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有限元方法对工程问题的研究具有重要帮助，本文介绍了有限元方法及其基本原理以及优势，对其解决问题的一般步骤进行了总结分析。
并具体用 MATLAB 对弹簧单元和梁单元实例进一步分析计算，得出了弹簧单元各个节点位移、支反力以及单元内力；计算了梁单元所受位移、转角、力和力矩大小并绘制其剪力图和转矩图。
有限元方法；弹簧单元；梁单元;matlab1有限单元法最初作为结构力学位移法的拓展,它的基本思路是将复杂的结构或物体看成由有限数目的单元体彼此仅在结点处相联系而构成的集合体。
首先,对每一个单元分析其特性,建立相关物理量之间的相互联系;然后，依据单元之间在结点处的联系，再将各单元组装成整体,从而获得整体特性方程;最后,应用与所得方程相应的解法，即可完成整个问题的分析。
这种先“化整为零”，然后再“集零为整"和“化未知为已知”的研究方法，是有普遍意义的，是科学研究的基本方法之- -。
有限单元法作为一种近似的(除杆件体系结构静力分析外)数值分析方法,它借助于矩阵等数学工具,尽管计算工作量很大,但是分析流程是- -致的,有很强的规律性和统--的模式，因此特别适合于编制计算机程序来处理。
-一般来说,一定前提条件下分析的近似性,随着离散化单元网格的不断细化,计算精度将随之提高。
随着计算机软硬件技术的飞速发展,有限单元分析技术得到了越来越多的应用，五十多年来的发展几乎涉及了各类科学、工程领域中的问题。
从应用的深度和广度来看,有限单元法的研究和应用正继续不断地向前探索和推进。
2基础工程学科中的各种力学问题,最终归结为求解数学物理方程边值或初值问题。
而传统的研究成果只能对较简单、规则的问题进行解析求解,大量的实际科学、工程计算问题,由于数学上的困难无法得到解析的解答。
从有限单元法正式提出至今已经历了半个多世纪的发展,用有限单元法来解决问题,从理论上讲，无论是简单的十维杆件体系结构,还是承受复杂荷载和不规则边界情况的二维平面轴对称问题、三维空间块体等问题的静力、动力和稳定性分析,考虑材料具有非线性力学行为和有限变形的分析,温度场、电磁场,流体、液-固、结构与土壤相互作用等工程复杂问题的分析,都可以得到满意的解决。
《JTG D63-2007公路桥涵地基与基础设计规范》桩基土弹簧计算方法根据地基基础规范中给出的m 法计算桩基的土弹簧：基本公式：K=ab 1mz mz ③③式中：式中： a a a：：各土层厚度b 1：桩的计算宽度m m：：地基土的比例系数z z：：各土层中点距地面的距离计算示例：当基础在平行于外力作用方向由几个桩组成时，b1=0.9b1=0.9××k(d + 1) k(d + 1) ①①h1=3h1=3××(d+1)∵ d=1.2∴ h1=6.6L1=2mL1L1＜＜0.60.6××h1h1＝＝3.96M∴ k k＝＝b ′＋′＋((1((1((1－－b ′)/0.6))/0.6)××L1/h1 L1/h1 ②②当n1=2时，时，b b ′＝′＝0.6 0.6代入②式得：代入②式得：k= k=当n1=3时，时，b b ′＝′＝0.5 0.5代入②式得：代入②式得：k=0.92087542 k=0.92087542当n1n1≥≥4时，时，b b ′＝′＝0.45 0.45 带入②式得：带入②式得：k=0.912962963 k=0.912962963将k 值带入①式可求得b1b1，，对于非岩石类地基，③式中m 值可在规范表P.0.2-1中查到对于岩石类地基，③式中m 值可由下式求得：m=c/z其中c 值可在表P.0.2-2中查得将a 、b1b1、、m 、z 带入③可求得K 值表1 非岩石类土的比例系数m序号土的名称m （kN/m 4）1流塑粘性土，淤泥3000～5000 2软塑粘性土，粉砂5000～10000 3 硬塑粘性土，细砂、中砂10000～200004坚硬，半坚硬粘性土，粗砂 20000～30000 5砾砂，角砂，圆砾，碎石，卵石 30000～80000 6密实卵石夹粗砂，密实漂卵石 80000～120000同时，《08抗震细则》，第6.3.8条文说明中规定，对于考虑地震作用的土弹簧： M 动=（2~3倍）M 静。
弹簧设计计算弹簧设计计算弹簧在材料选定后，设计时需要计算出弹簧刚度F、中径D、钢丝直径d、有效圈数n、变形量f。
