高中数学新教材中的数学建模

高中数学的归纳数学建模中的常见方法与步骤归纳数学建模是数学学科中的一种重要方法，它通过观察和总结实际问题现象中的规律性，提出问题的一般性结论或模型。

在高中数学教学中，归纳数学建模是数学思想和方法的重要体现之一。

本文将介绍高中数学的归纳数学建模中的常见方法与步骤。

一、问题的提出与分析归纳数学建模的第一步是明确问题的具体内容和要求。

高中数学的归纳数学建模问题通常来源于实际生活或其他学科。

在问题的提出与分析过程中，需要明确问题的背景、条件、目标和限制等。

通过深入分析问题，寻找问题的本质，为后续的建模工作奠定基础。

二、规律的观察与总结在确定问题后，需要通过观察和实践，寻找问题中的规律或模式。

这个过程需要通过大量的实例和数据进行验证和分析。

通过观察和总结，我们可以发现问题中的一些普遍规律，例如数列的递推关系、图形的几何性质等。

三、数学模型的建立在观察和总结的基础上，我们需要建立数学模型，抽象出问题的数学形式。

数学模型通常采用符号表示，可以是方程、函数、不等式等。

根据问题的特点和要求，我们可以选择适当的数学工具和方法，例如利用数列递推关系的迭代公式、曲线的方程等。

四、模型的求解与验证建立数学模型后，需要进行模型的求解和验证。

在高中数学的归纳数学建模中，常使用数学计算软件或手工计算的方法来求解模型。

求解过程中需要运用数学知识、方法和技巧，化繁为简，高效求解。

求解完成后，还需要对模型的结果进行验证，比较模型预测结果与实际观测的数据是否一致，有效性和准确性是否符合要求。

五、结果的分析与讨论在模型的求解和验证完成后，需要对结果进行分析和讨论。

分析结果主要包括结论的有效性、合理性以及对问题的解释等。

同时，还需要讨论模型的局限性和假设的合理性。

通过结果的分析与讨论，可以进一步深化对问题的理解和认识，并为问题的拓展和推广提供思路和方法。

六、问题的应用与拓展在通过归纳数学建模解决具体问题后，我们还可以将所学的方法和思想应用到其他相关的问题中。

新课程背景下高中数学建模教学的现状、问题及对策摘要：高中数学新课程将建模思想作为学科核心素养之一，主要原因是建模是学生学好、学深数学知识的关键素质，是数学思维性的集中体现，为此需要教师加强开展建模教学。

本文首先阐述了高中数学建模教学的现状，接着总结出教师在建模教学中存在意识不高、指导不够、评价不科学等问题，最后论述了教师要在教学过程中重视渗透建模教学、教会学生掌握建模步骤、实施过程性评价，以此强化建模教学，培养学生建模意识与素质，从而助力学生深度学习数学知识，有效实现新课标关于建模教学的要求。

关键词：高中数学；建模教学；有效策略根据高中数学新课程关于建模教学的描述，建模主要指的是教师教会学生利用模型去探究、理解数学知识，借助模型去分析、解决数学问题，高中数学模型具有工具性、思维性特点，需要学生建立应用的意识与能力。

数学建模具有很强的理论性和技巧性，需要教师实施针对性的教学，为此，探究高中教师数学建模教学的现状、分析其中的不足、寻找有效对策非常有必要。

一、高中数学建模教学的现状当前，广大教师能根据高中数学新课程的要求，以及数学高考新考核标准的指引，转变应试教育理念与方法，关注学生学科核心素养的培养，其中就包括数学建模。

包括刚大学毕业在内的高中数学教师，他们具有先进的教育理念，也具有很强的教学能力，能够适应教学新需要、新要求，这也说明了当前开展数学建模教学的师资力量很充裕。

在新版高中数学教材中，也包含很多的数学建模内容，以适应新课标和新高考的要求，有些建模教学内容比较隐晦，还需要教师多发掘。

高中学校也能根据新课标的要求，组织教师参加新课标内容培训，关注教师对新课标落实情况，对教师的建模教学也会有具体的教学安排，包括听课、说课、集中备课等。

学生对新课程内容总体持支持态度，尤其是教师贯彻新课标要求，将学生从题海战术中解法出来之后，学生会积极参与到教师组织的包括数学建模在内的新课程教学活动中。

由此可见，当前高中数学建模教学有师资力量，有学生基础，学校也比较重视，具备开展高质量建模教学的条件。

试谈高中数学新课标下建模教学新课程标准注重对学生深层次生活的现实照顾，尽量把课程与学生的生活和知识背景联系起来，下面是一篇关于高中数学新课标下建模教学探讨的，欢送阅读参考。

xx年4月出版了《普通高中数学课程标准(实验)》,根据新标准对数学本质的论述,“数学是研究空间形式和数量关系的科学,是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。

