高中数学 2.4 等比数列阅读材料—等比数列素材 新人教A版必修5

第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.±2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为a n>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1B.C.D.解析由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,.又S1=a1=1,所以S n=,故选B.答案B6.已知等比数列{a n},a3=3,a10=384,则该数列的通项a n=.解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.∴a n=a3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2a n+1-a n=0,则a n=.解析由2a n+1-a n=0,得,所以数列{a n}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以a n=3·.答案3·8.在等比数列{a n}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.答案±49.导学号04994040已知数列{a n}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2b n=a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明由log2b n=a n,得b n=.因为数列{a n}是等差数列,不妨设公差为d,则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{b n}是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n}的通项公式b n=·16n-1.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+(n∈N*).(1)求证:是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+.∴.∴是首项为,公比为的等比数列.(2)解∵a n-,∴a n=.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析∵a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.已知等比数列{a n},各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{a n}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=. 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得a n=a n+1+a n+2,所以a n=a n q+a n q2.因为a n>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).答案6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列{a n}满足S n=4a n-1(n∈N*),求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n=S n-S n-1=(4a n-1)-(4a n-1-1),即3a n=4a n-1,所以,故数列{a n}是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{a n}的通项公式是a n=.8.导学号04994041已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设b n=a n+1+2a n,求证:数列{b n}是等比数列.证明(1)∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n=a n+1=(2a n+1+1)-(2a n+1)=2a n+1-2a n,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.∴由=2知{a n}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。

第二课时 等比数列的性质预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题 等比数列项的运算性质是什么？[新知初探] 等比数列的性质(1)若数列{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．特别地，若{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，则{c ·a n }也是等比数列．(2)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .(3)数列{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． (4)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k ＋1.(5)当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N *)成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( )解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确． (2)错误，当q >1，a 1>0时，{a n }才为递增数列．(3)正确，当q ＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列． 答案：(1)√ (2)× (3)√2．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )A ．等差数列B ．以q 为公比的等比数列C ．以q 2为公比的等比数列D ．以2q 为公比的等比数列解析：选C 因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 2为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列．3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( )A ．35B ．63C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }成等比数列． ∴a 4，a 6，a 8成等比数列∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________.解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41，又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49，∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：7等比数列的性质[典例] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )A ．10nB ．n 10C ．100nD ．n 100(2)在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________． [解析] (1)设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2， 则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n 2＝10n .(2)因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213， 又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2. 所以a 7＝a 8q ＝256.[答案] (1)A (2)256有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[活学活用]1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.2．在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则a 10＝________. 解析：由a 4·a 7＝－512，得a 3·a 8＝－512.由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 8＝－512，a 3＋a 8＝124， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.(舍去)． 所以q ＝5a 8a 3＝－2.所以a 10＝a 3q 7＝－4×(－2)7＝512. 答案：512灵活设元求解等比数列问题[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．[解析] (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6，解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. [答案] 45(2)解：法一：设前三个数为aq ，a ，aq ，则a q ·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6. 因此前三个数为6q ，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6. 所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2，由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq ，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： …a q 2，aq，a ，aq ，aq 2… (2)四个符号相同的数成等比数列设为： a q 3，aq，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： …a q 5，a q3，aq ，aq ，aq 3，aq 5… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.等比数列的实际应用问题[典例] 某工厂2018年1月的生产总值为a 万元，计划从2018年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2019年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2018年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %.∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列．∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2019年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用] 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14. 答案：14层级一 学业水平达标1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32解析：选D 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13D ．±3解析：选B 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0.则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10000，故选C.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 答案：3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048. 答案：2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中，a 3＋a 7＋a 11＝28，a 2·a 7·a 12＝512，求q . 解：法一：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ② 由②得a 37＝512，即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2，即q ＝±142或q ＝±42.法二：∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27， ∴a 37＝512，即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根，解此方程得x ＝4或x ＝16.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8，∴q ＝±⎝⎛⎭⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝⎛⎭⎫1418＝±142. 10．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n－2或a n ＝26－n .层级二 应试能力达标1．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B 由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.2．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.3．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( ) A ．5B ．1C ．0D ．－1解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 2，a 3成等比数列得(1＋d )2＝1＋2d ，解得d ＝0，所以a 2 016＝a 1＝1.4．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．230B ．210C ．220D ．215解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，∴a 301·q1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q29×302＝230， ∴a 1＝2－272，∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102＝(2－272×22)10×(23)45＝220. 5．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27，∴a 1a 2a 3…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137， 而a 7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－2136．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________.解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－(－7)3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1. 答案：－17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，② 由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1. 因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.8．容器A 中盛有浓度为a %的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L ，A ，B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b )，先将A 中农药的14倒入B 中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A 中，恰好使A 中保持m L ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解：设第n 次操作后，A 中农药的浓度为a n ，B 中农药的浓度为b n ，则a 0＝a %，b 0＝b %.b 1＝15(a 0＋4b 0)，a 1＝34a 0＋14b 1＝15(4a 0＋b 0)；b 2＝15(a 1＋4b 1)，a 2＝34a 1＋14b 2＝15(4a 1＋b 1)；…；b n ＝15(a n －1＋4b n －1)，a n ＝15(4a n －1＋b n －1)．∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝…＝35(a 0－b 0)·⎝⎛⎭⎫35n －1. ∵a 0－b 0＝15，∴a n －b n ＝15·⎝⎛⎭⎫35n .依题意知15·⎝⎛⎭⎫35n <1%，n ∈N *，解得n ≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.。