以下面弹簧设计为例；1.计算弹簧受力：假设弹簧端克服1个标准大气压，即推动钢球，则弹簧受力为：F=PA=1×105N/mm2×πd12 /4其中d1——钢球通道直径弹簧还须克服钢球下降重力：G=mρV=m×4ρπR3/3其中R——钢球半径弹簧受合力：F合=F+G考虑制造加工因素，增加1.2倍系数F′=1.2F合2.选材料:(一般选用碳素弹簧钢丝65Mn或琴钢丝)以65Mn为例,钢丝直径d=1.4mm3.查表计算许用应力:查弹簧手册8-10表中Ⅰ类载荷的弹簧考虑(根据阀弹簧受力情况而言) 材料的抗拉强度σb与钢丝直径d有关查表2-30(选用D组): σb=2150～2450Mpa安全系数K=1.1～1.3, 可取K=1.2, 则σb=1791.7～2041.7 Mpa 因此σb=1791.7Mpa(下限值)查表2-103,取切变模量G=78.8×103Mpa查表8-10,取许用切应力τs==0.5σb=0.3×1791.7=537.51Mpa 4.选择弹簧旋绕比C:根据表8-4初步选取C=105.计算钢丝直径:d≥1.6√KFC/[τ]其中K——曲度系数,取K=1.1～1.3F——弹簧受力6.计算弹簧中径:D=C d7.计算弹簧有效圈数:n=Gd4f/8FD3则总圈数n总=n+n1(查表8-6) 8.计算试验载荷:Fs=πd3τs/8D9.自由高度:H0=nt+1.5d其中:t——初步估计节距t=d+f/n+δ1(δ1=0.1d)查表8-7系列值H0取整数10.节距计算:t=(H0-1.5d)/n11.弹簧螺旋角:(此值一般符合=5°～9°)α=arctan(t/πD)。
静力弹塑性分析(Pushover 分析)■ 简介Pushover 分析是考虑构件的材料非线性特点，分析构件进入弹塑性状态直至到达极限状态时结构响应的方法。
Pushover 分析是最近在地震研究及耐震设计中经常采用的基于性能的耐震设计(Performance-Based Seismic Design, PBSD)方法中最具代表性的分析方法。
所谓基于性能的耐震设计就是由用户及设计人员设定结构的目标性能(target performance)，并使结构设计能满足该目标性能的方法。
Pushover 分析前要经过一般设计方法先进行耐震设计使结构满足小震不坏、中震可修的规X 要求，然后再通过pushover 分析评价结构在大震作用下是否能满足预先设定的目标性能。
计算等效地震静力荷载一般采用如图2.24所示的方法。
该方法是通过反应修正系数(R)将设计荷载降低并使结构能承受该荷载的方法。
在这里使用反应修正系数的原因是为了考虑结构进入弹塑性阶段时吸收地震能量的能力，即考虑结构具有的延性使结构超过弹性极限后还可以承受较大的塑性变形，所以设计时的地震作用就可以比对应的弹性结构折减很多，设计将会更经济。
目前我国的抗震规X 中的反应谱分析方法中的小震影响系数曲线就是反应了这种设计思想。
这样的设计方法可以说是基于荷载的设计(force-based design)方法。
一般来说结构刚度越大采用的修正系数R 越大，一般在1~10之间。
但是这种基于荷载与抗力的比较进行的设计无法预测结构实际的地震响应，也无法从各构件的抗力推测出整体结构的耐震能力，设计人员在设计完成后对结构的耐震性能的把握也是模糊的。
基于性能的耐震设计中可由开发商或设计人员预先设定目标性能，即在预想的地震作用下事先设定结构的破坏程度或者耗能能力，并使结构设计满足该性能目标。
结构的耗能能力与结构的变形能力相关，所以要预测到结构的变形发展情况。
所以基于性能的耐震设计经常通过评价结构的变形来实现，所以也可称为基于位移的设计(displacement-based design)。
弹簧设计计算已知条件：最小工作压力：F1=15N最大工作压力：F2=210N工作行程：h=15.5mm弹簧外径：D=17mm弹簧直径：d=3mm计算步骤：1），弹簧中径： D2=D-d=17-3=14mm2），弹簧指数C ： 214 4.73D C d === 3），弹簧工作圈数n ：21321()7700015.5322.1(22)8()8(21015)G d n F F C λλ-⨯⨯===-⨯-取 （查表得 剪切弹性模数G=77000）4），修正变形量λ1和λ2（1）最小工作载荷F1 ：2112315.5770003F =F 21014.1822 4.7N λλ-⨯⨯-=-=⨯⨯⨯⨯3（）Gd 8n c （2）弹簧刚度j ： 212101512.58/15.5F F j N mm h --=== （3）变形量λ1和λ21114.1 1.1212.58F mm j λ=== 2221016.6912.58F mm j λ=== 5），弹簧圈间隙δ：216.690.10.13 1.0622d mm n λδ=+=+⨯=（取1mm ） 6）弹簧节距P ：P=δ+d=1+3=4mm 7）弹簧自由高度H 0：01(0.5)221(240.5)392.5H n n d mm δ=+-=⨯+-⨯= （总圈数 n 1=n+2=24）8）实际极限载荷F lim ：lim 12.58221276.76F jn N δ==⨯⨯=弹簧的最大压缩量也就是最大工作负荷下的变形量F：F=Pn/P' 式中：Pn--最大工作负荷，N. Pn=πd^3/(3KD) [ τ ]式中：d--弹簧钢丝直径，mm. D--弹簧中径，mm. K--曲度系数，K=(4c-1)/(4c-4)+ 0.615/c c=D/d[ τ ]--弹簧的许用应力，MPa.P'--弹簧刚度，N/mm. P'=(Pn-P1)/h. 式中：P1--最小工作负荷，N。