”与这种现代理念相对应,在课程设置上,新标准将数学探究与建模列为与必修、选修课并置的局部,着重强调教学活动之外的数学探究与建模思想培养。

因此,可以说《普通高中数学课程标准》是我国中学数学应用与建模开展的一个重要里程碑,它标志着我国高中数学教育正式走向根底性与实用性相结合的现代路线。

根据新标准的指导精神以及高中数学教学的总体规划,本文认为高中数学探究与建模的课程设计必须符合以下几个原那么:1.实用性原那么作为刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具,数学探究与建模课程设计必须以实用性为根本原那么。

这里实用性包括两个方面的含义:其一是以日常生活中的数学问题为题材进展课程设计,勿庸质疑,这是实用性原那么的最核心表达;其二是保持高中数学的承续作用,为学生未来的工作和学习提供数学探究和建模的初步训练,这要求课程设计的题材选取必须与高等教学体系和职业需求体系保持一致。

如果说,第一层含义表达了数学应用的广泛性和开放性,那么第二层含义那么更多表达了数学应用的针对性。

2.适用性原那么适用性原那么表达的是数学训练的进阶过程,它要求高中数学探究与建模课程必须适应整个高中数学课程体系的总体规划和学生的学习能力。

首先,题材的选取不能过于专业,它必须以高中生的知识水平和知识搜寻能力为界进展设计。

这一点保证了数学探究与建模的可操作性,不至于沦为绚丽的空中楼阁或者“艰深”的天幕。

再者,题材的选取也不宜过于平淡,正如课程的名称所示,该课程设计必须注重学生学习过程中的探索性。

素质教育的一个核心思想是培养学生的探索精神和创新意识,适用性必须包容这样的指导精神,即学习的过程性和探索性。

分散难点，逐步解决“数学建模活动”的关键环节
设计课题研究，引导学生比较 不同函数增长的差异，获得研 究思路、方法和路径，能结合 研究结论，根据不同函数增长 的差异，选择合适的函数模型 刻画具有增长特征的实际问题。
1.在整体设计上布局，在具体内容中落实
注重在函数主线中对“数学建模素养”的逐步渗透 分散难点，逐步解决“数学建模活动”的关键环节
三、整体架构
内容安排 教学安排
1.内容安排
数学建模活动
数学概念 的背景
重要结果 直接应用
数学结果 综合应用
数学建模
了解数学 建模
数学建模 主要步骤
数学建模 主要过程
数学建模 实践
选题
开题
做题
结题
2.教学安排
新课标指出，“数学建模活动”和“数学探究活动”应以课题研究的形 式开展．在必修课程中，要求学生完成一个课题研究，可以是“数学建 模活动”的课题研究，也可以是“数学探究活动”的课题研究．
关 键 点 基于现实情境，构建数学模型，经历“发现-提出-分析-解决问题” 的过程，进而发展“四能”（发现、提出、分析、解决问题能力），达到“三 会”（会用数学眼光看、会用数学思维想、会用数学语言表述现实世界）。
3.从素养与活动两方面认识数学建模
学科价值 数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。 数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。
观察实际情境
发现提出问题
收集数据
选择函数模型
不
符
求解函数模型
合 实
际
检验
符合实际 实际问题的解
（1）观察实际情境，发现和提出问题
茶水水温问题是一个比较新颖的生活问题，该课题对培养学生分析和解 决问题、动手实践、构建模型等能力很有好处，选题意义在于通过实测 数据建立某种茶水水温关于时间的函数模型，将该茶水温度的实测过程 转变为时间估计的问题，使得人们不用时刻测试水温，只需根据所获得 的函数模型，通过简单计算就可以知道刚泡好的该茶水大约需要放置多 长时间才能达到最佳饮用口感．

数学建模在高中数学中的运用数学建模是将数学方法和技巧应用到实际问题中，通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法。

