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3.3 函数的应用(一)3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点课后篇巩固提升夯实基础1.某种生物增长的数量y (个)与时间x (小时)的关系如下表:下面函数解析式中,能表达这种关系的是( )A.y=x 2-1 B.y=2x+1 C.y=2x-1 D.y=1.5x 2-2.5x+22.商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率(销售价-进价进价×100%)由原来的r %增加到(r+10)%,则r 的值等于( ) A.12B.15C.25D.50a ,原进价为x ,可以列出方程组:{a -a a ×100%=a100,a -a (1-8%)a (1-8%)×100%=10+a 100,解这个方程组,消去a ,x ,可得r=15.3.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每个涨价1元时,其销售量就会减少20个,为了获得最大的利润,其售价应定为( ) A.110元/个B.105元/个C.100元/个D.95元/个x 元,利润为y 元,则销售量为(400-20x )个, 根据题意,有y=(10+x )(400-20x )=-20x 2+200x+4000=-20(x-5)2+4500.所以当x=5时,y 取得最大值,且为4500,即当每个涨价5元,也就是售价为95元/个时,可以获得最大利润为4500元.4.国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税,已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为( ) A.2 800元 B.3 000元C.3 800元D.3 818元,知纳税额y (单位:元)与稿费(扣税前)x (单位:元)之间的函数关系式为y={0,a ≤800,0.14(a -800),800<a ≤4000,0.112a ,a >4000. 由于此人纳税420元,所以800<x ≤4000时,令(x-800)×0.14=420,解得x=3800,x>4000时,令0.112x=420,解得x=3750(舍去),故这个人应得稿费(扣税前)为3800元.故选C .5.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线y=f (x ),另一种是平均价格曲线y=g (x ),如,f (2)=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元;g (2)=3表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图像,实线表示y=f (x ),虚线表示y=g (x ),其中可能正确的是( ),可知,当即时价格升高时,对应平均价格也升高;反之,当即时价格降低时,对应平均价格也降低,故选项C 中的图像可能正确.6.经市场调查,某商品的日销售量(单位:件)和价格(单位:元/件)均为时间t (单位:天)的函数.日销售量为f (t )=2t+100,价格为g (t )=t+4,则该种商品的日销售额S (单位:元)与时间t 的函数解析式为S (t )= .=日销售量×价格,故S=f (t )×g (t )=(2t+100)×(t+4)=2t 2+108t+400,t ∈N .t 2+108t+400,t ∈N7.某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游.甲旅行社说:“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说:“包括校长在内,全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠.”若全票价为240元.(1)设学生数为x 人,甲旅行社收费为y 甲元,乙旅行社收费为y 乙元,分别写出两家旅行社的收费y甲,y 乙与学生数x 之间的解析式;(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样? (3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠?y 甲=120x+240(x ∈N +),y 乙=(x+1)×240×60%=144(x+1)(x ∈N +).(2)由120x+240=144x+144,解得x=4,即当学生数为4时,两家旅行社的收费一样. (3)当x<4时,乙旅行社更优惠;当x>4时,甲旅行社更优惠.能力提升1.某游乐场每天的盈利额y (单位:元)与售出的门票数x (单位:张)之间的函数关系如图所示,试分析图像,要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元,那么每天至少应售出 张门票.,盈利额每天要超过1000元时,x ∈(200,300]这一区间,设y=kx+b (k ≠0),将(200,500),(300,2000)代入得{a =15,a =-2500,即y=15x-2500.由15x-2500>1000,得x>7003,故至少要售出234张门票,才能使游乐场每天的盈利额超过1000元.2.在某种金属材料的耐高温实验中,温度y 随时间t 的变化情况如图所示,给出下面四种说法:①前5分钟温度增加的速度越来越快; ②前5分钟温度增加的速度越来越慢; ③5分钟以后的温度保持匀速增加; ④5分钟以后温度保持不变.其中正确的说法是 .(只填序号)5分钟温度增加的速度应越来越慢,因为此段内曲线越来越“缓”,故②正确;5分钟后,对应曲线是水平的,说明温度不变了,故④正确.3.某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台.销售的收入函数为R (x )=5x-a 22(万元)(0≤x ≤5),其中x 是产品售出的数量(单位:百台). (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大? (3)年产量是多少时,工厂才不亏本?,生产不超过500台时,产量等于销售量;产量超过500台时,销售量为一个常数500台.设利润为L (x ),成本为C (x ).当x ≤5时,产品能全部售出;当x>5时,只能售出500台,故利润函数为L (x )=R (x )-C (x )={(5a -a 22)-(0.5+0.25a ),0≤a ≤5,(5×5-522)-(0.5+0.25a ),a >5,={4.75a -a 22-0.5,0≤a ≤5,12-0.25a ,a >5.(2)当0≤x ≤5时,L (x )=4.75x-a 22-0.5,当x=4.75时,L (x )max =10.78125(万元); 当x>5时,L (x )<12-1.25=10.75(万元).∴生产475台时利润最大.(3)由{0≤a ≤5,4.75a -a 22-0.5≥0或{a >5,12-0.25a ≥0, 得5≥x ≥4.75-√21.5625≈0.11或5<x ≤48,∴产品年产量在11台到4800台时,工厂不亏本.。
