高中数学等比数列求和

无穷的等比数列求和公式在我们学习数学的旅程中，有一个非常有趣且重要的概念——无穷的等比数列求和公式。

这玩意儿听起来好像有点复杂，有点高大上，但其实啊，只要咱们好好琢磨琢磨，就能发现其中的奥秘和乐趣。

先来说说啥是等比数列。

比如说，有这么一组数：1，2，4，8，16...... 每一个数都是前一个数乘以 2 得到的，这就是等比数列。

那要是这个等比数列一直延伸下去，没有尽头，这时候要求它的和，就得用到咱们今天的主角——无穷的等比数列求和公式啦。

公式是这样的：当公比 q 的绝对值小于 1 时，无穷等比数列的和 S= a₁ / (1 - q) ，这里的 a₁是数列的首项，q 是公比。

记得我当年上高中的时候，有一次数学老师在课堂上讲这个公式，好多同学都一脸懵，觉得太难懂啦。

我当时也有点迷糊，但是心里就憋着一股劲儿，非得把它搞明白不可。

下课后，我拿着课本和笔记，跑到教室外面的小花园里，找了个安静的角落坐下，开始自己琢磨。

阳光透过树叶的缝隙洒在我的本子上，微风轻轻吹过，带来一阵花香。

我就盯着那个公式，一遍又一遍地看，脑子里想着老师讲的例子。

我先试着把那个等比数列 1，1/2，1/4，1/8...... 套进公式里。

首项a₁是 1，公比 q 是 1/2 ，那根据公式算出来的和就是 1÷(1 - 1/2) = 2 。

我又自己多写了几个数加起来验证一下，嘿，还真对！那一刻，我心里别提多高兴了，就好像解开了一个超级难的谜题。

咱们再来说说这个公式在实际生活中的用处。

比如说，银行的利息计算。

假设你每年在银行存 1000 块钱，年利率是 5% ，而且利息每年都滚入本金继续生息。

这其实就可以看成一个等比数列，首项是1000 ，公比是 1 + 5% = 1.05 。

如果想知道很多年后你能有多少钱，就可以用这个无穷的等比数列求和公式来算一算。

还有啊，在物理学中，比如研究一些衰减的振动，也会用到这个公式。

比如说一个小球在弹簧上不停地振动，每次振动的幅度都在减小，这也能构成一个等比数列。

数列求和的根本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法〔合并法求和〕 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个根本方法。

数列是高中代数的重要容，又是学习高等数学的根底. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大局部数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的根本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1]3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 〔利用常用公式〕＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n 〔利用常用公式〕 ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②〔设制错位〕 ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- 〔错位相减〕再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②〔设制错位〕 ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS 〔错位相减〕∴1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-〔反序〕又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-〔反序相加〕 ∴nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②〔反序〕又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 〔反序相加〕)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 函数〔1〕证明：；〔2〕求的值.解：〔1〕先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 〔2〕利用第〔1〕小题已经证明的结论可知， 两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n 〔分组〕 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + 〔分组求和〕当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132〔分组〕＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n 〔分组求和〕 ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：〔1〕)()1(n f n f a n -+= 〔2〕n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+〔3〕111)1(1+-=+=n n n n a n 〔4〕)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 〔5〕])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 〔7〕)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=〔8〕n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111〔裂项〕则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n 〔裂项求和〕＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n 〔裂项〕∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n 〔裂项求和〕＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+〔裂项〕 ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S 〔裂项求和〕 ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法〔合并法求和〕针对一些特殊的数列，将*些项合并在一起就具有*种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵)180cos(cosn n --= 〔找特殊性质项〕∴S n ＝ 〔cos1°+ cos179°〕+〔 cos2°+ cos178°〕+〔cos3°+ cos177°〕+···+〔cos89°+ cos91°〕+ cos90° 〔合并求和〕＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ……∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a 〔找特殊性质项〕 ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++〔合并求和〕＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，假设103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+〔找特殊性质项〕 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=〔合并求和〕＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的构造及特征进展分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项提醒的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个〔找通项及特征〕 ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n 〔分组求和〕 ＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n 〔找通项及特征〕＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n 〔设制分组〕＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n 〔裂项〕∴∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n 〔分组、裂项求和〕 ＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313 提高练习：1．数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2 ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； 2．设二次方程n a *2-n a +1*+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122*N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；。