谈一类递推数列求通项公式的典型方法除了我们经常接触的最基本的等差数列和等比数列之外,我们还经常遇到一类递推数列求通项的问题.它的基本形式是:已知1a 及递推关系1n n a pa q +=+((1)0)pq p -≠求n a .其求解方法有多种,下面结合具体例子介绍三种较为典型的解法.题目:在数列{}n a (不是常数数列)中,1122n n a a +=+且113a =,求数列{}n a 的通项公式. 解法一:因为1122n n a a +=+,所以,1122n n a a -=+,所以,111()2n n n n a a a a +--=-,所以,数列1{}n n a a +-是公比为12的等比数列.又21116a a -=,所以,11111()62n n n a a -+-=⋅,将1122n n a a +=+代入上式可得11114()32n n a -=-⨯. [评注]这种方法叫做差分法.即由条件1n n a pa q +=+((1)0)pq p -≠进行递推可得1n n a pa q -=+,进一步可得11()n n n n a a p a a +--=-,数列1{}n n a a +-是公比为p 的等比数列,所以,1121()n n n a a a a p -+-=-,再将1n n a pa q +=+代入即可求得121()1n n a a p q a p ---=-. 解法二:所给数列对应的特征方程为:122x x =+,所以,特征根为4x =.因为1122n n a a +=+,所以,114(4)2n n a a +-=-,即数列{4}n a -是公比为12的等比数列,又11143a -=-,所以,4n a -=1111()32n --⨯.故11114()32n n a -=-⨯. [评注]:这种方法叫做特征根法,因为1p ≠,所以满足x px q =+(叫做此数列对应的特征方程)的x 存在,由1n n a pa q +=+可得1()n n a x pa q x +-=+-()n p a x =-,所以,数列{}n a x -是以1a x -为首项,以p 为公比的等比数列或各项均为0,于是再根据条件11()n n a x a x p --=-,所以,11()n n a a x p x -=-+.解法三:设11()2n n a a λλ++=+,即11122n n a a λ+=-与已知1122n n a a +=+对比可得122λ-=,所以,4λ=-.所以,可得114(4)2n n a a +-=-,即数列{4}n a -是公比为12的等比数列或者各项均为0.(下同解法二).[评注]:这种方法通常叫做构造法.即由已知递推式的特点构造一个等比数列,再求通项公式.设1()n n a p a λλ++=+,与原递推数列进行对比可以建立方程,求数所设实数λ的值即可得1{}n a λ++是以1a λ+为首项,以p 为公比的等比数列.以上三种方法虽然各不相同,但是它们有一点是共同的,即构造一个等比数列,这就是本题的实质所在.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2.4 等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠．定义也可叙述为：在数列{}n a 中，若1(n na q q a +=为常数且0)q ≠，则{}n a 是等比数列． 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么___________叫做a 与b 的等比中项．3．等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则这个等比数列的通项公式是1______(,0)n a a q =≠．4．等比数列与指数函数 （1）等比数列的图象等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=还可以改写为1nn a a q q=⋅，当1q ≠且10a ≠时，x y q =是指数函数，1x a y q q =⋅是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数1xa y q q=⋅的图象上一些孤立的点．例如，教材第50页【探究】（2），12n n a -=的图象如下图所示．（2）等比数列的单调性已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则 ①当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是___________数列；②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是___________数列；③当1q =时，{}n a 为常数列(0)n a ≠；④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． K 知识参考答案： 1．同一常数2．G3．11n a q- 4．递增 递减等比数列的判定与证明判断数列{}n a 是否为等比数列的方法： （1）定义法：判断1n na a +是否为常数； （2）等比中项法：判断11(,2)n nn n a a n n a a +-=∈≥*N 是否成立； （3）通项公式法：若数列{}n a 的通项公式形如(0)nn a tq tq =≠，则数列{}n a 是等比数列．（1）若{}n a 的通项公式为212n n a -=，试判断数列{}n a 是否为等比数列．（2）若,,,a b c d 成等比数列，,,a b b c c d +++均不为零，求证：,,a b b c c d +++成等比数列．【答案】（1）{}n a 是等比数列，证明见解析；（2）,,a b b c c d +++成等比数列，证明见等比数列的通项公式及应用（1）在等比数列{}n a中，若474,32,a a==则na=____________；（2）在等比数列{}n a中，已知253636,72,a a a a+=+=若1024na=，则n=____________．与q ，即可写出数列{}n a 的通项公式；（2）当已知等比数列{}n a 中的某项，求出公比q 后，可绕过求1a 而直接写出其通项公式，即(,)n mn m a a qm n -=∈*N ．等比数列的性质的应用若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===L L ①②若m n t p q r++=++，则m n t p q r a a a a a a =．（2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列． （3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；数列1{}n a 是公比为1q的等比数列； 数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列． （4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++L 成等比数列，公比为m q ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(k q 或2)k q 的等比数列．