等比数列求和ppt课件演示文稿

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等比数列求和公式PPT教学课件

解：当x≠0，x≠1，y≠1时
(x 1 ) (x2 1 ) ... (xn 1 )yΒιβλιοθήκη y2yn(x
x2
...
xn
)
(1 y
1 y2
...
1 yn
)
x(1 xn ) 1 x
1 y
(1
1 yn
)
1 1
y
x xn1 1x
yn 1 yn1 yn
练习: 求下式的和
（2 35) (4 352 ) (6 353) ... (2n 35n )
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)
=a1+q(Sn-an)
sn
a1 anq 1q
当公比q 1时，Sn na1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1(q 1)
an a1qn1
Sn
a1 anq 1 q
(q
1) .
na1(q 1)
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
(q
(1) (2)
(2) (1)得：1 q2n
1 qn
82
1 q2n 821 qn 82 1 qn
qn 81 q 1
a1 0, q 1 {an}是递增数列
an 54
a1q n1
54
a1 q
qn
54
a1
2 3
q由 a1(1 81) 1 q
80得：
a1 2,q 3
例4：已知Sn是等比数列{an }的前n项和， S3, S9 , S6成等差数列，
求证：a , a , a 成等差数列。 285

等比数列求和课件ppt

2、求等比数列 91，92，94，98，…的前十项和。
3、若等比数列 an满足a2 a4 20, a3 a5 40 ,则公比 q =__________;前 n 项和 Sn =_____.
小结 1.等比数列前n项和sn

a1
(1 q 1 q
n
)

a1 anq 1 q
na1
(q 1) (q 1)
2、在推导公式中运用的两种方法：错位相减法、方程法。
3、等比数列前n项和公式运用。
作业：
1、思考：推导等比数列前n项和公式的其它方法。
2、书面作业:教材习题2.5A组（必做）；教材习题2.5B组（选做）
等比数列前n项和
复习
等比数列：一个数列从第二项开始，每一项与它的前一向的
比为一个常数。这个数列就叫做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示（q≠0），即：
a n 1 an
nN
等比数列的通项公式：an a1qn1 (n N )
an am q m1 (a1 q 0)
∴
当q=1时，当q=-1时，
2、等比数列中，解： ∵
∴
，求。，求。
等比数列前n项和sn

a1
(1 q 1 q
n
)

a1 anq 1 q
na1
(q 1) (q 1)
对于a1, q, an , n, sn ,可知三求二。
练习：
1、一个球从a米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半后再落下，问当它第5次着地时，共经过了多少米？
方法一：
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ ···+an

等比数列求和PPT课件

你觉得国王是否真的很容易就能满足发明者的要求了吗？
1 陛下，赏小
2
22 23 24 25
26 27
人一些麦粒
就可以。
263
第1格： 1 第2格： 2
第3格： 22
第4格： 23
……
第63格： 262
第64格： 263
1 2 22 23 262 263 ?
那究竟有多少颗麦粒呢？1、若等比数列的前n项和Sn= 3n-2 ，求通项公式an.
2、在等比数列an中，Sm =20，S2m =60，求S3m。
3、在等比数列an中，S12 =255，其中奇数项的和
与偶数项的和之比为17:34，求公差 d。
性质1：若数列an为等比数列，则 Sm, S2m Sm, S3m S2m，...Sm 0也是等比数列。
a1 anq 1 q
当q=1时，Sn na1

na1 q 1
Sn

a1
1 qn

1 q
a1 anq ｑ１
1 q
例1 .写出等比数列-1，3，-9，27...的前n项和公式并求出数列的前8项的和。
例2：一个等比数列的首项为 9 ，末项为 4，各项的和为
探究
错
等比数列的前n项和为
位
Sn a1 a2 a3...an1 an 相
qSn a2 a3 a3... an an1
减法
①-②得： 1 q Sn a1 an1
当q≠1时，Sn