⾼中数学数列求和的五种⽅法⼀、公式法求和例题1、设 {an} 是由正数组成的等⽐数列,Sn为其前 n 项和，已知 a2 · a4=1 , S3=7，则 S5 等于(　B　)(A) 15/2 (B) 31/4 (C) 33/4 (D) 17/2解析：∵ {an} 是由正数组成的等⽐数列 , 且 a2 · a4 = 1, q > 0 ,例题1图注：等⽐数列求和公式图例题2、已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an^2+bn (a、b∈R), 且 S25=100 , 则a12+a14等于(　B )(A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 不确定解析：由数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an^2 + bn (a、b∈R), 可知数列 {an} 是等差数列,由S25= 1/2 ×（a1 + a25）× 25 = 100 ，解得 a1+a25 = 8,所以 a1+a25 = a12+a14 = 8。

注：等差数列求和公式图⼆、分组转化法求和例题3、在数列 {an} 中, a1= 3/2 ，例题3图（1）解析：例题3图（2）故例题3图（3）∵ an>1，∴ S < 2="">∴有 1 < s=""><>∴ S 的整数部分为 1。

例题4、数列例题4图（1）例题4图（2）解析：例题4图（3）三、并项法求和例题5、已知函数 f(x) 对任意 x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x), 则 f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) 的值是多少？解析:由条件可知：f(x)+f(1-x)=1，⽽x+(1-x)=1，∴f(-2)+f(3)=1，f(-1)+f(2)=1，f(0)+f(1)=1，∴ f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 3。

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cosn n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个 （找通项及特征） ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料[例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2 ==n a c nnn ，求证：数列{}n c 是等差数列；2．设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；。

数学累加公式
数学中的累加公式，通常用于计算一组数的总和。

以下是一些常见的数学累加公式：
1. 等差数列的求和公式
对于一个等差数列，其公差为d，首项为a1，末项为an，那么它的前n项和Sn为：
Sn = (a1 + an) * n / 2
其中n为项数。

2. 等比数列的求和公式
对于一个等比数列，其公比为q，首项为a1，末项为an，那么它的前n项和Sn为：
如果q ≠1：
Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
如果q = 1：
Sn = a1 * n
其中n为项数。

3. 奇偶数的求和公式
对于一组连续的奇数或偶数，它们的和可以用以下公式求出：- 连续n个奇数的和：
n^2
- 连续n个偶数的和：
n * (n + 1)
其中n为个数。

4. 平方数的求和公式
对于一组连续的平方数，它们的和可以用以下公式求出：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n * (n + 1) * (2n + 1) / 6
其中n为最大的平方数。

以上是常见的数学累加公式，它们在数学中有着广泛的应用，例如在计算数列的平均数、方差等方面都有重要作用。

数列求和的基本方法和技巧利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 自然数列4、 )12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n 自然数平方组成的数列[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）∴ 1224-+-=n n n S 练习：*提示：不要觉得重复和无聊，乘公比错位相减的关键就是熟练！ 通项为{a n · b n },1、an 是自然数列，bn 是首项为1，q 为2的等比数列2、an 是正偶数数列，bn 是首项为1，q 为2的等比数列3、an 是正奇数数列，bn 是首项为1，q 为2的等比数列4、an 是正偶数数列，bn 是首项为3，q 为3的等比数列5、an 是正奇数数列，bn 是首项为3，q 为3的等比数列6、an 是自然数列，bn 是首项为3，q 为3的等比数列 三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a＝1时，2)13(nn n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111nn aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝k k k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n ====》升级分母是n(n+2)呢？---重点掌握这个型裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k=-++；③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++；⑥=<<=[例7] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例8] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n nS n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n。

等比数列求和公式高中数学
等比数列的求和公式在高中数学中主要有两种情况：
有限项等比数列求和：如果一个等比数列的首项为a1，公比为q （q≠1），共有n项，则其前n项和S_n可以通过下面的公式计算：S_n = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
无限项等比数列求和：当|q| < 1时（即公比绝对值小于1，保证级数收敛），无限项等比数列的和可以表示为：S = a1 / (1 - q)
请注意，如果公比q等于1，那么所有项都相等，可以直接用乘法算出总和，即S_n = n * a1。

