2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用课时作业(含解析)新人教A版必修第一册

2019年最新版高中数学教材目录必修（第一册）（共计72课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）第三章函数概念与性质（12课时）第四章指数函数与对数函数（16课时）第五章三角函数（23课时）必修（第二册）（共计69课时）第六章平面向量及其应用（18课时）第七章复数（8课时）第八章立体几何初步（19课时）第九章统计（13课时）第十章概率（9课时）选择性必修（第一册）（共计43课时）第一章空间向量与立体几何（15课时）第二章直线和圆的方程（16课时）第三章圆锥曲线的方程（12课时）选择性必修（第二册）（共计30课时）第四章数列（14课时）第五章一元函数的导数及其应用（16课时）选择性必修（第三册）（共计35课时）第六章计数原理（11课时）第七章随机变量及其分布（10课时）第八章成对数据的统计分析（9课时）详细章节内容高中数学新教材目录高中第一册第一章集合与常用逻辑用语4集合的概念 (5)集合间的基本关系 (10)集合的基本运算 (13)阅读与思考集合中元素的个数 (18)充分条件与必要条件 (20)全称量词与存在量词 (27)阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件 (34)第二章一员二次函数、方程和不等式 (39)等式性质与不等式性质 (40)基本不等式 (47)二次函数与一元一次方程、不等式 (53)第三章函数的概念与性质 (62)函数的概及其表示 (63)阅读与思考函数概念的发展历程 (78)函数的基本性质 (79)信息技术应用用计算机绘制函数图像 (90)幕函数 (92)探索与发现探索函数y=x+1/x的图象与性质 (95)函数的应用（一） (96)文献阅读与数学写作函数的形成与发展 (100)第四章指数函数与对数函数 (106)指数 (107)指数函数 (114)阅读与思考放射性物质的衰减 (118)信息技术应用探究指数函数的性质 (123)对数 (125)阅读与思考对数的发明 (131)对数函数 (133)探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系 (138)函数的应用（二） (145)阅读与思考中外历史上的方程求解 (150)文献阅读与数学写作对数概念的形成与发展 (160)数学建模建立函数模型解决实际问题 (165)第五章三角函数 (170)任意角和弧度制 (171)三角函数的概念 (180)阅读与思考三角学与天文学 (189)诱导公式 (191)三角函数的图象与性质 (199)探究与发现函数y=Asin（3x+@）及函数y=Acos9x+@） (206)211 探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质三角恒等变换 (218)信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 (227)函数 y=Asin（3x+@） (234)三角函数的应用 (245)阅读与思考振幅、周期、频率、相位 . 253 高中第二册第六章平面向量及其应用 (4)平面向量的概念 (5)平面向量的运算 (10)平面向量基本定理及坐标表示 (28)平面向量的应用 (41)复习参考题6 (62)数学探究用向量法研究三角形的性质 (66)第七章复数 (70)复数的概念 (71)复数的四则运算 (78)*复数的三角表示 (86)复习参考题7 (97)第八章立体几何初步 (99)基本立体图形 (100)立体图形的直观图 (110)简单几何体的表面积与体积 (117)空间点、直线、平面之间的位置关系 (127)空间直线、平面的平行 (136)空间直线、平面的垂直 (149)复习参考题8 (172)第九章统计 (175)随机抽样 (176)用样本估计总体 (195)阅读与思考大数据 (220)统计案例公司员工的肥胖情况调查分析 (221)复习参考题9 (225)第十章概率 (228)随机事件与概率 (229)事件的相互独立性 (249)频率与概率 (254)复习参考题10 (266)新旧教材的异同普通高中数学课程标准2017年版在实验版的基础上作了修订，总体是继承，删减了一些内容，调整了内容的顺序，注重了数学知识内部的逻辑性，使得整体内容更趋合理。

