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高中数学教学中数学建模核心素养的培养方法探究摘要：数学学科核心素养的要素当中，其中一个要素就是数学建模。
高中数学教学，要尽可能地将数学知识与生活中的一些现象联系在一起，要让数学从生活中来，再到生活中去。
教师只要根据学生在建模过程中的表现，去优化学生数学建模的过程，保证学生在建模的过程中认识到数学模型的价值，知道数学模型是怎样形成的，那么数学建模教学也就有了一条坚实的途径.关键词：高中数学；数学建模；核心素养；培养方法引言数学建模是数学学科核心素养的组成要素之一，数学建模在高中数学教学中的地位非常重要，是高中数学教学研究的热点。
传统的教学中，教师对数学建模的重视主要体现在建模本身，更多的是让学生经历一个数学建模的过程，并在此过程中跟学生强调模型的重要性，以让学生知其然且知其所以然。
应当说这一教学思路是比较先进的，其超越了传统的应试认识，更多的通过数学建模的过程指向学生学习能力的培养。
那么在核心素养的背景之下，高中数学教学中的建模教学，应当有哪些相应的变化呢？笔者以为这个问题值得探究。
由于核心素养培养的是学生能够适应社会发展与终身发展的必备品格与关键能力，那么数学建模的教学也要重视学生品格的形成与能力的培养，又或者说应当通过数学建模的过程，实现必备品格与关键能力的培养。
1 当前高中数学建模教学的缺陷当前高中数学教学建模教学的缺陷主要包括以下几个方面：首先，教师自身的建模素养还不高，许多教师仅仅熟悉书本上的知识，掌握教材内容的程度比较深，但是对于建模的方法理解得还不是很透彻。
其次，在建模教学时，很多教师仅仅只是把模型展示给学生，模型的分析也是教师来完成，因此学生在建模教学中思维得不到锻炼。
最后，建模教学没有涉及不同教学阶段，建模教学开展的模式比较单一。
2高中数学教学中数学建模核心素养的培养方法2.1依据教学目标，渗入建模思想在高中数学教学中，教师应当将教学目标作为建模思想渗透的基础依据，进而让学生能够正确知道数学建模的内涵，帮助他们树立起数学建模的自信心，同时让他们在教师的指引之下，能够将数学模型加以合理运用。
高中数学核心素养之数学建模培养策略1. 引言1.1 背景介绍高中数学核心素养之数学建模培养策略是当前教育领域中备受关注的一个重要议题。
随着信息时代的到来，数学建模已经逐渐成为高中数学教育的重要内容之一。
数学建模不仅可以培养学生的实际问题解决能力，还可以提高他们的创新思维和团队合作能力。
通过科学合理的数学建模培养策略，可以有助于提升学生的数学素养和综合应用能力。
本文旨在探讨如何通过数学建模教学来培养高中学生的数学核心素养，从而提高其数学建模能力。
在这一背景下，本研究旨在分析数学建模在高中数学教育中的重要性，探讨高中数学核心素养的培养方式，总结数学建模教学策略，分析数学建模案例，介绍数学建模竞赛与实践，以及展望未来数学建模在高中教育中的发展方向。
通过深入研究和探讨，将有助于提升高中学生的数学素养，提高他们的数学建模能力，培养更多具有创新精神和实践能力的优秀人才。
1.2 研究目的研究目的是为了更深入了解高中数学核心素养之数学建模的培养策略，探讨如何有效提升学生在数学建模领域的能力和素养。
通过系统性地研究数学建模的重要性、高中数学核心素养的培养、数学建模教学策略、数学建模案例分析以及数学建模竞赛与实践，可以帮助学生更好地掌握数学知识与技能，培养他们的逻辑思维、创新能力和解决问题的能力。
也可以为教师提供有效的教学方法和策略，帮助他们更好地指导学生参与数学建模活动，并提高他们在数学建模方面的水平。
通过本研究的展望未来发展方向，可以为高中数学核心素养之数学建模的教育和培养提供更加科学和有效的参考。
本研究的目的在于全面探讨数学建模在高中数学教育中的作用和意义，为提升学生数学核心素养和数学建模能力提供理论支持和实践指导。
1.3 研究意义数要求、格式要求等。
部分如下：通过开展数学建模活动，可以培养学生的实际问题分析与解决能力，提高学生的团队协作能力和创新思维能力，培养学生独立思考和解决问题的能力。
这些能力对学生未来的学习和工作都具有重要意义，能够为学生的终身发展奠定坚实的基础。
高中数学核心素养之数学建模能力锻炼与培养数学建模能力是高中数学核心素养之一，对于学生而言，掌握数学建模能力具有重要意义。
