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《正交设计》课件

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目录
CONTENTS
• 正交设计简介 • 正交设计的基本原理 • 正交设计实例 • 正交设计的优势与局限性 • 正交设计未来的发展趋势和展望
01
正交设计简介
正交设计的定义
总结词
正交设计是一种实验设计方法，通过合理地选择实验条件和水平，利用正交表安排实验并分析实验结果，以找出 最优的实验条件。
正交设计遵循科学的方法论，能够保证实 验结果的可重复性和可推广性。
正交设计的局限性
对实验条件要求高
正交设计需要严格控制实验条件，以确保实验结果的准确性和可靠性 。然而，在实际操作中，完全控制所有实验条件是十分困难的。
对实验参数敏感度低
正交设计通常采用固定的参数组合进行实验，难以适应参数变化对实 验结果的影响。
在养殖业中，正交设计可以 用于优化养殖环境、饲料配 方、养殖密度等方面的因素 ，提高养殖效益和产品质量 。
在农业工程中，正交设计可 以用于优化灌溉系统、土壤 改良、农业机械等方面的因 素，提高农业生产效率和资 源利用率。
正交设计在医学研究中的应用
01
医学研究中的正交设计是指 通过合理安排治疗方案、药 物剂量、实验条件等方面的 因素，以达到优化医学治疗 的目的。
在处理非线性关系和多因素复杂问题时， 可以结合其他设计方法（如响应曲面法、 遗传算法等）以提高实验效率和准确性。
灵活调整参数组合
根据实际情况灵活调整参数组合，以提高 实验结果的准确性和可靠性。
加强数据处理和分析
对实验数据进行深入的处理和分析，以揭 示隐藏在数据背后的规律和趋势，从而更 好地解释实验结果。
02
正交设计的基本原 理
试验的安排
正交表选择
第七章 回归正交试验设计

第七章 回归正交试验设计

因素进行考察，并考虑交互作用x1x2、 x1x3。已知x1=300～700 ℃, x2=1800～2400℃，x3=8～10mA。试通过回归正交试验确定吸光度与三
个因素之间的函数关系。
因素水平编码表
自然变量xj 规范变量zj 1 -1 0 △j x1 700 300 500 200 x2 2400 1800 2100 300 x3 10 8 9 1
7.1.2一次回归方程的建立
设总的试验次数为N，其中原正交表所规定的二水平试验次数为 mc，零水平试验次数为m0，即有： N 建立回归方程
m
mc m0
ˆ a b j x j bkj xk x j，k 1,2,, m 1( j k ) y
j 1 k j
其系数的计算公式如下：
将被剔除变量的偏回归平方和、自由度并入到剩余平方和与自由度中，
然后再进行相关的方差分析计算。具体例子见书P126～129例8－1。
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
14
用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高吸光度，
对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个
F0.05（1,6）=5.99 F0.01（1,6）=13.74
可见因素z2对指标影响高度显著，所建的回归方程高度显著：
y 0.50475 0.03375z2
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
N 1 SST Lyy ( yi y ) 2 yi2 ( yi ) 2 N i 1 i 1 i 1 N N
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
10
②一次项zj偏回归平方和
SS j m b ，j＝ 1 ， 2， ，m
回归正交组合试验设计PPT课件