5．7 三角函数的应用必备知识基础练1．简谐运动y ＝4sin (5x －π3)的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3 B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π32．如图，为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin (ωx ＋φ)＋2，则有( )A.ω＝2π15，A ＝3 B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝53．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin (100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A4．音叉是呈“Y ”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P 离开平衡位置的位移y 与时间t 的函数关系为y ＝11 000sin ωt .图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为( )A ．200B ．400C ．200πD ．400π5．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )A ．该质点的运动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5C ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零D ．该质点的运动周期为0.8 s6．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f (t )＝2sin (5π12t －π6)，其中f (t )的单位为m ，t 的单位是h ，则12点时潮水的高度是________m.7．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t 秒时相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h 厘米满足下列关系：h ＝2sin (t ＋π6)，t ∈[0，＋∞)，则每秒钟小球能振动________次．关键能力综合练 1.如图，一个质点在半径为2的圆O 上以P 点为起始点，沿逆时针方向运动，每3s 转一圈．则该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是( )A ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin （2π3t －π4）B ．y ＝2sin (2π3t －π4)C ．y ＝2sin (2π3t ＋π4)D ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin （2π3t ＋π4） 2．人的血压在不断地变化，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设甲某的血压满足函数式p (t )＝102＋24sin (160πt )，其中p (t )为血压(单位：mmHg)，t 为时间(单位：min)，对于甲某而言，下列说法正确的是( )A ．收缩压和舒张压均高于相应的标准值B ．收缩压和舒张压均低于相应的标准值C ．收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D ．收缩压低于标准值、舒张压高于标准值3．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港．如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (ωx ＋φ)＋k ，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．104．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t2(0≤t ≤20) 给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]5．(多选)如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O 到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q ，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是( )A ．点Q 距离水平地面的高度与时间的函数为h (t )＝50sin (πt 15＋π3)＋10B ．点Q 距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为(15k ，60)(k ∈Z )C ．经过10分钟点Q 距离地面35米D ．摩天轮从开始转动一圈，点Q 距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟 6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos [π6(x －6)](A >0，x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.7．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所产生的周期性运动．习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的高潮叫潮，发生在晚上的高潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系(夜间零点开始计时).A －B ＝________.8．某一天6～14时某地的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin (π8x ＋3π4)＋20(x ∈[6，14])，其中，x 表示时间，y 表示温度．求这一天中6～14时的最大温差，并指出何时达到最高气温．9．如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．核心素养升级练1．小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状(雨棚的厚度忽略不计)，已知入口高度AB 和出口处高度CD 均为H ，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为( )A ．H 3B ．H4C ．H 5D ．H62．[2022·福建厦门高一期末]在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第x 天时太阳直射点的纬度平均值为y ，该小组通过对数据的整理和分析，得到y 与x 近似满足y ＝23.439 391 1·sin (0.017 202 5x )，则一个回归年对应的天数约为________(精确到0.01)；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期________．