本论文将从数学建模能力的定义、特点和培养方法入手，结合实际案例，探讨如何培养与锻炼高中学生的数学建模能力。
一、数学建模能力的定义和特点1.1 数学建模能力的定义数学建模是指将现实生活中的问题通过数学语言和符号进行抽象、变换和形式化描述，最终得出和解决方法的过程。
数学建模能力是指学生通过数学手段解决现实生活中的问题的能力，它包括数学分析、数学模型构建、数学计算和数据分析等多个方面。
1.2 数学建模能力的特点（1）复杂性。
现实生活中的问题是复杂的，学生需要对问题进行抽象和简化，构建可行的数学模型来解决问题。
（2）具有实际意义。
数学建模的本质是将数学知识应用到实际问题当中去，因此，数学建模具有实际意义。
（3）需要多学科知识综合运用。
数学建模需要学生综合知识和技能，如数学、物理、化学、生物、经济等多学科的知识和技能。
二、数学建模能力的培养方法2.1 创设情境、引导思考对于高中生而言，很难直接从抽象的数学理论出发去解决实际问题，因此，老师需要创设情境，引导学生进行思考。
例如，通过在课堂中播放一段数学建模的视频，来让学生了解数学建模的过程和方法。
让学生亲身体验数学建模的过程，帮助学生理解数学建模的方法和思想。
2.2 培养学生的抽象思维能力数学建模的核心是将现实问题抽象为数学模型，因此，学生需要具有良好的抽象思维能力。
老师可以通过课堂讲授、习题训练等方式，培养学生的抽象思维能力。
例如，通过引导学生对不同的实际问题进行抽象，让学生对抽象思维、逻辑思考能力进行训练。
2.3 培养学生的计算和分析能力数学建模的过程中需要进行大量的计算和分析，因此，学生需要具有良好的计算和数据分析能力。
老师可以通过设计习题、布置课外作业、组织竞赛等方式，提高学生的计算和分析能力。
例如，通过设计一些机会均等的竞赛或竞赛类小组互评活动等，让学生在竞争中不断提升自己的计算和分析能力。
学科核心素养学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力．数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的．数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体．1．数学抽象数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征．数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中．数学抽象使得数学成为高度槪括、表达准确、结论一般、有序多级的系统．数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系．通过髙中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并觯决问．2．逻辑推理逻辑推理指从一些亊实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质．逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题，能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力．3．数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．数学建模的主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．通过髙中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神．4．直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础．直观想象的主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物．通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识，形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质．