i ＝（a －i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a －i ＋2a i ＋21＋4＝a ＋25＋2a －15i.又因为a －i 1－2i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋25＝0，2a －15≠0，解得a ＝－2.故选A. 6．(2021·江西九江三校联考)已知f (x )＝sin x －tan x ，命题p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 答案 C解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x －tan x <0，可知命题p 是真命题．綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0.故选C.7．若向量a ＝(a －1，2)，b ＝(b ，4)，则“a ∥b ”是“a ＝1，b ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ∥b 可知4(a －1)－2b ＝0，即2a －b ＝2，推不出“a ＝1，b ＝0”；而a ＝1，b ＝0，满足2a －b ＝2，可推出“a ∥b ”．故选B.8．(2021·皖南八校第三次联考，理)设集合A ＝{x |y ＝log 2(x ＋1)}，B ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，且(∁R A )∩B ＝( )A ．∅B ．{－1}C ．(－1，1]D ．[－1，1]答案 B解析 A ＝(－1，＋∞)，B ＝[－1，1]，∁R A ＝(－∞，－1]，可得(∁R A )∩B ＝{－1}．故选B.9．(2021·重庆月考)已知复数z 的共轭复数是z －，若z －3z －＝1＋2i ，则|z |＝( ) A.22 B.12 C.52 D.52答案 A解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由题意，－2a ＋4b i ＝1＋2i ，则a ＝－12，b ＝12，所以|z |＝a 2＋b 2＝22.故选A.10．(2021·江淮十校质量检测，理)下列命题中，真命题是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．sin 2x ＋2sin x ≥3(x ≠k π，k ∈Z )C ．函数f (x )＝2x －x 2有两个零点D ．a >1，b >1是ab >1的充分不必要条件答案 D解析 当x ＝0时，没有正整数小于0，A 错误；当sin x ＝－1时，sin 2x ＋2sin x ＝－1，B错误；f (x )＝2x －x 2有三个零点(2，4，还有一个小于0)，C 错误；(这时就可选D)当a >1，b >1时，一定有ab >1，但当a ＝－2，b ＝－3时，ab ＝6>1也成立．故D 正确．11．若命题“∃x ∈R ，使得3x 2＋2ax ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)C．[－3，3] D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案 C解析命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤ 3.故选C.12．已知p：2xx－1＜1，q：(x－a)(x－3)＞0，p为q的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案 A解析根据题意，对于p：2xx－1＜1，解可得－1＜x＜1，即不等式的解集为(－1，1)．若p为q的充分不必要条件，则(－1，1)是不等式(x－a)(x－3)＞0解集的真子集．当a＞3时，解得q：x＞a或x＜3，满足条件；当a＜3时，解得q：x＞3或x＜a，即a≥1；当a＝3时，不等式化为(x－3)2>0，解得x>3或x<3满足条件，综上a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞)．故选A.二、多项选择题13．已知集合A＝{x∈N||x|≤3}，B＝{a，1}，若A∩B＝B，则实数a的值可以是() A．0 B．1 C．2 D．3答案ACD解析∵A∩B＝B，∴B⊆A，又A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}＝{0，1，2，3}，B ＝{a ，1}，∴a ＝0，2，3.14．(2021·石家庄一模)设z 为复数，则下列命题中正确的是( )A ．|z |2＝z z －B ．z 2＝|z |2C ．若|z |＝1，则|z ＋i|的最大值为2D ．若|z －1|＝1，则0≤|z |≤2 答案 ACD解析 设复数z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )，|z |2＝a 2＋b 2，z ·z －＝(a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2，故A 正确；z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝a 2＋b 2，故B 错误；|z |＝1，表示z 对应的点Z 在单位圆上，|z ＋i|表示点z 对应的点与(0，－1)的距离．故|z ＋i|的最大值为2，故C 正确；|z －1|＝1表示z 对应的点Z 在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上，|z |表示z 对应的点Z 与原点(0，0)的距离，故0≤|z |≤2，D 正确．故选ACD.15．a <0，b <0的一个必要条件为( )A ．a ＋b <0B ．(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝0 C.a b >0 D.a b <0答案 AC三、填空题16．(2021·石家庄二质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝1－i 2 0211－i 2 018，则z 的虚部为________． 答案 －12解析 i 2 021＝i 4×505＋1＝i ，i 2 018＝i 4×504＋2＝i 2＝－1，∴复数z ＝1－i 2 0211－i 2 018＝1－i 1－（－1）＝12－12i ，则z 的虚部为－12.17．设函数f (x )＝(m 2－1)sin x cos x －cos 2x (m ∈R )，则“f (x )为偶函数”的一个充分不必要条件是________．答案 m ＝1(或m ＝－1)解析 f (x )＝(m 2－1)sin x cos x －cos 2x ＝m 2－12sin 2x －cos 2x (m ∈R )． 若m ＝±1，则f (x )＝－cos 2x 是偶函数，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )，所以m 2－12sin 2(－x )－cos 2(－x )＝m 2－12·sin 2x －cos 2x ，即(m 2－1)sin 2x ＝0对任意x ∈R 恒成立，所以m ＝±1.故“m ＝±1”是“f (x )为偶函数”的充要条件．所以“f (x )为偶函数”的一个充分不必要条件是m ＝1(也可以填m ＝－1)．18．已知下列命题：①到两定点(－1，0)，(1，0)距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；②∃x ∈N ，x 2－2x －1≤0；③已知a ＝(2，3，m )，b ＝(2n ，6，8)，则“a ，b 为共线向量”是“m ＋n ＝6”的必要不充分条件．其中假命题有________．