在高中数学教学中，数学建模的运用能够提高学生对数学知识的理解和运用能力，增强学生的实际问题解决能力，并培养学生的创新思维和团队合作精神。

下面将以几个具体的例子介绍数学建模在高中数学中的应用。

首先，数学建模在概率与统计中的运用。

概率与统计是高中数学的重要内容，学生学习概率与统计时往往感到抽象和缺乏实际应用。

通过数学建模，可以将概率与统计的知识与实际问题相结合，使学生更好地理解和应用。

例如，可以让学生通过调查班级同学的身高数据，建立一个身高分布模型，并利用这个模型预测班级的平均身高。

这种实际问题的建模过程可以激发学生的思维，培养学生的统计思维和数据分析能力。

其次，数学建模在函数与方程中的运用。

函数与方程是高中数学的核心内容，数学建模可以使学生更深入地理解函数与方程的概念和性质。

例如，可以让学生通过测量小球在不同高度自由落体的时间，建立一个时间和高度的关系模型，并利用这个模型解决实际问题，比如计算小球从某个高度落地所需的时间。

这种实际问题的建模过程可以使学生更加直观地理解函数与方程，并且培养学生的观察能力和实际问题解决能力。

另外，数学建模在几何中的运用也是非常重要的。

几何是高中数学的重要分支，但学生学习几何时往往感到抽象和缺乏实际应用。

通过数学建模，可以将几何知识与实际问题相结合，使学生更好地理解和应用几何知识。

例如，可以让学生通过测量校园某个区域的面积和建筑物的数量，建立一个面积和建筑物数量的关系模型，并利用这个模型计算校园其他区域的建筑物数量。

这种实际问题的建模过程可以激发学生的几何思维和创新能力，培养学生的空间观念和问题解决能力。

最后，数学建模在数学解题中的运用也是非常重要的。

数学解题是高中数学教学的核心目标，通过数学建模，可以使学生更好地理解和应用解题方法和技巧。

例如，可以让学生通过建立一个数学模型，解决某个实际问题，比如计算某个矩形区域的最大面积或者最小周长。

增长速度的比较函数的应用(二) 数学建模活动：生长规律的描述最新课程标准掌握指数函数、对数函数、幂函数的增长速度，结合实例理解用函数构建数学模型的基本过程，学会用模型思想发现和提出问题，分析和解决问题的方法．新知初探·自主学习——突出基础性知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．2．指数函数模型能利用__________表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用____________表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是____________，函数值增长速度________．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．状元随笔函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n＞0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．知识点二数学建模1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．3．解模：求解数学模型，得出数学结论．4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．状元随笔基础自测1.下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是( )e x B．y＝100ln xA．y＝1100C．y＝x100D．y＝100·2x2．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A．减少7.84%B．增加7.84%C．减少9.5%D．不增不减3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝a ln x＋b，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格4．计算机的价格大约每3年下降23大约是________元．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 几类函数模型的增长差异[经典例题]例1 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )A．y＝2018x B．y＝x2018C．y＝log2018x D．y＝2018x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x 151015202530y1226101226401626901y2232102432768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2状元随笔(1)由题意，指数函数增长速度最快．(2)跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图像，从图像上可观察出函数的增长变化情况．如图：题型2 指数、对数函数模型[教材P42例2]例 2 按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第t(t ＝0，1，2，3，4，5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨．(1)求f(t)的解析式；(2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨)．教材反思应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．跟踪训练2 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12≈0.05, lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年题型3 函数模型的选择问题[经典例题]例3 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？状元随笔本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x.不妨先画出函数图像，通过观察函数图像，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．方法归纳数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝ab x＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．4．5 增长速度的比较 4．6 函数的应用(二)4．7 数学建模活动：生长规律的描述新知初探·自主学习知识点一2．指数函数(底数a ＞1)3．对数函数(底数a ＞1) 随自变量的增大 越来越慢 [基础自测]1．解析：指数函数增长速度快于幂函数．幂函数增长速率快于对数函数． 答案：A2．解析：设某商品原来价格为a ，依题意得：a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.9216a ，(0.9216－1)a ＝－0.0784a ，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%. 答案：A3．解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y ＝ax 2＋bx ＋c . 答案：B4．解析：设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－(13)13，∴9年后的价格大约为y ＝8100×[1+(13)13−1]9＝8100×(13)3＝300(元)．答案：300课堂探究·素养提升跟踪训练1 解析：指数函数y ＝2x，当x 由x 1＝1增加到x 2＝3时，x 2－x 1＝2，y 2－y 1＝23－21＝6；对数函数y ＝log 2x ，当x 由x 1＝1增加到x 2＝3时，x 2－x 1＝2，而y 2－y 1＝log 23－log 21≈1.5850.由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y ＝2x随着x 的增长函数值的增长速度快，而对数函数y ＝log 2x 的增长速度缓慢．例2 【解析】 (1)设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为r ，因为f (0)表示2015年的排放总量，所以由题意可知f (t )＝f (0)(1－r )t ，t ＝0，1，2，3，4，5.又因为{f (5)=1 580，f (5)=f (0)(1−15%)，所以f (0)＝31 60017，1－r ＝0.8515，从而f (t )＝31 60017×0.85t5，t ＝0，1，2，3，4，5.(2)由(1)可知f (4)＝31 60017×0.8545≈1632，因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1632万吨以内．跟踪训练2 解析：设经过x 年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x>21.3⇒x >lg21.3lg 1.12＝lg 2−lg 1.3lg 1.12≈0.30−0.110.05＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．答案：B例3 【解析】 借助信息技术画出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x的图像(图1)．观察图像发现，在区间[10，1000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．图1下面通过计算确认上述判断．先计算哪个模型的资金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用信息技术，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10, 1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1000]，利用信息技术画出它的图像(图2)．图2由图像可知函数f(x)在区间[10，1000]上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以，当x∈[10，1000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．跟踪训练3 解析：由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A (1，1)，B (2，1.2)，C (3，1.3)，D (4，1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时，将B ，C 两点的坐标代入函数式，得{3a +b =1.3，2a +b =1.2，解得{a =0.1，b =1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得{a +b +c =1，4a +2b +c =1.2，9a +3b +c =1.3，解得{a =−0.05，b =0.35，c =0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图像开口向下，对称轴为x ＝3.5)，不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得{ab +c =1，①ab 2+c =1.2，②ab 3+c =1.3.③由①，得ab ＝1－c ，代入②③，得{b (1−c )+c =1.2，b 2(1−c )+c =1.3.则{c =1.2−b1−b，c =1.3−b 21−b2，解得{b =0.5，c =1.4.则a ＝1−c b＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝−0.8×0.5x ＋1.4模拟比较接近客观实际．。