5．数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．数学运算是解决数学问题的基本手段．数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础．数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．6．数据分析数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养．数据分析过程包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论．数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网”相关领域的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面．数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识．通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质；积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验．。
高一数学中的数学建模是什么在高一数学的学习中，我们会接触到一个新的概念——数学建模。
那么，到底什么是数学建模呢？简单来说，数学建模就是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。
想象一下，你在生活中遇到了一个具体的问题，比如如何规划一个城市的公交线路，使得居民出行更加便捷高效；或者怎样安排生产计划，以最小的成本获得最大的利润。
这些实际问题往往复杂多变，涉及到众多因素。
但通过数学建模，我们可以把这些复杂的现实问题转化为数学问题，然后运用数学知识和工具进行分析和求解。
以一个常见的例子来说，假设我们要安排一场学校运动会的比赛项目日程。
这看起来似乎只是一个简单的组织工作，但实际上里面蕴含着数学建模的思想。
首先，我们需要考虑有多少个比赛项目，每个项目预计需要的时间，参赛学生的人数，场地的限制等因素。
我们可以把每个比赛项目看作一个“任务”，把场地看作“资源”，把时间看作“限制条件”。
然后，通过建立数学模型，比如制定一个表格，列出每个时间段可以进行的比赛项目，以确保在有限的时间内，所有比赛项目都能顺利完成，而且不会出现场地冲突或者时间冲突的情况。
再比如，在考虑储水箱的设计问题时。
我们需要确定储水箱的形状、大小，以满足一定的储水量需求，同时还要考虑制作成本最低。
这时候，我们可以运用数学中的几何知识和函数知识来建立模型。
通过计算不同形状（如圆柱体、长方体等）的体积和表面积，找到在满足储水量的前提下，表面积最小的形状，从而达到节约材料、降低成本的目的。
数学建模的过程通常包括以下几个步骤：第一步是提出问题。
这要求我们能够敏锐地观察生活中的现象，发现其中存在的问题，并明确问题的背景和要求。
第二步是作出假设。
由于实际问题往往非常复杂，我们需要对其进行简化和抽象，忽略一些次要因素，抓住主要因素，作出合理的假设。
第三步是建立模型。
根据所提出的问题和作出的假设，运用数学知识和方法，建立数学表达式、方程、不等式、函数等数学模型。
2019年第2期（下)中学数学研究31高中生核心素养之“数学建模”能力的培养与思考一以“建立数列模型解决实际问题”教学为例广东省广州市番禺区石楼中学（511447) 梁振强数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达 问题、用数学方法构建模型、用数学知识解决问题的素养，是 学生高中阶段必备的数学核心素养之一.《普通高中数学课 程标准P017年版）》明确指出：“数学核心素养是数学课程 目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.高中 阶段数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直 观想象、数学运算和数学分析.”