2013届高三数学一轮复习课时作业(24)平面向量的数量积及应用 江苏专版

第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，，ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3axybxy).＝＝((，)，，梳理若向量2112ab＝·数量积____________________________向量垂直平面向量的模知识点二ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．1→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211梳理向量的模及两点间的距离→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221类型一平面向量数量积的坐标运算abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1a的坐标；求(1)ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－2此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2→→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2)利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围．向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3→→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关反思与感悟于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．→→→OCtOCBCABxOyA，－－1)，在平面直角坐标系若中，已知((1,4)，)⊥(－2,3)，，(2跟踪训练3t________.则实数＝baba的夹角为，－2)，则________1．已知与＝(3，－1)，．＝(1????1331→→??ABCBABC＝，________.2．已知向量＝＝，则∠，????2222mnmnmn)，则λ－2,2)，若(＋＝)⊥(________. 3．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋abab a·b b＝____________. ＝5|＝14．已知平面向量，且，，若，则向量＝(4，－3)，|ab＝(－1,2)＝(4,3)，．5．已知ab的夹角的余弦值；与(1)求abab)，求实数λ(的值．－λ )⊥(2＋(2)若1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．a x，(若可以对比学习、注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，3．二者不能混淆，记忆．＝1 4 yb xy ab xyxy ab xxyy＝－＝0，⊥＋?0.，则，，)＝()∥?221112112224．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．5答案精析 问题导学 知识点一jjiiij 0. ＝1×1×cos 0＝1·，思考1 ·＝＝1×1×cos 0＝1，·jyxaxiyjbi ＝，＋＋＝，思考2 ∵221122yyjyyjxxxyjxiyjxixyxyabxii . ()·(＋＝＋＋)∴＝··＝(＋)＋＋2121122222121111ybabxxya 0. ?＝·＋思考3 ＝⊥0?2112yxxy ＋梳理2112yabxxy 0⊥＋?＝2211 知识点二yxiyjxa ＋，∈∵，＝R ，思考122222222jiyyjxyxaxiyji ·jxixyi ·j . )＋＋((＝)∴2＝(＋2＋ ＋)＝22i ·jji 1，0＝1，又∵，＝＝222222yaxyxa ＝|＋＋＝∴，∴|，22yax .∴||＋＝→→→yyyOAxyxxABOBx －，，)－(，，思考2 ∵)＝＝(－)－＝(11221221→22yxABxy.－|＋－＝∴|1212题型探究ba λλ)(>0)＝λ，＝(λ，21 例解 (1)设a ·b λ＝10则有，＝λ＋4a ＝(2,4)λ∴＝2，∴．a ·bb ·c 10，＝1×2－2×1＝0，(2)∵＝aab ·c 0)＝0，∴＝(ca ·b ．＝(20，－(10))1)＝10(2，－11 跟踪训练→OA ＝(16,12)例2 解 (1)由，→AB ，＝－12)(－21,3)－＝(－516,15→22OA ＝|20|＝1612＋，得→22AB 152.|－|＝＋3＝ 6→→ABAO ·→→ABOABAO. ＝(2)cos ∠cos ＝， →→ABAO ||||→→→→ABABAOOA 300. ＝－＝－[16×(－其中21,3)··21)＋12×3]＝＝－(16,12)·(－2300OAB .故cos ∠＝＝2220×15OAB ∴∠＝45°.ba ，1)∵，＝(1，－1)，＝(λ 跟踪训练2 解2baab 1. ＝|＝1＋λλ，∴|－|＝2|，·ba 为钝角，又∵的夹角，α ，1<0λ－?? ∴2?，2·1＋λλ≠1－ ，λ<1?? 即?2＋1≠0.λλ＋2??1. λ≠－<1∴λ且 1,1)．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1 (1)例3 － 7133±211. －(2)或或 2331 －跟踪训练3当堂训练π3 3.－1. 2.30° 434????，－ 4. ??552552 (2)(1)5． 925 720XX —019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。

江苏专版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及其应用教案理含解析苏教版第三节平面向量的数量积及其应用1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA―→＝a，OB―→＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b2.平面向量的数量积设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b.3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22[小题体验]1．已知|a|＝2，|b|＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为________． 答案：5π62．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，若(a －2b)⊥a ，则|b|＝________.解析：因为a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，所以a －2b ＝(－3,3－2t )．因为(a －2b)⊥a ，所以(a －2b )·a ＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t )＝0，即t ＝2，所以b ＝(1,2)，所以|b|＝12＋22＝ 5. 答案： 53．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.解析：由b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，得b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝－6.答案：－61．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c(a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b ＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b ＜0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b. 4．