(π0.017 202 5≈182.624)3．“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y (米)与时间t (0≤t ≤24)(单位：小时)的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度(船底与水面的距离)为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．5．7 三角函数的应用必备知识基础练1．答案：C解析：相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.2．答案：A解析：由题目可知最大值为5，∴ 5＝A ×1＋2⇒A ＝3.T ＝604＝15，则ω＝2πT ＝2π15. 3．答案：B解析：将t ＝1200代入I ＝5sin (100πt ＋π3)得I ＝2.5 A ．4．答案：D解析：由图象可得，ω>0，T ＝4×1800＝1200，即2πω＝1200，则ω＝400π.5．答案：BCD解析：由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，所以A 错，D 正确； 该质点的振幅为5，所以B 正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s 和0.7 s 时运动速度最大，在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零，故C 正确．综上，BCD 正确．6．答案：1解析：当t ＝12时，f (12)＝2sin (5π－π6)＝2sin 5π6＝1，即12点时潮水的高度是1 m ． 7．答案：12π解析：函数h ＝2sin (t ＋π6)，t ∈[0，＋∞)的周期T ＝2π，故频率为12π.所以每秒钟小球能振动12π次．关键能力综合练1．答案：A解析：由于y 表示距离，为非负数，所以BC 选项错误．P 点的初始位置为(2，－2)，在第四象限，所以A 选项符合，D 选项不符合． 2．答案：C解析：∵p (t )＝102＋24sin (160πt )， ∴p (t )min ＝102－24＝78，p (t )max ＝102＋24＝126.所以，甲某血压的收缩压为126 mmHg ，舒张压为78 mmHg. 因此，收缩压高于标准值、舒张压低于标准值． 3．答案：C解析：从图象可以看出，函数y ＝3sin (ωx ＋φ)＋k 最小值为2，即当sin (ωx ＋φ)＝－1时，函数取得最小值，即－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以y ＝3sin (ωx ＋φ)＋5，当sin (ωx ＋φ)＝1时，函数取得最大值，y max ＝3＋5＝8，这段时间水深(单位：m)的最大值为8.4．答案：C解析：由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－π≤t ≤4k π＋π(k ∈Z )，所以函数F (t )＝50＋4sin t2在[4k π－π，4k π＋π](k ∈Z )上单调递增，当k ＝1时，t ∈[3π，5π]⊆[0，20]，此时[10，15]⊆[3π，5π].故选C.5．答案：CD解析：由题意知∠xOQ ＝π2，OQ 在t 分钟转过的角为2π30t ＝π15t ，所以以OQ 为终边的角为π15t ＋π2，所以点Q 距离水平地面的高度与时间的关系为h (t )＝50sin (πt 15＋π2)＋60＝50cos πt15＋60，故A 错误； 由πt 15＝k π＋π2，k ∈Z ，得t ＝15t ＋152，k ∈Z ，所以(15k ，60)(k ∈Z )不是对称中心，故B 错误；经过10分钟，h (10)＝50cos 10π15＋60＝35，故C 正确；由50cos πt 15＋60≤85，得cos πt 15≤12，得π3≤πt 15≤5π3，解得5≤t ≤25，共20分钟，故D 正确．6．答案：20.5解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos [π6(x －6)]，当x ＝10时，y ＝23＋5cos (π6×4)＝20.5.7．答案：－4.2或写成－215解析：由表中某市码头某一天水深与时间的关系近似为函数y ＝A cos (ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈[0，24])，从表中数据可知，函数的最大值为5.0，最小值为4.2，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝5.0－A ＋B ＝4.2，解得A ＝0.4，B ＝4.6，故A －B ＝－4.2.8．解析：由x ∈[6，14]，得3π2≤π8x ＋3π4≤5π2，所以当π8x ＋3π4＝3π2，即x ＝6时，y 取得最小值10，当π8x ＋3π4＝5π2，即x ＝14时，y 取得最大值30， 所以这一天中6～14时的最大温差为20，且14时达到最高气温． 9．解析：(1)最大用电量为50万kW ·h ，最小用电量为30万kW ·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin (wx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πw ＝14－8， ∴w ＝π6.∴y ＝10sin (π6x ＋φ)＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin (π6x ＋π6)＋40，x ∈[8，14].核心素养升级练1．答案：C解析：雨棚横截面正弦曲线振幅为A ，则雨棚的最低点到地面的距离为H －A ，雨棚的最高点到地面的距离为H ＋A ，由题意有H －A ≥23(H ＋A )，解得A ≤H5，所以横截面正弦曲线振幅的最大值为H5.2．答案：365.25 四解析：因为周期T ＝2πω＝2π0.017 202 5≈182.624×2＝365.248≈365.25，所以一个回归年对应的天数约为365.25；一个回归年对应的天数约为365.25，则4个回归年经过的天数为365.25×4＝1 461. 因为1 461＝208×7＋5，且该年的春分日是星期六，所以4个回归年后的春分日应该是星期四．3．解析：(1)画出散点图，连线如下图所示：设y ＝A sin ωt ＋b ，根据最大值13，最小值9，可列方程为⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝13－A ＋b ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3b ＝10， 再由T ＝2πω＝12，得ω＝π6，y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24).(2)3sin π6t ＋10－8≥3.5⇒sin π6t ≥12.∵0≤t ≤24， ∴0≤π6t ≤4π，∴π6≤π6t ≤5π6，或π6＋2π≤π6t ≤5π6＋2π， 解得1≤t ≤5，或13≤t ≤17，所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．。