2、在《北师大版》教材中，数学建模的题目多以探究性问题出现。例如，在 必修三“概率”这一章节中，有一道题要求学生通过抛硬币实验，建立概率模 型来估算硬币正面朝上的概率。
3、在《苏教版》教材中，数学建模的题目多与实际生活相关。例如，在必修 三“统计”这一章节中，有一道题要求学生调查本班学生的身高情况，建立统 计模型分析身高的分布情况。
二、数学建模内容设置比较
1、章节安排：两版教材在数学建模章节的安排上略有不同。人教A版将数学建 模分散在各章，而北师版则专门设立了数学建模章节，突出了建模的重要性。
2、案例选择：两版教材在数学建模案例的选择上也有所不同。人教A版的案例 较为生活化，更贴近学生的实际生活，如“手机话费计算”等。而北师版的案 例则更注重数学知识的应用，如“矩阵方程的应用”等。
参考内容
随着教育改革的深入发展，数学建模在数学教育中的地位逐渐提升。本次演示 通过对中国两套高中数学教材——人教A版和北师版的比较分析，探讨其数学 建模内容的设置，以期为优化教材编写和提升教学质量提供参考。
一、两版教材概述
人教A版教材由人民教育社发行，是我国使用最广泛的高中数学教材之一。其 编写风格较为简洁明了，重视基础知识和基本技能的训练。而北师版教材由北 京师范大学社，注重数学知识的系统性和理论性。
在搜索相关关键词时，我们主要围绕“数学史”、“高中数学新教材”展开。 通过对比不同社和不同版本的新教材，我们可以发现，数学史内容在高中数学 教材中所占比例逐渐增加，且呈现多样化的特点。
在整理内容时，我们可以按照时间顺序对数学史进行分类。从古希腊时期开始， 数学作为一门独立的学科开始发展。这一时期的数学家如毕达哥拉斯、欧几里 得等为数学的发展奠定了基础。高中数学新教材中引入了许多古希腊数学家的 内容，如毕达哥拉斯定理、欧几里得算法等，帮助学生了解数学学科的起源和 发展。

