2017年高考概率与统计、计数原理专题分析

（十）统计考纲原文1．随机抽样（1）理解随机抽样的必要性和重要性.（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.2．用样本估计总体①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.3．变量的相关性（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.（七）概率1．事件与概率（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.2．古典概型（1）理解古典概型及其概率计算公式.（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3．随机数与几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.（二十一）概率与统计1．概率（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性. （2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.（3）了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.（4）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.（5）利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2．统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.（1）独立性检验了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.（2）回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.高考预测与2016年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2017年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现.对于概率部分，选择题或填空题中概率求值是高考命题的热点，以古典概型或几何概型为主线，考查随机事件的概率.解答题中常与统计知识相结合考查离散型随机变量的分布列与期望，需注意知识的灵活运用. 对于统计部分，选择题、填空题中以考查抽样方法和用样本估计总体为主，兼顾两个变量的线性相关；解答题中则重点考查求回归直线方程及独立性检验.新题速递1．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为A ．0.9，45B ．0.9，35C ．0.1，35D ．0.1，452．如图,一铜钱的直径为32毫米,穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米,现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计）,则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为A ．14π B ．114π-C ．12πD ．1 16π-3．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日这两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？4．第十三届全运会将在2017年8月在天津举行，组委会在2017年1月对参加接待服务的10名宾馆经理进行为期半月的培训，培训结束，组织了一次培训结业测试，10人考试成绩如下（满分为100分）：75 84 65 90 88 95 78 85 98 82（1）以成绩的十位为茎个位为叶作出本次结业成绩的茎叶图，并计算平均成绩与成绩中位数 ；（2）从本次结业成绩在80分以上的人员中选3人，这3人中成绩在90分（含90分）以上的人数为x ，求x 的分布列与数学期望． 答案2．B 【解析】由题意可知，该铜钱的面积为256π平方毫米，铜钱内的正方形的面积为64平方毫米，所以由几何概型的概率公式可得一粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为25664112564P π-==-ππ.3．【解析】（1）设抽到不相邻2组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情，故选取的2组数（2∑==⨯+⨯+⨯=31977261230132511i ii yx ，322221111312434i i x ==++=∑（6分）所以y 关于x 的线性回归方程为（3）当10=x 时， 同样地，当8=x 时，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．（2）本次结业考试成绩在80分以上为7人，其中90分以上（含90分）为3人， 故x 可以取0,1,2,3，∴(0)P x ==3437C C =435，(1)P x ==123437C C C =1835，(2)P x ==213437C C C =1235，(3)P x ==3337C C =135， ∴x 的分布列为E x =41812190123353535357⨯+⨯+⨯+⨯=．。

一．基础题组1。

【2013课标全国Ⅰ,文3】从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】:B【解析】：由题意知总事件数为6,且分别为（1,2）,（1，3),(1，4），(2，3），（2,4），（3，4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13。

2。

【2011课标，文6】有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ）A 。

13B 。

12 C.23D 。

34【答案】A【解析】因为每位同学参加各个小组的可能性相等,所以所求概率为13，选A 。

3。

【2008全国1，文2】掷一个骰子,向上一面的点数大于2且小于5的概率为1P ,抛两枚硬币，正面均朝上的概率为2P ，则（ ） A ．12P P < B ．12P P > C ．12P P = D 。

不能确定 【答案】B5。

【2016新课标1文数】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 (B ）12 (C ）23 （D ）56【答案】C【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C 。

【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题，一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏，避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举。

6。

【2011全国1，文19】(Ⅰ)设所求概率为1P ,则1=1(10.5)(10.6)0.8.P --⨯-=故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率为0.8.（Ⅱ)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2.-⨯-=于是所求概率为:123(0.2)(10.2)0.384.C -=7. 【．2009．．．．全国卷．．．Ⅰ．，文．．20．．】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。