另外，当公比q等于-1且项数n为偶数时，由于正负项相互抵消，也可以具体计算得出结果；若项数为奇数则不能直接使用上述公式。

等比数列求和等比数列求和是高中数学中的一个重要概念，通过此概念可以计算一系列具有等比关系的数的和。

在本文中，我将详细解释等比数列求和的原理和公式，以及如何应用这些知识解决实际问题。

首先，让我们来了解等比数列的概念。

等比数列是一组按照相同比例递增或递减的数的序列。

数列中的每一项都是前一项乘以相同的比例得到的。

比如，1，3，9，27，81就是一个等比数列，其中每一项都是前一项乘以3得到的。

当我们需要计算等比数列的和时，我们可以使用等比数列求和公式。

根据公式，等比数列的和是第一项与等比数列公比的次方之差除以公比减1，再乘以公比。

其数学表达式为S = a(1 - r^n)/(1 - r)，其中S表示等比数列的和，a表示第一项，r表示公比，n表示项数。

接下来，我将以一个实际问题为例来演示如何应用等比数列求和公式。

假设我们要计算投资项目的未来收益，该项目每年的回报率为10%。

我们分别在第1年、第2年、第3年和第4年投入了1000美元、1100美元、1210美元和1331美元。

我们想知道在未来4年内的总收益是多少。

首先，我们可以观察到这是一个等比数列，其中第一项a为1000美元，公比r为1.10，共有4项。

使用等比数列求和公式，我们可以得到S = 1000(1 - 1.10^4)/(1 - 1.10) = 4641美元。

因此，在未来4年内，我们的总收益将达到4641美元。

在实际应用中，等比数列求和的概念经常用于计算复利。

复利是指利息在计算期间被加入到本金中，从而积累更多利息的过程。

比如，我们将1000美元存入一家银行，该银行的年利率为5%。

我们计划将这笔钱存放5年，每年不动。

我们想知道在5年后，我们的总收益是多少。

同样地，我们可以观察到这是一个等比数列，其中第一项a为1000美元，公比r为1.05，共有5项。

使用等比数列求和公式，我们可以得到S = 1000(1 - 1.05^5)/(1 - 1.05) = 2762.82美元。

数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22n n n n =-++ )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。

7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：例1．求和：①个n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++= ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。

解：①)110(9110101011112-=++++==kkk k a个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++=nnn x x x x x x S n xx x x x x n n 2)111()(242242++++++++=（1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③kk k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n)25)(1(61-+=n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。

等比数列求导求和公式等比数列在我们的数学学习中可是个重要的角色呢！它就像是一个神秘的魔法序列，有着独特的规律和魅力。

咱们先来说说等比数列的定义。

简单来讲，等比数列就是从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个常数就叫做公比，通常用字母 q 来表示。

比如说，2，4，8，16，32……这就是一个公比为 2 的等比数列。

那等比数列的通项公式是啥呢？设等比数列的首项是 a₁，公比是 q，那么第 n 项 aₙ 就等于 a₁×q⁽ⁿ⁻¹⁾。

比如说，一个等比数列首项是 3，公比是 2，那它的第 5 项就是 3×2⁽⁵⁻¹⁾ = 48 。

接下来就是重点中的重点啦，等比数列的求和公式。

当公比 q 不等于 1 时，前 n 项和 Sₙ = a₁×(1 - qⁿ) / (1 - q) 。

我记得我上学那会，为了搞懂这个公式，可是费了不少劲。

有一次做作业，遇到了一道等比数列求和的难题，我盯着题目看了半天，脑袋里一片浆糊。

我就试着把公式写出来，一点点代入数字，不停地计算，算错了就重新再来，折腾了好久，终于算出了正确答案，那种成就感，别提多爽了！那等比数列的求导公式又是啥呢？这得从函数的角度来看。

如果我们把等比数列看成一个函数，那么对其求导就能得到一些有趣的结果。

不过这部分知识在高中阶段涉及得相对较少，在大学的高等数学里会有更深入的研究和应用。

在实际生活中，等比数列的应用也不少呢。

比如说，银行存款的复利计算，就是一个典型的等比数列问题。

假设年利率是 5%，每年复利一次，初始本金是10000 元，那么n 年后的本息和就是一个等比数列。

再比如，在计算机科学中，等比数列也常常出现在算法的时间复杂度分析里。

总之，等比数列虽然看起来有点复杂，但只要我们掌握了它的规律和公式，就能轻松应对各种相关的问题。

就像我们在生活中遇到的困难一样，只要找到了方法，就能迎刃而解。

所以呀，同学们，别害怕等比数列，多练习，多思考，它一定会成为我们的好朋友！。