回归正交组合试验设计PPT课件

这时只要将各供试因素 Zj 的每个水平填入相应的编码值 中，并在“0”水平处（中心区）安排适当的重复试验，即可 得到试验处理方案，如表3-2所示。
第11页/共83页
3.2 一次回归正交设计及统计分析
表3-2 3元一次回归正交设计试验方案
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 … N
1 x1 (Z1)
1 (17) 1 (17) 1 (17) 1 (17) -1 (7) -1 (7) -1 (7) -1 (7) 0 (12)
… 0 (12)
2 x2 ( Z2 )
1 (22.6) 1 (22.6) -1 (9.4) -1 (9.4) 1 (22.6) 1 (22.6) -1 (9.4) -1 (9.4) 0 (16)
x1m1x1m
x2 m 1 x2 m
xNm 1 xNm
第15页/共83页
3.2 一次回归正交设计及统计分析
记： Y=(y1,y2,…,yN)′ β=[β0,β1, β2,… , βm , β12 , β13 , …， β(m-1)m]′ ε=(ε1,ε2,…,εN )′
则(3-4)的矩阵形式为： Y = X β +ε
m
ya j xaj ij xaj xaj a
j 1
ij
(a＝1，2，…，N， i<j) (3-4)
其结构矩阵 X 为：
1 x11 x12 X 1 x21 x22
1 xN1 xN 2
x1m x11x12 x11x13 x2m x21x22 x21x23
xNm xN1xN 2 xN1xN 3
（3-2）
第6页/共83页
2）对因素Zj的各水平进行编码
① 编码过程 即对Zj的各水平进行线性变换，其计算式为：
回归正交试验设计

回归正交试验设计

回归正交试验设计一、概述（1）回归分析与正交试验设计的主要优缺点回归分析的主要优点是可以由试验数据求出经验公式，用于描述自变量与因变量之间的函数关系。

它的主要缺点是毫不关心试验数据如何取得，这样，不仅盲目地增加了试验次数，而且试验数据还往往不能提供充分的信息。

因此，有些工作者将经典的回归分析方法描述成：“这是撒大网，捉小鱼，有时还捉不到鱼”。

所以说，回归分析只是被动地处理试验数据，并且回归系数之间存在相关关系，若从回归方程中剔除某个不显著因素时，需重新计算回归系数，耗费大量的时间。

正交试验设计的主要优点是科学地安排试验过程，用最少的试验次数获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析（如方差分析），从而得到最佳试验条件，但是它的主要缺点是试验结果无法用一个经验公式来表达，从而不便于考察试验条件改变后，试验指标将作如何变化。

（2）回归正交试验设计回归正交试验设计，实际上就是将线性回归分析与正交试验设计两者有机地结合起来而发展出的一种试验设计方法，它利用正交试验设计法的“正交性”特点，有计划、有目的、科学合理地在正交表上安排试验，并将试验结果用一个明确的函数表达式即回归方程来表示，从而达到既减少试验次数、又能迅速地建立经验公式的目的。

根据回归模型的次数，回归正交试验设计又分为一次回归试验设计和二次回归试验设计。

二、一次回归正交试验设计（一）一次回归正交试验设计的概念一次回归设计研究的是一个因素z （或多个因素z 1，z 2，……）与试验指标y 之间的线性关系。

当只研究一个因素时，其线性回归模型：y ＝β0＋β1z ＋e (1)其回归方程为：z y ∧∧∧+=10ββ (2)式中∧0β、∧1β称为回归系数，e 是随机误差，是一组相互独立、且服从正态分布Ｎ（０，σ２）的随机变量。

可以证明，∧0β、∧1β和∧y 是β０、β１和y 的无偏估计，即Ｅ（∧0β）＝β０，Ｅ（∧1β）＝β1，Ｅ（∧y ）＝y一次回归正交试验设计是通过编码公式x ＝f(z) −− 即变量变换，将式（２）变为：x b b y 10+=∧(3)且使试验方案具有正交性，即使得编码因素Ｘ的各水平之和为零：∑==mi ix1(4)式中m 是因素x 的水平数。