试题解析：（Ⅰ）
x 12 0.06 14 0.14 16 0.3 18 0.32 20 0.10 22 0.08 17 （Ⅱ）由频率分布直方图可知 P( x x 4) 0.14 ， ∴ ~ B 5, 0.14 ，所以 E 5 0.14 0.7
12．某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外
数是
A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 【解析】三个小球放入盒子是不对号入座的方法有 2 种，由排列组合的知识可得，不同的
放法总数是： 2C63 40 种。本题选择 A。
7．某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：根据数据
表可得回归直线方程 yˆ bˆx aˆ ，其中bˆ 2.4 ， aˆ y bˆx ，据此模型预测广告费用为
根据以上信息，这 5 人的笔试名次的所有可能的种数是（ ）
A. 54 B. 72 C. 78 D. 96
【解析】由题得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有 A 4 24 种，乙没得第
一有 3 种再排甲也有 3 种，余下得有 3
6 种，故有 6
3
3=54
4
种，所以一共有
A
24+54=78 种
3
9．已知随机变量 X 服从正态分布 N(2，σ²)，且 P(0≤X≤2)＝0.3，则 P(X＞4)＝_____．
【解析】解：由题意结合正态分布的性质可知： P 2 x 4 0.3 ，则：
P(X
4) 1 0.3 2 2
0.2 .
点睛：求解本题关键是明确正态曲线关于 x＝2 对称，且区间[0,4]也关于 x＝2 对称．
【解析】（Ⅰ）先根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率得概率，再根据组

高考数学试卷中概率与统计内容的分析与思考一、概率与统计在高考数学试卷中的重要性高考数学试卷中概率与统计内容的出现频率较高，占据一定的比例。

这是因为概率与统计是数学的重要分支，与现实生活密切相关，具有重要的应用价值。

在解决实际问题时，概率与统计给予我们科学的、客观的方法。

在高考数学试卷中，通过对概率与统计的考查，可以检验考生运用概率与统计工具解决实际问题的能力，培养学生的科学思维，提高学生对信息的处理能力。

二、概率与统计在高考数学试卷中所涉及的内容1. 概率高考数学试卷中的概率部分主要包括概率基本概念、随机事件、概率计算、概率分布等内容。

考生需要掌握概率的基本知识，如概率的定义、性质，通过计算确定事件发生的概率。

同时，还需要了解随机事件的定义及其性质，并能够结合具体问题进行分析计算。

另外，了解概率的分布情况，如伯努利试验、二项分布、正态分布等，对于分析和解决实际问题非常重要。

2. 统计统计包括统计基本概念、统计图表的应用、抽样调查与统计推断等。

考生需要熟悉统计中的基本概念，如样本、总体、频数等，能够分析和解读统计图表，如直方图、折线图、饼状图等，能够进行抽样调查和统计推断，熟悉抽样方法及其合理性。

同时，还需要了解一些统计学原理，如假设检验、置信区间等，以及统计数据的处理和分析方法。

三、高考数学试卷中概率与统计内容的考查方式1. 章节串联概率与统计内容分布在高考数学试卷中的不同章节，常常通过不同章节的知识点进行串联，体现出知识的整体性。

考生需要在解答问题时，能够将不同章节的知识应用起来，进行综合分析和解决问题。

2. 真实情境在高考数学试卷中，概率与统计的内容常常通过真实的生活场景进行设置，考察考生对真实情境的分析和处理能力。

考生需要在解答问题时，能够根据问题所涉及的真实环境，运用概率与统计的相关知识进行推理和计算，解决实际问题。

3. 综合运用概率与统计的内容经常与其他数学知识进行综合运用，考察考生的数学综合能力。

7.独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它 在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)
k n ＝Ck p (1 － p ) n
－k
8.随机抽样 (1)简单随机抽样 实现简单随机抽样，主要有两种方法：抽签法和随机 数表法. (2)系统抽样 ①采用随机的方法将总体中的个体编号. ②确定分段间隔. ③在第 1 段用简单随机抽样确定起始的个体编号. ④按照事先确定的规则抽取样本. (3)分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时常用分层抽 样.
4．(2010· 全国Ⅱ)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( B ) A．12 种 B．18 种 C．36 种 D．54 种
解析
先将 1,2 捆绑后放入信封中，有 C1 3种方法，再将
第 10 讲
概率与统计
高考要点回扣
1.计数原理 分类计数原理，重在分类，类与类之间具有独立性和 并列性；分步计数原理，重在分步，步与步之间具有 相依性和连续性， 比较复杂的问题， 常先分类再分步. 2.排列与组合 (1)排列数公式 n！ m An ＝n(n－1)(n－2)„［n－(m－1)］＝ ，其中 (n－m)！ n m，n∈N*，m≤n.当 m＝n 时，An ＝n· (n－1) · „„· 2· 1 ＝n！ ，规定 0！＝1.
5.互斥事件有一个发生的概率 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) (1)公式适合范围：事件 A 与 B 互斥. (2)P( A )＝1－P(A). 推广：若事件 A1，A2，„，An 两两互斥，则 P(A1＋A2＋„＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋„＋P(An).