高中数学教学中的数学建模实践数学建模是在数学课堂上运用数学知识和方法解决实际问题的过程。

它是高中数学教学中的一种重要实践方法，能够帮助学生理解数学知识的应用场景，提高解决实际问题的能力。

本文将从数学建模的定义、作用和实施方法等方面探讨高中数学教学中数学建模的实践。

一、数学建模的定义和作用数学建模是指将实际问题抽象为数学模型，并利用数学工具进行分析和求解的过程。

它能够帮助学生将抽象的数学知识与实际问题相结合，形成运用数学知识解决实际问题的能力。

通过数学建模，学生不仅能够培养数学思维和分析问题的能力，还可以提高解决实际问题的创新意识和实践能力。

数学建模在高中数学教学中的作用主要体现在以下几个方面：1. 提高学生的数学兴趣：数学建模能够将抽象的数学知识与实际问题相结合，使学生能够体会到数学在现实生活中的应用，从而激发学生对数学的兴趣和热爱。

2. 培养学生的实际问题解决能力：数学建模着眼于解决实际问题，培养学生的实际问题解决能力，使他们能够将数学知识应用到实际中去，提高解决实际问题的能力。

3. 增强学生的团队合作和沟通能力：数学建模通常需要学生组成小组进行合作，通过团队合作解决问题，培养学生的合作精神和沟通能力，提高他们与他人合作的能力。

4. 培养学生的创新思维和实践能力：数学建模需要学生在实践中不断探索和创新，培养学生的创新思维和实践能力，使他们能够提出新的解决方法和思路。

二、数学建模的实施方法在数学建模的实施过程中，可以采用以下方法来引导学生进行实践：1. 确定问题和收集信息：在实际问题中确定需要解决的数学问题，并收集相关信息进行分析。