答案 ①③解析 对于命题①：到两定点(－1，0)，(1，0)距离之和等于1的点不存在，故命题①是假命题；对于命题②：解不等式x 2－2x －1≤0，得1－2≤x ≤1＋2，又∵x ∈N ，∴x ＝0或1或2，∴∃x ∈N ，使得x 2－2x －1≤0，故命题②是真命题；对于命题③：已知a ＝(2，3，m )，b ＝(2n ，6，8)，若a ，b 为共线向量，则⎩⎨⎧2n ＝4，8＝2m ，∴⎩⎨⎧m ＝4，n ＝2，∴m＋n＝6，反之若m＋n＝6，则m不一定为4，n不一定为2，∴“a，b为共线向量”是“m＋n＝6”的充分不必要条件，∴命题③是假命题．19．【多选题】已知M，N为R的两个不等的非空子集，若M∩(∁R N)＝∅，则下列结论正确的是()A．∃x∈N，使得x∈M B．∃x∈N，使得x∉MC．∀x∈M，都有x∈N D．∀x∈N，都有x∈M答案ABC解析对于D，∵M∩(∁R N)＝∅，∴M是N的真子集或M，N相等，又M，N不相等且非空，∴M是N的非空真子集．∴不能保证∀x∈N，都有x∈M.20．设a，b均为单位向量，则“cos〈a，b〉<0”是“|a－b|＝|2a＋b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析记条件p：cos〈a，b〉<0，条件q：|a－b|＝|2a＋b|，|a－b|＝|2a＋b|左右平方得a2－2a·b＋b2＝4a2＋4a·b＋b2⇒3a2＝－6a·b，a，b均为单位向量，则3＝－6cos〈a，b〉，则|a－b|＝|2a＋b|可以推出cos〈a，b〉＝－12<0，但cos〈a，b〉<0不能得到cos〈a，b〉＝－12，即q⇒p，但p推不出q，p是q的必要不充分条件．故选B.1．已知集合A＝{4，a}，B＝{1，a2}，a∈R，则A∪B不可能是() A．{－1，1，4} B．{1，0，4}C ．{1，2，4}D ．{－2，1，4}答案 A解析 若A ∪B 含3个元素，则a ＝1或a ＝a 2或a 2＝4，当a ＝1时，不满足集合元素的互异性，当a ＝0，a ＝2或a ＝－2时满足题意．∴A ∪B 不可能是{－1，1，4}．故选A.2．(2021·山东临沂一模)已知全集U ＝A ∪B ＝(0，4]，A ∩∁U B ＝(2，4]，则集合B ＝( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(0，2]D ．(0，2)答案 C解析 因为U ＝A ∪B ＝(0，4]，A ∩∁U B ＝(2，4]，所以B ＝∁U (A ∩∁U B )＝(0，2]．故选C.3．已知集合M ＝{y |y ＝2x ＋1，x ∈R }，集合N ＝{x |－x 2＋5x ＋6>0}，则M ∩N ＝( )A ．(－2，3)B ．(0，6)C ．(6，＋∞)D ．(1，6)答案 D解析 ∵M ＝{y |y >1}，N ＝{x |－1<x <6}，∴M ∩N ＝(1，6)．故选D.4．(2021·长郡十五校联考(二))已知复数z 满足：z 2＝74＋6i(i 为虚数单位)，且z 在复平面内对应的点位于第三象限，则复数z －的虚部为( )A ．2iB ．3 C.32 D.32i答案 C解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝74＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝74，2ab ＝6，∵a <0，b <0，∴a ＝－2，b ＝－32，∴z ＝－2－32i ，∴z －＝－2＋32i.故选C.5．(2021·潍坊市二模)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x －1)}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >－2，则A ∩B＝( )A ．∅B ．[1，4)C ．(1，4)D ．(4，＋∞)答案 C解析 ∵A ＝{x |x >1}，B ＝{y |0<y <4}，∴A ∩B ＝(1，4)．故选C.6．(2021·湖南期中试卷)设(－1＋2i)x ＝y －1－6i ，x ，y ∈R ，则|x －y i|＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 B解析 因为(－1＋2i)x ＝y －1－6i ，所以⎩⎨⎧2x ＝－6，－x ＝y －1，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4，所以|x －y i|＝|－3－4i|＝（－3）2＋（－4）2＝5.故选B.7．(2021·江淮十校质量检测，理)已知集合U ＝[－5，4]，A ＝{x |x2－2x ≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋2x ≤0，则(∁U A )∩B ＝( )A ．∅B ．[0，2]C ．[－2，0)D ．[－2，2]答案 C解析 由题知A ＝[0，2]，B ＝[－2，0)，所以A ∩B ＝∅，B ⊆(∁U A )，(∁U A )∩B ＝B ＝[－2，0)．故选C.8．(2021·长沙市一中模拟(一))若复数z ＝(1＋a i)·(1－i)的模等于2，其中i 为虚数单位，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1答案 D解析 因为z ＝(1＋a i)·(1－i)＝1－i ＋a i －a i 2＝(1＋a )＋(a －1)i ，则|z |＝（1＋a ）2＋（a －1）2＝2a 2＋2＝2，解得a ＝±1.9．(2021·哈师大第三次理考)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A ，B ，我们定义集合运算A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )．若A ＝{2，3，4，5}，B ＝{3，5，6}，则A *B 表示的6位字符串是( )A ．101010B ．011001C ．010101D ．000111答案 C10．(2021·东北三校第二次联考)定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．16B ．18C ．14D ．8答案 A解析 因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，所以A *B ＝{1，2，3，4，6}，所以A *B 的所有元素之和为1＋2＋3＋4＋6＝16.故选A.11．(2021·南昌市一模)已知角α是△ABC 的一个内角，则“sin α＝12”是“cos α＝32”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为角α是△ABC 的一个内角，所以α∈(0，π)．由sin α＝12可得α＝π6或α＝5π6，此时cos α＝32或cos α＝－32.由cos α＝32可得α＝π6，此时sin α＝12.所以“sin α＝12”是“cosα＝32”的必要不充分条件．故选B.12．(2021·吉林五校联考)已知α⊥β，α∩β＝l，n⊂α，m⊂β，则“m⊥n”是“m⊥l”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析在如图所示的正方体中，设平面ABCD为α，平面ADD1A1为β，AD1为m，AB为n，AD为l，则n⊥β，而m⊂β，所以n⊥m，但是m与l不垂直，所以m⊥n不是m⊥l 的充分条件；因为α⊥β，α∩β＝l，m⊂β，m⊥l，则m⊥α，所以m⊥n，所以m⊥n 是m⊥l的必要条件．于是m⊥n是m⊥l的必要不充分条件．故选B.13．(2021·辽宁锦州第一次联考)若命题“∃x0∈R，使得x02＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3 C．－3≤a≤3 D．－1≤a≤1答案 B解析由特称命题“∃x0∈R，使得x02＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，可知该命题的否定“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命题．则对于方程x2＋(a－1)x＋1＝0，有Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.故选B.14．【多选题】(2021·八省八校联考)下列命题中正确的是()A ．∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13xB ．∀x ∈(0，1)，log 12x >log 13x C ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12 D ．∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 13x 答案 ABC解析 对于A ，分别画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象如图1所示，由图可知，当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，故A 正确．对于B ，分别画出y ＝log 12x ，y ＝log 13x 的图象如图2所示，由图可知，当x ∈(0，1)时，log 12x >log 13x ，故B 正确．对于C ，分别画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝x 12的图象如图3所示，由图可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12，故C 正确．对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，log 13x >log 1313＝1，所以D 错误．故选ABC. 15．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 本题考查充分条件与必要条件、函数的奇偶性．当f (x )为R 上的奇函数时，若x 1＋x 2＝0，则有x 1＝－x 2，所以f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0；若f (x )＝0，则当x 1＝－1，x 2＝2时，f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2≠0，所以“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．故选A.16．已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}，若A ∩B 只有4个子集，则a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0，1]D ．(0，1]答案 D分析 A ∩B 只有4个子集，则元素有两个．解析 集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}，A ∩B 只有4个子集，则A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1，2}，所以0<a ≤1.故选D.评说 结合数轴、动态演示，效果更佳，结果更明显．17．【多选题】“∀x ∈[1，2]，ax 2＋1≤0”为真命题的必要不充分条件是( )A ．a ≤－1B ．a ≤－14C．a≤－2 D．a≤0答案BD解析∵∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0，∴ax2≤－1，∴a＜0，∵x∈[1，2]，∴ax2∈[4a，a]，∴a≤－1，∴“∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0”⇒“a≤－1”，“a≤－1”⇒“∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0”．∴“∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0”为真命题的充分必要条件是a≤－1.故必要不充分条件为B、D.18．(2021·浙江适应性试卷)已知a，b∈R，则“a2>b2”是“a>|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若a＝－2，b＝1，此时a2>b2成立，而a>|b|不成立，而a>|b|时，由不等式的性质，两边平方得，a2>b2，所以“a2>b2”是“a>|b|”的必要不充分条件．故选B.19．(2021·湖北十一校第二次联考)已知非空集合A，B满足以下两个条件：(1)A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅；(2)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．则有序集合对(A，B)的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析若集合A中只有1个元素，则集合B中有3个元素，则1∉A，3∉B，即3∈A，1∈B，此时有1个有序集合对(A，B)；同理，若集合B中只有1个元素，则集合A中有3个元素，则3∈B ，1∈A ，此时有1个有序集合对(A ，B )；若集合A 中有2个元素，则集合B 中有2个元素，则2∉A ，且2∉B ，不满足条件．所以满足条件的有序集合对(A ，B )的个数为1＋1＝2.故选B.20．【多选题】下列说法正确的是( )A ．设a ，b 为两个非零向量，则“a ·b ＝|a |·|b |”是“a 与b 共线”的充分不必要条件B ．“平面向量a ，b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是“a ·b <0”C ．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列”是“a n ＋12＝a n a n ＋2”的充要条件D ．在三角形ABC 中，“A >B ”的充要条件是“sin A >sin B ”答案 AD解析 若a ·b ＝|a |·|b |，则a 与b 方向相同；若a 与b 共线，则a 与b 方向相同或相反，不一定有a ·b ＝|a |·|b |，故A 正确；因为a ·b <0时，〈a ，b 〉∈(90°，180°]，所以“a ·b <0”是“平面向量a ，b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故B 错误；由“a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列”，可得“a n ＋12＝a n a n ＋2”成立，反之不成立，如a n ＋1＝a n ＝a n ＋2＝0，故C 错误；由A >B 得a >b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A >sin B ，反之也成立，故D 正确．故选AD.21．设p ：|x －a |≤3，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 解析 由|x －a |≤3，可得a －3≤x ≤a ＋3，即p ：a －3≤x ≤a ＋3.由(x ＋1)(2x －1)≥0，可得x≤－1或x≥12，即q：x≤－1或x≥12.因为p是q的充分不必要条件，所以a＋3≤－1或a－3≥12，解得a≤－4或a≥72.故a的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.。