《5.7 三角函数的应用（第一课时）》教学设计教学目标1．通过研究两个理想的物理模型——简谐运动和交流电，了解三角函数在刻画周期性现象方面的应用，提高数学应用意识，培养数学建模能力．2．通过问题研究和练习巩固，经历分析数据、观察图形、求解析式等数学活动，提高数形结合能力，发展直观想象素养．教学重难点教学重点：利用三角函数刻画简弹簧振子的运动．教学难点：将生活中与周期性现象有关的实际问题转化成与三角函数有关的数学问题．课前准备视频、Geogebra软件、PPT课件．资源引用：【情景演示】生活中的周期性现象【情景演示】简谐振动教学过程（一）整体感知引导语：前面我们学习了三角函数图象和性质，了解到三角函数是刻画现实生活中周期性现象的理想模型，今天这节课开始，我们来研究三角函数的应用．问题1：你能举出生活中具有周期性现象的实例吗？预设的师生活动：学生经过思考和讨论之后，举出一些生活中的实例，教师进行补充． 预设答案：预想学生所举周期性现象的例子可能包括以下几方面：（1）匀速圆周运动。

如表的指针的转动，摩天轮等；（2）自然界中的周期性现象。

如潮汐变化，日升日落，一天当中的气温变化等；（3）物理学中的周期性现象。

如钟摆，弹簧振子运动，发电机产生的交变电流等．（二）新知探究模型一：简谐运动播放视频：弹簧振子的简谐运动．★资源名称：【情景演示】简谐振动★使用说明：本资源通过观看视频了解简谐振动的物理原理，感受简谐振动的周期性变化．适合于三角函数有关周期性讲解的辅助展示，通过自然世界中实例的演示，使学生更加形象生动的了解知识与生活的联系，为新知识的学习做好铺垫．注：此图片为“情景视频”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．（图1）预设的师生活动：师生共同观看视频．设计意图：通过观看视频了解简谐振动的物理原理，感受简谐振动的周期性变化． 问题2：如何利用三角函数刻画弹簧振子的运动过程？预设的师生活动：学生回答．预设答案：因为弹簧振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化，所以可以用弹簧振子离开中心位置的位移与时间的三角函数关系来刻画弹簧振子的运动过程．设计意图：引导学生经历利用三角函数刻画弹簧振子运动的思考过程．例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t （单位s ）与位移y （单位mm ）之间的对应数据如表1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．问题3：画出散点图并观察，位移y 随时间t 的变化规律可以用怎样的函数模型进行刻画？预设的师生活动：学生画出散点图，分析得出位移y 随时间t 的变化规律．预设答案：根据散点图（如图2），分析得出位移y 随时间t 的变化规律可以用sin()y A t ωϕ=+这个函数模型进行刻画．设计意图：画出散点图，分析数据，建立变量满足的函数模型．问题4：由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A ，周期T ，初始状态（t =0）时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？ （图2）表1预设的师生活动：学生观察数据表和散点图基础上回答问题，并根据所得数据求出函数的解析式．教师对学生的解答进行点评之后，给出简谐运动的有关概念．预设答案：A =20，T =60 s ，初始状态的位移为-20 mm ．函数的解析式为10ππ20sin()32y t =-，[0)t ∈+∞，． 教师补充：弹簧振子的这种运动是简谐运动，在物理学中，把物体受到的力（总指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．简谐运动在生活中大量存在，如钟摆的摆动，弹簧振子的运动，琴弦的震动，水中浮标的上下浮动等，其主要特征是物体的位移随着时间呈周期性变化，因此简谐运动可以利用三角函数刻画．在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数sin()y A x ωϕ=+，[0)x ∈+∞，来表示，其中A 为振幅（物体离开平衡位置的最远距离），2πT ω=为周期，1f T=为频率．x ωϕ+相位，ϕ为初相． 设计意图：根据数据求出函数解析式，并得到简谐运动的有关知识．练习1：如图3所示是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）写出这个简谐运动的解析式．预设的师生活动：学生自主解答，教师指导和点评．预设答案： （1）振幅A ＝3，周期T ＝4，频率f ＝41． 图3（2）设这个简谐运动的函数表达式为π2π3sin()25y x =+． 设计意图：通过一个抽象的简谐运动的图象，让学生经历由图（简谐运动的图象）到数（简谐运动的解析式）的思考过程．巩固利用三角函数刻画简谐运动的有关知识．练习2：如图4，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一段固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆动．