专题13 概率与统计【2017年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A 级要求． (2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A 级要求． (3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B 级要求．(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B 级要求. 【重点、考点剖析】 1．概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A 的概率，然后利用P (A )＝1－P (A )可得解；(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A 中的基本事件，利用公式P (A )＝mn求出事件A 的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A 所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件． 2．统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，考点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4)两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性或归方程系数或公式建立线性回归方程. 【题型示例】题型一 古典概型问题例1、(2016·课标Ⅱ，18，12分，中)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解：(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.【举一反三】(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.答案5 6【变式探究】(2015·北京，16)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(2) 如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝10 49 .(3)a＝11或a＝18.【感悟提升】1．古典概型的求解思路(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)根据公式P(A)＝mn＝A中所含基本事件数基本事件总数求出．【变式探究】某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：(1)选取的2位学生都是男生；(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生．破题切入点先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解．【解析】(1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．所以选取的2位学生全是男生的概率为P1＝615＝2 5.(2)从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2＝815.题型二几何概型问题例2、(2016·课标Ⅰ，4，易)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34【解析】B 由题意知，小明在7：50至8：30 之间到达发车站，故他只能乘坐8：00或8：30发的车，所以他等车时间不超过10分钟的概率P＝10＋1040＝12.【举一反三】(2016·课标Ⅱ，10，中)从区间0，1]随机抽取2n个数x1， x2，…，xn，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn【解析】C 由题意知，mn＝π4，故π＝4mn，即圆周率π的近似值为4mn.【变式探究】(2015·陕西，11)设复数z＝(x－1)＋y i(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x 的概率为( )A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π解析由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π. 答案 B【变式探究】(2014·湖北)由不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A.18 B.14 C.34 D.78【答案】D【解析】由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P ＝742＝78，故选D.【感悟提升】几何概型的求解思路概率中的几何概型是一个重要内容，高考时经常考，题目不难，往往利用数形结合的方法求解，常考查几何图形的面积、体积等，有时要用到转化的思想和对立事件求解概率的思维方法．求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．其解析为：(1)判断所求几何概型的类型；(2)分别确定相关的区域长度(面积与体积)；(3)代入公式计算．【变式探究】节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.14 B.12C.34 D.78答案 C题型三、抽样方法例3、(2015·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．167 B．137 C．123 D．93解析由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选B.答案 B【变式探究】(1)(2014·湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A．200,20 B．100,20C．200,10 D．100,10【命题意图】(1)本题主要考查统计中的抽样及其概念，意在考查考生对抽样方法概念的理解．(2)本题主要考查样本容量和分层抽样的概念及计算．要完成本题的计算需要从扇形统计图和条形统计图中读出相关数据并进行计算，意在考查考生的数据处理能力．【答案】(1)D (2)A【感悟提升】在解题时注意各种抽样方法的特点及适用范围，利用各种抽样都是等概率抽样． (1)在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为Nn (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．(2)在分层抽样中，要求各层在样本中和总体中所占比例相同．【变式探究】从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( )A ．480B ．481C ．482D ．483【答案】C【解析】因为系统抽样是等距抽样，且抽样的样本中最小两个编号的差为25，所以7＋(k －1)·25≤500，解得k≤51825，即k 取1,2,3，…，20，所以样本中最大的编号为7＋(20－1)·25＝482.题型四 频率分布直方图与茎叶图例4．(2015·安徽，6)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( ) A ．8 B ．15 C ．16 D ．32解析 法一 由题意知， x 1＋x 2＋…＋x 10＝10x ，s 1则y ＝1n (2x 1－1)＋(2x 2－1)＋…＋(2x 10－1)] ＝1n 2(x 1＋x 2＋…＋x 10)－n ]＝2－1，所以S 22s 1，故选C.答案 C【变式探究】(2015·湖南，12)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139，151]上的运动员人数是________．解析由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．答案 4题型五变量间的相关关系及统计案例例5．(2015·新课标全国Ⅱ，31)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【变式探究】(2015·福建，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中b ∧＝0.76，a ∧＝y －b ∧x ．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元D ．12.2万元解析 回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵b ∧＝0.76，∴a ∧＝0.4，由y ∧＝0.76x ＋0.4得当x＝15万元时，y ∧＝11.8万元．故选B.答案 B【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．)1i =∑(y 表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝1121()(),()ni i n ii u u v v a v u u u β==--=--∑∑. 解 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于821821()()108.81.6()i ii ii y y d ωωωω==---=-∑∑＝68， ＝y －d ω＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ＝100.6＋68x.。