高三数学培优补差辅导专题讲座数列单元易错题分析与练习1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？① 基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想； ②利用等差（等比）数列性质）.[问题]：在等差数列{}n a 中，369181716-==++a a a a ，其前n S n 项的和为，()求1n S 的最小值；()nn a a a T +++=Λ212求3、解决一些等比数列的前n 项和问题，你注意到要对公比1=q 及1≠q 两种情况进行讨论了吗？4、在“已知nS ，求na ”的问题中,你在利用公式1--=n n n S S a 时注意到2≥n 了吗？(1=n 时，应有11S a =)5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题）[问题]：已知:.,32,111n nn n a a a a 求+==-6、你知道nn q ∞→lim 存在的条件吗？（)11≤<-q ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？你知道无穷数列}{n a 的前n 项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法)*8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳假设”吗？ 1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论. 2、.(1)、（2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可.第二步证明时要一凑假设，二凑结论. 例题选讲1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题：例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝n3－2； 【错解】由公式a n =s n －s n －1得：（1）a n =10n －2; （2）123n n a -=⋅【分析】应该先求出a1，再利用公式a n=s n－s n－1()2n≥求解.【正解】（1）a n=10n－2; （2）11 (1)23 (2) n nnan-=⎧=⎨⋅≥⎩2、忽视等比数列的前n项和公式的使用条件：例2、求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋…＋(a n－n) .【错解】S=(a＋(a2＋a3＋…＋a n) －(1＋2＋3＋…＋n)=(1)(1) 12na a n na-+--.【分析】利用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值不能为1.【正解】S=(a＋(a2＋a3＋…＋a n) －(1＋2＋3＋…＋n)当a=1时，S =22n n-；当1a≠时，S=(1)(1)12na a n na-+--3、忽视公比的符号例3、已知一个等比数列{}na前四项之积为116【错解】Q四个数成等比数列，可设其分别为33,,,,a aaq aqq q则有4116aaaqq⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1q=或1q=，故原数列的公比为23q=+23q=-【分析】按上述设法，等比数列{}na的公比是2q，是正数，四项中各项一定同号，而原题中无此条件，所以增加了限制条件.【正解】设四个数分别为23,,,,a aq aq aq则462116a qaq aq⎧=⎪⎨⎪+=⎩()42164q q∴+=由q>时，可得2610,3q q q-+=∴=±当q<时，可得21010,5q q q++=∴=--变式、等比数列}{na中，若93-=a，17-=a，则5a的值（A）是3或－3 （B）是3 （C）是－3 （D）不存在【错解】Θ }{n a 是等比数列， ∴3a ，5a ，7a 成等比，)1)(9(25--=a ＝9，35±=∴a选A【分析】3a ，5a ，7a 是}{n a 中的奇数项，这三项要同号.错解中忽视这一点.【正解】C4、 (见手写P 13－25 13)5、 (见手写P 14－25 14)6、缺乏整体求解的意识例6、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，求7a【错解】设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d则依题意有51034151014622234311a d a d a an n n+=-=+⋅=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()，三个方程，四个未知数，觉得无法求解.【分析】 在数列问题中，方程思想是常见的思想，使用时，经常使用整体代换的思想.错解中依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，没有将a a n 1+作为一个整体，不能解决问题.事实上，本题求a 7，而没有要求其他的量，只要巧用等差中项的性质，21317a a a +=，求出131a a +即可.知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解.【正解】设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d 则依题意有51034151014622234311a d a d a an n n+=-=+⋅=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()，()()12+可得 a a n 136+=，代入(3)有n =13 ，从而有a a 11336+=， 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴=+==a a a 7113236218例7 (1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .错误解法 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131， .012(363）＝整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.错误分析 在错解中，由q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131， 01q q 2(q 363）＝整理得--时，应有1q 0a 1≠≠和.在等比数列中，01≠a 是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1=q 的情况，再在1≠q 的情况下，对式子进行整理变形. 正确解法 若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a qq a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分. 例题7 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证 (Ⅰ) ∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2．由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴ 2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－12.∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝14a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列.(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列. 设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2．由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，A ≠0，∴S m ， S m ＋2， S m ＋1不成等差数列.逆命题为假. 