[转载]关于LSDYNA中离散梁（discrete beam）使⽤的⼀些说明原⽂地址：关于LSDYNA中离散梁（discrete beam）使⽤的⼀些说明作者：快乐的⽼⿏⼀个离散梁（6号梁单元）最多有6 个⾃由度，⽽弹簧单元（*element_discrete）只有⼀个⾃由度，离散梁单元的内⼒在局部坐标系（r,s,t）中输出，包括在d3plot，d3thdt和elout⽂件中。
离散量单元可以是0长的也可以是⾮0长的。
必须指定⼀个⾮0值的体积（通过*SECTION_DISCRETE中的VOL参数），离散量的重量和它的长度没有关系，⽽只是体积VOL和材料密度的乘积。
INER是梁关于它三个轴的质量矩，如果它的任意⼀个旋转⾃由度被激活就必须指定⼀个⾮0的INER值。
CA和OFFSET仅针对索（使⽤材料*MAT_CABLE_DISCRETE_BEAM）。
当使⽤970v6763(或者后继版本)时，索的体积在VOL设置为0的时候会⾃动计算为长度与*CABLE ⾯积的乘积。
可使⽤的材料类型为：*MAT_USER_DEFINED_MATERIAL_MODELS*MAT_66 (*MAT_LINEAR_ELASTIC_DISCRETE_BEAM)*MAT_67 (*MAT_NONLINEAR_ELASTIC_DISCRETE_BEAM)*MAT_68 (*MAT_NONLINEAR_PLASTIC_DISCRETE_BEAM)*MAT_69 (*MAT_SID_DAMPER_DISCRETE_BEAM)*MAT_70 (*MAT_HYDRAULIC_GAS_DAMPER_DISCRETE_BEAM)*MAT_71 (*MAT_CABLE_DISCRETE_BEAM)最新添加的类型有：*MAT_74 (*MAT_ELASTIC_SPRING_DISCRETE_BEAM)(注)*MAT_93 (*MAT_ELASTIC_6DOF_SPRING_DISCRETE_BEAM)<-- 同时需要 *MAT_74*MAT_94 (*MAT_INELASTIC_SPRING_DISCRETE_BEAM)*MAT_95 (*MAT_INELASTIC_6DOF_SPRING_DISCRETE_BEAM) <-- 同时需要o *MAT_94*MAT_97 (*MAT_GENERAL_JOINT_DISCRETE_BEAM) <--同时需要任意 6 DOF类型*MAT_119 (*MAT_GENERAL_NONLINEAR_6DOF_DISCRETE_BEAM)*MAT_121 (*MAT_GENERAL_NONLINEAR_1DOF_DISCRETE_BEAM)*MAT_146 (*MAT_1DOF_GENERALIZED_SPRING) <-- 使⽤*ELEMENT_BEAM中的 SCALAR 或者 SCALR 选项*MAT_196 (*MAT_general_spring_discrete_beam) <-- 也可选 *MAT_74,93,94,95中任⼀种，包含单独的拉伸和压缩失效准（注）则。
弹簧设计计算已知条件：弹簧自由长度H0=796.8mm弹簧安装长度L1=411mm 弹簧工作长度L2=227mm弹簧中径D=22.3mm弹簧直径d=3.2mm弹簧螺距P=12mm弹簧有效圈数n=66弹簧实际圈数n1=68计算步骤：（1）初步考虑采用油淬火-回火硅锰弹簧钢丝60Si2MnA C 类，抗拉强度1716-1863MPa ，切变模量G=79GPa ，弹性模量E=206GPa 。
取b σ=1716MPa 。
（2）压缩弹簧许用切应力p τ=(0.4~0.47) b σ=(0.4~0.47)*1716MPa=686.4~806.52MPa取p τ=686.4MPa 。
（3）由于弹簧刚度尚未可知，但是弹簧的中径、直径、有效圈数都已知。
2.33.22==d D C =6.9688（计算值在5~8之间） 6.9688615.046.9688416.96884615.04414+-⨯-⨯=+--=C C C K =1.2139 弹簧的最大工作压缩量Fn=795-227=568mm由公式348DP F Gd n n n =可得最大工作载荷34343.226685682.3798⨯⨯⨯⨯==nD F Gd P n n = 803.5758N 弹簧刚度663.2282.37983434'⨯⨯⨯==n D Gd P =1.4147N/mm 节距t=662.35.1795)2~1(0⨯-=-n d H =11.9727≈12 