2017年高考真题分类汇编（理数）：专题7 概率与统计（解析版）一、单选题1、（2017•新课标Ⅰ卷）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A、B、C、D、2、（2017•新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A、月接待游客量逐月增加B、年接待游客量逐年增加C、各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D、各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳3、（2017•山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A、B、C、D、4、（2017•山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+ ，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A、160B、163C、166D、1705、（2017•浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A、E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B、E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C、E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D、E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）二、填空题6、（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．7、（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．8、（2017•江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．三、解答题9、（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．10、（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．11、（2017•北京卷）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40）， (80)90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．12、（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．13、（2017•新课标Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P （X≥1）及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得= =9.97，s= = ≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．14、（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2= ．15、（2017•新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S= ，则对应概率P= = ，故选：B【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．2、【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：由折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A【分析】根据折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．3、【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P= = ，故选：C．【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．4、【答案】C【考点】线性回归方程【解析】【解答】解：由线性回归方程为=4x+ ，则= x i=22.5，= y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线经过样本中心点，则= ﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．5、【答案】A【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2，…，0＜p1＜p2＜，∴＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）= ，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）= ，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：A．【分析】由已知得0＜p1＜p2＜，＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．二、填空题6、【答案】18【考点】分层抽样方法【解析】【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为= ，则应从丙种型号的产品中抽取300× =18件，故答案为：18【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．7、【答案】1.96【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．8、【答案】【考点】一元二次不等式的解法，几何概型【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= = ，故答案为：【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．三、解答题9、【答案】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）= = ．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，P（X=4）= = ．∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× =2．【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，组合及组合数公式【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．10、【答案】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）= ，P（X=1）= ×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）× ×（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）× = ，P（X=2）=（1﹣）× × + ×（1﹣）× + × ×（1﹣）= ，P（X=3）= × × = ；所以，随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P随机变量X的数学期望为E（X）=0× +1× +2× +3× = ；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）= × + ×= ；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件【解析】【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．11、【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人，（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．【考点】频率分布直方图，用样本的频率分布估计总体分布，古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．12、【答案】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d= = ，∴当s= 时，d取得最小值= ．【考点】二次函数在闭区间上的最值，点到直线的距离公式，参数方程化成普通方程，函数最值的应用【解析】【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．13、【答案】（1）解：由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）= ×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件，因此上述监控生产过程方法合理；（ⅱ）因为用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，且= =9.97，s= = ≈0.212，所以﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334，+3 =9.97+3×0.212=10.606，所以9.22∉（﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（﹣3 +3 ）之外的数据9.22，则剩下的数据估计μ= =10.02，将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008，所以σ≈0.09．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【分析】（1.）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2.）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3 +3 ）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．14、【答案】解：（Ⅰ）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（Ⅱ）2×2列联表：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg总计旧养殖法 62 38 100新养殖法 34 66 100总计 96 104 200则K2= ≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（Ⅲ）由题意可知：方法一：=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ ≈52.35（kg），所以新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．【考点】频率分布直方图，用样本的数字特征估计总体的数字特征，独立性检验，相互独立事件的概率乘法公式【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；（Ⅱ）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（Ⅲ）根据频率分布直方图即可求得其平均数．15、【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X=200）= =0.2，P（X=300）= ，P（X=500）= =0.4，∴X的分布列为：X 200 300 500P 0.2 0.4 0.4（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，当200＜n≤300时，若x=200，则Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，若x≥300，则Y=n（6﹣4）=2n，∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800﹣2n）+0.8=1.2n+160，∴EY≤1.2×300+160=520，当300＜n≤500时，若x=200，则Y=800﹣2n，若x=300，则Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，∴当n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520，若x=500，则Y=2n，∴EY=0.2×（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4×2n=640﹣0.4n，当n≥500时，Y= ，EY=0.2（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4（2000﹣2n）=1440﹣2n，∴EY≤1440﹣2×500=440．综上，当n=300时，EY最大值为520元．【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；当200＜n≤300时，EY≤1.2×300+160=520；当300＜n≤500时，n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520；当n≥500时，EY≤1440﹣2×500=440．从而得到当n=300时，EY最大值为520元．。