例题8 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=－13，62212-=+-++n a a a n n n（Ⅰ）设}{,1n n n n b a a b 求数列-=+的通项公式；（Ⅱ）求n 为何值时，na 最小（不需要求na 的最小值）解：（I ）622,1121-=-=+-∴-=++++n b b a a a a a b n n n n n n n n Θ87)()1(6)1()1(6)]1(...21[2162,....,6)2(2,6)1(2212112211--=-+---=∴---+++=---=---=---=-∴---n n a a n n n b n n b b n b b n b b n b b n n n n n n 个等式相加，得将这即数列{b n }的通项公式为872--=n n b n（Ⅱ）若a n 最小，则0.1111≥≤≤≤+-+-n n n n n n b b a a a a 且即且⎪⎩⎪⎨⎧≤----≥--∴08)1(7)1(08722n n n n 注意n 是正整数，解得8≤n ≤9∴当n=8或n=9时，a n 的值相等并最小例题9 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0． （Ⅰ)求函数f (x )的表达式；（Ⅱ)设数列{a n }满足条件：a 1∈(1,2)，a n +1=f (a n )求证：(a 1－ a 2)·(a 3－1)+(a 2－ a 3)·(a 4－1)+…+(a n － a n+1)·(a n +2－1)＜1解：(Ⅰ)由f (x )=x 3+ax 2+bx +c 关于点(1,1)成中心对称，所以 x 3+ax 2+bx +c +(2－x )3+a (2－x )2+b (2－x )+c =2对一切实数x 恒成立．得：a =－3，b +c =3， 对由f '(1)=0，得b=3，c=0，故所求的表达式为：f (x )= x 3－3x 2+3x ． (Ⅱ) a n +1=f (a n )= a n 3－3 a n 2+3 a n (1) 令b n =a n －1，0<b n <1，由代入(1)得：b n +1=3nb ，b n =131-n b ，∴ 1＞b n ＞b n +1 ＞0(a 1－a 2)·(a 3－1)+(a 2－a 3)·(a 4－1)+…+(a n －a n +1)·(a n +2－1)=∑=++⋅-nk k k kb b b121)(＜∑=+-nk k kb b11)(=b 1-b n +1＜b 1＜1.例题10、平面直角坐标系中，已知(,)n n A n a 、(,)n n B n b 、*(1,0)()n C n n -∈N ，满足向量1n n A A +u u u u u u r与向量n nB C u u u u u r共线，且点*(,)()n n B n b n ∈N 都在斜率为6的同一条直线上． （1）试用11,a b 与n 来表示n a ；（2）设11,a a b a ==-，且12＜a ≤15，求数列{}n a 中的最小值的项．解：（1）Θ点*(,)()n n B n b n ∈N 都在斜率为6的同一条直线上，∴16(1)n nb b n n +-=+-，即16n n b b +-=，于是数列{}n b 是等差数列，故16(1)n b b n =+-．Θ11(1,)n n n n A A a a ++=-u u u u u u r，(1,)n n n B C b =--u u u u u r，又1n n A A +u u u u u u r 与n nB C u u u u u r 共线，111()(1)()0,.n n n n n n b a a a a b ++∴⨯----=-=即∴1213212()()()n n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L 当≥时，11231n a b b b b -=+++++L11(1)3(1)(2)a b n n n =+-+--．当n ＝1时，上式也成立．所以a n11(1)3(1)(2)a b n n n =+-+--．（2）把11,a a b a ==-代入上式，得n a =(1)3(1)(2)a a n n n --+--23(9)62.n a n a =-+++Θ12＜a ≤15，79<426a+∴≤，Θ 当n =4时，n a 取最小值，∴ 最小值为a 4=18－2a ．基础练习题1、已知a 1 = 1，a n = a n －1 + 2n －1(n ≥2)，则a n = ________.2n －1(认清项数)2、已知 －9、a 1、a 2、－1 四个实数成等差数列，－9、b 1、b 2、b3、－1 五个实数成等比数列，则 b 2 (a 2－a 1) = A(符号) (A) －8(B) 8 (C) －98(D) 983、已知 {a n } 是等比数列，S n 是其前n 项和，判断S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？当q = －1，k 为偶数时，S k = 0，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 不成等比数列； 当q ≠－1或q = －1且k 为奇数时，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列. （忽视公比q = －1）4、已知等差数列{a n }的首项a 1=120，d =－4，记S n = a 1＋a 2＋…＋a n ，若S n ≤a n （n ＞1），则n 最小值为……………………………………………………………（ B ） (A)60 (B)62(C)63(D)705、在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（C ）(A) 122n +- (B) 3n (C) 2n (D) 31n -6、若数列{}n a 中，311=a ，且对任意的正整数p 、q 都有q p q p a a a =+，则=n a（A ）131-⎪⎭⎫ ⎝⎛n （B ）n ⎪⎭⎫ ⎝⎛312 （C ）n⎪⎭⎫ ⎝⎛31 （D ）31 ( C)7、已知数列}{n a 的前n项和qq a aq S n n ,1,0(1≠≠=-为非零常数），则数列}{n a 为（ ）（A ）等差数列（B ）等比数列（C ）既不是等差数列，又不是等比数列（D ）既是等差数列又是等比数列8、设数列{a n }是等比数列，2,51211==q a ，则a 4与a 10的等比中项为 （ ）A ．41B ．81C ．41±D ．81±9、设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞U ）. 10、设123,,,,x a a a y 成等差数列，123,,,,x b b b y 成等比数列，则21313()a a b b +的取值范围是____________.（答：[4,)+∞）.11、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0<d . 若存在正整数(3)m m ≥，使得m m a S =，则当n m>（*N n ∈）时，有_____n nS a （填“>”、“<”、“=”）． <12、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 12＞0，S 13＜0，则 S1a1，S2a2，…，S12a12 中最大的是 B(A) S1a1 (B) S6a6 (C) S7a7 (D) S12a1213、已知数列{}n a 为等差数列，则“m n p q +=+”是“m n p qa a a a +=+”的（A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件 易错原因：不注意{}n a 为常数列特殊情况.14、“b =,,a b c 成等比数列的 （D ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件 易错原因：对等比数列的概念理解不全面. 15、等差数列{}n a 中，若9418,240,30n n S S a -===，则n 的值为 （B ）A.14B. 15C. 16D.17易错原因：找不到简捷的解法，用联立方程组求解时发生运算错误. 