3.3 函数的应用(一)3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点一次函数模型为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (单位：分)与通话费用y (单位：元)的关系如图所示：(1)分别求出通话费用y 1，y 2与通话时间x 之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.【解】 (1)由图像可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30，35)，C (30，15)分别代入y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，得k 1＝15，k 2＝12.所以y 1＝15x ＋29(x ≥0)，y 2＝12x (x ≥0).(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，使用“便民卡”便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，使用“如意卡”便宜.利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法.(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数.某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km ，之后以120 km/h 的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式，并求火车离开北京2 h 时火车行驶的路程.解：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝115(h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式为s ＝13＋120t ⎝⎛⎭⎫0≤t ≤115. 火车离开北京2 h 时火车匀速行驶的时间为2－16＝116(h)，此时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km).二次函数模型有l 米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值.【解】 设小矩形的长为x ，宽为y ，窗户的面积为S ， 则由图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ， 所以6y ＝l －(9＋π)·x ，所以S ＝π2x 2＋4xy ＝π2x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6x 2＋23lx ＝－36＋π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l 36＋π2＋2l 23(36＋π).要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S 最大.由6y ＞0，得0＜x ＜l9＋π.因为0＜2l 36＋π＜l9＋π，所以当x ＝2l 36＋π，y ＝l －(9＋π)x 6＝l (18－π)6(36＋π)，即x y ＝1218－π时，窗户的面积S 有最大值，且S max ＝2l 23(36＋π).二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点.解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题.渔场中鱼群的最大养殖量为m (m ＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 小于m ，以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0).(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值.解：(1)根据题意知，空闲率是m －x m ，故y 关于x 的函数关系式是y ＝kx ·m －x m ，0≤x ＜m .(2)由(1)知，y ＝kx ·m －x m ＝－k m x 2＋kx ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋mk 4，0≤x ＜m ，则当x ＝m2时，y 取得最大值，y max ＝mk4. 所以鱼群年增长量的最大值为mk4.分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)【解】 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，f (x )在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立.所以当x ＝100时，f (x )在区间(20，200]上取得最大值10 0003. 综上可得，当x ＝100时，f (x )在区间[0，200]上取得最大值10 0003≈3 333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.某旅游景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.旅游景区规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元.用x (单位：元，且x ∈N )表示每辆自行车的日租金，用y (单位：元)表示出租的自行车的日净收入.(注：日净收入等于每日出租的自行车的总收入减去管理费用)(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 解：(1)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，y ＝50x －115. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113， 所以当x ＝11时，y max ＝270.综上，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元.f (x )＝x ＋ax(a ＞0)模型小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元).在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得：当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元， 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15， 当且仅当x ＝100x 时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元.因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.应用均值不等式解实际问题的步骤(1)理解题意，设变量；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)写出正确答案.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 元.解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m.又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x ＞0).因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元). 答案：1601.一定范围内，某种产品的购买量y 与单价x 之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )A.820元B.840元C.860元D.880元解析：选C.设y ＝kx ＋b ，则1 000＝800k ＋b ，且2 000＝700k ＋b ，解得k ＝－10，b ＝9 000，则y ＝－10x ＋9 000.解400＝－10x ＋9 000，得x ＝860(元).2.某品牌电动车有两个连锁店，其月利润(单位：元)分别为y 1＝－5x 2＋900x －16 000，y 2＝300x －2 000，其中x 为销售量.