新教材人教版高中数学必修1 第四章 数学建模

4.5.3函数模型的应用1．常用函数模型思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()C．指数函数模型D．对数函数模型A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.]2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到() A．300只B．400只C．600只D．700只A[将x＝1，y＝100代入y＝a l o g2(x＋1)得，100＝a l o g2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100l o g2(7＋1)＝300.]3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是() A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)D[由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．]4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．7 [设二次函数y ＝a (x －6)2＋11，又过点(4,7)， 所以a ＝－1，即y ＝－(x －6)2＋11.解y ≥0，得6－11≤x ≤6＋11，所以有营运利润的时间为211.又6<211<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]利用已知函数模型解决实际问题【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12th，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？[解] 先设定半衰期h ，由题意知40－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，解之，得h ＝10，故原式可化简为T －24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，当T ＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10＝864＝18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，∴t ＝30.因此，需要30 min ，可降温到32 ℃.已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.1．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为： P ＝⎩⎨⎧t ＋20(0<t <25)，－t ＋100(25≤t ≤30).(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？[解] 设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800(0<t <25)，t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30).(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．自建确定性函数模型解决实际问题【例2】 牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值．[思路点拨] 畜养率―→空闲率―→y 与x 之间的函数关系――→单调性求最值[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m ，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m (0<x <m )．(2)对原二次函数配方，得y ＝－km (x 2－mx )＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4，即当x ＝m 2时，y 取得最大值km 4.1．(变条件自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.拟合数据构建函数模型解决实际问题[探究问题]1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？ 提示：不一定．2．对于收集的一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x n ，y n )我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．【例3】 某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示：(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？[思路点拨] 描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模 [解] (1)画出散点图，如图所示． (2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧ a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝1.5，b ＝2.5， ∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1， f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．函数拟合与预测的一般步骤： (1)根据原始数据、表格，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线. (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？[解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a ·b x 得： ⎩⎨⎧7.9＝a ·b 70，47.25＝a ·b 160，用计算器算得a ≈2，b ≈1.02. 这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x .将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x 得y ＝2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．1．思考辨析(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．( ) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．( ) (3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．根据日常生活A 、B 、C 、D 四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是()A B C D[答案] B3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝0.957 6x 100B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.957 6100xD ．y ＝1－0.042 4x100A [由题意可知y ＝(95.76%)x 100，即y ＝0.957 6x 100.]4．已知A ，B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km /h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50 k m /h 的速度返回A 地．(1)把汽车离开A 地的距离s 表示为时间t 的函数(从A 地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象． [解] (1)①汽车由A 地到B 地行驶t h 所走的距离s ＝60t (0≤t ≤2.5)． ②汽车在B 地停留1小时，则汽车到A 地的距离s ＝150(2.5＜t ≤3.5)． ③由B 地返回A 地，则汽车到A 地的距离s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t (3.5＜t ≤6.5)．综上，s ＝⎩⎨⎧60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5＜t ≤3.5)，325－50t (3.5＜t ≤6.5)，它的图象如图(1)所示．(1) (2)(2)速度v (km/h)与时间t (h)的函数关系式是v ＝⎩⎨⎧60(0≤t ≤2.5)，0(2.5＜t ≤3.5)，－50(3.5＜t ≤6.5)，它的图象如图(2)所示．。