在用|a|＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方． [小题纠偏] 1．给出下列说法：①向量b 在向量a 方向上的投影是向量；②若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角； ③(a ·b)c ＝a(b ·c)； ④若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0. 其中正确的说法有________个． 答案：02．已知向量BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝________.解析：因为BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA ―→·BC ―→＝34＋34＝32.所以cos∠ABC ＝BA ―→·BC ―→| BA ―→||BC ―→|＝32，又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.答案：30°3．已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b|＝23，则|b|＝________.解析：因为a ＝(1，3)，所以|a|＝2，又|a －2b|＝23，即|a|2－4a ·b ＋4|b|2＝12，故22－4×2×|b |×cos π3＋4|b|2＝12，化简得|b|2－|b|－2＝0，所以|b|＝2.答案：2考点一 平面向量的数量积的运算基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝________. 解析：因为a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， 所以(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3. 答案：－32．(2018·南京高三年级学情调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM ―→＝λBC ―→.若AM ―→·BC ―→＝－173，则实数λ＝________.解析：因为BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→，AB ―→·AC ―→＝2×3×cos 120°＝－3.所以AM ―→·BC ―→＝(λ－1)AB―→2＋λAC ―→2＋(1－2λ)AB ―→·AC ―→＝19λ－12＝－173，所以λ＝13.答案：133．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)， 所以|a|＝－22＋－62＝210，又|b|＝10，向量a与b 的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案：104．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则AB―→·AD―→＝________.解析：法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝22，所以AB―→·AD―→＝AB―→·(AC―→＋CD―→)＝AB―→·AC―→＋AB―→·CD―→＝|AB―→|·|AC―→|cos 45°＋|AB―→|·|CD―→|cos 45°＝22×2×22＋22×1×22＝6.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1,0)，所以AB―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，AD―→＝ (－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，所以AB―→·AD―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.答案：6[谨记通法]向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题考点二平面向量数量积的性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题． 常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直．[题点全练]角度一：平面向量的模1．(2018·苏州高三暑假测试)已知平面向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，若|a ＋b|＝52，则|b|＝________.解析：因为a ＝(2,1)，所以|a|＝5，又|a ＋b|＝52，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，所以b 2＝25，所以|b|＝5.答案：5角度二：平面向量的夹角2．(2018·太湖高级中学检测)已知|a|＝1，|b|＝2，且a ⊥(a －b)，则向量a 与向量b 的夹角为________．解析：因为a ⊥(a －b)，所以a ·(a －b)＝a 2－a ·b ＝1－2cos a ，b ＝0， 所以cos a ，b ＝22， 所以a ，b ＝π4.答案：π43．(2019·启东中学检测)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．解析：如图，在△ABC 中，设BC ―→＝β，BA ―→＝α， 则AC ―→＝BC ―→－BA ―→＝β－α.因为α与β－α的夹角为120°，所以A ＝60°.由正弦定理得BC sin A ＝BA sin C ，则BA ＝233sin C ．又0＜sin C ≤1，所以0＜BA ≤233，故α的模的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，233.答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，233角度三：平面向量的垂直4．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量AB ―→＝(6,1)，BC ―→＝(x ，y )，CD ―→＝(－2，－3)，且AD ―→∥BC ―→.(1)求x 与y 之间的关系式；(2)若AC ―→⊥BD ―→，求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题意得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝(x ＋4，y －2)，BC ―→＝(x ，y )． 因为AD ―→∥BC ―→，所以(x ＋4)y －(y －2)x ＝0， 即x ＋2y ＝0.(2)由题意得AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝(x ＋6，y ＋1)，BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝(x －2，y －3)． 因为AC ―→⊥BD ―→，所以(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1时，AC ―→＝(8,0)，BD ―→＝(0，－4)，S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝16；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3时，AC ―→＝(0,4)，BD ―→＝(－8,0)，S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝16.所以四边形ABCD 的面积为16.[通法在握]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b| a |·|b|，要注意θ∈[0，π]．