若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为( )A.11 000元B.22 000元C.33 000元D.40 000元解析：选C.设两个店分别销售出x 与110－x 辆电动车，则两店月利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x )－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，所以当x ＝60时，两店的月利润取得最大值，为33 000元.3.某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x (x ∈N *，x ≤40)本，则总费用f (x )与x 的函数关系式为 (代金券相当于等价金额).解析：当0＜x ＜10时，f (x )＝40x ；当10≤x ＜20时，f (x )＝35x －10；当20≤x ≤40时，f (x )＝30x －20.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40x ，0＜x ＜10，35x －10，10≤x ＜20，(x ∈N *).30x －20，20≤x ≤40答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40x ，0＜x ＜10，35x －10，10≤x ＜20，(x ∈N *)30x －20，20≤x ≤404.如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件，知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ＝20⎝⎛⎭⎫k －1k 2＋2≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号.所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标等价于存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根，所以Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6， 所以当它的横坐标a 不超过6 km 时，可击中目标.[A 基础达标]1.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元/件)之间的关系满足一次函数：m ＝162－3x .若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为( )A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件解析：选B.设每天获得的销售利润为y 元，则y ＝(x －30)(162－3x )＝－3(x －42)2＋432，所以当x ＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件.2.把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.32cm 2 B.4 cm 2 C.3 2 cm 2D.2 3 cm 2解析：选D.设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm ，两个正三角形的面积之和为S cm 2.分析知0＜x ＜12.则S ＝34⎝⎛⎭⎫x 32＋34⎝⎛⎭⎫4－x 32＝318(x －6)2＋23，当x ＝6时，S min ＝2 3.3.某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m 元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m 元收费.已知某户某月缴水费16m 元，则该户这个月的实际用水量为( )A.13 立方米B.14 立方米C.18 立方米D.26 立方米解析：选A.由已知得，该户每月缴费y 元与实际用水量x 立方米满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，得x >10，所以2mx －10m ＝16m . 解得x ＝13.故选A.4.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸( )A.215份B.350份C.400份D.520份解析：选C.设每天从报社买进x (250≤x ≤400，x ∈N )份报纸时，每月所获利润为y 元，具体情况如下表.y ＝[(60x ＋7 500)＋(8x －2 000)]－60x ＝8x ＋5 500(250≤x ≤400，x ∈N ). 因为y ＝8x ＋5 500在[250，400]上是增函数， 所以当x ＝400时，y 取得最大值8 700.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8 700元.故选C. 5.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它的速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 海里/小时时，费用总和最小.解析：设每小时的燃料费y ＝k v 2，因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元，所以k ＝610×10＝350，费用总和为10v ⎝⎛⎭⎫350v 2＋96＝10⎝⎛⎭⎫350v ＋96v ≥10×2350×96＝48，当且仅当350v ＝96v ，即v ＝40时取等号.答案：406.统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.m 这样确定，即m 与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m 的值为 Ｗ.解析：设y ＝(m －19.55)2＋(m －20.05)2＋(m －20.45)2＋(m －19.95)2＝4m 2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m ＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，则当m ＝19.55＋20.05＋20.45＋19.954＝20时，y 取最小值.答案：207.如图，一动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A .若点P 经过的路程为x ，点P 到顶点A 的距离为y ，则y 关于x 的函数关系式是 Ｗ.解析：①当0≤x ≤1时，AP ＝x ，也就是y ＝x .②当1<x ≤2时，AB ＝1，AB ＋BP ＝x ，BP ＝x －1，根据勾股定理，得AP 2＝AB 2＋BP 2， 所以y ＝AP ＝1＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2.③当2<x ≤3时，AD ＝1，DP ＝3－x ， 根据勾股定理，得AP 2＝AD 2＋DP 2， 所以y ＝AP ＝1＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10.④当3<x ≤4时，有y ＝AP ＝4－x .所以所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1x 2－2x ＋2，1<x ≤2x 2－6x ＋10，2<x ≤34－x ，3<x ≤4.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1x 2－2x ＋2，1<x ≤2x 2－6x ＋10，2<x ≤34－x ，3<x ≤4 8.