第七章-回归正交试验设计

第七章-回归正交试验设计


例7-1：用石墨炉原子吸收分光光度计测定食品中 的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度(y)大。为 提高吸光度，讨论了x1(灰化温度/℃)， x2(原子化 温度/℃)和 x3 (灯电流/mA)三个因素对吸光度的影 响，并考虑交互作用x1x2 ， x1x3 。已知x1＝ 300~700℃， x2＝1800~2400℃，x3＝8~10mA。 试通过回归正交试验确定吸光度与三个因素之间
指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归
方程：
m
yˆ a bj x j
bkjxk x j , k 1,2,..., m 1( j k)
j 1
k j
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
➢ 根据偏回归系数的正负，得到各因素对试验指标 的影响方向
(4)方差分析
SST
n i 1
yi2
1( n n i1
yi )2
2.049044
4.0382 8
0.010864
SS1 mcb12 8 0.009752 0.000761
SS2 mcb22 8 0.033752 0.009113
0.010741
SSe SST SSR 0.010864 0.010741 0.000123
(4)方差分析
dfT=n-1=8-1=7 df1=df2=df3=1 df12=df13=1 dfR=df1+df2+df3+df12+df13=1+1+1+1+1=5 dfe=dfT-dfR=7-5=2 MS1=SS1/df1=0.000761 MS2=SS2/df2=0.009113 MS3=SS3/df3=0.000265 MS12=SS12/df12=0.000181 MS13=SS13/df13=0.000421 MSR=SSR/dfR=0.010741/5=0.002148 MSe=SSe/dfe=0.000123/2=0.000062 F1=MS1/MSe=0.000761/0.000062=12.27 F2=MS2/MSe=0.009113/0.000062=146.98 F3=MS3/MSe=0.000265/0.000062=4.27 F12=MS12/MSe=0.000181/0.000062=2.92 F13=MS13/MSe=0.000421/0.000062=6.79 FR=MSR/MSe=0.002148/0.000062=34.65
《正交实验法》课件

《正交实验法》课件


临床试验设计
正交实验法可用于设计临 床试验方案，优化试验参 数，提高试验的可靠性和 效率。
医学诊断方法优化
通过正交实验法，可以优 化医学诊断方法，提高诊 断的准确性和可靠性。
PART 04
正交实验法的扩展与改进
多因素正交实验设计
பைடு நூலகம்
定义
优点
多因素正交实验设计是正交实验法的 一种扩展，它用于研究多个因素对实 验结果的影响。
对于非水平因素或非参数实验 ，正交实验法可能不适用。
正交表的选择和实验设计需要 经验积累，否则可能导致实验
结果不准确。
PART 02
正交实验法的基本原理
正交表的概念与分类
总结词
正交表是正交实验法中的核心工具，用于安排多因素多水平的实验。
详细描述
正交表是一张预先制定的表格，用于安排实验并记录实验结果。根据实验因素的数量和每个因素的水平数，可以 选择不同的正交表。正交表有多种类型，如L4(2^3)、L8(2^7)等，其中L表示正交表，括号内数字表示实验因素 数和每个因素的水平数。
农药配制
通过正交实验法，可以找 到最佳的农药配方，有效 防治病虫害，同时减少对 环境的负面影响。
种植技术优化
正交实验法可以帮助农业 科研人员优化种植技术， 提高作物的生长速度和抗 逆性。
医学研究中的应用
新药研发
在药物研发过程中，正交 实验法可用于筛选最佳的 药物配方和剂量，提高药 物的疗效和安全性。
交互效应和水平间的差异。
优点
能够同时研究不同水平因素之间 的交互作用，更全面地了解实验
系统的特性。
正交实验与其他实验设计方法的比较
与单因素实验设计比较
单因素实验设计只考虑单个因素对实验结果的影响，无法全面了解多因素之间 的交互作用。正交实验设计能够同时研究多个因素，更全面地了解实验系统的 特性。
第七章 回归正交设计