16、等差数列{}n a 中，1011100,||,na a a S <>为其前n 项的和，则 （B ） A.1210,,,S S S ⋅⋅⋅都小于0，1112,,S S ⋅⋅⋅都大于0 B.1210,,,S S S ⋅⋅⋅都小于0，2021,,S S ⋅⋅⋅都大于0C. 125,,,S S S ⋅⋅⋅都小于0，67,,S S ⋅⋅⋅都大于0 D.1220,,,S S S ⋅⋅⋅都小于0，2122,,S S ⋅⋅⋅都小于0易错原因：已知条件1110||a a >不会灵活运用.17、在等差数列{}n a 中，若3915170a a a a +++=，则11a 的值是 （C ）A.1B. 1-C. 0D.不能确定 易错原因：找不到3915170a a a a +++=与11a 的关系.18、若{}n a 为等比数列，4738512,124a a a a ⋅=-+=，若公比q 为整数，则10a =（C ）A.256B. 256-C. 512D. 512- 易错原因：①未考虑q 为整数；②运算发生错误. 19、数列{}n a 中，112,21n n a a a +==-，则na 为 （C ）A.21n+ B. 21n- C. 121n -+ D. 121n --易错原因：①对取特殊值排除有些选项的意识不强；②构造新数列有困难.20、数列{}n x 满足31212313521n n x x x xx x x x n ===⋅⋅⋅=++++-，且128n x x x ++⋅⋅⋅+=，则首项1x 等于 （D ）A.21n -B.nC. 821n -D. 28n易错原因：①不能熟练地运用比的性质；②对连等式如何变换缺少办法.1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）；（2）数列{}n a 的通项为1n ana bn =+，其中,a b 均为正数，则n a 与1n a +的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； （4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）A B C D2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥.如设{}n a 是等差数列，求证：以bn=n a a a n+++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列.（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d=+-或()n m a a n m d=+-.如（1）等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d <≤）（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d-=+.如（1）数列{}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；（2）已知数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和nT （答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）.（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、na 及nS ，其中1a 、d 称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）3.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d=+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列.（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n pa a a +=.如（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）；（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，nS 是其前n 项和，则A 、1210,S S S L 都小于0，1112,S S L都大于0 B 、1219,S S S L 都小于0，2021,S S L 都大于0 C 、125,S S S L 都小于0，67,S S L都大于0 D 、1220,S S S L 都小于0，2122,S S L都大于0 （答：B ）(4) 若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n nS S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列. 如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 .（答：225）（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd=偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即na ）；:(1):奇偶S S k k=+.如（1）在等差数列中，S11＝22，则6a ＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.（6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()nn A f n B =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{}n a 与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和nT ，若3413-+=n n T S n n ，那么=nnb a ___________（答：6287n n --）(7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈.上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值.（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n ma b =.4.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法1(n n a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n nn n a aa a +-=(2)n ≥.如（1）一个等比数列{}n a 共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____（答：56）；（2）数列{}n a 中，nS =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若nn n a a b 21-=+ ，求证：数列｛nb ｝是等比数列.（2）等比数列的通项：11n n a a q -=或n mn m a a q -=.如设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q . （答：6n =，12q =或2）（3）等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q -=- 11n a a q q -=-.如（1）等比数列中，q ＝2，S99=77，求9963a a a +++Λ（答：44）；（2）)(1010∑∑==n nk kn C 的值为__________（答：2046）；特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解.（4）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a及nS ，其中1a 、q称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a aa aq aq q q …（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为 (3)3,,,aq aq q a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q .