某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电价调至x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比，且当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本为0.3元，则电价调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解：(1)因为y 与(x －0.4)成反比，所以可设y ＝k x －0.4(k ≠0)，把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，解得k ＝0.2，所以y ＝0.2x －0.4＝15x －2，所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2(0.55≤x ≤0.75). (2)根据题意，得(1＋15x －2)(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%) ，整理得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5(舍去)或x 2＝0.6，所以当电价调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.9.已知A ，B 两城市相距100 km ，在两地之间距离A 城市x km 的D 处修建一垃圾处理厂来解决A ，B 两城市的生活垃圾和工业垃圾，且垃圾处理厂与城市的距离不得少于10 km.已知城市的垃圾处理费用和该城市到垃圾处理厂距离的平方与垃圾量之积成正比，比例系数为0.25.若A 城市每天产生的垃圾量为20 t ，B 城市每天产生的垃圾量为10 t.(1)求x 的取值范围；(2)把每天的垃圾处理费用y 表示成x 的函数；(3)垃圾处理厂建在距离A 城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？ 解：(1)x 的取值范围为[10，90].(2)由题意，得y ＝0.25[20x 2＋10(100－x )2]，即y ＝152x 2－500x ＋25 000(10≤x ≤90). (3)y ＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003(10≤x ≤90)，则当x ＝1003时，y 最小. 即当垃圾处理厂建在距离A 城市1003km 处时，才能使每天的垃圾处理费用最少. [B 能力提升]10.某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2019年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，则2018年预计经营总收入为 万元.解析：设年增长率为x (x >0)，则40040%×(1＋x )2＝1 690，所以1＋x ＝1310，因此2018年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元). 答案：1 30011.某市居民生活用水收费标准如下：已知某用户1 6 t ，缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y 元.(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)若某用户3月份用水量为3.5 t ，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水.解：(1)由题设可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤2，2m ＋3(x －2)，2<x ≤4，2m ＋6＋n (x －4)，x >4.当x ＝8时，y ＝33；当x ＝6时，y ＝21，代入得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＋4n ＝33，2m ＋6＋2n ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1.5，n ＝6.所以y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ，0≤x ≤2，3x －3，2＜x ≤4，6x －15，x ＞4.(2)当x ＝3.5时，y ＝3×3.5－3＝7.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x －15≤24，解得x ≤6.5.故该用户最多可以用6.5 t 水.12.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？解：(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0<t ≤2002t －300，200<t ≤300. 由图2可得种植成本与时间的函数关系式为g (t )＝1200(t －150)2＋100，0<t ≤300. (2)设上市时间为t 时的纯收益为h (t )，则由题意，得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎨⎧－1200t 2＋12t ＋1752，0<t ≤200－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.当0<t ≤200时，整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 当t ＝50时，h (t )取得最大值100；当200<t ≤300时，整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100， 当t ＝300时，h (t )取得最大值87.5.综上，当t ＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大.[C 拓展探究]13.某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m (mg)的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (mg ·L －1)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧x 216＋2，0<x ≤4x ＋142x －2，x >4.当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg ·L－1时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg ·L －1且不高于10 mg ·L －1时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂质量为4 mg ，问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值.解：(1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋8，0<x ≤42x ＋28x －1，x ＞4.当0<x ≤4时，x 24＋8≥4显然成立； 当x >4时，由2x ＋28x －1≥4，得2x ＋28≥4(x －1)，得4<x ≤16 . 综上，0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天.(2)由题意，知0<x ≤7，y ＝mf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 216＋2m ，0<x ≤4mx ＋14m 2x －2，x >4，当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0，4]上单调递增， 则2m <y ≤3m ；当x >4时，y ＝mx ＋14m 2x －2＝m 2＋15m 2x －2，其在区间(4，7]上单调递减，则7m 4≤y <3m . 综上，7m 4≤y ≤3m . 为使4≤y ≤10恒成立，只要满足7m 4≥4且3m ≤10， 即167≤m ≤103， 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.。