(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a|2或|a|＝a ·a. ②|a ±b|＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2.(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b|＝|a ＋b|.[演练冲关]1．(2019·海安模拟) 已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝________.解析：由题意可得a ·b ＝|a |·|b|cos π3＝3，所以|2a －3b|＝2a －3b2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61.答案：612．已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b|＝1，|a －b|＝21，则向量a ，b 的夹角为________． 解析： 易知|b|＝1，|a|＝5，对|a －b|＝21两边平方，整理得2a ·b ＝5， 即2|a||b|cos θ＝5，解得cos θ＝12，则向量a ，b 的夹角为π3.答案：π33．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λ AB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：BC ―→＝AC ―→－AB ―→，由于AP ―→⊥BC ―→， 所以AP ―→·BC ―→＝0，即(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→) ＝－λAB ―→2＋AC ―→2＋(λ－1)AB ―→·AC ―→＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝0，解得λ＝712.答案：712考点三 平面向量与三角函数的综合重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·启东高三期中)已知向量a ＝(sin x,2)，b ＝(cos x ，1)，函数f (x )＝a ·b.(1)若a ∥b ，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值；(2)求函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值和最大值．解：(1)由a ∥b ，得sin x ＝2cos x ．所以tan x ＝2.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋11－tan x ＝－3.(2)因为f (x )＝a ·b ＝sin x ·cos x ＋2＝12sin 2x ＋2，所以y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，从而－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.于是，当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12有最小值74， 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12有最大值52. [由题悟法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．[即时应用]已知向量m ＝(3cos x ，－1)，n ＝(sin x ，cos 2x )． (1)当x ＝π3时，求m ·n 的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且m ·n ＝33－12，求cos 2x 的值．解：(1)当x ＝π3时，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，所以m ·n ＝34－14＝12.(2)m ·n ＝3cos x sin x －cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12. 若m ·n ＝33－12，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝33－12， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以－π6≤2x －π6≤π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63， 则cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6sin π6＝63×32－33×12＝32－36.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·海门模拟)向量a ＝(3,4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为________． 解析：∵向量a ＝(3,4)，b ＝(1，－1)， ∴向量a 在向量b 方向上的投影为|a|cos θ＝a ·b | b|＝3×1＋4×－112＋－12＝－22. 答案：－222．(2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b)＝8，|a|＝2，则|b|＝________.解析：因为a ·(a －b)＝8，所以a ·a －a ·b ＝8， 即|a|2－|a||b|cos a ，b ＝8， 所以4＋2|b |×12＝8，解得|b|＝4.答案：43．(2018·苏州期末)已知a ＝(m,2)，b ＝(1，n )，m ＞0，n ＞0，且|a|＝4，|b|＝2，则向量a 与b 的夹角是________．解析：设向量a 与b 的夹角是θ，θ∈[0，π]，∵a ＝(m,2)，b ＝(1，n )，m ＞0，n ＞0，且|a|＝4，|b|＝2， ∴m 2＋4＝16,1＋n 2＝4，解得m ＝23，n ＝ 3.∴a ·b ＝m ＋2n ＝43＝4×2×cos θ， ∴cos θ＝32，则向量a 与b 的夹角是π6. 答案：π64．(2018·滨海期末)已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(3，t )，若a ⊥b ，则|2a ＋b|＝________. 解析：∵向量a ＝(－1,3)，b ＝(3，t )，a ⊥b ， ∴a ·b ＝－3＋3t ＝0，解得t ＝1， ∴b ＝(3,1)，2a ＋b ＝(1,7)， 故|2a ＋b|＝1＋49＝5 2. 答案：5 25．(2018·淮安高三期中)在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠ABC ＝60°，则AB ―→·AC ―→＝________.解析：由题意得AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，所以AB ―→·AC ―→＝AB ―→·(AB ―→＋AD ―→)＝AB ―→2＋AB ―→·AD ―→＝4＋2×1×cos 120°＝3.答案：36．(2018·南通一调)已知边长为6的正三角形ABC ，BD ―→＝12BC ―→，AE ―→＝13AC ―→，AD 与BE 交于点P ，则PB ―→·PD ―→的值为________．解析：如图，以D 为原点，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，D (0,0)，A (0，33)，E (1, 23)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，332，所以PB ―→·PD ―→＝|PD ―→|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＝274. 答案：274二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·淮安调研)已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a|＝________.