其中,更是强化了数学建模 思想的核心地位,并以主题的形式要求学生参与数学建模活 动与数学探究活动的全过程，使学生认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用,提升实践能力、增强创新意 识和科学精神.笔者认为，要想提高学生核心素养，首先要提高学生数 学建模能力.如何在高中数学课堂教学中渗透数学模型核心 素养能力的培养，值得一线数学教师实践与思考.下面以“建 立数列模型解决实际问题”的教学为依托，浅谈一下学生核 心素养的根植与培养•一、教学内容与目标1.教材和学情分析本节课是对普通高中新课程标准实验教科书《数学5》(人教A版)第二章《数列》中2.2节一2.5节内容进行整合而 形成的一节实际应用课,主要内容是通过对日常生活中的两 个实例分析，得到等差、等比两种数列模型以及建立数列模 型的具体步骤.数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律 的基本数学模型，等差、等比数列又是数列中最特殊的两种 数列，在日常生活中有着广泛的应用.本节课是关于等差、等 比数列及其求和公式实际应用的一节整合课,是本章内容的 升华，目的是让学生感受这两种数列模型应用的广泛性，并 能够利用它们解决生活中的实际问题.学习本节课之前，学生已经对等差、等比数列的概念及 其前n项和公式有了较深的认识，这对建立这两种数列模型 做好了知识储备.从认知结构方面，大量的数学思维方法如 类比思想、归纳思想、数形结合思想、方程思想等已为学生所 习知.但在分析问题的实际背景、明确问题的复杂条件等方 面还有一定的困难，尤其是用函数的背景和研究方法来认识、研究数列,还没有形成思维习惯，所以“建模”和“解模”两步对学生来说还是个难点.2.教学目标要解决日常生活中有关数列的问题，必须从实际情境中抽象出相应的数列模型，进而转化成数学问题求解.基于以上学情分析，本节课的教学目标如下：(1)学会解决有关等差数列模型的实际问题.⑶学会解决有关等比数列模型的实际问题.(3)明确建立数列模型的步骤.教学重点:建立数列模型的步骤，解决有关等差、等比数列模型的实际问题.教学难点：从生活背景中提炼出相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造等差、等比数列模型，并加以解决.二、主体教学过程设计(—)回顾旧知问题1等差、等比数列相关知识的复习.问题2解决应用问题的思路.教师活动:提问与引导；设计意图让学生更加熟悉数列建模的必备知识并憧得数学知识的系统性与关联性.(二）实例情境1假设某市2013年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，(1) 该市历年所建中低价房的累计面积(以2〇13为累计 第一年)将首次不少于4750万平方米？(2) 当年建造的中低价房的面积占建造住房面积的比例 首次大于85%?设计意图以实际生活实例让学生感受建立两种特殊数列模型的方法和步骤.问题1描述中低价房的关键信息是什么？它的数学实质是什么？如何把第（1)问转化为数学问题？32教师活动：多重设问引导学生提炼关键信息，板书建模 解模步骤；设计意图使学生很自然地从实际情境中抽象出等差数 列模型并明确“建模”步骤:设—建—解—答.问题2描述新建住房的关键信息是什么？它的数学实 质是什么？如何把第(2)问转化为数学问题？教师活动:提问并组织学生交流解题过程；设计意图培养学生从实际情境中抽象出等比数列模型 醜力.问题3解模中的不等式“n+ 4 > 6.8 x 1.08"-1”能否 用数形结合的方法？教师活动:用几何画板演示.设计意图通过数形结合的方法使学生进一步理解数列 是一种特殊函数.问题4 “每年新建住房面积平均比上一年增长8%”和 “中低价房的面积比上一年增加50万平方米”的数学实质是 什么？设计意图强化学生“识模”B U“抓关键信息”的能九总结建模的步骤:识模—建模—解模—答模，从而突出重点.(三） 实例情境2某家庭打算在2013年的年底花40万购一套商品房，为 此，计划从2007年初开始,每年初存入一笔购房专用款，使 这笔款到2013年底连本带息共有40万元.如果每年的存款 数额相同，依年利息2%并按复利计算，问每年应该存人多少 钱？（1.027«1.1487)设计意图实践建模方法过程.