a1 an1 1 q
a1 1 qn
Sn 1 q
4
9
211，求数列的公比，并判断数列是由几项组成。 36

等比数列求和公式的推导与应用PPT

公比对等比数列求和有影响当公比为1时，等比数列为常数列，其和等于首项与末项之差等比数列求和公式推导利用错位相减法，将等比数列的和表示为无穷级数，然后通过数学运算进行化简得到应用公比调整等比数列和根据实际问题，适当调整公比，可以更准确地计算等比数列的和
02
等比数列求和公式的推导过程
利用错位相减法进行推导
错位相减法的基本原理
将一个数列分为两部分，分别求和后再相减，得到新的数列。
等比数列的特性
若一个数列为等比数列，则任意两项之比为公比且不为零。
错位相减法的应用
利用错位相减法，可以简化等比数列的求和运算。
利用等比中项的性质进行推导
定义等比数列等比数列是一种数列，其中任意两个连续项的比都是相同的常数。等比中项性质若a、b、c成等比数列，则a^2=bc。求和公式推导根据等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，将等比中项性质a^2=bc代入可得。应用实例例如，对于等比数列{1,2,4,8,...}，当q=2时，求其前五项之和为31。
01
等比数列基本概念与性质
定义与通项公式
等比数列求和公式等比数列求和公式为S=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。应用定义等比数列的应用广泛，例如在金融领域，复利计算就基于等比数列的求和公式。
等比中项与等比数列的判定
01
02
03
04
等比数列定义明确
等比数列是每一项与它前一项的比为同一常数，这个常数称为公比。
在实际Байду номын сангаас活中的应用
等比数列求和公式的推导通过等差数列与等比数列的关系，将复杂的等比数列问题转化为简单的等差数列问题，简化了计算过程。生活中的应用：金融投资在复利投资中，投资收益的计算就是一个典型的等比数列求和问题。假设年化收益率为p，初始投资额为A，投资n年，总收益S=A(1+p)^n。生活中的应用：细菌繁殖细菌繁殖是典型的指数增长模型，即每次繁殖后的数量为上一次的k倍，可以用等比数列求和公式来预测n代后的总数量。

等比数列求和1 PPT课件

1+x+x2+……+xn-1-x(1+x+x2+……+xn-1) =1-xn
1+q+q2+……+qn-1-q(1+q+q2+……+qn-1)=1-qn
在等比数列中，可用此方法消项！
Байду номын сангаас
等比数列的求和公式
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ · · · +an 即：Sn=a1+a1q+a1q2+· · · · · · +a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+· · · · · · + a1qn1+a qn 1 错位相减得：（1-q）Sn=a1-a1qn
引入
小丸子,我每天给你1000元,而你第一天给我1元,第二天给我2元,第三天给我4元,即后一天给我的钱是前一天的 2倍,如此下去一个月,怎么样?
?????, 好啊
?
问题化归：即求
?
回顾等差数列前n项求和公式的推导
倒序相加法
从等比数列的定义出发：
即在等比数列中的第k项与第k-1项q倍的差等于0
错位相减法
等比数列求和公式推导方法欣赏：运用等比定理
解决刚才提出的问题：
简单应用：
练习：1.书本P128 1 (1),(3) （1）已知a1,q,sn,求n.
2(1)
2.以下列要求编两个题目给同桌做
（2）已知an,q,sn,求a1
小
结
备用题：一个球从a米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半后再落下，问当它第5 次着地时，共经过了多少米？

等比数列求和 PPT课件

3、等比数列{an}中，前 n 项和为 Sn，S3＝2，S6＝6，
则 a10＋a11＋a12＝___1_6____.
4、等比数列{an}共 2n 项，其和为－240，且奇数项的和
比偶数项的和大 80，则公比 q＝___2_____.
5、记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝2，S6＝18，
【课内探究】规范书写：
例1.某商场今年销售计算机4000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到24000台(结果保留到个位)？
解:根据题 ,每意年的销售量增比加上的一百年分 , 率相
所以从,每第年一的年销起售等量比 an 组数 , 成列
2.2 等比数列求和（二）
【读一读学习要求，目标更明确】 1．熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题． 2．能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题．【看一看学法指导，学习更灵活】 1．解决与等比数列前 n 项和有关问题的关键在于“基本量”
以及方程思想方法的灵活运用． 2．运用等比数列前 n 项和解题时要注意“整体思想”方法的
数列 { a n } 是等比数列。
【课内探究】提问：等比数列有类似的性质？
数列an 为等差数列
SnA2nB,n 其A 中、 B为常数
当q
1时，
Sn
a1(1qn)a1a1qn
1q
1q
Sn
a1 qn a1 1q 1q
令 A a1 0，则
1q
Sn AqnA
性质1：数列 an 为等比数列数列 an 的前n项和 Sn AqnA,
灵活运用．
【课前导学】
an