解析：由已知得2a －b ＝(3，x )，而(2a －b )·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3， 所以|a|＝1＋x 2＝4＝2. 答案：22．(2019·如皋模拟)已知平面向量a 与b 的夹角为60°， a ＝(3,4)，|b|＝1，则|a －2b|＝________.解析：∵a ＝(3,4)，∴|a|＝32＋42＝5，又|b|＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 60°＝5×1×12＝52，∴|a －2b|2＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝25＋4－10＝19， 则|a －2b|＝19. 答案：193．(2018·苏北四市期末)已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________．解析：因为非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|，所以a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，a ·b ＝－12a 2＝－12b 2，所以a ·(2a －b)＝2a 2－a ·b ＝52a 2，|2a －b|＝2a －b2＝5a 2－4 a ·b＝ 7|a|，cos 〈a,2a －b 〉＝a ·2a －b |a |·|2a －b|＝52a 2|a|·7|a|＝527＝5714.答案：57144．(2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD 中，P 为矩形ABCD 所在平面内一点，且满足PA ＝3，PC ＝4，矩形对角线AC ＝6，则PB ―→·PD ―→＝________.解析：由题意可得PB ―→·PD ―→＝(PA ―→＋AB ―→)·(PA ―→＋AD ―→)＝PA ―→2＋PA ―→·AD ―→＋AB ―→·PA ―→＋AB ―→·AD ―→＝9＋PA ―→·(AD ―→＋AB ―→)＋0＝9＋PA ―→·AC ―→＝9＋3×6×cos(π－∠PAC )＝9－18×PA 2＋AC 2－PC 22×PA ×AC ＝9－18×9＋36－162×3×6＝－112.答案：－1125．(2018·苏锡常镇调研)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ―→＝λAB ―→，λ∈R ，若BD ―→·CP ―→＝－3，则λ＝________.解析：法一：由题意可得BA ―→·BC ―→＝2×2cos π3＝2，BD ―→·CP ―→＝(BA ―→＋BC ―→) ·(BP ―→－BC ―→) ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(AP ―→－AB ―→)－BC ―→] ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(λ－1)·AB ―→－BC ―→]＝(1－λ)BA ―→2－BA ―→·BC ―→＋(1－λ)BA ―→·BC ―→－BC ―→2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， 所以λ＝12.法二：建立如图所示的平面直角坐标系， 则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ―→·CP ―→＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1.因为AP ―→＝λAB ―→，所以λ＝12.答案：126．(2018·苏北四市调研)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→＝________.解析：BC ―→·DC ―→＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝(OC ―→＋OD ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝OC ―→2－OD ―→2，同理，AB ―→·AD ―→＝AO ―→2－OD ―→2＝－7，所以BC ―→·DC ―→＝OC ―→2－OD ―→2＝OC ―→2－AO ―→2－7＝9.答案：97．(2019·崇川一模)若非零向量a 与b 满足|a|＝|a ＋b|＝2，|b|＝1，则向量a 与b 夹角的余弦值为________．解析：∵非零向量a 与b 满足|a|＝|a ＋b|＝2，|b|＝1， ∴|a|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a ·b ， 即a ·b ＝－12|b|2＝－12×12＝－12，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b|＝－122×1＝－14，∴向量a 与b 夹角的余弦值为－14.答案：－148．(2018·盐城期中)如图，在四边形ABCD 中，A ＝π3，AB ＝2，AD ＝3，分别延长CB ，CD 至点E ，F ，使得CE ―→＝λCB ―→，CF ―→＝λCD ―→，其中λ＞0，若EF ―→·AD ―→＝15，则λ的值为________．解析：∵EF ―→＝CF ―→－CE ―→＝λCD ―→－λCB ―→＝λBD ―→＝λ(AD ―→－AB ―→)， ∴EF ―→·AD ―→＝λ(AD ―→－AB ―→)·AD ―→＝λ(AD ―→2－AB ―→·AD ―→)＝λ(9－3)＝15， ∴λ＝52.答案：529．(2019·通州调研)设两个向量a ，b 不共线．(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)若|a|＝2，|b|＝3，a ，b 的夹角为60°，求使向量k a ＋b 与a ＋k b 垂直的实数k 的值．解：(1)证明：∵AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝(a ＋b)＋(2a ＋8b)＋3(a －b) ＝6(a ＋b)＝6AB ―→，∴AD ―→与AB ―→共线，且有公共点A ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 垂直， ∴(k a ＋b )·(a ＋k b)＝0，∴k a 2＋(k 2＋1)|a||b |·cos 60°＋k b 2＝0， 即3k 2＋13k ＋3＝0， 解得k ＝－13±1336.10．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP ―→＝2PD ―→. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP ―→·BP ―→的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP ―→·BP ―→＝6，求AB ―→与AD ―→夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB ―→⊥AD ―→，即AB ―→·AD ―→＝0， 又AB ＝9，BC ＝6，CP ―→＝2PD ―→， 所以AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋13AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－23AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋13AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－23AB ―→＝AD ―→2－13AB ―→·AD ―→－29AB ―→2＝62－29×92＝18.