如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数.（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =g g ，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a =g .如（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=L （答：10）.(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}n n ab 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列.当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n nS S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.如（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈，且12100100x x x +++=L ，则101102200x x x +++=L . （答：100100a ）；（2）在等比数列{}n a 中，nS 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40） (3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.(4) 当1q ≠时，b aq q aq q a S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列.如若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）(5)m n m n m n n mS S q S S q S +=+=+.如设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为nS ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为_____（答：－2）(6) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.(7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.如设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若)(1N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则{}n a 是等差数列；③若()nn S 11--=，则{}n a 是等比数列.这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）6.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.如已知数列Λ,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________（答：11212n n a n +=++） ⑵已知nS （即12()n a a a f n +++=L ）求na ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥.如已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求na （答：{3,12,2n n n a n ==≥）；②数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+L ，求n a （答：{114,12,2n n n a n +==≥）⑶已知12()n a a a f n =g g L g 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩.如数列{}n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n =Λ，则=+53a a ______（答：6116）⑷若1()n n a a f n +-=求na 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L1a +(2)n ≥.如已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =________（答：1n a ）⑸已知1()n na f n a +=求na ，用累乘法：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥.如已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，求n a （答：4(1)n a n n =+）⑹已知递推关系求na ，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地， （1）形如1n n a ka b-=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a .如①已知111,32n n a a a -==+，求na （答：1231n n a -=-g ）；②已知111,32nn n a a a -==+，求na （答：11532n n n a -+=-g ）；（2）形如11n n n a a ka b --=+的递推数列都可以用倒数法求通项.如 ①已知1111,31n n n a a a a --==+，求n a （答：132n a n =-）；②已知数列满足1a =1=na （答：21n a n =）注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含na 或nS 的关系式，然后再求解.如数列{}n a 满足11154,3n n n a S S a ++=+=，求n a （答：⎩⎨⎧≥⋅==-2,431,41n n a n n ）7.数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+L ，222112(1)(21)6n n n n +++=++L ，33332(1)123[]2n n n +++++=L .如（1）等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221n a a a a ++++Λ＝_____（答：413n -）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即“逢2进1”，如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是13212021210123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制43421Λ120052)11111(个转换成十进制数是_______（答：200521-）（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--L （答：(1)n n -⋅） （3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 如 ①求证：01235(21)(1)2nnn n n n C C C n C n +++++=+L g ；②已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝___（答：72） （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 如 （1）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++L ，已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.