问题5题目中的关键信息是什么？它的数学实质又是 什么？设计意图训练学生抓关键信息、分析关键信息的能力.问题6从2007年到2013年共存了几次钱？每次存的 万元到2013年底的本利和分别是多少？如何把这一问题 转化为数学问题？设计意图明确数列中的计数问题，亲历建立等比数列 模型的方法,重视解模答模的过程，从而突破难点.(四） 目标检测目标检测题1某市一家商场的新年最高促销奖设立了 两种领奖方式，获奖者可以选择2000元的奖金,或者从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天 领取的奖品的价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加 10元，哪种领奖方式获奖者受益更多？你会选择哪种方式？目标检测题2 —名体育爱好者为了观看2016年里约热 内卢奥运会，从2010年起,每年的5月1日到银行存人a元 一年期定期储蓄，假定年利率为P(利息税已扣除)且保持不2019年第2期（下）变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2016年5月1日将所有存款和利息全部取出，则可取出的钱的总数是（）A.-(1+p)7B.®[(l+p)6-(l+p)]P PC.^[(l+p)7-(l+p)]D.^(1+p)6设计1图了解建立等差数列、#比数列模型的达成情况.三、 教学思考数学建模素养作为主要的核心素养，加强其在平常教学中的渗透尤为重要.教师要善于发挥教学的主导和引领作用,促进数学建模素养的落实.新颁布的高中数学课程标准修订稿将数学建模素养划分为三个水平，并且有十分详细的描述,如了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义;能够在熟悉的情境中发现问题并转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用;能够在综合的情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，提出数学问题等.教师的教学活动应基于数学核心素养而进行，特别是针对三个水平展开对学生数学建模素养的培养•(一） 丰富课堂阅读材料，为学生的数学建模思想应用奠 基.教师应为学生提供丰富的阅读材料，让学生多接触实际生活中的数学问题，了解所熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，从而为学生用数学模型解决现实问题积累经验.(二） 组织学生开展数学建模活动，培养学生的数学能 力.通过开展数学建模活动，可以让学生经历发现问题、解决问题的过程，进而体会数学建模的思想和方法.在数学建模活动中，通过讨论式的教学方法，让学生参与到教学环节中，充分发挥学生的主体作用.(三：）从日常教学抓起,促进学生的综合发展.在教学中不断引导学生会学习、会思考、会应用,能够用数学的思维方式去观察、分析和表示实际问题中的各种度量关系和位置关系，从纷繁复杂的具体问题中抽象出数学信息并建立数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题和解决问题的习惯,在数学教学中进行主题式教学设计和实施，让数学建模素养真正落地.四、 结语重视培养学生数学建模的能力已成为数学教育界的共识，在新课程改革的稳步推进中，数学建模将逐步成为数学教育者关注的重点议题.通过数学模型教学案例探析教学活动，学生的数学运算、逻辑思维能力、数学分析等几个核心素养在模型建构中也会有充分的体现，应用数学的意识肯定能得到逐步增强•可以说六大核心素养是蕴含（下接第15页）中学数学研究中学数学研究15 2019年第2期（下）—、几点感悟1. 关注概念的获得过程.心理学研究成果表明，概念获得方式主要有两种：概念 的同化、概念的形成.数学概念的教学要经历“具体^象体”的认识过程，B卩“概念的外延分类念内涵的归纳、概括-«念的外延辨析”的认识过程，教学设计中要从具体的 角的分类和辨析，归纳得到圆周角的内涵，再通过具体圆周 角的辨析，完成概念的同化和形成过程.于本节课而言，明确 圆周角从那里来尤为重要.章建跃博士指出，“明数学之道，方能优教学之术圆周角首先是一个角，它有一个顶点、两条射线.