(2)设AB ―→与AD ―→的夹角为θ，由(1)得， AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋13AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－23AB ―→＝AD ―→2－13AB ―→·AD ―→－29AB ―→2＝62－ 13×9×6×cos θ－29×92＝6，所以cos θ＝23.故AB ―→与AD ―→夹角的余弦值为23.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·徐州高三年级期中考试)如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为AB 上的一点，若OP ―→·OA ―→＝2，则OP ―→·AB ―→＝________.解析：如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (0,2)，设P (x ，y )，由OP ―→·OA ―→＝2，可得2x ＝2，x ＝1，P 为A B 上的一点，所以|OP ―→|＝2，所以P (1，3)，OP ―→＝(1，3)，又AB ―→＝(－2,2)，所以OP ―→·AB ―→＝－2＋2 3. 答案：－2＋2 32．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q.若||AB ―→＝3，||AC ―→＝5，则(AP ―→＋A Q ―→)·(AB ―→－AC ―→)的值为________．解析：法一：因为AP ―→＝A Q ―→＋Q P ―→，所以AP ―→＋A Q ―→＝2A Q ―→＋Q P ―→，而AB ―→－AC ―→＝CB ―→，由于Q P ―→⊥CB ―→，所以Q P ―→·CB ―→ ＝0，所以(AP ―→＋A Q ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝(2A Q ―→＋Q P ―→)·CB ―→＝2A Q ―→·CB ―→，又因为Q 是BC 的中点，所以2A Q ―→＝AB ―→＋AC ―→，故2A Q ―→·CB ―→＝(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→2－AC ―→2＝9－25＝－16.法二：由题意得△ABC 是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB ⊥BC ，从而P 为AC 的中点．又|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝5，所以|BC ―→|＝4，cos ∠BAC ＝35，故AP ―→＋A Q ―→＝12AC ―→＋12(AB ―→＋AC ―→)＝12AB ―→＋AC ―→，从而(AP ―→＋A Q ―→)·(AB ―→－AC ―→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋AC ―→·(AB ―→－AC ―→) ＝12AB ―→2＋12AB ―→·AC ―→－AC ―→2 ＝12×9＋12×3×5×35－25＝－16. 答案：－163．(2019·姜堰中学调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，AD ⊥BC 于D ，求BA ―→·AD ―→的值．解：(1) 由m ·n ＝35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )·sin B ＝35，所以cos A ＝35.因为0＜A ＜π2，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.(2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22.因为0＜B ＜π2，所以B ＝π4，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22(sin A ＋cos A )＝7210. 又|AD ―→|＝|AC ―→|sin C ＝5×7210＝722，所以BA ―→·AD ―→＝(BD ―→＋DA ―→)·AD ―→＝－AD ―→2＝－|AD ―→|2＝－492.命题点一 平面向量基本定理1．(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC 中，AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：由题知EB ―→＝EA ―→＋AB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AB ―→＋AC ―→＋AB ―→＝34AB ―→－14AC ―→＝34a －14b. 答案：34a －14b2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b)，则λ＝________.解析：由题易得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b)， 所以4λ＝2，解得λ＝12.答案：123．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.答案：34．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝2－5＝－3.答案：－3命题点二 平面向量的数量积1.(2016·江苏高考)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA ―→·CA ―→＝4，BF ―→·CF ―→＝－1，则BE ―→·CE ―→的值是________．解析：由题意，得BF ―→·CF ―→＝(BD ―→＋DF ―→)·(CD ―→＋DF ―→)＝(BD ―→＋DF ―→)·(－BD ―→＋DF ―→)＝DF ―→2－BD ―→2 ＝|DF ―→|2－|BD ―→|2＝－1，①BA ―→·CA ―→＝(BD ―→＋DA ―→)·(CD ―→＋DA ―→) ＝(BD ―→＋3DF ―→)·(－BD ―→＋3DF ―→) ＝9DF ―→2－BD ―→2＝9|DF ―→|2－|BD ―→|2＝4.② 由①②得|DF ―→|2＝58，|BD ―→|2＝138.所以BE ―→·CE ―→＝(BD ―→＋DE ―→)·(CD ―→＋DE ―→) ＝(BD ―→＋2DF ―→)·(－BD ―→＋2DF ―→)＝4DF ―→2－BD ―→2 ＝4|DF ―→|2－|BD ―→|2＝4×58－138＝78.答案：782．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP ―→＝3PD ―→，AP ―→·BP ―→＝2，则AB ―→·AD ―→的值是________．解析：因为AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋14AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－34AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋14AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－34AB ―→＝|AD ―→|2－316|AB ―→|2－12AD ―→·AB ―→＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB ―→·AD ―→＝22.答案：223．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b)＝________.解析：a ·(2a －b)＝2a 2－a ·b ＝2|a|2－a ·b. ∵|a|＝1，a ·b ＝－1， ∴原式＝2×12＋1＝3.答案：34．(2018·北京高考)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b)，则m ＝________. 解析：因为a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )， 所以m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b)，得a ·(m a －b)＝0， 即m ＋1＝0，所以m ＝－1. 