若线长l cm ，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是π3cos()[0)3g s t t l =+∈+∞，，. （1）当l =25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001 rad）； （2）已知g =9.8 m/s 2，要使沙漏摆动的周期是1 s ，线的长度应当是多少（精确到0.1 cm ）？预设的师生活动：学生观看沙漏摆动的视频，自主解决问题，教师指导和点评．预设答案：（1）最大偏角为0.1203 rad ． （2）要使沙漏摆动的周期是1 s ，线的长度l 应当为24.8 cm ．设计意图：通过一个具体的简谐运动的实验，让学生经历根据三角函数模型解决实际问题的研究过程，进一步加深学生对利用三角函数刻画周期性现象的认识，初步了解三角函数在解决实际问题方面的简单应用．模型二：交变电流播放视频：交变电流的产生预设的师生活动：师生共同观看视频．图4设计意图：通过观看视频了解交变电流的物理原理，感受交变电流的周期性变化． 问题5：如何利用三角函数刻画交变电流的周期性变化？预设的师生活动：学生回答，教师补充．预设答案：因为交变电流随着时间呈周期性变化，所以可以用交变电流与时间的三角函数关系来刻画交变电流的周期性变化．设计意图：引导学生经历利用三角函数刻画交变电流的思考过程．例2 如图5（1）所示的是某次实验测得的交变电流i （单位A ）随时间t （单位s ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图5（2）．（1）求电流i 随时间t 变化的函数解析式；（2）当1171060015060060t =，，，，时，求电流i ．问题6：观察图象，交变电流i 随时间t 的变化满足怎样的函数模型？预设的师生活动：学生回答，教师补充．预设答案：由交变电流的产生原理可知，电流i 随时间t 的变化规律可以用sin()[0)i A t t ωϕ=+∈+∞，，来刻画．教师补充：其中A 为振幅，2πω为频率，t ωϕ+为相位，ϕ为初相．设计意图：分析图象，建立变量满足的函数模型，给出利用三角函数刻画交变电流时相应参数的意义．图5（1）图5（2）问题7：根据图象，你能说出电流的的最大值A ，周期T ，初始状态（t =0）时的电流吗？由这些值，你能进一步解决问题（1）、（2）吗？预设的师生活动：学生解答．预设答案：A =5，T =501s ，初始状态的电流为4.33 A ． 由这些值可求得电流i 随时间t 的变化的解析式是π5sin(100π)[0)3i t t =+∈+∞，，． 当0=t 时，532i =； 当1600t =时，5=i ； 当1150t =时，0=i ； 当7600t =时，5-=i ； 当160t =时，0=i ． 设计意图：经历由图到数的分析过程，具体求某些具体的电流，了解三角函数的简单应用．练习3：一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图6所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U （单位V ）关于时间t （单位s ）的函数解析式．图6预设的师生活动：学生自主解答，教师引导和点拨．预设答案：周期为0.02，频率为50，电压的最大值为311 V．电压和时间的函数解析式为U＝311sin 100πt，t∈[0，+∞)．设计意图：通过研究交流电压随时间变化的问题，进一步巩固利用三角函数刻画与交变电流有关的周期性现象，体会到一个周期性现象可以伴随产生其它周期性现象，感受三角函数应用的广泛性．（三）归纳小结问题8：对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？你能举出一些符合三角函数规律的实际模型吗？在本节课中，你经历了怎样的学习过程，涉及哪些数学思想方法，还有哪些其它方面的收获？预设答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，并求出这两个变量之间满足的三角函数关系．物理中的简谐运动和交变电流都是理想当中的三角函数模型．在本节课的学习中，我们经历了由一般到特殊，由抽象到具体学习过程，涉及到数形结合思想和数学建模思想．设计意图：在回顾本节课所学内容和学习经历，感悟数学思想方法的基础上谈收获，进一步提升学生的学习体验．（四）布置作业教科书习题5.7第1，2题．（五）目标检测设计1．某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）写出这个简谐运动的函数解析式．预设答案：（1）振幅是3，周期是4，频率是14；（2）ππ3cos 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 设计意图：考查学生利用三角函数刻画简谐运动，学会由三角函数模型的图象得到函数解析式．2．弹簧振子以点O 为平衡位置在B ，C 间做简谐运动，B ，C 相距20 cm ，某时刻振子位于点B ，经0.5 s 振子首次到达点C ．求：（1）振动的周期和频率；（2）振子在5 s 内通过的路程及此时位移的大小．预设答案：（1）设振幅为A ，则2A =20 cm ，A =10 cm ，设周期为T ，则2T =0.5 s ，T =1 s ，f =1 Hz ． （2）振子在1T 内通过的距离为4A ，故在l =5s =5T 内通过的距离s =5×4A =20A =20×10 cm=200 cm=2 m ，5 s 末物体处在点B ，所以它相对平衡位置的位移为10 cm ．设计意图：考查学生利用三角函数刻画简谐运动，根据实际构建三角函数模型处理问题．。