等比数列求和公式PPT教学课件(1)

拉余着强我一饮同三喝酒大。我白勉而强喝别了。三大杯就告别。
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客，实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间，却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！

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注意:
1、使用等比数列前 n 项求和公式时
= 1 还是 q ≠ 1 应注意 q _______________
na1 q1 n S n a1 (1 q ) a1 an q q1 1 a 1、q、n，公式 ① 则选用 ____________ ；公式 ② 若已知 a 1、q、a n，则选用 _____
求和:
1 1 1 2 n (x ) (x 2 ) (x n ) y y y ( x 0, x 1, y 1)
练习:求和
1: 求和 (a-1)+(a2-2)+…+(an-n) 2: 求和 (2 - 3×5 -1)+(4 - 3×5 -2) + …
+ (2n - 3×5 -n) 3：求和 1+ x + x2 + x3 +…+ xn-1
二个量。三个量，可求另___ 已知____
练习：
课本 P52：练习2，数列求和的思想方法
—— 累加法 —— 累积法
—— 倒序相加法 —— 错位相减法
求数列的1+1/2，2+1/4, 3+1/8，…,n+1/2n, ... 前n项和，
求数列1/2，2/4, 3/8，…,n/2n, ...前n项和，
例1：已知数列an 满足a1
1, an 3 an1 (n 2)
n 1
(1)求a2、a3 ; 3n 1 (2)证明an 2
例2：等比数列an 的前n项和为Sn , 如果Sn
20, S2 n 80
则S3n ____ .
例3：在等比数列an 中，a9
等比数列的前n项和
an 1 q (q 0) 等比数列的定义: an a3 an a2 a4 即 q a1 a2 a3 a n 1
等比数列通项公式 :an a1q
n1
知识回顾
(a1 0, q 0)

, 等比数列的性质 : 若a n 是等比数列且m n p q (m,n, p, q N )
则有am an a p aq
对于数列{an}
Sn= a1+ a2 + a3+ …+ an
叫做数列的前n项和。
Sn-1= a1+ a2 + a3+ …+ an-1
叫做数列{an}的前n-1项和。
S1 (n 1) an S n S n1 (n 2)
等比数列: a 1,a 2,a 3,…,a n,…，的公比为q。前 n 项和 : S n = a 1+ a 2 + a 3 + … + a n
a10 a(a 0), a19 a20 b,
则a99 a100 等于

已知 lg x lg x lg x lg x 110,
2 3 10
则 lg x (lg x) 2 (lg x)3 (lg x)10 _____ .
用比例的性质推导
an a 2 a3 a 4 因为 q a1 a2 a3 an1
a 2 a3 a 4 a n 所以 q a1 a2 a3 an1 S n a1 q S n an
na1 q1 n S n a1 (1 q ) a1 an q q1 1 q 1 q
an a1q n a1 (1 q ) a1 an q S n 1 q 1 q
n 1
q1
3、若 a n、a 1、n、q、S n 五个量中
三个量，可求另___ 二个量。已知____
练习：
课本 P52：练习3，若 a n、a 1、n、q、S n 五个量中
即S n = a 1+a 1q +a 1q 2 + … +a 1q n －1
S n = a 1+ a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1q n －1
－)
qS n =
a 1q + a 1q 2 + … + a 1q n －1 + a 1q n － a 1q n
(1－q)S n= a 1 —— 错位相减法
当 q = 1 时，S n = na 1
当 q ≠1 时，
a1 a1q Sn 1 q
n
等比数列前 n 项和公式：
______________________________
na1 q 1 n S n a1 (1 q ) a1 a n q q 1 1 q 1 q