计算出来的自由高度H0=nt+1.5d=66*12+1.5*3.2=796.8mm压并高度Hb=(n+1.5)d=(66+1.5)*3.2=216mm弹簧最小工作载荷时的压缩量F1=795-411=384mm 则最小工作载荷3431413.226683842.3798⨯⨯⨯⨯==nD F Gd P =543.2625N 螺旋角α=arctan(t/πD )=arctan(12/(3.14*22.3))= 0.1696弧度= 9.7174°弹簧展开长度L=1696.0cos 683.22cos 1⨯⨯=παπDn = 4833.3mm ≈4833mm 弹簧压并高度H b ≤n 1*d max =68*（3.2+0.03）=219.64，取值216mm弹簧压并时的变形量为796.8-216=580.8mm弹簧压并时的载荷为Fa=580.8*1.4147=821.6578N（4）螺旋弹簧的稳定性、强度和共振的验算高径比b=H0/D=796.8/22.3=35.7309>0.4n B c P H P C P >=0' 不稳定系数C B =0.02==0'H P C P B c 0.02*1.4147*796.8=22.5447N<n P =803.5758N 所以必须设置导杆。
根据上海市标准《基坑工程设计规程》的规定，在施工临时工况下，地下连续墙的计算采用规范推荐的竖向弹性地基梁法(“m ”法)。
弹性地基梁法取单位宽度的挡土墙作为竖向放置的弹性地基梁，支撑简化为与截面积、弹性模量、计算长度有关的弹簧单元，如图1为弹性地基梁法典型的计算简图。
图1 竖向弹性地基梁法计算简图基坑开挖面或地面以下，水平弹簧支座的压缩弹簧刚度H K 可按下式计算：h b k K h H ..=z m k h .=式中，H K 为土弹簧压缩刚度(kN/m)；h k 为地基土水平向基床系数(kN/m 3)；m 为基床系数的比例系数；z 为距离开挖面的深度；b 、h 分别为弹簧的水平向和垂直向计算间距(m)。
基坑内支撑的刚度根据支撑体系的布置和支撑构件的材质与轴向刚度等条件有关，按下式计算：BL A E K ....2α= 式中：K ——内支撑的刚度系数(kN/m/m)；α——与支撑松弛有关的折减系数，一般取0.5～1.0；混凝土支撑或钢支撑施加预压力时，取1.0；E ——支撑构件材料的弹性模量(kN/m 2)；A ——支撑构件的截面积(m 2)；L ——支撑的计算长度(m)；S ——支撑的水平间距(m)。
（2）水土压力计算模式作用在弹性地基梁上的水土压力与土层分布以及地下水位有关系。
水土压力计算采用水土分算，利用土体的有效重度和c 、ϕ强度指标计算土压力，然后叠加水压力即得主动侧的水土压力。
土的c 、ϕ值均采用勘察报告提供的固结快剪指标，地下连续墙变形、内力计算和各项稳定验算均采用水土分算原则，计算中地面超载原则上取为20kPa 。
基坑周边地下连续墙配筋计算时分项系数取1.25。
①土压力计算：墙后主动土压力计算采用朗肯土压力计算理论，主动土压力强度（kPa ）计算公式如下： a a i i a K c K h r q p 2)(-+=∑其中，i r 为计算点以上各土层的重度，地下水位以上取天然重度，地下水位以下取水下重度；i h 为各土层的厚度；a K 为计算点处的主动土压力系数，)245(tan 2φ-= a K ； φ,c 为计算点处土的总应力抗剪强度指标。
弹簧单元与梁单元实例计算1.绪论有限元法也叫有限单元法（finite element method, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。
由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
关键词：有限元方法，数值求解，动态分析2.有限元方法2.1有限元法概述有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。
这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。
离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。
但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。
显然，单元之间只能通过结点来传递内力。
通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。
当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。
在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。
并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。