一．基础题组1。

【2005江苏,理7】在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9。

4 8.4 9。

4 9。

9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A）9。

4, 0.484 （B）9.4, 0。

016 （C)9。

5，0.04 （D)9.5, 0。

016【答案】D2. 【2006江苏,理3】某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为x,y，10，11，9。

已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为（A)1 （B）2 (C)3 (D）4【答案】D【解析】由题意可得：x+y=20，(x—10）2+(y—10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧,因为不要直接求出x、y，只要求出yx-，设x=10+t，y=10—t, 24-==，选D.x y t3. 【2008江苏，理2】若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3,4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ． 【答案】112【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有（1，3)、（2,2）、(3，1）共3个，故316612P ==⨯. 4. 【2008江苏,理6】在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲【答案】16π【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯.5. 【2008江苏，理7】某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图,则输出的S 的值为序号i分组 (睡眠时间）组中值（iG ）频数 （人数） 频率（iF ）1 [4,5) 4.56 0.122 [5,6) 5.5 10 0.203 [6,7) 6.5 20 0.404 [7,8)7.5 10 0.205[8,9]8.540.08▲=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.086.42=。

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率； (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃 圾”箱的投放量分别为 a，b，c，其中 a>0，a＋b＋c＝600.当数 据 a，b，c 的方差 s2 最大时， 写出 a，b，c 的值(结论不要求证 明)，并求此时 s2 的值.
[ 点评 ]
解决本题的关键是判断出事件为互斥事件，再用互
斥事件概率公式求解.
对立事件的概率
(1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分 析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一公式，不 要乱套公式而导致出错. (2)要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用.
(3)在解决至多、至少的有关问题时，通常考虑利用对立事件
－ － － － 1 2 2 2 (注：s ＝n[(x1－x) ＋(x2－x) ＋„＋(xn－x ) ]，其中x为数据 x1，
2
x2，„，xn 的平均数)
[解]
(1)厨余垃圾投放正确的概率约为
“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 ＝ ＝ . 厨余垃圾总量 400＋100＋100 3 (2)设生活垃圾投放错误为事件 A，则事件A表示生活垃圾投放正 确. 事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物” 箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生 － 400＋240＋60 活垃圾总量，即 P(A)约为 ＝0.7，所以 P(A)约为 1 1 000 －0.7＝0.3.
B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概
率为________.
互斥事件的概率突破方法
判断两事件是否互斥，是运用互斥事件概率公式的前提，实
际问题中经常涉及是否为互斥事件的判断 .判断要在充分理解 事件自身含义的基础上，运用研究集合关系的方法来进行.

解 (1)①设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i＝0， 1，2，3)，则 P(A3)＝CC2325·CC1223＝15. ②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 B＝A2∪A3， P(A2)＝CC2325·CC2223＋CC13C52 12·CC1223＝12，且 A2，A3 互斥， 所以 P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝12＋15＝170.
[点评] 求解概率问题的关键是弄清题中所研究的对象，准确求解出试验与所求事件分别包含的基本事件 的个数，这是准确求解古典概型的基础.
几何概型的概率求解方略
求解几何概型的解题规律 (1)判断试验是否为几何概型，要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：无限性和等可能性. (2)求解几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.当考察对象为点，点的活动范围 在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算；当考察的对象在某块区域时， 用面积比计算；当考察对象在某个空间时，用体积比计算. (3)在解决面积型几何概型时，要充分借助线性规划的可行域、定积分等相关知识进行求解.
►一个关键：几何概型概率求解.
(2)[解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形.利用图形的几何度量来求随机 事件的概率]已知球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这
一点不在球内的概率为________.
解析
π 1－ 6
由题意知球的半径为 1，其体积为 V 球＝4π 3 ，正方体
【例1】 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、 2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少 于2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)