第七章 回归正交设计


y 26. 9 28. 3 28. 7 28. 9 29. 6 30. 0 30. 4
y2 723. 61 800. 89 823. 69 835. 21 876. 16 900. 00 924. 16
l iy

k
2
(k ) yk
14.8 28 0. 5286 7.823 1
y 202 .8
输出结果:
The SAS System 16:19 Monday, August 12, 2006 5 The ORTHOREG Procedure Dependent Variable: y Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F 0.0083
2 z (1 ) ˆ 0 . 4762 y 4 12 z 140 2 15 . 961 0 . 8357 z 0 . 011905 z .
SAS操作
求指标对因素的多项式回归可以由SAS轻松地完成： 当自变量(因素)等间距取值时, 变换公式 新变量(可看成水平序号)=(原变量－左端点)/步长+1
方差来源 平方和 自由 度
1 1 p 1
平均平 方和
b1 l 1 y b2l 2y b p l py
F
显 著 性
b1l 1 y 一次 1 (x ) b l 2 2y 一次 2 (x ) Sr 回归 p次 p ( x ) b p l py
0. 035 8. 314
1 1 4 1 1
2 6
447 . 03 10 .86 7 . 71 7 . 49
**
(*)
残差 Se 总和 lyy
正交回归设计(2)

正交回归设计(2)


2．检验一次方程的合适性 为了了解是否存在因子间的交互作用，是否有因子的高次效 应，在中心点进行了m=5次试验，结果为： 40.3，40.5，40.7，40.2，40.6 5 其平均值为 y 0 40.46 ，偏差平方和为 S0 ( y0i y0 ) 2 0.172 ， i 1 其自由度=4。 采用方法1中的检验统计量t作检验。 ˆ 0 40.425， y 0 40.46 ， 现在 y
最后再将编码式
2 206 .23 14 .338 x 2 21 .818 x12 35.868 x 2
x1
F 250 A 3.5 ，x2 109 1.74
代入，即可得y关于F，A的二次回归方程： ˆ 86.5547 1.0497 F 0.0018 F 2 82.9291 A 11.8470 A 2 y 为延长寿命，可以将回归方程对F与A分别求导，并令 其为零以解出最佳水平组合为F=291.58，A=3.50，在该水 平组合下，平均寿命的估计是211.6。
2 2
0 0 0 0

0 0
这里mc=4，2p=4，则n=mc+2p+m0=8+m0，再记
h 4 2 2
f 4 2 4
那么
n 0 0 X X 0 h h 0 0 h 0 0 h 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h 0 0 0 f mc h 0 0 0 mc f
1 1 1 1 1 1 1 1 1 X 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 0 0
第8章_回归正交试验设计

第8章_回归正交试验设计

2 SSel y0i y0 y0 i 2 i 1 i 1 m0 m0
1 y 0i m0 i 1
m0
2
重复试验误差对应的自由度为：
dfel m0 1
Page 12
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
（2）正交表的选择和试验方案的确定 选
L8(27)
Page 16
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
（3）回归方程的建立 m0＝0，n＝mc＝8
1 4.038 a yi 0.50475 , b1 n i 1 8
n
z
i 1
n
1i
yi
Page 2
第8章 回归正交试验设计
8.1.1 Orthogonal Regression Design 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围 以因素xj为例：设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 ，xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距Δj： 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 下水平xj1的编码：zj1＝－1 Δj= (xj2 － xj1)/2 零水平xj0的编码：zj0＝0 （2）因素水平的编码 编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换：
（3）方差分析 2 2 n n 1 4 . 038 2 SST yi yi 2.049044 0.10864 n i 1 8 i 1 2 SS1 mcb12 8 0.00975 0.000761 2 2 SS2 mcb2 8 0.03375 0.009113 2 2 SS3 mcb3 8 0.00575 0.000265 2 2 SS12 mcb12 8 0.00475 0.000181 2 2 SS13 mcb13 8 0.00725 0.000421 SSR SS1 SS2 SS3 SS12 SS13 0.010741 SSe SST SSR 0.010864 0.010741 0.000123
回归正交试验设计