然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。
显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。
2.2有限元法的优点1、物理概念浅显清晰，易于掌握。
有限元法不仅可以通过非常直观的物理解释来被掌握，而且可以通过数学理论严谨的分析掌握方法的本质。
2、描述简单，利于推广。
有限元法由于采用了矩阵的表达形式，从而可以非常简单的描述问题，使求解问题的方法规范化，便于编制计算机程序，并且充分利用了计算机的高速运算和大量存储功能。
3、方法优越。
对于存在非常复杂的因素组合时候，比如不均匀的材料特性、任意的边界条件、复杂的几何形状等混杂在一起的时候，有限元法都能灵活的处理和求解。
4、应用范围广。
有限元法不仅能解决结构力学,弹性力学中的各种问题,而且随着其理论基础与方法的逐步改进与成熟,还可以广泛地用来求解热传导、流体力学及电磁场等其他领域的诸多问题。
不仅如此,在所有连续介质问题和场问题中,有限元法都得到了很好的应用。
3.有限元法的一般步骤第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。
显然单元越小（网格越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。
第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。
第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。
为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。
例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。
第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。
总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。
第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。
联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。
求解结果是单元结点处状态变量的近似值。
对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
简言之，有限元分析可分成三个阶段，前置处理、计算求解和后置处理。
前置处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。
3.有限元法的实例分析如图所示弹簧单元结构，假定弹簧弹性系数分别为100kN/m、300kN/m，节点3受力F3=15kN。
求：（1）系统的总体刚度矩阵；（2）各节点的位移；（3）各节点的支反力；（4）每个弹簧单元的内力。
步骤1：离散化单元编号节点i节点j112223步骤2：写出单元刚度矩阵>> k1=SpringElementStiffness(100)>> k2=SpringElementStiffness(300)步骤3：集成总体刚度矩阵>> K=zeros(3,3)>> K=SpringAssemble(K,k1,1,2)>> K=SpringAssemble(K,k2,2,3)步骤4：引入边界条件➢位移：U1=0；➢受合外力：F2=0、F3=15kN。
>> k1=SpringElementStiffness(300)k1 =300 -300-300 300>> k2=SpringElementStiffness(300)k2 =300 -300-300 300>> k3=SpringElementStiffness(300) k3 =300 -300-300 300>> k4=SpringElementStiffness(300) k4 =300 -300-300 300>> k5=SpringElementStiffness(300) k5 =300 -300-300 300>> k6=SpringElementStiffness(300) k6 =300 -300-300 300>> K=zeros(5,5)K =0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 >> K=SpringAssemble(K,k1,1,3)K =300 0 -300 0 00 0 0 0 0 -300 0 300 