2021高考数学(理)大一轮复习第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布第5节 古典概型与几何概型

所以小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率 P= m = 6 = 3 . n 10 5
答案:(2) 3 5
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求古典概型概率的步骤 (1)判断试验结果是否为等可能事件,设出所求事件A; (2)分别求出基本事件总数n与所求事件A所包含的基本事件的个数m;既要注意它们 是否是等可能的,又要保证计数的一致性,就是在计算基本事件数时,都按排列数求,或 都按组合数求.
减函数的概率为
;从满足条件的所有函数 f(x)中随机抽取两个,则它们
在(1,f(1))处的切线互相平行的概率为
.
解析:函数 f(x)共有 4 种可能,即(a,b)为(2,1),(2,3),(4,1),(4,3). 由题意,f'(x)=ax+b,f'(-1)≤0,即 b≤a 时有 3 种:(2,1),(4,1),(4,3),
A
3 3
=10,所以该三位数能被
3
整除的概率为
P=
m n
= 10 18
=
5 9
.故选
D.
考点二 古典概型的交汇问题 多维探究
考查角度一 古典概型与圆锥曲线相结合
[例2] 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+ y2=2有公
共点的概率为
.
解 析 :依 题意 , 将一 颗骰 子先后 投掷 两次 得到 的点 数所形成 的数 组 (a,b)有 (1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共 36 种,其中满足直线 ax+by=0 与圆(x-2)2+y2=2
跟踪训练2:已知集合M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A是集合N中任意一点,O为坐标 原点,则直线OA与y=x2+1有交点的概率是( )
(A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 1 2348
解析:易知过点(0,0)与 y=x2+1 相切的直线为 y=2x(斜率小于 0 的无需考虑),集 合 N 中共有 16 个元素,其中使直线 OA 的斜率不小于 2 的有(1,2),(1,3), (1,4),(2,4),共 4 个,故所求的概率为 4 = 1 .故选 C.
.
解析:由已知得,样本均值为
x = 21 60 30 (7 9 5) =22, 6
所以优秀工人只有 2 人,
所以所求概率为 P= C62 C24 = 9 = 3 .
C62
15 5
答案: 3 5
反思归纳
解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本 事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
16
反思归纳
古典概型与函数交汇问题的处理方法 (1)首先根据函数的相关性质,确定相关系数应满足的条件; (2)再根据系数满足的条件进行分类考虑,求出所有符合条件的基本事件个数; (3)最后利用古典概型的概率计算公式求解概率.
跟踪训练 3:设 a∈{2,4},b∈{1,3},则函数 f(x)= 1 ax2+bx+1,在区间(-∞,-1]上是 2
16 4
考查角度二 古典概型与函数相结合 [例3] 已知M={1,2,3,4},若a∈M,b∈M,则函数f(x)=ax3+bx2+x-3在R上为增函数的概率是 ()
(A) 9 16
(B) 7 16
(C) 4 16
(D) 3 16
解 析 : 记 事 件 A 为 “ 函 数 f(x)=ax3+bx2+x-3 在 R 上 为 增 函 数 ” . 因 为 f(x)=ax3+bx2+x-3,所以 f'(x)=3ax2+2bx+1.当函数 f(x)在 R 上为增函数时,f'(x) ≥0 在 R 上恒成立.又 a>0,所以Δ=(2b)2-4×3a=4b2-12a≤0 在 R 上恒成立,即 a
答案: 3 1 43
考查角度三 古典概型与统计相结合
[例4] 某车间共有12名工人,随机抽取6名作为样本,他们某日加工零件个数的茎叶图如
图所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.
要从这6人中,随机选出2人参加一项技术比赛,选出的2人至少有1人为优秀工人的概率
为
(3)利用公式 P(A)= m 求出事件 A 的概率. n
跟踪训练1:(1)某学生食堂规定,每份午餐可以在三种热菜中任选两种,则甲、乙两同学 各自所选的两种热菜相同的概率为( )
(A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 1 2 34 6
解析:(1)学生食堂规定,每份午餐可以在三种热菜中任选两种,甲、乙两同学各 选两种热菜,基本事件总数 n= C32C32 =9,甲、乙两同学各自所选的两种热菜相同包 含的基本事件个数 m= C32 =3,所以甲、乙两同学各自所选的两种热菜相同的概率 为 P= m = 3 = 1 .故选 B.