1层到 4 层共有走法种数为( )
A．6
B．23
C．42 答案 B
D．44
解析 由一层到二层有 2 种选择，二层到三层有 2 种选择，三
层到四层有 2 种选择，∴由分步计数原理可知走法种数为 23＝8.
2．已知{1，2}⊆X⊆{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的 集合 X 共有( )
答案 60
4.如图，从 A 到 O 有________种不同的走法(不重复过一点)．
答案 5 解析 分 3 类：第一类，直接由 A 到 O，有 1 种走法；第二 类，中间过一个点，有 A→B→O 和 A→C→O2 种不同的走法； 第三类，中间过两个点，有 A→B→C→O 和 A→C→B→O 2 种不 同的走法，由分类加法计数原理可得共有 1＋2＋2＝5 种不同的 走法．
课前自助餐
分类计数原理的推广 完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的 方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中 有 mn 种不同的办法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
分步计数原理的推广 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的 方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有 mn 种不同的 方法，那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法．
【答案】 10
(2)集合 P＝{1，2，3}，Q＝{2，3，4，5}，定义 P※Q＝{(a，
b)|a∈P，b∈Q}，则集合 P※Q 中元素的个数为( )
A．4
B．6
C．12
D．20
【解析】 确定集合 P※Q 中元素(a，b)需要分两步： 第一步：确定 a，有 3 种不同方法 第二步：确定 b，有 4 种不同方法 由分步计数原理可知元素个数有 3×4＝12(个) ∴选 C. 【答案】 C

（二十）计数原理
1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理
（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
2．排列与组合
（1）理解排列、组合的概念.
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
（3）能解决简单的实际问题.
3．二项式定理
（1）能用计数原理证明二项式定理.
（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
与2016年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2017年的高考中预计仍会以“一小（选择题或填空题）”的格局呈现. 预计2017年高考对排列组合问题的考查，仍以实际生活为命题背景，难度中等；二项式定理主要考查利用二项展开式中特定项的系数，已知特定项的系数求参数的值等.
1．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 .
2．5(2)x x 的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）
1．120 【解析】将所有的安排方法分成两类：第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有
3
21322A A A 62224=⨯⨯=种；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有
31113224A A A A 622496=⨯⨯⨯=种；根据分类加法计数原理，共有9624120+=种不同的排法．
2．10 【解析】5(2x +的展开式的通项为555255C (2)2C r r r r r r x x ---=(0r =，1，2，…，5)，令532
r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=.。

2017高考统计数学真题2017年全国普通高等学校招生统一考试数学科目（理工类）于6月7日上午拉开序幕，本次考试中涉及到统计数学部分的内容。

“2017高考统计数学真题”就是考生们紧张备考的重点之一，而这一部分的真题难度如何、考查的知识点有哪些，我们一起来看看。

一、题目分析2017年高考统计数学部分的真题主要涵盖了描述统计、概率论等内容。

考试形式分为选择题和计算题两部分，难度适中，题目设计偏注重基本概念和基本计算能力的考查。

二、难度评析整体来看，2017年高考统计数学部分的难度适中，考查的内容也主要围绕基本概念和基本计算展开。

选择题方面，涉及到了频数分布、概率计算、抽样调查等知识点，需要考生对概念的理解和计算能力的掌握。

计算题方面，主要考查了样本均值、方差、相关系数等内容，对考生的基本运算能力和应用能力有一定要求。

三、知识点总结根据2017年高考统计数学真题的题目内容，我们可以总结出以下几个重点知识点：1. 频数分布：了解如何通过频数表和分布函数来描述各类别数据的分布情况。