3。
3 函数的应用（一)3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点素养目标·定方向课程标准学法解读理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题。
1．领会教材中的五个例题，能够对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型．2．解决数学应用题的关键是建模，顺利建立函数模型并解决问题要具备以下能力:阅读理解能力，逻辑推理能力，计算能力.必备知识·探新知基础知识1．常见的函数模型（1）一次函数模型形如y＝kx＋b（k≠0）的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图像解题时,应注意：①一次函数有单调递增（一次项系数为正）和单调递减（一次项系数为负)两种情况;②一次函数的图像是一条直线．(2)二次函数模型形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题．思考：一次、二次函数模型的定义域都是全体实数，在实际应用问题中，定义域一定是全体实数吗？提示:不一定．在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义，如x表示长度时，x≥0；x表示件数时，x≥0，且x∈Z等．在解答时,必须要考虑这些实际意义．(3）分段函数模型这个模型的实质是一次函数、反比例函数(形如y＝错误!,k≠0)、二次函数中两种及以上的综合．（4）对勾函数模型这个模型的实质是一次函数与反比例函数（形如y＝错误!，k≠0）模型的综合,解决此类问题的最值可用均值不等式求解．基础自测1．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0。
20元（不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0。
10元(不满一分钟按一分钟计算),那么某人打市话550 s，应支付电话费(B) A．1。
00元B．0.90元C．1.20元D．0。
3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点一、单选题1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系图象如图，则2t =时，汽车已行驶的路程为（ ）A ．100 kmB ．125 kmC ．150 kmD ．225 km2．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4m 和(012)am a <<，不考虑树的粗细．现用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ．设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()u f a =（单位2m ）的图像大致是（ ）.A ．B ．C ．D ．3．某物体一天中的温度T 是关于时间t 的函数：3()360T t t t =-+，时间单位是小时，温度单位是℃，0=t 表示中午12：00，其前t 值为负，其后t 值为正，则上午8时的温度是（ ）A ．8℃B ．12℃C ．58℃D ．18℃4．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）之间的函数关系，图②是一件产品的销售利润z （单位：元）与时间t （单位：天）之间的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是A ．第24天的销售量为200件B ．第10天销售一件产品的利润是15元C ．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D ．第30天的日销售利润是750元5．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）A 233cm 2B ．24cmC ．232cmD ．23cm6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2020年5月1日 12 350002020年5月15日 6035600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每百千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 7．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过310m 的，按每立方米m 元收费；用水超过310m 的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为（ ）A ．313mB ．314mC ．318mD ．326m8．某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中n是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差,f(n)的单位为元),而k(n)=现有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分,而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分,则乙所得奖励比甲所得奖励多()A．600元B．900元C．1600元D．1700元二、多选题9．在某种金属材料的耐高温试验中，温度y随着时间t变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示给出下列说法，其中正确的是（）A．前5min温度增加的速度越来越快B．前5min温度增加的速度越来越慢C．5min以后温度保持匀速增加D．5min以后温度保持不变E．温度随时间的变化情况无法判断10．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用1y（千元）乙厂的总费用2y（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（）A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B ．甲厂的费用1y 与证书数量x 之间的函数关系式为10.51y x =+C ．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D ．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用2y 与证书数量x 之间的函数关系式为21542y x =+ E ．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用三、填空题11．某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x (x ∈N *，x ≤40)本，则总费用()f x 与x 的函数关系式为____(代金券相当于等价金额).12．某厂日产手套总成本y （元）与手套日产量x （副）的关系式为54000y x =+，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少________副.13．