增长速度的比较函数的应用(二) 数学建模活动：生长规律的描述最新课程标准掌握指数函数、对数函数、幂函数的增长速度，结合实例理解用函数构建数学模型的基本过程，学会用模型思想发现和提出问题，分析和解决问题的方法．新知初探·自主学习——突出基础性知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．2．指数函数模型能利用__________表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用____________表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是____________，函数值增长速度________．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．状元随笔函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n＞0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．知识点二数学建模1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．3．解模：求解数学模型，得出数学结论．4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．状元随笔基础自测1.下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是( )e x B．y＝100ln xA．y＝1100C．y＝x100D．y＝100·2x2．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A．减少7.84%B．增加7.84%C．减少9.5%D．不增不减3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝a ln x＋b，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格4．计算机的价格大约每3年下降23大约是________元．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 几类函数模型的增长差异[经典例题]例1 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )A．y＝2018x B．y＝x2018C．y＝log2018x D．y＝2018x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x 151015202530y1226101226401626901y2232102432768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2状元随笔(1)由题意，指数函数增长速度最快．(2)跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图像，从图像上可观察出函数的增长变化情况．如图：题型2 指数、对数函数模型[教材P42例2]例 2 按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第t(t ＝0，1，2，3，4，5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨．(1)求f(t)的解析式；(2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨)．教材反思应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．跟踪训练2 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12≈0.05, lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年题型3 函数模型的选择问题[经典例题]例3 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？状元随笔本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x.不妨先画出函数图像，通过观察函数图像，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．方法归纳数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝ab x＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．4．5 增长速度的比较 4．6 函数的应用(二)4．7 数学建模活动：生长规律的描述新知初探·自主学习知识点一2．指数函数(底数a ＞1)3．对数函数(底数a ＞1) 随自变量的增大 越来越慢 [基础自测]1．解析：指数函数增长速度快于幂函数．幂函数增长速率快于对数函数． 答案：A2．解析：设某商品原来价格为a ，依题意得：a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.9216a ，(0.9216－1)a ＝－0.0784a ，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%. 答案：A3．解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y ＝ax 2＋bx ＋c . 答案：B4．解析：设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－(13)13，∴9年后的价格大约为y ＝8100×[1+(13)13−1]9＝8100×(13)3＝300(元)．答案：300课堂探究·素养提升跟踪训练1 解析：指数函数y ＝2x，当x 由x 1＝1增加到x 2＝3时，x 2－x 1＝2，y 2－y 1＝23－21＝6；对数函数y ＝log 2x ，当x 由x 1＝1增加到x 2＝3时，x 2－x 1＝2，而y 2－y 1＝log 23－log 21≈1.5850.由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y ＝2x随着x 的增长函数值的增长速度快，而对数函数y ＝log 2x 的增长速度缓慢．例2 【解析】 (1)设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为r ，因为f (0)表示2015年的排放总量，所以由题意可知f (t )＝f (0)(1－r )t ，t ＝0，1，2，3，4，5.又因为{f (5)=1 580，f (5)=f (0)(1−15%)，所以f (0)＝31 60017，1－r ＝0.8515，从而f (t )＝31 60017×0.85t5，t ＝0，1，2，3，4，5.(2)由(1)可知f (4)＝31 60017×0.8545≈1632，因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1632万吨以内．跟踪训练2 解析：设经过x 年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x>21.3⇒x >lg21.3lg 1.12＝lg 2−lg 1.3lg 1.12≈0.30−0.110.05＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．答案：B例3 【解析】 借助信息技术画出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x的图像(图1)．观察图像发现，在区间[10，1000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．图1下面通过计算确认上述判断．先计算哪个模型的资金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用信息技术，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10, 1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1000]，利用信息技术画出它的图像(图2)．图2由图像可知函数f(x)在区间[10，1000]上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以，当x∈[10，1000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．跟踪训练3 解析：由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A (1，1)，B (2，1.2)，C (3，1.3)，D (4，1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时，将B ，C 两点的坐标代入函数式，得{3a +b =1.3，2a +b =1.2，解得{a =0.1，b =1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得{a +b +c =1，4a +2b +c =1.2，9a +3b +c =1.3，解得{a =−0.05，b =0.35，c =0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图像开口向下，对称轴为x ＝3.5)，不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得{ab +c =1，①ab 2+c =1.2，②ab 3+c =1.3.③由①，得ab ＝1－c ，代入②③，得{b (1−c )+c =1.2，b 2(1−c )+c =1.3.则{c =1.2−b1−b，c =1.3−b 21−b2，解得{b =0.5，c =1.4.则a ＝1−c b＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝−0.8×0.5x ＋1.4模拟比较接近客观实际．。

4.2.2 指数函数的图像和性质一、教材学情分析：本节内容是高中数学新教材人教A版普通必修第一册第四章第4.2.2节《指数函数的图像和性质》。

由于学生已经学习了正反比例函数、一次函数、二次函数，以及函数性质，所以学习这部分内容与先前的函数学习类似。

先画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用的指数函数图象和性质解决问题，体现了研究函数的一般方法，让学生掌握由特殊到一般的思想方法。

培养学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理及数学建模的核心素养。

二、教学目标：1、能画出具体指数函数的图象；2、通过类比，利用具体指数函数图像，归纳出指数函数的一般性质，3、能利用指数函数的图象和性质解决一些简单的应用问题；三、核心素养：1. 运用描点法画指数函数的图象，用图象来研究指数函数的性质，培养学生直观想象和数学抽象的核心素养；2. 从一般到特殊研究问题的方法，培养学生逻辑推理的核心素养；3. 运用指数函数性质解决问题，培养学生数学运算和数学建模核心素养。

四、教学重难点教学重点：指数函数的图象和性质。

教学难点：指数函数的性质的归纳及其应用。

五、教学准备：多媒体课件六、教学过程：（一）创设问题情境你能说说研究函数的一般步骤和方法吗？设计意图：通过回顾研究函数的一般方法，提提供研究思路，进入学习和研究，培养学生的逻辑推理和数学建模的核心素养。

（二）、探索新知1.用描点法作函数y=2x、y=3x、1y()2x=和1y()3x=的图象（如图所示）2.观察这四个图像有何特点？并思考一下几个问题 问题1：图象分别在哪几个象限？问题2：图象的上升、下降与底数a 有联系吗？ 问题3：图象有哪些特殊的点？ 问题4：图象定义域和值域范围？设计意图：通过对特殊的指数函数图像观察，归纳出指数函数的性质；发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养； 3.指数函数的图像与性质图象1a >01a <<定义域 R 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数例1.说出下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5__ 1.73；(2)0.8—1__0.8—2；(3)1.70.5__ 0.82.5解：① ∵函数y=1.7x在R 上是增函数，x a y =xy(0,1)O1y =xa y =xy(0,1)O 1y =又∵ 2.5 < 3 ，∴1.72.5 < 1.73② ∵函数y=0.8x在R 上是减函数，又∵ -1 > -2 ，∴ 0.8—1< 0.8— 2③ ∵ 1.7 0.5> 1.70= 1= 0.80>0.8 2.5， ∴1.70.5> 0.82.5[规律方法] 比较幂的大小的方法1.同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较2.指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小3.底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较4.当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论设计意图：通过典例问题的分析，让学生运用指数函数的性质解决问题。