2. 建立数学模型：将实际问题进行抽象，建立数学模型，并根据模型制定解决方案。

3. 运用数学方法解决问题：根据建立的数学模型，运用数学方法进行问题求解，得出最终答案。

4. 分析结果和反思总结：对问题的解决结果进行分析和总结，让学生反思解决问题的过程和方法。

在实施数学建模的过程中，教师应起到引导和促进的作用，激发学生的学习兴趣和动力。

高中数学数学建模的基本步骤和应用在高中数学学习中，数学建模是一项重要的技能，它将已学知识应用于实际问题的解决过程中。

本文将介绍高中数学数学建模的基本步骤和应用。

一、基本步骤1. 问题理解与分析：首先，我们需要理解和分析给定的问题。

明确问题的背景、条件和目标，确保对问题有全面的理解，并能提炼出关键信息。

2. 建立数学模型：在理解问题基础上，我们需要建立数学模型来描述问题。

数学模型是对实际问题的抽象与简化，通常由数学方程、函数或图形表示。

选择合适的模型是解决问题的关键。

3. 模型求解：一旦建立了数学模型，我们就需要求解模型以得到问题的解。

根据具体情况，可以采用解析方法、数值方法或计算机模拟等方式进行求解。

4. 模型验证与优化：完成模型求解后，我们应该对模型进行验证和优化。

验证是指根据问题的实际情况，对模型的可靠性和实用性进行检验。

优化是指对模型进行修改和改进，以得到更准确和可行的结果。

5. 模型分析与应用：最后，我们需要对求解结果进行分析和应用。

分析是指对结果进行解释和说明，找出问题的规律和特点。

应用是指利用结果解决实际问题，为决策提供科学依据。

二、应用案例1. 食品配送问题：假设一家餐厅需要将食品从仓库送到不同的客户处，每个客户对食品的需求量不同，仓库到客户的距离也不同。

我们可以建立数学模型，将餐厅、仓库和客户看作点，建立起点、路径和终点间的数学关系。

通过模型求解，确定最佳配送路径，以提高配送效率和降低成本。

2. 疫情传播模型：在疫情爆发时，我们可以利用数学建模来研究疫情的传播规律和控制策略。

例如，可以建立传染病传播的差分方程模型，通过调整模型中的参数，预测疫情的传播趋势，评估防控措施的效果，为疫情防控提供科学依据。

3. 人口增长模型：人口增长是一个复杂而重要的问题。

通过建立人口增长的微分方程模型，我们可以研究人口数量的变化趋势和影响因素，了解人口增长与资源分配、环境保护等问题之间的关系，以制定科学的人口政策。

参考内容
随着新课程改革的不断深入，高中数学的教学理念和方式也在不断发生变化。 微积分作为高中数学的重要内容，对于提高学生的数学素养和思维能力具有重要 意义。本次演示将探讨在新课程理念下，如何优化高中微积分教学设计，以更好 地提高学生的数学素养和解决问题的能力。
当前，高中微积分教学存在着一些问题。首先，由于微积分的概念和思维方 式较为抽象，学生难以理解和掌握。其次，传统的教学方式主要以教师讲解为主， 学生被动接受，缺乏互动和探究，难以激发学生的学习兴趣和积极性。最后，由 于教学进度的限制，教师难以在课堂上充分展示微积分的广泛应用和魅力，学生 无法真正感受到微积分的重要性和价值。
4、创新发展原则
创新发展是数学建模的重要目标之一。在教学设计中，应注重激发学生的创 新思维，鼓励学生尝试不同的建模方法和思路。同时，应学生的个性发展，尊重 学生的不同见解和思考方式。
四、新课程下高中数学建模教学 设计策略
1、精选案例，贴近实际
在选择数学建模案例时，应注重案例的典型性和实用性。选取的案例应贴近 学生的实际生活和学科特点，能够引起学生的兴趣和共鸣。通过典型案例的学建模概述
数学建模是指运用数学语言描述现实问题，并建立数学模型的过程。在高中 数学中，数学建模主要包括建立代数模型、几何模型和概率模型等。通过数学建 模，学生能够运用所学数学知识解决实际问题，提高数学应用能力和创新思维能 力。
三、新课程下高中数学建模教学 设计原则
1、目标导向原则
高中数学建模教学设计应以教学目标为导向，注重培养学生的数学应用能力 和创新思维能力。在制定教学目标时，应充分考虑学生的实际情况和学科特点， 确保目标的可操作性和有效性。
总之，在新课程理念下，优化高中微积分教学设计是一项重要而紧迫的任务。 我们应该积极探索和研究新的教学方式和手段，注重学生的需求和实际情况，引 导学生主动探究和思考，激发学生的学习兴趣和积极性，提高学生的数学素养和 解决问题的能力，为学生的未来发展打下坚实的基础。

高中数学新课程中数学建模教学设计案例—《三角函数模型的简单应用》教学设计湖南省常德市第六中学颜春湖南常德415000一.教学分析（教材分析与学情分析）1.教材分析：本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.学情分析：本节课是在学习学习了第一章函数的应用和三角函数的性质和图象的基础上来习三角函数模型的简单应用，学生已经有了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该顺理成章，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力.二.教学目标1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.三.教学重点、难点教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.四.教学过程设计教学环节师生活动设计意图（一）呈现实际情境海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值。

新课标下高中数学建模教学途径分析摘要：数学建模作为一种利用数学工具解决实际问题的重要方式，是对数学知识的综合运用，能够有效巩固数学知识，提高数学思维能力与解题能力。

教师应当重视将数学概念与法则、解题方法等进行模型化处理，帮助学生掌握数学基础知识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

基于此，本文主要结合自身建模工作经验，对新课标下的高中数学建模教学途径展开分析，旨在提升数学建模成效，促进数学教育发展。

关键词：新课标；高中数学；建模教学；师生共促；组织活动《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》明确提出：数学建模是数学学科核心素养之一，是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型、解决问题的一种素养。

高中数学教学中，教师应当积极转变传统的教学思路以及教学方式，组织开展形式多样的数学建模活动，指导学生积极参与数学应用实践探索，引导学生进行自主学习与合作探究，让学生更好用数学语言表达现实世界，通过发现问题、提出问题，构建数学模型与解决问题，可以更好认识数学模型的巨大作用，能够提升实践能力，发展科学精神。

基于学校教研基地的建设，重视高中数学建模教学，积极探索更广泛的教学途径，开展各类教研教学实践活动。

一、组织数学建模团队，融合多门学科内容新课标背景下，在高中数学教学中开展建模教学，首先是依托学校的资源与师资力量，组织数学建模基地中心成员团队，团队中不仅要有数学教师，还要有物理、信息技术、通用技术等教师，实现数学与物理和信息通用多学科的融合。

这样可以更好地以数学建模为中心，借助其他学科的资源与工具，更好开展数学建模的教研活动，打好数学建模教学基础。

关于数学建模团队的建设，主要是设置组织架构、制定运行规则、确定常态化教研活动，倡导数学教师、物理和信息通用教师积极参与，发挥不同学科资源的优势，发挥不同学科教师的作用。

通过团队成员的研讨，可以借助信息技术软件工具，对物理中的比例关系、几何图形、不等式关系、函数图像等进行建模，如万有引力定律（F=G）、胡克定律（F=k·x）等都可基于函数建模。