能源是国家的命脉， 降低能源消耗费用是重要抓手之一， 为此， 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层， 据当年的物价， 每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到， 该建筑物30 年间的每年的能源消耗费用N （单位：万元）与隔热层厚度h （单位： 厘米） 满足关系：()()01034m N h h h =≤≤+， 经测算知道， 如果不建隔热层， 那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币. 设()F h 为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使()F h 达到最小值时，隔热层厚度h =__________厘米.14．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．四、解答题15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x）(2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？16．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为215(05)2R x x x =-≤≤，其中x 是产品生产并售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为产量的函数.（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；（3）产量为多少时，企业所得利润最大？。
3.4 数学建模活动 决定苹果的最佳出售时间点[A 基础达标]1.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元/件)之间的关系满足一次函数：m ＝162－3x .若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为( )A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件解析：选B.设每天获得的销售利润为y 元，则y ＝(x －30)(162－3x )＝－3(x －42)2＋432，所以当x ＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件.2.把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.32cm 2B.4 cm 2C.3 2 cm 2D.2 3 cm 2解析：选D.设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm ，两个正三角形的面积之和为S cm 2.分析知0＜x ＜12.则S ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 32＝318(x －6)2＋23，当x ＝6时，S min ＝2 3.3.某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m 元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m 元收费.已知某户某月缴水费16m 元，则该户这个月的实际用水量为( )A.13 立方米B.14 立方米C.18 立方米D.26 立方米解析：选A.由已知得，该户每月缴费y 元与实际用水量x 立方米满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10. 由y ＝16m ，得x >10，所以2mx －10m ＝16m . 解得x ＝13.故选A.4.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸( )A.215份B.350份C.400份D.520份解析：选C.设每天从报社买进x (250≤x ≤400，x ∈N )份报纸时，每月所获利润为y 元，具体情况如下表.y ＝[(60x ＋ ＝8x ＋5 500(250≤x ≤400，x ∈N ). 因为y ＝8x ＋5 500在[250，400]上是增函数， 所以当x ＝400时，y 取得最大值8 700.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8 700元.故选C. 5.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它的速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 海里/小时时，费用总和最小.解析：设每小时的燃料费y ＝kv 2，因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元，所以k ＝610×10＝350，费用总和为10v ⎝ ⎛⎭⎪⎫350v 2＋96＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫350v ＋96v ≥10×2350×96＝48，当且仅当350v ＝96v，即v ＝40时取等号. 答案：406.统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.m 这样确定，即m 与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m 的值为 .解析：设y ＝(m －19.55)2＋(m －20.05)2＋(m －20.45)2＋(m －19.95)2＝4m 2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m ＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，则当m ＝19.55＋20.05＋20.45＋19.954＝20时，y 取最小值.答案：207.如图，一动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A .若点P 经过的路程为x ，点P 到顶点A 的距离为y ，则y 关于x 的函数关系式是 .解析：①当0≤x ≤1时，AP ＝x ，也就是y ＝x .②当1<x ≤2时，AB ＝1，AB ＋BP ＝x ，BP ＝x －1，根据勾股定理，得AP 2＝AB 2＋BP 2， 所以y ＝AP ＝1＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2. ③当2<x ≤3时，AD ＝1，DP ＝3－x ， 根据勾股定理，得AP 2＝AD 2＋DP 2， 所以y ＝AP ＝1＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10. ④当3<x ≤4时，有y ＝AP ＝4－x .所以所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1x 2－2x ＋2，1<x ≤2x 2－6x ＋10，2<x ≤34－x ，3<x ≤4.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1x 2－2x ＋2，1<x ≤2x 2－6x ＋10，2<x ≤34－x ，3<x ≤48.某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电价调至x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比，且当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本为0.3元，则电价调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 解：(1)因为y 与(x －0.4)成反比，所以可设y ＝kx －0.4(k ≠0)，把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，解得k ＝0.2，所以y ＝0.2x －0.4＝15x －2，所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2(0.55≤x ≤0.75).