圆周角,顾名思 义，自然与圆有关，与圆有怎样的关联呢？我们在引导的时候 要强调或解释的内容要点有：圆周角的顶点一定在圆上、并 且两边一定要截一段弧;在圆上，一个圆周角对应圆上一条 弧，圆上一条弧对应着无数个圆周角.圆周角不是来自于圆 心角，但它的两边在圆上所夹的一段弧与所对的圆心角有联 系，因此圆周角与它所对的弧有关，是圆上的一条“弧”维系 着圆心角的“一”与圆周角的“多可以说，圆周角、圆心角 都与它们所对的弧有联系，圆周角因圆而产生，它来源于圆 中的“弧在课堂中，教师利用几何画板，让图形由原来的“不动”变成了“多动”，学生真真实实地经历了观察、猜测、推理、验 证等活动.弥补了传统教学中获得方式的不足，极大地丰富 了学生获取知识的途径.2. 突出图形性质探究中的思维过程.几何探究的核心价值的实现需要通过具体问题的探究 任务来引导学生的探究活动，并使学生的几何直观和推理 能力（数学思维)得到发展.在圆周角性质的探究过程中，通 过从特殊到一般的过程获得性质，再通过演绎推理证明性 质,培养学生直觉思维和逻辑思维能力，符合几何学习的一 般规律,突出思维过程.在教学中，教师利用几何画板度量 ZAOS,得到ZAOS=80°,由此可验证同学们的猜想.并将 其从特殊到一般，在几何画板中改变弧A B的大小，然后再度 量乙40S与角乙4CB,我们同样得到= •乙40S,由此进一步验证同学们的猜想.3. 数学思想的渗透要符合学生的认知生成过程.在图形性质的探究过程中，渗透特殊到一般、分类讨论、化归等基本数学思想，要让学生在具体的探究活动中体验和 反思，形成自觉运用这些思想方法的习惯和能力，要符合学 生的认识规律，不能将思想方法的运用直接抛给学生，而忽 视学生的认知过程.在圆周角性质的探究中，若直接告知学 生分成三种类型，学生不理解要为什么要如此分？为什么首 先研究最特殊的情形？用思维的结果代替思维过程，不符合 学生的认知过程;通过对各种图形进行分析，自主选择研究 (当然也可以首先研究最特殊情形)，反思研究的几种类型，学生感悟到分成三种类型是必要的，明确分类的标准和方法, 完成性质定理的探究和证明，符合学生的“认知生成过程”.本课中，教师利用几何画板，当移动圆周角的顶点时,就出现 了圆心与圆周角的三种位置关系一圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部.较好地突破将 无数个圆周解分成三种位置类型这一难点，为证明作好铺垫.4.几何画板辅助教学要找准切入点，切忌花俏.“教之道在于度，学之道在于悟几何画板的辅助教学如何引导，何时介入，介入多少，这里便有个“度”的问题，要 处理好这个“度”的问题关键是找准切人点.几何画板与数学 课程的整合应整合在关键处,如难点的突破、认知的冲突、规 律的生成以及数学思想方法的呈现等.同时，在课件的设计上切忌花俏,几何画板辅助教学不 是功能展示课,课件的制作过于华丽、花俏，容易分散学生的 课堂注意力，几何画板的辅助教学应在是否体现新的教学思 想;是否体现新的数学思想;是否更简单直接突破教学的重、难点上下功夫.另外要注意的是在教学中,能用黑板或其它教具讲清楚 的问题，不一定要用多媒体，特别是例题或习题讲解时，切忌 用多媒体，要注意黑板的板书,因为板书是把思维过程呈现 给学生的一个重要载体.参考文献[1]胡滨.“圆周角”教学设计应特别关注的三个环节[J].中学数学月刊,2014(7).[2]张爱平.几何课程中体现“过程”的教学策略妨探[J].初中数学教与学，2〇13(1).[3]佘飞.有效设问激活数学课堂的活力[J].教师通讯，2015(2).(上接第32页）在模型建构教学的整个过程中的，因此应当重 视学生的数学建模能力，发展学生的应用意识，从而将学生 的数学核心素养落实到位.参考文献[1]中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准(2017年版）[M]，人民教育出版社，2018.[2]牛伟强，张倜，熊斌，中国中小学数学建模研究的回顾与反思[J],数学教育学报，2017,（5): 66-70.[3]彭慧，高中数学核心素养之建模能力的培养[J],数学教学通讯，2017 (2) : 62-63.。