高中数学,新旧教材数学建模的区别
高中数学是学生必修的科目之一，而数学建模是这门学科的重要组成部分。

近年来，我国高中数学教材经过多次改版，新旧教材在数学建模方面也存在一定的差异。

以下是新旧教材数学建模的区别。

一、建模思想不同
旧教材在数学建模方面注重数学基础知识的讲解，强调问题的解决方法，而忽略了问题建模的重要性。

而新教材则更加注重建模思想的培养，提倡探究式学习，鼓励学生通过实践和探索，培养自主思考和创新精神。

二、建模难度有所提高
新教材中的数学建模问题难度有所提高，涉及的知识面也更广，更多地涉及实际生活和工程问题。

旧教材中的数学建模问题相对简单，大多是一些抽象的数学问题，难度较低。

三、内容更加贴近实际
新教材数学建模更加注重实际应用，通过大量的实例，让学生了解数学在实际生活中的应用，培养学生的实际动手能力，提高解决实际问题的能力。

而旧教材数学建模则更多地关注一些理论问题和抽象的数学概念。

总的来说，新旧教材数学建模的区别在于思想、难度、内容等方面。

新教材更加注重数学建模的实际应用和思维培养，旧教材则更加注重数学基础知识的讲解和问题的解决方法。

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高中数学中常见的数学建模题分析在高中数学教学中，数学建模题是一种常见的题型，旨在让学生通过抽象建模，求解实际问题。

数学建模题通常涉及到数学知识、逻辑推理、数学模型的建立与优化等方面，对学生的综合能力提出了较高的要求。

本文将分析高中数学中常见的数学建模题，探讨解题方法及相关技巧。

1. 地面坡度问题地面坡度问题是高中数学建模中的常见题型，通常涉及到直角三角形、三角函数的知识。

这类问题常常以“某一杆塔吊挂重物”，“某座桥梁建设”等为背景，要求学生根据给定条件，计算坡度、高度、距离等。

解题时，可以通过绘制坡度示意图，使用三角函数公式，建立三角形关系等方法，辅助求解。

2. 最优生产方案问题最优生产方案问题是数学建模中的经典题型，要求学生根据生产成本、需求量、利润等条件，确定最优的生产方案。

这类问题常常涉及到线性规划、最值、函数优化等知识。

解题时，可以通过建立数学模型，使用线性规划方法，求解导数等方式，寻找最优生产方案。

3. 人口增长问题人口增长问题是数学建模中的典型题型，要求学生根据给定的人口增长率、初期人口数量等条件，预测未来人口数量。

这类问题常常涉及到指数函数、常微分方程等知识。

解题时，可以通过建立微分方程模型，使用指数函数性质，求解微分方程的通解等方法，完成人口增长问题的分析和预测。

4. 购物策略问题购物策略问题是数学建模中常见的实际问题，要求学生根据购物节省、优惠券折扣等条件，确定最佳购物策略。

这类问题通常涉及到百分数、比例、折扣计算等知识。

解题时，可以通过建立优惠券折扣函数，利用比例关系，计算购物节省金额等方式，找到最佳购物策略。

通过以上对高中数学中常见的数学建模题的分析，我们可以看到数学建模题在数学教学中的重要性和广泛性。

通过解答这些建模题，学生不仅可以提升数学能力，还可以锻炼主动解决实际问题的能力。

希望学生在学习数学建模的过程中，能够灵活运用数学知识，提高解决问题的能力，为将来的学习和工作打下坚实的基础。

框图体现：
四、数学建模的报告 普通高中数学课程标准明确指出：学生要经历数学建模活动与数学 探究活动的全过程，学会整理资料，能撰写研究报告或小论文，并进 行报告、交流．研究报告或小论文及其评价应存入学生个人学习档案， 为大学招生提供参考和依据．学生可以采取独立完成或者小组合作 (2～3人为宜)的方式，完成课题研究．
6.1 数学建模概述
一、数学建模的概念 普通高中数学课程标准将数学建模列为六大数学核心素养之一，那 么什么是数学建模呢？ 数学模型：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根 据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具， 得到的一个数学结构． 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数 学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情 境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定 参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．
数学建模活动的基本过程如下： 1．问题描述：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的 各种信息，明确与问题相关的因素． 2．模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对各个相关因素 做出假设． 3．模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各因素 之间的数学关系，选择适当的数学模型表达实际问题． 4．模型求解：利用获取的数据资料，对模型进行求解．
二、数学建模的意义 马克思曾说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完 善的地步．”由此可以认为，数学在各门科学中被应用的水平就能代 表这门科学的发展水平． 数学建模是高中数学核心素养之一，它搭建了数学与外部世界联系 的桥梁，是数学应用的重要形式，数学建模是应用数学知识解决实际 问题的基本手段，也是推动数学发展的动力． 随着科学技术的进步，特别是计算机技术的迅速发展，数学已经从 自然科学渗透到了经济活动和社会生活的各个领域．一般地，当实际 问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方 面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这 个过程的关键环节．