答案：－15.(2018·天津高考改编)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE ―→·BE ―→的最小值为________．解析：如图，以D 为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC . 由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE ―→＝(－1，y )，BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE ―→·BE ―→＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE ―→·BE ―→有最小值2116. 答案：21166．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (cos α，sin α)，则AP ―→＝(cos α＋2，sin α)，AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.法二：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，当且仅当x ＝1，P (1,0)时“＝”成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.答案：67．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m ＝________.解析：因为|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a ·b ＝|a|2＋|b|2，所以a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，所以m ＋2＝0，所以m ＝－2. 答案：－28．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.1。

5.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·盐城二模)若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角为________．2．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC |BC |＝________.3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________. 5．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ―→·EM ―→的取值范围是________．6．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN 的模为________．8．(2013·山东高考)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．9．(2014·泰州期末)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R .(1)求|a |2＋|b |2的值；(2)若a ⊥b ，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a ∥b .10．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)当AB ＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．Ⅱ组：重点选做题1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC 中，点M 满足BM ＝2MA ，则CM ·CB ＝________.2．(2013·盐城二模)若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________．3.(2014·泰州模拟)如下图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．『解析』因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，从而5－6e 1·e 2－8＝0，所以e 1·e 2＝－12，故〈e 1·e 2〉＝2π3. 『答案』2π32．『解析』由条件得|AB ＋AC |＝|AC －AB |，故AC ·AB ＝0，即AC ⊥AB ，故|BC |＝2，∠ABC ＝60°，从而原式＝1×2×cos 60°2＝12. 『答案』123．『解析』设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)． AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1.∴此时点P 坐标为(3,0)．『答案』(3,0)4．『解析』如下图，CD ＝CB ＋BD .又∵BD ＝2DA ，∴CD ＝CB ＋23BA ＝CB ＋23(CA －CB )，即CD ＝23CA ＋13CB ， ∵∠C ＝π2，∴CA ·CB ＝0，∴CD ·CA ＝⎝⎛⎭⎫23 CA ＋13 CB ·CA ＝23CA 2＋13CB ·CA ＝6.『答案』65.『解析』将正方形放入如下图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1,1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC ＝(1－x,1)， 所以EM ·EC ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 『答案』⎣⎡⎦⎤12，326．『解析』∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 45°＝22|b |， ∴|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10.∴|b |＝3 2. 『答案』327．『解析』∵a ∥b ，∴x ＝4.∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4.∴向量MN ＝(－8,8)，∴|MN |＝8 2.『答案』828．『解析』BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC ＝0，即(λAB ＋AC )·(AC －AB )＝－λ2AB ＋2AC ＋(λ－1) AB ·AC＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解得λ＝712. 『答案』7129．解：(1)因为|a |＝cos 2λθ＋cos 2[10－λθ]，|b |＝sin 2[10－λθ]＋sin 2λθ，所以|a |2＋|b |2＝2.(2)因为a ⊥b ，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0.所以sin 『(10－λ)θ＋λθ』＝0，所以sin 10θ＝0，所以10θ＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π10，k ∈Z . (3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－ λ)θ·sin(10－ λ)θ ＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20·sin ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0， 所以a ∥b .10．解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0.∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0，∴cos 2A ＝14. 又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴A ＝π3. (2)由(1)可得m ＝⎝⎛⎭⎫34，32，n ＝⎝⎛⎭⎫1，－32.∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ·q ≤p ＋q 2，∴p ·q ≤3.∴p ·q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932.第Ⅱ组：重点选做题1．『解析』法一：由题知， CM ·CB ＝(CB ＋BM )·CB ＝2CB ＋23BA ·CB ＝36＋23×6×6×cos 120°＝24.法二：以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，A (0,33)，从而M (－1,23)，所以CM ＝(－4,23)，CB ＝(－6,0)．因此CM ·CB ＝(－4)×(－6)＋23×0＝24.『答案』242．『解析』记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b )，BG ＝13(b －2a )．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b )(b －2a )＝0，即2b 2－5b ·a ＋2a 2＝0，所以cos C ＝2b 2＋2a 25|b |·|a |≥45，故当|b |＝|a |时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35. 『答案』353．解：以O 为原点，OA 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，又C ⎝⎛⎭⎫－22，22， 所以OC ＋OD ＝⎝⎛⎭⎫－22＋t ，22， 所以|OC ＋OD |2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)， 当t ＝22时，其最小值为12，即|OC ＋OD |的最小值为22. (2)设OC ＝(cos α，sin α)⎝⎛⎭⎫0≤α≤3π2， 则CE ＝OE －OC ＝⎝⎛⎭⎫0，－12－(cos α，sin α)＝⎝⎛⎭⎫－cos α，－12－sin α. 又D ⎝⎛⎭⎫12，0，E ⎝⎛⎭⎫0，－12，所以DE ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12， 因为π4≤α＋π4≤7π4，所以CE ·DE ∈⎣⎡⎦⎤14－22，14＋22. 故CE ·DE ＝12⎝⎛⎭⎫cos α＋12＋sin α＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋14.。

课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积与平面向量应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则m 的值是________． 解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， ∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2. 答案：－22．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ＝________.解析：b ＋λa ＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c ＝(3,4)，又(b ＋λa )⊥c ，∴(b ＋λa )·c ＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311.答案：－3113．在边长为1的等边△ABC 中，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.解析：依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32. 答案：－324．(2016·某某模拟)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，∴a 与b 的夹角为2π3.答案：2π35．给出下列命题：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确命题的个数为________．解析：①②③显然正确；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b ·c )与a 共线，故④错误；a ·b 是一个实数，应该有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·某某调研)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝________.解析：因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.答案：－32．(2016·某某质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为________．解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.答案：π33．(2015·某某调研)平面四边形ABCD 中，AB ＋CD ＝0，(AB －AD )·AC ＝0，则四边形ABCD 的形状是________．解析：因为AB ＋CD ＝0，所以AB ＝－CD ＝DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB －AD )·AC ＝DB ·AC ＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．答案：菱形4．(2016·某某质检)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM ·DB 等于________．解析：因为DM ＝DA ＋AM AM ＝DA ＋13AB ，DB ＝DA ＋AB ，所以DM ·DB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DA ＋13 AB ·(DA ＋AB ) ＝|DA |2＋13|AB |2＋43DA ·AB ＝1＋43－43AD ·AB＝73－43|AD |·|AB |·cos 60° ＝73－43×1×2×12＝1. 答案：15．(2016·某某太湖高级中学检测)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD ＝________.解析：由题意，得MA ·MD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 CB ＋BA · ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 CB ＋CD ＝－14|CB |2＋12CB ·CD －12CB ·BA ＋BA ·CD ＝－14×(2)2＋12×2×1×cos 135°－12×2×2×cos 135°＋2×1×cos 0°＝－12－12＋1＋2＝2.答案：26．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋－82＝8 2.答案：8 27.(2015·某某师大附中月考)如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ＝4AC ，则OC ·(OB －OA )＝________.解析：由已知得|AB |＝2，|AC |＝24， 则OC ·(OB －OA )＝(OA ＋AC )·AB ＝OA ·AB ＋AC ·AB ＝2cos 3π4＋24×2＝－12. 答案：－128．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO ＝x CA ＋y CB ，且x ＋y ＝1.