回归正交试验设计


z
2
20 10
，x3
z3 0.2 0.1
通过上述变换后，编码空间为中心在原点的立方体，其边
长为2。 在后面我们将会看到，在编码时，有时立方体的边长可以
大于2。
2020/7/18
试验设计与数据处理
20
今后称x (x1, x2 ,, xp ) 的可能取值的空间为编码空间。我们可以 先在编码空间中寻找一个点x0使E(y)满足质量要求，然后通过 编码式寻找到z0。
y b0
bjzj
b
jj
z
2 j
bij zi z j
j
j
i j
为y关于 z1, z2 ,, z p 的多项式回归方程。
2020/7/18
试验设计与数据处理
5
在实际中常用的是如下的一次与二次回归方程（也称一阶 与二阶模型）：
yˆ b0 bj z j
j
yˆ b0
bjzj
b jj
著性之前，先对y 的期望是否是 x1, x2 ,, x p的线性函数进行检
验，这种检验称为失拟检验，它要检验如下假设：
H0： Ey 0 1x1 p x p
H1： Ey 0 1x1 p xp 当在 (xi1, xi2 ,, xip )上有重复试验或观察时，将数据记为
(xi1 ,
xi2 ,,
2020/7/18
试验设计与数据处理
21
§7.2 一次回归正交设计 7.2.1 一次回归正交设计
建立一次回归方程的回归设计方法有多种，这里介绍一种常
用的方法，它是利用二水平正交表来安排试验的设计方法。 其主要步骤如下： 1．确定因子水平的变化范围
设影响指标y的因子有p个 z1, z2 ,, z p ，希望通过试验建立y
第5章 回归正交试验设计

第5章 回归正交试验设计

本例中，零水平试验次数m0=3，进行失拟行检验。
第一节 一次回归正交试验设计
（4）失拟性检验
本例中，零水平试验次数m0=3，进行失拟行检验。
FLf

SSLf / dfLf SSe1 / dfe1

0.0963/ 5 0.00667/ 2

5.775

F0.1(5,2)

9.29
表明失拟不显著，回归模型与实际情况拟合得很好。
第一节 一次回归正交试验设计
4 回归方程及偏回归系数的方差分析 4.1 无零水平试验 4.1.2 计算自由度
第一节 一次回归正交试验设计
4 回归方程及偏回归系数的方差分析 4.1 无零水平试验 4.1.3 计算均方
MSj

SS j df j
MSkj

SSkj dfkj
j k,k 1,2,...,(m 1)
n i 1
yi

y
n
z ji yi
bj

i 1
mc
n
(zk z j )i yi
bkj i1 mc
j k,k 1,2,...,(m 1)
第一节 一次回归正交试验设计
3 一次回归方程的建立 通过计算得到回归系数之后，可以直接根据它们绝对值的大
小来判断各因素和交互作用的相对重要性，而不用转换成标准 回归系数。
n
z ji 0
i 1
n
z ji zki 0 ( j k )
i 1
这些特点说明了转换之后的正交表同样具有正交性。
第一节 一次回归正交试验设计
2.4 试验方案的确定
确定试验方案时，将规范变量zj安排在一次回归正交编码表 相应的列中，即进行表头设计。

回归正交试验设计


规范变量z 规范变量 j 上星号臂γ 上星号臂 上水平1 上水平 零水平0 零水平 下水平－1 下水平－ 下星号臂－ 下星号臂－γ 变化间距 变化间距 j
②确定合适的二次回归正交组合设计 参考表8-22 参考表
正交表的选用 因素数m 因素数 2 3 4（1/2实施） （ 实施 实施） 4 5（1/2实施） （ 实施 实施） 5 选用正交表 L4（23） L8（27） L8（27） L16（215） L16（215） L32（231） 表头设计 1，2列 ， 列 1，2，4列 ， ， 列 1，2，4，7列 ， ， ， 列 1，2，4，8列 ， ， ， 列 1，2，4，8，15列 ， ， ， ， 列 1，2，4，8，16列 ， ， ， ， 列 mc 22＝ 4 23＝ 8
（3）回归方程的建立 ） m0＝0，n＝mc＝8 ， ＝ 计算表 计算各回归系数 写出y与规范变量 写出 与规范变量zj的回归方程 与规范变量 根据偏回归系数绝对值大小， 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 根据偏回归系数正负， 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 ） 与自然变量x （5）回归方程的回代：得到试验指标 与自然变量 j的回归 ）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量 方程
1 m0 SSe1 = ∑ ( y0i y 0 ) 2 = ∑ y0i2 (∑ y0i ) 2 m0 i =1 i =1 i =1
m0
m0
重复试验误差的自由度： 重复试验误差的自由度： ②回归方程失拟部分： 回归方程失拟部分： 失拟平方和 ：
df e1 = m0 1
SS Lf = SST SS R SS e1 = SS e SS e1
回归平方和 ： SS R = ∑ SS 一次项 + ∑ SS 交互项 残差平方和 ：