已知等比数列{}n a 满足0,n a >（1）若1237894,9,a a a a a a ==则456a a a =_____________； （2）若25253(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，3133321log log log n a a a -+++=L _____________．【答案】（1）6；（2）2n ．【解析】（1）方法1：因为31231322789798()4,()a a a a a a a a a a a a a ====389,a ==由递推公式构造等比数列求数列的通项公式（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =---，当101qa p-≠-时，数列{}1n qa p--是等比数列； ②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p 的等比数列．（2）形如+1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．（1）在数列{}n a 中，111,36,n n a a a +==+则数列{}n a 的通项公式为n a =_____________；（2）在数列{}n a 中，1111,63,n n n a a a ++==+则数列{}n a 的通项公式为n a =_____________．忽略等比数列中所有项不为零导致错误已知等比数列{}n a 的前三项分别为,22,33a a a ++，则a =_____________．【错解】因为22a +为a 与33a +的等比中项，所以2(22)(33)a a a +=+，解得1a =-或4-．【错因分析】若1a =-，则,22,33a a a ++这三项为1,0,0-，不符合等比数列的定义． 【正解】因为22a +为a 与33a +的等比中项，所以2(22)(33)a a a +=+，解得1a =-或4-．由于1a =-时，220,330a a +=+=，所以1a =-应舍去，故4a =-．【名师点睛】因为等比数列中各项均不为零，所以解题时一定要注意将所求结果代入题中验证，若所求结果使等比数列中的某些项为零，则一定要舍去．忽略等比数列中项的符号导致错误在等比数列{}n a 中，246825a a a a =，则19a a =_____________．【错解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±．【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件． 【正解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以190a a >，所以195a a =．【名师点睛】在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同．因此，在求等比数列的某一项或者某些项时要注意这些项的正负问题，要充分挖掘题目中的隐含条件．1．已知1,,,,5a b c 五个数成等比数列，则b 的值为A ．3BC．D ．522．在等比数列{}n a 中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 A ．3 B ．4 C ．5D ．63．已知等比数列{}n a 为递增数列，若10a >，且212()3n n n a a a ++-=，则数列{}n a 的公比q =A ．2或12B ．2C ．12D ．2-4．已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b = A ．16 B ．8 C ．2D ．45．已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为A ．2B ．4C ．8D ．166．在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2430x x -+=的两根，则6a 的值是 A．BC．D ．3±7．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数的和为 A ．13B ．－7C ．－7或13D ．无法求解8．已知0a b c <<<，且,,a b c 是成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则下列关于log a n ，log b n ，log c n 的说法正确的是A ．成等差数列B ．成等比数列C ．各项的倒数成等差数列D ．以上都不对9．已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++=____________．10．在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是_____________．11．在等比数列{}n a 中，572a a =，2103a a +=，则124a a =_____________． 12．已知单调递减的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项，则公比q =_____________，通项公式为n a =_____________．13．已知等比数列{}n a 中，2766a a +=，36128a a =，求等比数列{}n a 的通项公式n a ．14．已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中415a =．（1）求321,,a a a ；（2）求证：数列{1}n a +为等比数列．15．已知数列{}n a 与等比数列{}n b 满足3()n an b n =∈*N ．（1）试判断{}n a 是何种数列； （2）若813a a m +=，求1220b b b L ．16．已知{}n a 是等比数列，且263a a +=，61012a a +=，则812a a +=A ．B ．24C ．D ．4817．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则=++432b b b a a aA ．24B ．25C ．26D ．2718．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且310119122e a a a a +=（e 为自然对数的底数），则12ln ln a a ++⋅⋅⋅+20ln a =A ．50B ．40C ．30D ．2019．各项均为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为，则27211log log a a +的值为A ．4B ．3C ．2D ．120．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则234a a a b b b ++=A ．24B ．25C ．26D ．8421．在等比数列{}n a 中，27a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则21n a +=____________．22．