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 >> K=SpringAssemble(K,k2,3,4)K =300 0 -300 0 00 0 0 0 0 -300 0 600 -300 00 0 -300 300 00 0 0 0 0 >> K=SpringAssemble(K,k3,3,5)K =300 0 -300 0 00 0 0 0 0-300 0 900 -300 -3000 0 -300 300 00 0 -300 0 300>> K=SpringAssemble(K,k4,3,5)K =300 0 -300 0 00 0 0 0 0-300 0 1200 -300 -6000 0 -300 300 00 0 -600 0 600 >> K=SpringAssemble(K,k5,5,4)K =300 0 -300 0 00 0 0 0 0-300 0 1200 -300 -6000 0 -300 600 -3000 0 -600 -300 900 >> K=SpringAssemble(K,k6,4,2)K =300 0 -300 0 00 300 0 -300 0-300 0 1200 -300 -6000 -300 -300 900 -3000 0 -600 -300 900 >> k=K([3:5],[3:5])k =1200 -300 -600-300 900 -300-600 -300 900>> f=[0;0;30]f =30>> u=k\fu =0.05380.04620.0846>> U=[0;0;u(1);u(2);u(3)]U =0.05380.04620.0846>> F=K*UF =-16.1538-13.8462-0.00000.000030.0000>> u1=[0;U(3)]u1 =0.0538>> u2=[U(3);U(4)]u2 =0.05380.0462>> u3=[U(3);U(5)]u3 =0.05380.0846>> u4=[U(3);U(5)]u4 =0.05380.0846>> u5=[U(5);U(4)]u5 =0.08460.0462>> u6=[U(4);0]u6 =0.0462>> f1=SpringElementForces(k1,u1) f1 =-16.153816.1538>> f2=SpringElementForces(k2,u2)f2 =2.3077-2.3077>> f3=SpringElementForces(k3,u3)f3 =-9.23089.2308>> f4=SpringElementForces(k4,u4)f4 =-9.23089.2308>> f5=SpringElementForces(k5,u5)f5 =11.5385-11.5385>> f6=SpringElementForces(k6,u6)f6 =13.8462-13.8462例2.2：如图所示弹簧单元结构，弹性系数均为276kN/m，节点5受力F5=20kN。
求：（1）系统的总体刚度矩阵；（2）各节点的位移；（3）各节点的支反力；（4）每个弹簧单元的内力。
步骤1：离散化单元编号节点i节点j113234335435554642步骤2：写出单元刚度矩阵>> k1=SpringElementStiffness(276)>> k2=SpringElementStiffness(276)>> k3=SpringElementStiffness(276)>> k4=SpringElementStiffness(276)>> k5=SpringElementStiffness(276)>> k6=SpringElementStiffness(276)步骤3：集成总体刚度矩阵>> K=zeros(5,5)>> K=SpringAssemble(K,k1,1,3)>> K=SpringAssemble(K,k2,3,4)>> K=SpringAssemble(K,k3,3,5)>> K=SpringAssemble(K,k4,3,5)>> K=SpringAssemble(K,k5,5,4)>> K=SpringAssemble(K,k6,4,2)步骤3：集成总体刚度矩阵>> K=zeros(5,5)>> K=SpringAssemble(K,k1,1,3)>> K=SpringAssemble(K,k2,3,4)>> K=SpringAssemble(K,k3,3,5)>> K=SpringAssemble(K,k4,3,5)>> K=SpringAssemble(K,k5,5,4)>> K=SpringAssemble(K,k6,4,2)步骤4：引入边界条件➢节点1、2位移U1=0、U2=0；节点3、4所受合外力F3=0、F4=0；➢节点5所受合外力F5=20kN。