5.7 三角函数的应用教材分析：会用三角函数解决简单的实际问题．体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．本单元内容建议用2课时完成. 第1课时，通过对弹簧振子振动、及交变电流两个物理问题来说明三角函数模型的简单应用．包括函数模型的拟合、作散点图、确定参数A ω ϕ，，从而确定出相应的函数解析式．了解简谐运动可以用函数sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))表示，理解描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、频率等与这个解析式中常数有关，理解A ω ϕ，，的物理意义．第2课时，会通过已知的函数模型及图象，确定参数A ω ϕ，，的值，并能应用函数Asin y x ωϕ=+()的图象与性质解决简单的实际问题.本节选择了4个具体实例介绍三角函数模型的应用：弹簧振子问题，交变电流问题，温度随时间呈周期性变化的问题，港口海水深度随时间呈周期性变化的问题．前两个实例中的模型是物理学中比较理想化的模型，后两个实例中的模型是现实生活中仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的模型．由于实际问题常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用信息技术处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．问题1是研究弹簧振子（简称振子）随时间呈周期性变化的问题，题目给出了某个振子在完成一次全振动的过程中，时间t 与位移y 之间的对应数据，并要求根据数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．学生可以根据已知数据作出散点图，并由数据表和散点图得到振子的位移关于时间的函数解析式．振子的运动原理是教学的一个难点．在教学前，教师可以让学生查阅资料，了解振子的运动原理．在教学中，教师可以利用物理学中的课件使学生有直观的感受，从而突破难点． 在此问题的基础上，教科书联系其他类似弹簧振子的运动给出了“简谐运动”的概念，并介绍了简谐运动的函数模型Asin y x ωϕ=+()中参数A ω ϕ，，的物理意义．问题2是研究交变电流i 随时间t 变化的问题．题目给出某次实验测得的交变电流i 随时间t 变化的图象，并要求学生求交变电流；随时间t 变化的函数解析式，以及当t 取特殊值时交变电流i 的值．教学中可以引导学生观察图象，并由图象得到sin =i t A ωϕ+()中参数，，的值，进而求出当t取特殊值时交变电流i的值．A ωϕ例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题，题目给出了某个时间段的温度变化曲线，要求学生求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式．其实就是利用函数的模型（函数图象）解决问题（求这一天的最大温差），并根据图象建立解析式．第（1）小题，虽然也可以先求出函数解析式，再根据解析式来解决这一问题，但不如直接根据函数图象看出结果方便．第（2）小题的函数模型类型已经给出，只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，从而确定其解析式．其中，A为最大值减去最小值的差的一半；ω是利用半周期为（14-6)，通过建立方程得解；ϕ可以利用特殊值求得．例2是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题．教学中，可以引导学生将表中的数据输入信息技术，画出它的散点图，然后观察散点图，选择恰当的函数模型．需要说明的是，建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的，这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析，本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义，例如，由模型解出的凌晨进港时间约等于0.3975时，如果考虑到安全因素，在稍后的0.5时，即0时30分进港是合适的．正因为有这个考虑，所以教科书在例题的后面给了一个“思考”．实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨．基于以上分析，确定本单元的教学重点及难点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．学情分析：弹簧振子的运动原理是教学的一个难点．在教学前，教师可以让学生查阅资料，了解振子的运动原理．在教学中，教师可以利用物理学中的课件使学生有直观的感受，从而突破难点．例2是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题．这个问题只给出了时间与水深的关系表，要想由此表直接得到函数模型是很困难的．教学中，可以引导学生将表中的数据输入信息技术，画出它的散点图，然后观察散点图，选择恰当的函数模型．教学目标：1. 会用三角函数解决简单的实际问题，重点提升学生的数学抽象．2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．3. 能够从已知的数学模型及图象，确定函数Asin y x ωϕ=+()中各参数A ω ϕ，，的值，提高学生数学运算和数学建模素养.教学重点：利用三角函数刻画简弹簧振子的运动．教学难点：将生活中与周期性现象有关的实际问题转化成与三角函数有关的数学问题． 教学过程：（一）问题引入展示弹簧振子的运动过程视频．