高中数学课程的数学建模实例一、引言在高中数学课程中，数学建模是一种运用数学工具和方法解决实际问题的过程。

通过数学建模，学生可以培养解决问题的能力，提高数学应用的实际意义。

本文将介绍一个关于人口增长的数学建模实例，以帮助读者理解数学建模的过程和应用。

二、问题描述我们的问题是研究某国家的人口增长情况。

假设该国家的初始人口为P0，年出生率为b，年死亡率为d，年移民率为m。

我们的目标是通过数学建模预测未来几年该国家的人口变化情况。

三、数学建模过程1. 建立数学模型根据问题描述，我们可以建立如下的数学模型：P(n) = P(n-1) + (b - d + m) * P(n-1)2. 参数确定为了具体分析人口增长情况，我们需要确定参数的值。

例如，我们可以设定初始人口P0为100万人，出生率b为0.02，死亡率d为0.01，移民率m为0.005。

3. 模型求解通过数学计算，我们可以得到每年的人口变化情况。

四、结果分析根据我们的数学模型和参数设定，我们可以得到未来几年该国家的人口变化情况。

通过分析结果，我们可以得出以下结论：- 该国家的人口将呈现稳定增长的趋势。

- 人口增长速度受到出生率、死亡率和移民率的影响。

- 出生率上升、死亡率下降、移民率增加都会导致人口增长速度加快。

五、讨论和改进在实际应用过程中，我们可以对模型进行改进，考虑更多的因素，如经济发展状况、教育水平等对人口增长的影响。

同时，我们还可以对模型进行优化，提高计算效率和预测准确度。

六、结论通过以上的数学建模实例，我们可以看出数学建模在高中数学课程中的重要性和实际应用价值。

通过参与数学建模，学生可以深入了解数学与现实问题的联系，培养解决问题的能力和创新思维。

综上所述，高中数学课程中的数学建模实例为学生提供了一个锻炼自己的机会，通过运用数学工具和方法解决实际问题，提高数学应用的实际意义。

学生可以通过参与数学建模，加深对数学的理解和应用，为将来的学习和工作打下坚实基础。

高中数学中常见的数学建模题分析一、引言数学建模题在高中数学学习中起到了非常重要的作用，它既锻炼了学生的数学思维能力，又培养了学生的实际问题解决能力。

本文将重点分析高中数学中常见的数学建模题，并探讨解决这些问题的方法和步骤。

二、数学建模题的分类1. 线性规划问题线性规划是数学建模中最基本的问题之一。

该问题通常涉及到在一定的约束条件下，求解一个线性方程组的最优解。

例如，某工厂在一定的资源限制下，如何安排生产，以使成本最小化或产量最大化。

2. 最优化问题最优化问题包括最大化问题和最小化问题。

这类问题的解决方法通常是通过求导数进行优化，找到使目标函数取得极值的点。

例如，在扔老师纳什扬尼的蛋问题中，要确定扔鸡蛋的起始楼层，以便在最坏情况下扔的次数最少。

3. 动态规划问题动态规划问题是将一个复杂的问题分解为多个重叠子问题，通过求解子问题的最优解来获取原问题的最优解。

例如，在路径规划问题中，我们可以使用动态规划来确定从起点到终点的最短路径。

4. 概率模型问题概率模型问题涉及到在给定的概率条件下，预测某个事件发生的概率。

例如，在赌博游戏中，我们可以使用概率模型来计算某个玩家获胜的概率。

5. 统计问题统计问题主要是研究如何通过样本数据来推断总体的某些特性。

通常通过收集样本数据，计算样本均值、标准差等统计量，然后通过统计推断方法来估计总体的参数。

三、数学建模题的解决方法和步骤1. 理解问题首先要对问题进行深入的理解，包括确定问题的背景、目标、约束条件等。

通过仔细阅读问题描述，了解问题所涉及的数学概念和模型。

2. 建立模型在理解问题的基础上，根据问题的特点建立适当的数学模型。

模型的建立应符合实际情况，并能够准确描述问题的要求。

3. 分析模型对建立的数学模型进行分析，包括模型的性质、特点和解的存在性及唯一性等。

通过分析模型的特点，可以更好地理解问题的本质，并为后续的解决方法提供指导。

4. 求解模型根据建立的数学模型，选择合适的求解方法进行求解。