高中例谈高中数学核心素养之数学建模?陕西省岐山县岐山高级中学 杨宗敏数学建模作为数学六大核心素养之一，体现了建模对数学学习的重要性，日常教学中怎样融入建模思想？本文通过实例说明笔者的思考与做法．例１ 实际问题：每个同学都希望自己学习进步，若一个同学上一次考满分１００分，这次又考满分１００分，平时我们只是说他保持了满分成绩，实际他是进步了，只是成绩提高分为零，那我们以第一次考满分，第二次也考满分的同学付出的劳动为标准，一位第一次考３６分的同学第二次考多少分才算进步了呢？他付出的劳动和保持满分的同学付出的劳动才相当，学习成绩的提高是有规律可循的，据此建立一个成绩进步模型．分析抽象：一个学生第一次考１６分，第二次考２６分，提高了１０分，另一同学从９０分提高了１０分到满分，但需要付出的劳动是不一样的，９０分到满分付出多一些，故从提高分看进步是不精确的，但也说明一个规律，当上次分数较低，经一定努力后这次分数提高的多，上次分数较高的人，也付出同样的努力，分数提高的较少．这使我们联想到了幂函数狔＝槡狓，从０到１增长得快，狓值较大时增长得慢．建立模型：由以上分析可抽象出若上次成绩为狓，本次成绩为狔，我们只要找出狓与狔的函数关系，使得狓较小时增长得快，较大时增长得慢，狔＝槡狓具有这样的特点，但狓＝１００时，狔＝１０显然不符合，重新构造函数狔＝１０槡狓，这时狓＝１００时狔＝１００，当狓＝３６时狔＝６０，即上次考３６的人这次考６０分的进步程度相当于保持满分的同学．模型分析与检验：该模型能否反映普遍的进步状况呢？我们让学生将自己和身边同学某学科成绩增长变化数据代入检验，看与曲线的拟合程度，大多数是拟合的．对偏离曲线比较大的，我建议重新建模，可做成分段函数，当狓∈［０，６０］时设狔＝槡犽狓，狓∈（６０，１００］时，设狔＝１０槡狓，取同一学科分数为数据狓与狔，可求出个性化的进步曲线来．以上做法我们默认了两次考题难易相同，平均分相当，具有可比性，但实际中并不是这样的，比如上次数学考试全班平均８０分，这次６０分，进步曲线失效了，但学生还是想看自己是进步了还是退步了，若给本次成绩每个人加８０－６０＝２０分再与上次对比行不行，显然这是不科学的，我们以上次成绩８０分相当于这次６０为标准，设狔＝槡犽狓，将狓＝６０，狔＝８０代入可求出犓＝１０．３，再用模型输入每个人这次分数狓，计算得到放大的分数狔＝１０．３槡狓，这时的狔与上次分数就有了可比性，进步曲线模型就可用了．模型应用：我国ＧＤＰ改革开放初期增长幅度曾达１３％，现在增长６．６％左右，美国现在每年增长２％左右，据此我们可以收集数据建一个我国ＧＤＰ总量变化模型．老师常对参加高考的学生说要首先消灭自己的短腿学科，这个说法的科学性今天我们可以用进步曲线给予解释，付出同样的心血，原来分数低的学科提分要比原来分数高的学科提分多．我们将一个人的年龄［４岁，６５岁］和他掌握的知识量建模的话，曲线也应相近于进步曲线，这就是社会和家人要求青少年努力学习，不负春光，极大丰富知识的数学解释．数学建模在教科书中有流程步骤，受课时的限制，全流程的训练是有限的．日常教学中融入建模思想是很重要的，所谓数学建模思想理解成以客观世界存在的数量关系及空间形式现象等为背景，抽象出来的数学概念、定理、公式、方法等的过程．比如我们先贤发现直角三角形边长有勾三股四弦五的现象，毕达哥拉斯在此基础上抽象成两直角边的平方和等于斜边的平方，这就建立了直角三角形边长关系的模型，它适合所有直角三角形．只要能建立适合一类问题的一般结论或方法的过程，就是建模思想．例２ 从集合犃＝｛犪，犫｝到集合犅＝｛１，０，－１｝能构成多少个映射？学生会用列举的方法很快得到答案是９，对问题来说有答案就结束了，但学习还没结束，因为我们没建立起解决该类问题的一般模型，应再探索．若犃＝｛犪，犫，犮｝时，犅＝｛犪，犫，犮，犱｝时，从犃到犅可构成多少个映射？若犃集有狀个元素，犅集有犿个元素，从犃到犅又能构造多少个映射？为探究规律，我们让犅保持５８２０２１年１月 教育纵横数坛在线Copyright©博看网 . All Rights Reserved.高中三个元素不变，犃集元素从１个变到狀个，看映射个数是怎样变的．犃有１个元素时可构成３个映射，犃有２个元素时可构成９个映射，犃有３个元素时可构成２７个映射，……犃有狀个元素时可构成３的狀次方个映射，当集犃有狀个元素，集犅有犿个元素时，共可构成犿的狀次方个映射，这就是我们建立的该类问题模型．