设计意图：学生通过直观的观察，了解弹簧振子运动的原理，为问题１的解决做好准备，促进难点的突破．（二）三角函数在物理学中的应用问题1 某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t （单位：s ）与位移y (单位：mm)之间的对应数据如表（教材P242表5.7-1）所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．师生活动：教师引导学生思考，根据时间与位移之间的对应数据，画出散点图，观察图象从而进行函数拟合获得具体的函数模型，再结合数据表及散点图确定出相应的参数A ω ϕ，，的值，从而确定出函数解析式．设计意图：通过物理学中的弹簧振子振动原理，体会三角函数的应用，并为“简谐振动”概念的给出做以铺垫．sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))中 A ω ϕ，，的物理意义： 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是 2πT =ω，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率是由公式 2π1ωf ==T ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x ωϕ+称为相位；=0x 时的相位ϕ称为初相．设计意图：给出“简谐振动”定义，明确在“简谐振动”中 A ω ϕ，，，的物理意义. 问题2 （教科书P243页图5.7-2（1））是某次实验测得的交变电流i （单位：A ）随时间t (单位：s) 变化的图象．将测得的图象放大，得到图5.7-2（2）.（1）求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式；（2）当 1171=060015060060t ，，，， 时，求电流 i . 师生活动：教师引导学生观察图象，依据问题中给出的函数图象拟合函数模型，再依据图象及sin =i t ω φ A ωϕA +()中参数 ，，的值，进而求出当ｔ取特殊值时交变电流i 的值．设计意图：再次体会三角函数在物理学中的应用，及根据函数图象拟合函数模型确定解析式的过程．（三）三角函数在现实生活中的应用例1 如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数sin +y x A ωϕ=+()b. （1）求这一天614时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.师生活动：学生思考，依据函数模型（函数图象）可直接确定这一天614的最大温差， 从而解决第（1）小题．第（2）小题的函数模型类型已经给出，利用待定系数法求出解析式中的未知参数，从而确定解析式．其中，Ａ为最大值减去最小值的差的一半；ω 是利用半周期为(14-6)，通过建立方程得解；ϕ可以利用特殊值求得．设计意图：学习通过给出一段三角函数模型（图象），求未知参数的基本方法．例2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在潮落时返回海洋．教材中表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报．（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似值（精确到0.001m ）．（2）一条货船的吃水深度（船底与水面距离）为4m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口?在港口能呆多久?（3）某船的吃水深度为4m ，安全间隙为1.5m ，该船这一天在2:00开始卸货，吃水深度以0.3m/h 的速度减少，如果这条船停止卸货需0.4h 才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域?师生活动：教师引导学生分析观察表格数据，难以确定函数模型，可引导学生画出其散点图，然后观察图象，选择恰当的函数模型sin +y x h A ωϕ=+()来刻画港口的水深与时间的关系．根据数据确定参数 A ω φ h ，，，的值．再依据实际问题解决第（2）、第（3）小题．五、单元小结、布置作业教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题：1.三角函数在物理中的应用．2.sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))中各参数的物理意义. 3.三角函数在现实生活中的应用．4.三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．(3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法．布置作业：教科书p249 习题 5.7 1，2，3．六、目标检测设计1． 已知简谐振动的振幅是 32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点304(，)，则该简谐振动的频率和初相是( )A ．16， π6B ．18， π6C ．18， π3D ．16， π32．振动量0y x ωϕϕ>(-)，()的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是_______． 3．已知某种交流电流I （A ）随时间t （s ）的变化规律可以拟合为函数π100π2I t t ∈∞(-)，[0,+)，则这种交流电在0.5 s 内往复运动________次．。