2. 概率计算：掌握基本概率的计算方法，包括排列组合、条件概率、贝叶斯定理等内容。

3. 抽样调查：了解不同抽样方法的特点和应用场景，能够正确选择适当的抽样方式。

4. 样本均值与方差：掌握样本均值与方差的计算方法，了解其在抽样调查中的应用。

5. 相关系数：理解相关系数的定义和计算方法，能够分析两个变量之间的相关关系。

四、备考建议针对2017年高考统计数学真题的考查内容，我们给考生们提出以下备考建议：1. 夯实基础：统计数学是基础数学中的一部分，需要考生具备扎实的基础知识。

建议考生从基本概念入手，逐步扩展应用能力。

2. 做好练习：练习是提高解题能力的有效方法，考生应多做相关练习题，加强对知识点的掌握和运用能力。

3. 注重理解：统计数学有许多概念和方法需要考生理解透彻，而不只是死记硬背。

建议考生多思考、多讨论，加深对知识点的理解。

4. 总结经验：做题时要及时总结经验，对错误的题目进行及时归纳和总结，发现问题并加以解决。

2017年高考备考之考前十天自主复习 第七天 计数原理与概率与统计(理科)热点一：排列组合问题1] 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，注意应用解题策略——相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果．常用解题途径有： (1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 2]在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②Tr＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项； ③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式()n a b －展开式的通项公式要特别注意符号问题．3]在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．1．【山东省青岛2017年高三二模】学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有A.种B. 24种C. 30种D. 36种 【答案】C2．【陕西省渭南市2017届高三二模】在某商业促销的最后—场活动中，甲、乙、丙、丁、戊、已名成员随机抽取个礼品，每人最多抽一个礼品，且礼品全被抽光，个礼品中有两个完全相同的笔记本电脑，两个完全相同的山地车，则甲、乙两人都抽到礼品的情况有（ ） A. 36种 B. 24种 C. 18 种 D. 9 种【答案】A3.【2017届内蒙古省百校联盟高三3月监测】()()5213021x x x +--的展开式中，含3x 项的系数为__________（用数字填写答案）． 【答案】260-【解析】()521x - 展开式中含3x 项为()()322352180C x x -=，含2x 项为()()233252140C x x -=-，含项为()4452110C x x ⋅-=， ()2130x x +- ()521x -的展开式中，含3x 项的系数为8040300260--=-.4.【山西省运城市2017届高三4月模拟】(5ax 的展开式中3x 项的系数为20，则实数=__________． 【答案】4【解析】(5ax 的展开式的通项为()5552155k kkkk kk T Cax C ax---+==⋅，令532k-=，解得4k =，则4520C a ⋅=，解得4a =.热点二：古典概型与几何概型4]解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性． 5]当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解． 5.【广东省潮州市2017届高三二模】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）A.13 B. 14 C. 15 D. 16【答案】A6. 【山西省运城市2017届高三4月模拟】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不少于20分钟的概率为（ ） A.16 B. 12 C. 23 D. 13【答案】C【解析】根据几何概型可知:等待时间不少于20分钟的概率为402603A P μμΩ===，故选择C. 7．在区间⎡⎣中随机取一个实数，则事件“直线y kx =与圆()2231x y -+=相交”发生的概率为（ ） A.12 B. 14 C. 16 D. 18【答案】B【解析】由题意可知圆心（3，0）到直线y=kx的距离1d =<，解得k <<，根据几何概型14p ==，选B.8.从2,4,8,16中任取两个不同的数字，分别记为,a b ，则log a b 为整数的概率是__________．【答案】【解析】解：满足题意的a,b 实数对可以是： ()()()()2,4,2,8,2,16,4,16 共四种， 由古典概型公式可得： 24413p A == . 热点三：统计与统计案例6]在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标．(1)在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． ②平均数：在频率分布直方图中，平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．7]回归分析：线性回归分析以散点图为基础，具有很强的直观性，有散点图作比较时，拟合效果的好坏可由直观性直接判断，没有散点图时，只须套用公式求r ，再作判断即可．独立性检验没有直观性，必须依靠2χ作判断．(1)回归直线必过点(),x y ；(2)与符号相同.(3)线性回归分析就是分析求出的回归直线是否有意义，而判断的依据就是|r |的大小：|r |≤1，并且|r |越接近1，线性相关程度越强；|r |越接近0，线性相关程度越弱.从散点图来看，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。