那么该结论重要呢还是探究过程中用到的思想方法重要？当然思想方法重要了，首先我们面对的两集合内元素个数都可能要变，让一个集合犅元素固定为３暂时不变，另一集合犃从最初１开始变，找出规律后再让犅集元素个数变，最后得出完整结论．这个思想方法可应用到同场景的其它问题中去，这就是举一反无穷的建模思想．图１练习：有１００个一模一样的瓶子，编号１－１００．其中９９瓶是水，一瓶是看起来像水的毒药．只要老鼠喝下一小口毒药，一天后则死亡．现在，你有７只老鼠和一天的时间，如何检验出哪个号码瓶子里是毒药？分析：１００个瓶子每个只有两种状态，老鼠喝水后也有两种状态，这使我们联想到了二进制数０和１，这样把瓶子十进制编号转化成二进制编号，最大号１００转化为１００００００七位，其余也转化为七位，让第犃只老鼠喝所有二进制码编号从左起第１位是１的瓶子中的水；让第犅只老鼠喝所有二进制码从左到右第２位是１的瓶子中的水；以此类推下去．这样，每个老鼠第二天的死活情况就决定了毒水瓶子二进制编号这一位的数字：老鼠死，对应１，反之为０．比如第二天第犃只老鼠死了，其余活着，第犃只喝的是１００００００号水，即十进制１００号内水，说明１００号有毒．若从左到右第犈犉犌号老鼠都死了其余活着，对应的数字为００００１１１，即十进制第３号瓶有毒．那么现在有１０００个瓶子，只一瓶有毒，至少需要几只老鼠才能鉴别出来呢？我们把刚才的问题再进行数学抽象，７只老鼠从犃到犌排成一排，每个位置有（死）１和（活）０两种状态，共有２的７次方个状态，即每个位置用１或０两元素填充，共可表达１２８种情况（信息），而瓶子只有１００，足以表达，７只老鼠最多可检测１２８瓶是否有毒，７只老鼠，可以标记２的７次方即１２８个瓶子中的一瓶毒药．要鉴别１０００瓶中的一瓶毒药，则至少需要１０只老鼠．因为２的１０次方等于１０２４．当我们要研究对象只有两种状态关系时，采用二进制编码是很有效的思路，当我们要研究两个量之间的变化关系时采用函数关系构建模型是很有效的途径．例３ （１）已知关于狓的方程狓２－２ｃｏｓ狓＋犪２＝０有唯一解，求犪的值；（２）解不等式狓（１＋狓２＋槡２）＋（狓＋１）（１＋（狓＋１）２＋槡２＞０．分析：（１）中方程不是一元二次方程，构造函数犳（狓）＝狓２－２ｃｏｓ狓＋犪２，则问题转化为求犳（狓）的零点唯一时的犪．（２）中不等式若用常规移项平方的办法会改变狓的取值范围，所求解不是原不等式解．由观察可构造函数犳（狓）＝狓（１＋狓２＋槡２）再利用函数的性质，解决问题．解：（１）令犳（狓）＝狓２－２ｃｏｓ狓＋犪２，狓∈犚，因为犳（－狓）＝犳（狓），所以犳（狓）是偶函数．所以犳（狓）的图像关于狔轴对称，而题设方程犳（狓）＝０有唯一解，从而此解必为狓＝０（否则必有另一解），所以犳（０）＝０－２＋犪２＝０，解得犪＝±槡２．（２）设犳（狓）＝狓（１＋狓２＋槡２），狓∈犚，易证犳（狓）在区间［０，＋∞）内为增函数．因为犳（－狓）＝－狓（１＋狓２＋槡２）＝－犳（狓）．所以犳（狓）是奇函数，从而犳（狓）在区间（－∞，＋∞）上为增函数，所以原不等式可化为犳（狓）＋犳（狓＋１）＞０，即犳（狓＋１）＞－犳（狓）＝犳（－狓），即狓＋１＞－狓，所以狓＞－１２．有关不等式、方程及最值之类的问题，看似一个变量，实则还应考虑由变量构成的代数式值这个变量，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解．从更广阔的角度看，我们数学学习过程就是建立数学概念和一个个数学模型的过程，学生只有把某个知识点的概念和模型建立起来了，才算构建了知识框架和网络，应用和创新的基础算打好了．针对平时观察到的问题和练习中遇到的问题，除去非本质的因素，梳理出主要对象和对象间的重要关系，以建模的思想学数学，各类问题就轻松解决了，更能在解决实际问题时得心应手．参考文献：［１］何章苗，谢全苗．活用函数思想方程观点解题［Ｊ］．数学教学通讯，２００７（１）．［２］殷伟康．简约而不简单的数学本真课堂教学———评顾金华老师的“函数的模型及其应用”教学思考［Ｊ］．中学数学教学参考（上），２０１７（Ｚ１）．［３］王宗艳．小议建模素养在教学中的渗透［Ｊ］．中学数学（上），２０１７（９）．犠６８数坛在线教育纵横 ２０２１年１月Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