第五章三角函数5.7 三角函数的应用（第2 课时）【教学内容】学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”。

【教学目标】1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；2.初步学会使用数据分析或图像特征进行一些简单的函数模型求解；3.会使用三角函数模型解决简单的实际问题。

【教学重难点】教学重点：用三角函数模型解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.【教学过程】一、导入新课思考：生活中有什么事情是周而复始发生的？举例：小结：从上述例子中，可以得知生活中有很多重复出现的现象，我们尝试利用某种函数模型去研究当中的规律，帮助我们做出更加科学的决策。

请问你认为目前我们所学的什么函数模型适用于上述规律呢？函数模型；因为它具有性质。

二、课堂探究例题 1 如图，我国某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +ϕ) +b ( A > 0,ω> 0, ϕ<π)（1）求这一天 6—14 时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。

解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20℃（2）由图可以看出，从 6—14 时的图像是函数小结：（1）振幅A=b=如何求函数中的ω和ϕ；（2）所求函数模型只能近似刻画某个区间的变化规律。

例题 2：货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头；卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时刻与水深关系的预报.(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 米,安全条例规定至少要有1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船这一天何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4 米,安全间隙为1.5 米,该船在2:00 开始卸货,吃水深度以每小时0.3 米的速度减少,如果这条船停止卸货后需0.4 小时才能驶到深水域，那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?问题探究 1：请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？小组合作发现，代表发言。

第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式学 习 目标核 心 素 养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式使用条件两角差的余弦公式 C (α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C (α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R名称 简记符号 公式使用条件两角和的正弦S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦 S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈Ry ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0 B.12 C.32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝______. －210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.],给角求值问题【例1】 (1)cos70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32.(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513＝－12＋5326.] (3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题【例2】 (1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [由题意可得，cos∠xOP ＝45， 所以sin∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513，可得sin∠xOQ ＝－1213，所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.] (2)[解] ①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式． 提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)．【例3】 (1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知f (x )＝3sin x －cos x ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间．[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.](2)[解] f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .1．若将例3(2)中函数改为f (x )＝－sin x ＋3cos x ，其他条件不变如何解答？ [解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝232cos x －12sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中函数改为f (x )＝m sin x ＋m cos x ，其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b2cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [提示] (1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22， ∴α－β＝－π4.。