201X秋九年级数学上册 第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 第1课时 方位角问题作业课

由题意可知
DE＝CF＝4.2，
CD＝EF＝12.51．
在Rt△ADE中，
∵
DE 4.2 tan 32 AE AE 4.2 ∴ AE 6.72. tan 32
在Rt△BCF中，同理可得
4.2 BF 7.90. tan 28
∴AB＝AE＋EF＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90
练习 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B 处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短.求灯塔Q到B 处的距离.（画出图形后计算，精确到 0.1 海里）
B Q
北30° 西 东
A 南
解：AB=32.6×0.5=16.3(海里) 在RtΔABQ中， QB ∵ tan A = AB ∴ QB = AB· tanA
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算， 除特别说明外，本教科书中的角度都精确到1′. 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角.
根据三角形全等的判定，由于已知 一个角是直角，所以在这两种情况 下，对应的直角三角形唯一确定.因 此，可以求出其他元素.
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角.
铅垂线 视线
仰角 俯角
水平线
视线
例3 如图，为了测量旗杆的高度BC,在离旗杆10米 的A处 ,用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰 角a=52°，求旗杆BC的高．（精确到0.1米）
解:在Rt△CDE中， ∵CE=DE×tan a =AB×tan a =10×tan 52° ≈12.80， ∴BC=BE＋CE =DA＋CE =12.80＋1.50 ≈14.3（米）．

“有斜求对乘正弦”的意思是在一个直角三角形中，对一
个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边，那么
就用斜边长乘该锐角的正弦，其余的口诀意思可类推.
知1－练
例 1 根据下列条件，解直角三角形： (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20 2； (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝2. 解题秘方：紧扣“直角三角形的边角关系”选择 合适的关系式求解.
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
1 课时讲解 解直角三角形
解直角三角形在实际问题中的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 解直角三角形
知1－讲
1. 一般地，直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形. (1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其 中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个 未知元素(知二求三). (2) 一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直 角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.
找未知角的某一个锐角三角函数.
知1－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12； 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝60°.
∵ tan A＝ab，∴ 33＝1a2， ∴ a＝4 3，∴ c＝2a＝8 3.
知1－练
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝30°.
例 2 根据下列条件，解直角三角形：
知1－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；

A的邻边 A的对边

AC BC
练习:
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,
AB=13,则有
①根据13勾2-股12定2 理得5:
BC=_______B_C_=____5__
AB
13
AC
12
②sinA =__A_B__=__1_3__
13 B5
BC
5
AC
12
A
12
C
例 如图,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面
西
东
南
本题是已知 一边,一锐角
.
解: 在Rt△ABC中，因为
∠CABB＝C90゜－∠DAC＝50゜，
AB ＝tan∠CAB,
所以
BC＝AB•tan∠CAB
AB AC

=2000×tan50゜ c≈o2s35804(米).
又因为
，
AB 2000 3111(米)
cos50 cos50
所以
AC＝
注意:
(1) 在直角三角形中，已知一条边
和一个锐角，可利用三角函数来求另外 的边 (. 2) 解直角三角形过程中，常会遇 到近似计算，除特别说明外，边长保留
四个有效数字，角度精确到1′。
小结
①定义：在直角三角形中，由已 知元素求出 ②未在知解元决素实的际过问程题，时叫,做应解“直先角画三图角,再形求; 解”;
③解直角三角形，只有下面两种情况可解： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角。
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流。
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.

优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/28
最新中小学教学课件
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2019/7/28
最习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。

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数学
新课标（HS） 九年级上册
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24.4 解直角三角形
第3课时 解直角三角形应用（二）
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第3课时 解直角三角形应用（二）
新知梳理
► 知识点 坡角与坡度（坡比）
概念：如图 24－4－40，通常把坡面的铅垂高度 h 和水平
长度 l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝hl .坡度通
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第3课时 解直角三角形应用（二）
[归纳总结] 解坡度问题的一般规律：(1)正确理解坡度 与坡角的关系：tanα＝i＝hl ；
(2)水渠、堤坝的横断面一般是梯形，解这类问题通常将 梯形分割成直角三角形和矩形；
(3)由不同的坡比构建不同的直角三角形求解，此类题 目的条件多，线条多，解法多，应抓住关键条件，看“有用” 线段，选择比较简便的解法．
米，坝顶宽BC＝6米，依据条件求： (1)斜坡AB坡角α(准确到1′)； (2)坝底宽AD和斜坡AB长(准确到0.1米)．
图24－4－41
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第3课时 解直角三角形应用（二）
[解析] 梯形问题，首先应作辅助线结构直角三角形，再利 用条件解直角三角形．
解：分别过 B、C 两点作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F， 则四边形 BCFE 为矩形，∴BE＝CF，BC＝EF.
(1)在 Rt△BAE 中，i1＝1∶3，即 tanα＝ABEE＝13， ∴α≈18°26′.
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第3课时 解直角三角形应用（二）
(2)在 Rt△ABE 中，i1＝1∶3，BE＝23 米， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(米)， AB＝ AE2＋BE2＝ 692＋232 ＝ 5290≈72.7(米)． 在 Rt△CDF 中，i2＝1∶2.5，CF＝BE＝23 米， ∴DF＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(米)． ∴AD＝AE＋EF＋FD＝AE＋BC＋FD＝69＋6＋57.5 ＝132.5(米)．