（答：①11a =，2q =；②122n n T n +=--）；（2）设函数2()(1)()4(1)f x x g x x =-=-，，数列{}n a 满足：12,()n a f a =(n a =- 1)()()n n a g a n N ++∈，①求证：数列{1}n a -是等比数列；②令212()(1)(1)h x a x a x =-+-(1)nn a x ++-L ，求函数)(x h 在点83x =处的导数8()3h '，并比较8()3h '与n n -22的大小.（答：①略；②8()(1)213n h n '=-+g ，当1n =时，8()3h '＝n n -22；当2n =时，8()3h '<n n -22；当3n ≥时，8()3h '>n n -22）（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++；③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k kk k k k -=<<=-++--；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++； ⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++；⑥=<<=.如（1）求和：1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+L （答：31n n +）；（2）在数列{}n a中，n a =，且S ｎ＝９，则n ＝_____（答：99）；（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.如①求数列1×4，2×5，3×6，…，(3)n n ⨯+，…前n 项和n S = （答：(1)(5)3n n n ++）；②求和：111112123123n ++++=+++++++L L （答：21n n +）8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.(2)利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p 元，每期利率为r ，则n 期后本利和为：(1)(12)(1)n S p r p r p nr =+++++L(1)()2n n p n r +=+（等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分n 期还清.如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还款x 元应满足：12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++L （等比数列问题）.。

【高中数学】单元《函数与导数》知识点归纳一、选择题1．已知函数()2100ax x f x lnx x ⎧+≤=⎨⎩，，＞，，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（ ）A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数． 【详解】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时， 若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2xf x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性． 【详解】解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=- 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-， 函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确． 对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；对于④：()cos 2xf x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．3．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()242f x f x x +-=+，设()()22g x f x x =-，若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】∵()()242f x f x x +-=+，()()22g x f x x =-∴2222()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.5．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ） A ．1(1,)2- B ．1(,1)(,)2-∞-+∞U C ．1(,1)2-D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．【详解】解：函数()sin2xxf x e ex -=-+，定义域为R ，且满足()()sin 2xx f x ee x --=-+- ()()sin2x x e e xf x -=--+=-，∴()f x 为R 上的奇函数； 又()'2cos222cos20xxf x e ex x x -=++≥+≥恒成立，∴()f x 为R 上的单调增函数；又()()2210f x f x -+>，得()()()221f xf x f x ->-=-，∴221x x ->-， 即2210x x +->， 解得1x <-或12x >， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 故选B ． 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．6．已知函数()()1110x x e f x x e++-=<与()()1ln x xg x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.【详解】由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1111e e 10ex x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,则方程()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,即方程()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-, 即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,()()11e 1e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++Q ,令()=e 1xm x x --，则()=e 10xm x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1xm x x --在()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=，即()0x ϕ'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,当0x >时,则()()101x eϕϕ>=-, 所以11ea >-, 故选:D 【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.7．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。