一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计

一次回归正交设计某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。

实际生产中，时间控制在30~40min，温度控制在50~600C，压力控制在2*105~6*105Pa，溶液浓度控制在20%~40%，考察Z1~Z2的一级交互作用。

因素编码Z j (xj) Z1/min Z2/o C Z3/*105Pa Z4/%下水平Z1j（-1）30 50 2 20上水平Z2j（+1）40 60 6 40零水平Z0j（0）35 55 4 30 变化间距 5 5 2 10编码公式X1=（Z1-35）/5 X2=(Z2-55）/5 X3=(Z3-4)/2 X4=(Z4-30)/10选择L8（27)正交表因素x1,x1,x3,x4依次安排在第1、2、4、7列，交互项安排在第3列。

试验号X0 X1(Z1) X2(Z2) X3(Z3) X4(Z4) X1X2 Yi1 1 1 1 1 1 1 9.72 1 1 1 -1 -1 1 4.63 1 1 -1 1 -1 -1 10.04 1 1 -1 -1 1 -1 11.05 1 -1 1 1 -1 -1 9.06 1 -1 1 -1 1 -1 10.07 1 -1 -1 1 1 1 7.38 1 -1 -1 -1 -1 1 2.49 1 0 0 0 0 0 7.910 1 0 0 0 0 0 8.111 1 0 0 0 0 0 7.4 Bj=∑xjy87.4 6.6 2.6 8.0 12.0 -16.0aj=∑xj211 8 8 8 8 8bj = Bj/aj7.945 0.825 0.325 1.000 1.500 -2.00Qj = Bj2/aj393 5.445 0.845 8.000 18.000 32.000可建立如下的回归方程。

Y=7.945+0.825x1+0.325x2+x3+1.5x4-2x1x2显著性检验：1、回归系数检验回归关系的方差分析表变异来源SS 平方和 Df 自由度 MS 均方 F 显著水平x 1 5.445 1 5.445 76.25 0.01x 2 0.845 1 0.845 11.83 0.05x 3 8.000 1 8.000 112.04 0.01x4 18.000 1 18.000 252.10 0.01x1x2 32.000 1 32.000 448.18 0.01回归 64.29 5 12.858 180.08 0.01 剩余 0.357 5 0.0714 失拟0.09730.03230.25<1误差e 0.26 2 0.13总和 64.647 10经F 检验不显著的因素或交互作用直接从回归方程中剔掉，不必再重新进行回归分析。