已知数列{}n a 满足132(2)n n a a n -=+≥，且12a =，则n a =_____________． 23．已知1,,,4a b --成等差数列，1,,,,4m n t --成等比数列，则b an-=______________． 24．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264,b S =33960b S =． （1）求n a 与n b ； （2）求和：12111nS S S +++．25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在数列{}n b 中，11b a =，1(2)n n n b a a n -=-≥，且n n a S n +=．（1）设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列； （2）求数列{}n b 的通项公式．26．（2018北京文）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为 ABC．fD．27．（2016四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年28．（2017北京理）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =______________． 29．（2017新课标全国Ⅲ理）设等比数列{}n a 满足a 1+a 2=–1,a 1–a 3=–3，则a 4=______________．30．（2018新课标全国Ⅰ文）已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．31．（2016新课标全国Ⅲ文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，21(21)n n n a a a +---120n a +=．（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式．1．【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ．由题意得，215b b =⨯⇒=，又2210b q q =⨯=>，所以b =B ．2．【答案】C【解析】根据等比数列通项公式11n n a a q-=⋅有1111()3222n -=⋅，解得5n =，故选C ．5．【答案】B【解析】由题意得246516a a a ==，所以54a =±，因为32a =，所以54a =，所以2532a q a ==，所以91141012115768114a a a q a q q a a a q a q--===--，故选B ． 6．【答案】B【解析】由48,a a 是方程2430x x -+=的两根有484840,3a a a a +=>=，故48,a a 都为正数，而26483a a a ==，所以6a =，由于2640a a q =>，所以6a =，故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意，可设这三个数分别为aq，a ，aq ，则22222222739999191aa aq a q q a a a q q q ⎧⋅⋅==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎪++=⎩⎪⎩239a q =⎧⇒⎨=⎩或2319a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以3q =±或13q =±，故这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1．故这三个数的和为13或－7．故选C ．9．【答案】−5【解析】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列，335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=，∴15793log ()5a a a ++=-．10．【答案】149【解析】由题意得342231511878778107=+⇒=+⇒-+=⇒=a a a q q q q q q 或21=q （舍去），从而461.49a q == 11．【答案】2或21【解析】由等比数列性质知57210=2a a a a =，又2103a a +=，所以21a =，102a =或22a =，101a =，所以1012422a a a a ==或21． 12．【答案】12 61()2n - 【解析】由题意得，3243332(2)2(2)288a a a a a a +=+⇒++=⇒=，所以2481208202a a q q q +=⇒+=⇒=或2（舍去），所以通项公式为3631()2n n n a a q --==．13．【答案】12n n a -=或82nn a -=．【解析】设等比数列的首项为1a ，公比为q ， 由题意得272727362766,66,2,64128128a a a a a a a a a a +=+==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或2764,2.a a =⎧⎨=⎩所以55722a q a ==或512，即2q =或12， 所以2122n n n a a q--==或22812n n n a a q --==．故等比数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或82nn a -=．14．【答案】（1）11a =，23a =，37a =；（2）见解析．【解析】（1）由121n n a a -=+及415a =知432115,a a =+= 解得,73=a 同理可得.1,312==a a（2）由121+=-n n a a 可得2211+=+-n n a a ，)1(211+=+-n n a a ，{1}n a +是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列．（2）因为120813a a a a m +=+=，所以1220a a a +++=L ()120202a a +=10m ，所以2012201210122033333a a a a a am b b b +++===L L L ．16．【答案】B【解析】由题意知4446102626261243a a a q a q q a a a a ++====++，则22q =， 所以222812610610()21224a a a q a q q a a +=+=+=⨯=，故选B ． 17．【答案】B【解析】等比数列}{n b 首项是1，公比是2，所以2342,4,8b b b ===，等差数列{}n a 的首项是1，公差是2，所以2342481311311225b b b a a a a a a a d ++=++=+=+⨯=，故选B ． 18．【答案】C【解析】在等比数列中，q p n m a a a a q p n m =⇒+=+，所以3310119121011101122e e a a a a a a a a +==⇒=，由对数的运算可知1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+12201202191011ln()ln[()()()]a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=1031011ln()10ln e 30a a ===，故选C ．