的,有即限只有有限个
不同的基本事件;②等可能性:每个基本事件出现的可能性是 的.
相等
(2)古典概型的概率计算的基本步骤:①判断本次试验的结果是否是等可能的,设出所求 的事件为A;②分别计算基本事件的个数n和所求的事件A所包含的基本
事件个数m;③利用古典概型的概率公式P(A)=
,求出事件A的概率.
m n
第5节 古典概型与几何概型
[考纲展示]
1.理解古典概型及其概率计算公式. 3.了解随机数的意义,能运用模拟方法
2.会计算一些随机事件所含的基本 估计概率.
事件数及事件发生的概率.
4.了解几何概型的意义.
知识梳理自测 考点深度剖析 核心素养提升
知识梳理自测
知识梳理
1.古典概型
(1)古典概型的特征:①有限性:在一次试验中,可能出现的结果是
.
解析:由频率分布直方图可知,体重在[40,50)内的男生人数为 0.005×10×100=5, 同理,体重在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]内的人数分别为 35,30,20,10,所
有公共点,即满足 2a ≤ 2 ,a2≤b2 的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3), a2 b2
(1,4),…,(6,6),共 6+5+4+3+2+1=21 种,因此所求的概率为 21 = 7 .
答案: 7
36 12
12
反思归纳
古典概型与圆锥曲线相结合的处理方法 (1)首先根据圆锥曲线的相关性质,确定相关参数应满足的条件; (2)再根据相关参数满足的条件进行分类考虑,求出所有符合条件的基本事件个数; (3)最后利用古典概型的概率计算公式求解概率.
⑤几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的 每一点被取到的机会相等. ⑥在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形. ⑦随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.
答案:③④⑤⑥⑦
考点深度剖析
考点一 简单的古典概型
[例1] (1)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的
P= 20 = 1 .故选 B. 40 2
2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是 “每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选 取两个不同的数,其和等于30的概率是( )
C
(A) 1 12
(B) 1 14
(C) 1 15
跟踪训练4:从某地高中男生中随机抽取100名同学,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成
频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知体重的平均值为 kg;若要从体重在
[60,70),[70,80),[80,90]三组内的男生中,用分层抽样的方法选取12人参加一项活动,
再从这12个人中选两人当正副队长,则这两人体重不在同一组内的概率为
10
答案:(1)D
(2)小张要从5种水果中任意选2种赠送给好友,其中芒果、榴莲、椰子是热带水果,苹果、
葡萄是温带水果,则小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为
.
解析:(2)从 5 种水果中任选 2 种的基本事件总数 n= C52 =10. 因为芒果、榴莲、椰子是热带水果,苹果、葡萄是温带水果, 所以小张送的水果既有热带水果又有温带水果包含的基本事件个数 m= C13C12 =6,
部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率
是( ) B
(A) 1 4
(B) π 8
(C) 1 2
(D) π 4
解析:设正方形边长为 2a,则圆的半径为 a,
因此黑色部分的面积为 S1= π a2. 2
又正方形面积为
S=4a2,由几何概型知所求概率为
P=
π 2
a2
=
n 93
(2)从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数,则该三位数能被3整除 的概率为( )
(A) 2 (B) 1 (C) 5 (D) 5 9 3 12 9
解析:(2)从 0,1,2,3 这 4 个数字中选 3 个数字组成没有重复数字的三位数,基本
事件总数 n= C13A32 =18,该三位数能被 3 整除包含的基本事件个数 m= C12A22 +
③有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的
可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 1 . 3
④在古典概型中,如果事件 A 中基本事件构成集合 A,且集合 A 中的元素个数为 n,所有
的基本事件构成集合 I,且集合 I 中元素个数为 m,则事件 A 的概率为 n . m
概率为( )