(2)根据题意，得(1＋15x －2)(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%) ，整理得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5(舍去)或x 2＝0.6，所以当电价调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.9.已知A ，B 两城市相距100 km ，在两地之间距离A 城市x km 的D 处修建一垃圾处理厂来解决A ，B 两城市的生活垃圾和工业垃圾，且垃圾处理厂与城市的距离不得少于10 km.已知城市的垃圾处理费用和该城市到垃圾处理厂距离的平方与垃圾量之积成正比，比例系数为0.25.若A 城市每天产生的垃圾量为20 t ，B 城市每天产生的垃圾量为10 t.(1)求x 的取值范围；(2)把每天的垃圾处理费用y 表示成x 的函数；(3)垃圾处理厂建在距离A 城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？ 解：(1)x 的取值范围为[10，90].(2)由题意，得y ＝0.25[20x 2＋10(100－x )2]， 即y ＝152x 2－500x ＋25 000(10≤x ≤90).(3)y ＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003(10≤x ≤90)，则当x ＝1003时，y 最小.即当垃圾处理厂建在距离A 城市1003km 处时，才能使每天的垃圾处理费用最少.[B 能力提升]10.某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2019年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，则2018年预计经营总收入为 万元.解析：设年增长率为x (x >0)，则40040%×(1＋x )2＝1 690，所以1＋x ＝1310，因此2018年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元).答案：1 30011.某市居民生活用水收费标准如下：已知某用户1 6 t ，缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y 元.(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)若某用户3月份用水量为3.5 t ，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水.解：(1)由题设可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤2，2m ＋3(x －2)，2<x ≤4，2m ＋6＋n (x －4)，x >4.当x ＝8时，y ＝33；当x ＝6时，y ＝21，代入得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＋4n ＝33，2m ＋6＋2n ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1.5，n ＝6. 所以y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ，0≤x ≤2，3x －3，2＜x ≤4，6x －15，x ＞4.(2)当x ＝3.5时，y ＝3×3.5－3＝7.5. 故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元. (3)令6x －15≤24，解得x ≤6.5. 故该用户最多可以用6.5 t 水.12.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？ 解：(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0<t ≤2002t －300，200<t ≤300.由图2可得种植成本与时间的函数关系式为g (t )＝1200(t －150)2＋100，0<t ≤300. (2)设上市时间为t 时的纯收益为h (t )， 则由题意，得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1200t 2＋12t ＋1752，0<t ≤200－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.当0<t ≤200时，整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 当t ＝50时，h (t )取得最大值100； 当200<t ≤300时，整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100， 当t ＝300时，h (t )取得最大值87.5.综上，当t ＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大.[C 拓展探究]13.某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m (mg)的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (mg ·L－1)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋2，0<x ≤4x ＋142x －2，x >4.当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg ·L －1时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg ·L －1且不高于10 mg ·L－1时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂质量为4 mg ，问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值.解：(1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋8，0<x ≤42x ＋28x －1，x ＞4.当0<x ≤4时，x 24＋8≥4显然成立；当x >4时，由2x ＋28x －1≥4，得2x ＋28≥4(x －1)，得4<x ≤16 .综上，0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天.(2)由题意，知0<x ≤7，y ＝mf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 216＋2m ，0<x ≤4mx ＋14m 2x －2，x >4，当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0，4]上单调递增，则2m <y ≤3m ； 当x >4时，y ＝mx ＋14m 2x －2＝m 2＋15m 2x －2，其在区间(4，7]上单调递减，则7m4≤y <3m . 综上，7m4≤y ≤3m .为使4≤y ≤10恒成立，只要满足7m4≥4且3m ≤10，即167≤m ≤103， 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.。