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a
1 n
n i 1
yi
y
n
z ji yiBiblioteka bji1mc
j＝1，2，…，m
n
(zk z j )i yi
bkj i1 mc
j＞k, k＝1，2，…，m－1
说明：
➢ 求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小
➢ 回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负
8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析
( y0i
y0 )2
m0 i1
y0i2
1 m0
m0
(
i1
y0i )2
重复试验误差的自由度： dfe1 m0 1
②回归方程失拟部分：
失拟平方和 ： SSLf SST SSR SSe1 SSe SSe1
失拟平方和自由度： df Lf dfe dfe1
③失拟检验 ：
FLf
SSLf SSe1
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的 一次回归方程
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方 案
8.2.1 二次回归正交组合设计表
（1）二元二次回归正交组合设计试验方案 二元二次回归方程：
y a b1x1 b2x2 b12x1x2 b11x12 b22x22
试验方案
正交组合设计的三类试验点及次数： ➢ 二水平试验： • 全实施：mc＝2m • 1/2实施：mc＝2m－1 • 1/4实施：mc＝2m－2 ➢ 星号试验： • 与原点（中心点）的距离都为γ • mγ＝2m ➢ 零水平试验： • 各因素水平编码都为零时的试验 • 试验次数m0
例8-1： （1）因素水平编码
（2）正交表的选择和试验方案的确定
（3）回归方程的建立 ➢ m0＝0，n＝mc＝8 ➢ 计算表 ➢ 计算各回归系数 ➢ 写出y与规范变量zj的回归方程 ➢ 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 ➢ 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 （5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量xj的回归
y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
8.1.1 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围
以因素xj为例： 设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距Δj：
➢ Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 ➢ Δj= (xj2 － xj1)/2
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定 试验范围内的最优方案
回归正交设计（orthogonal regression design） ： ➢ 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 ➢ 用较少的试验建立回归方程 ➢ 能解决试验优化问题 ➢ 不适合非数量性因素
df Lf dfe1
对于给定的显著性水平α（一般取0.1）
当FLf＜Fα（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程失拟不显 著，失拟平方和SSLf是由随机误差造成的，所建立的回 归方程是拟合得很好
例8-2
8.2 二次回归正交组合设计
回归方程的建立： ➢ 根据最小二乘法原理得到正规方程组 ➢ 求解正规方程组，得回归系数 ➢ 要求：试验次数＞回归方程的项数 回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上
➢ 可参考正交设计的表头设 计方法
➢ 交互作用列的编码等于表 中对应两因素列编码的乘 积
零水平试验（中心试验 ）
8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n ： n＝mc＋m0
➢ mc：二水平试验次数 ➢ m0：零水平试验次数 一次回归方程系数的计算： ➢ 常数项：a ➢ 一次项系数：bj ➢ 交互项系数： bjk
②自由度 dfT＝n―1 各种偏回归平方和的自由度＝1 回归平方和的自由度 ：
dfR df一次项 df交互项
残差自由度：
dfe dfT dfR
不考虑交互作用时:dfR=m，dfe=n-m-1。
③均方 ④F检验： 回归方程显著性检验 偏回归系数显著性检验 ： ➢ 判断因素或交互作用对试验的影响程度 ➢ 可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项 ➢ 经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验
（2）因素水平的编码
编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换：
zj
xj
xj0 j
➢ zj：因素xj的编码 ，称为规范变量 ➢ xj：自然变量 ➢ 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 ➢ 下水平xj1的编码：zj1＝－1 ➢ 零水平xj0的编码：zj0＝0
编码目的：
➢ 使每因素的每水平在编码空间是“平等”的，规范变量 zj的取值范围都是[－1，1]
➢ 编码能将试验结果y与因素xj（j＝1，2，…，m）之间的 回归问题，转换成试验结果y与编码值zj之间的回归问题
（3）一次回归正交设计表 将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例：
回归正交设计表的特点： ➢ 任一列编码的和为0 ➢ 任两列编码的乘积之和等于0
（4）试验方案的确定
表头设计 ：
8.1.3.1 无零水平试验时
①平方和：
总平方和：
SST
Lyy
n i 1
( yi
y)2
n i 1
yi2
1n (
n i1
yi )2
一次项偏回归平方和 ： SS j mcb2j
交互项偏回归平方和： SSkj mcbk2j
回归平方和 ： SSR SS一次项 SS交互项
残差平方和 ： SSe SST SSR
方程
8.1.3.2 有零水平试验时
目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验 （要求 m0≥2 ）
失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的 拟合情况
失拟性检验步骤：
设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0 ①重复试验误差：
平方和：
SSe1
m0 i1