α β
OA
OB
OA 450 450 3, tan 30
450米
OB 450 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m)O
B
A
答：大桥的长AB为 (450 3 450)m.
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合作与探究
变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥 AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线 上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30° 和45 °，求飞机的高度PO .
第24章
第2课时 俯角和仰角的问题
新课导入
解直角三角形：(如图)
只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
B
c
a
┌
A
bC
（2）已知一条边和一个锐角
1.已知a,b.解直角三角形(即求：∠A，∠B及C边)
2. 已知∠A，a.解直角三角形 3.已知∠A，b. 解直角三角形 4. 已知∠A，c. 解直角三角形
推进新课 仰角和俯角
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合作与探究
【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、 B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角 分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
PAO 30, PBO 45
PO tan 30, PO tan 45 P
P
C
30° A
45°
200米
O
B
07:56
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .

解直角三角形的方法口诀
口诀(一)
已知一边一锐角，求其余边和余角．
求出它们很是绕，概括三句口诀妙．
求直角边用乘，求斜边用除灵．
是对边用正，是邻边用余．
有斜边用弦，无斜边用切．
[注]：余边、余角即其余边和其余角．已知角的三角函数，求直角边用乘，求斜边用除．当已知边为斜边时，求对边用正弦，求邻边用余弦．已知一直角边求另一直角边用正切和余切．
口诀(二)——选用关系式
选用关系式归纳为：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便．
已知直边求直边，正切余切理当然．
已知两边求一边，勾股定理最方便．
已知两边求一角，函数关系要选好．
已知锐角求锐角，互余关系要记牢．
已知直边求斜边，用除还需正余弦．
计算方法要选择，能用乘法不用除．
1 / 1。

11．(2017·滨州)在△ABC 中，AC⊥BC，∠ABC＝30°， 点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BD＝BA，则 tan∠DAC 的值为( A ) A．2＋ 3 B．2 3 C．3＋ 3 D．3 3
12．已知，如图，在△ABC 中，∠A＝45°，AC＝ 2，AB＝ 3＋1， 则∠C＝_1_0_5_°．
3)
6 解：(1)A1C1＝ 2 a
(2)当α＝30°时，即∠ACC1＝30°，∵∠A＝60°，∴∠AMC＝90°， 即 CC1⊥AB. ∵CC1⊥B1C1，∴B1C1∥AB (3)当α＝45°时，B1A1 恰好与 CB 重合，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，
∵CH＝AC·sin60°＝
23a，CM＝coCs1H5°＝
华师版
第24章 解直角三角形
24．4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝ 3，c＝2，
则 b＝__1__，∠A＝_6_0_°_，∠B＝_3_0_°_．
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝5，b＝5 3， 则它的最小内角等于_3_0__度．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，
23×（ 6＋ 6＋ 2
2） ＝2
3，
4
S△CMB＝12CM·B1C1＝12×2 3× 26a＝3( 3＋1)
方法技能： 解非直角三角形的有关问题时，常通过作高来构造直角三角形而解决． 易错提示： 当问题中给出角的三角函数值时，要注意在直角三角形中应用，若没有直 角三角形，要构造直角三角形．
解：(1)32 (2)65
16．如图所示，在△ABC 中，∠A＝30°，tanB＝ 23，AC＝2 3， 求△ABC 的周长及面积．

（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3tan
m
（4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
B
┌
A
C
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
合作与探究
例1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上， 在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
图1
2.如图2，在离铁塔BE 120m的A处， 用测角仪测量塔顶的仰角为30°， 已知测角仪高AD=1.5m，则塔高 BE=(_4_0__3__1_._5)_m（根号保留）．
图2
练习：海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗 礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在 北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小 岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向 东航行，有没有触礁的危险？
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.

线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹
角叫做俯角.
感悟新知
例 1 如图24.4.4，为了测量旗杆的高度BC，在离 旗杆底部10米的A处，用高1. 50米的测角仪 DA测得旗杆顶端C的仰角α= 52°.求旗杆BC 的高.（精确到0. 1米）
知1－练
感悟新知
解： 在 Rt△CDE中， ∵ CE = DE × tan α = AB × tan α = 10× tan 52°≈12.80, ∴BC = BE + CE =DA + CE ≈1. 50 + 12. 80 = 14.3(米).
答：旗杆BC的高度约为14. 3米.
知1－练
感悟新知
例2 〈四川凉山州，图文信息题，易错题〉如图所示， 知1－练 某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不 知道这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段 对话： 小明：我站在此处看树顶A的仰角为45°. 小华：我站在此处看树顶A的仰角为30°. 小明：我们的身高都是1.6 m.
课堂小结
解答含有仰角、俯角问题的方法 1．仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的
仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”．在测量 物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题． 2. 视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯 角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体 的高度． 3．弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实 际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
感悟新知
知1－练
1．如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度，将 测角仪 CD 竖直放置在与教学楼水平距离为 18 3m 的地面上，若测角仪的高度是 1.5 m，测得教学楼 的顶部 A 处的仰角为 30°，则教学楼的高度是( C ) A．55.5 m B ．54 m C ．19.5 m D ．18 m