19．【答案】B【解析】由4a 与14a的等比中项为4148a a =，所以27211271124142log log log log log 83a a a a a a +====，故选B ． 20．【答案】D【解析】等差数列{}n a 首项是1，公差是2，所以2343,5,7a a a ===，等比数列{}n b 首项是1，公比是2，所以23424635722284a a a b b b b b b ++=++=++=，故选D ． 21．【解析】由题意得342231511878778107=+⇒=+⇒-+=⇒=a a a q q q q q q 或21=q （舍去），从而2211117777nn n n a q +-=⨯=⨯=． 22．【答案】31n -【解析】1132(2),2n n a a n a -=+≥=，1113(1),13n n a a a -∴+=++=，即数列{1}n a +是以3为首项、3为公比的等比数列，则nn a 31=+，即13-=nn a ． 23．【答案】12【解析】因为1,,,4a b --成等差数列，设公差为d ，所以4(1)141b a d ----===--，因为1,,,,4m n t --成等比数列，所以2(1)(4)4n =-⨯-=， 即2n =±，由于n 与1,4--同号，所以0n <，所以2n =-，所以1122b a n --==-． 24．【答案】（1）21n a n =+，18n n b -=；（2）32342(1)(2)n n n +-++． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 则0d>，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=，依题意有23322(93)960,(6)64,S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩解得2,8d q =⎧⎨=⎩或6,5403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)，故32(1)21n a n n =+-=+，18n n b -=．（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+，所以121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++ 323.42(1)(2)n n n +=-++ 25．【答案】（1）见解析；（2）1()2nn b =．【解析】（1）因为n n a S n += ①，所以111n n a S n +++=+ ②，②−①得111n n n a a a ++-+=，所以121n n a a +=+， 所以12(1)1n n a a +-=-，所以11112n n a a +-=-，所以{1}n a -是等比数列．因为首项111c a =-，111a a +=，所以112a =，所以112c =-， 所以{}n c 是以12-为首项，12为公比的等比数列． （2）由（1）可知1111()()()222n n n c -=-⋅=-，所以111()2n n n a c =+=-．故当2n ≥时，111111111()[1()]()()()22222n n n n nn n n b a a ---=-=---=-=．又1112b a ==代入上式也符合，所以1()2n nb =．26．【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以*1(2,)n n a n n -=≥∈N ， 又1a f =，则7781a a q f ===，故选D ．【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列．等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若1*(0,)n n a q q n a +=≠∈N 或1*(0,2,)n n aq q n a n -≠≥∈=N ， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且*2123,()n n n a a a n n --≥∈=⋅N ，则数列{}n a 是等比数列．28．【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么221312a b -+==． 29．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．30．【答案】（1）11b =，22b =，34b =；（2）数列{}n b 是等比数列，理由见解析；（3）1·2n n a n -=．【解析】（1）由条件可得12(1)n n n a a n++=， 将1n =代入得214a a =，而11a =，所以24a =． 将2n =代入得323a a =，所以312a =． 从而11b =，22b =，34b =．31．【答案】（1）41,2132==a a ；（2）121-=n n a ． 【解析】（1）由题意得41,2132==a a ． （2）由02)12(112=---++n n n n a a a a ，得)1()1(21+=++n n n n a a a a ． 因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a ， 故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此121-=n n a ．。

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第4节 等比数列【思维导图】【微试题】 1。

已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =（ ）A 。

21 B. 22 C 。

2 D.2 【答案】B2。

对任意等比数列｛a n}，下列说法一定正确的是（）A。

a1,a3，a9成等比数列 B. a2，a3，a6成等比数列C。

a2，a4，a8成等比数列 D. a3，a6，a9成等比数列【答案】D3. 在等比数列{a n｝中，若a3a5a7a9a11＝32,则错误!的值为（）A．4 B．2 C．－2 D．－4【答案】B4. 数列{a n }中，a 1=2，a 2=3,且{a n a n+1｝是以3为公比的等比数列,记b n =a 2n-1+a 2n (n ∈N ＊）.(1)求a 3，a 4,a 5，a 6的值；（2）求证:{b n ｝是等比数列。

【答案】(1）a 3=2232a ⋅=6，a 4=3332a ⋅=9，a 5=4432a ⋅=18，a 6=5532a ⋅=27【解析】解： (1)∵{a n a n+1}是公比为3的等比数列，∴a n a n+1=a 1a 2·3n —1=2·3n ，∴a 3=2232a ⋅=6,a 4=3332a ⋅=9，a 5=4432a ⋅=18，a 6=5532a ⋅=27。