若函数f (m )＝|CA －m CB |(m ∈R)的最小值为32，则|CO |的最小值为________． 解析：由CO ＝x CA ＋y CB ， 且x ＋y ＝1， 可知A ，O ，B 三点共线，所以|CO |的最小值为AB 边上的高， 又AC ＝BC ＝1，即O 为AB 的中点， 且函数f (m )＝|CA －m CB |的最小值为32， 即点A 到BC 边的距离为32. 又AC ＝1，所以∠ACB ＝120°，从而可得|CO |的最小值为12.答案：129．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3.②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(ka －b )，∴(a ＋2b )·(ka －b )＝0， ∴ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与ka －b 垂直．10．(2016·某某调研)在平面直角坐标系中，已知点A (4,0)，B (t,2)，C (6，t )，t ∈R ，O 为坐标原点．(1)若△ABC 是直角三角形，求t 的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，求|OD |的最小值． 解：(1)由题意得AB ＝(t －4,2)，AC ＝(2，t )，BC ＝(6－t ，t －2)．若∠A ＝90°，则AB ·AC ＝0，即2(t －4)＋2t ＝0， ∴t ＝2；若∠B ＝90°，则AB ·BC ＝0，即(t －4)(6－t )＋ 2(t －2)＝0，∴t ＝6±22；若∠C ＝90°，则AC ·BC ＝0，即2(6－t )＋t (t －2)＝0，无解．∴满足条件的t 的值为2或6±2 2.(2)若四边形ABCD 是平行四边形，则AD ＝BC ，设点D 的坐标为(x ，y )，则(x －4，y )＝(6－t ，t －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－t ，y ＝t －2，即D (10－t ，t －2)， ∴|OD |＝10－t2＋t －22＝2t 2－24t ＋104，∴当t ＝6时，|OD |取得最小值4 2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值X 围是________．解析：∵a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1.又a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2，|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1，∴2c ·(a ＋b )＝c2＋1，∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．又－1≤cos θ≤1，∴1≤c 2＋1≤22|c |，∴c 2－22|c |＋1≤0，∴2－1≤|c |≤2＋1.答案：[2－1，2＋1]2．已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA 2＋BC 2＝OB 2＋CA 2＝OC 2＋AB 2，则点O 一定为△ABC 的________(填“重心”“垂心”“外心”“内心”中的一个)．解析：∵OA 2＋BC 2＝OB 2＋CA 2，∴OA 2－OB 2＝CA 2－BC 2，∴(OA －OB )·(OA ＋OB )＝(CA ＋BC )·(CA －BC )，∴BA ·(OA ＋OB )＝BA ·(CA－BC )，∴BA ·(OA ＋OB －CA ＋BC )＝0，∴BA ·(OA ＋AC ＋OC )＝0，∴BA ·OC ＝0，∴BA ⊥OC .同理可得，CA ⊥OB ，CB ⊥OA ，∴O 为△ABC 的垂心．答案：垂心3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，c ＝a ＋λb (λ∈R)． (1)当λ取何值时，|c |最小？此时c 与b 的位置关系如何？(2)当λ取何值时，c 与a 的夹角最小？此时c 与a 的位置关系如何？ 解：(1)∵c ＝a ＋λb ＝(1,2)＋λ(－3,4)＝(1－3λ，2＋4λ)， ∴|c |2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋152＋4，∴当λ＝－15时，|c |最小，此时c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65. 又c ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65·(－3,4) ＝85×(－3)＋65×4＝0， ∴b ⊥c .∴当λ＝－15时，|c |最小，此时b ⊥c .(2)设c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝5＋5λ5·25λ2＋10λ＋5＝1＋λ5λ2＋2λ＋1. 若c 与a 的夹角最小，则cos θ最大． 设1＋λ＝t ，即λ＝t －1， ∴cos θ＝t 5t －12＋2t －1＋1＝14t2－8t＋5，当1t＝1，t ＝1时，cos θ取得最大值1， 此时λ＝0，c ＝(1,2)，∴当λ＝0时，c 与a 的夹角最小，此时c 与a 平行．。

第四章§3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x)满足条件(8a －b)·c ＝30，则x 等于A ．6B ．5C ．4D ．32．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则M A →·M D →等于A ．1B ．2C ．3D ．43．已知向量|a|＝|b|＝3，且(a ＋b)·(2a －b)＝92，则b 在a 方向上的投影等于 A ．－332 B ．－32 C ．32 D ．3324．已知向量O A →＝(3，1)，O B →＝(cosθ，sinθ)，θ∈R ，其中O 为坐标原点，则△AOB 面积的最大值为A ．2B ． 3C ．1D ．325．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．a ＝(2,1)，b ＋a ＝(1，k)，若a ⊥b ，则实数k ＝________.7．已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，|2a －b|＝2，则a 与a ＋b 的夹角的余弦值为________．8．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，已知a·b ＝a·c ＝b·c ，则△ABC 的形状是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b.求(b·c)·a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知向量m＝(3sinx，cosx)，n＝(cosx，cosx)，p＝(23，1)．(1)若m∥p，求sinx·cosx的值；(2)△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对的角θ的取值集合为M.当x∈M时，求函数f(x)＝m·n的值域．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：(8a －b)＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)，∴由(8a －b)·c ＝30得6×3＋3x ＝30，∴x ＝4. 答案：C2．解析：由已知得|B C →|＝2，B A →，B C →夹角为45°，∴M A →·M D →＝(12CB →＋B A →)·(－12C B →＋CD →) ＝－14C B →2＋12C B →·C D →－12C B →·B A →＋B A →·CD → ＝－12＋12C B →·(12B A →)－12C B →·B A →＋|BA →|·|CD →|·cos0° ＝－12－14C B →·B A →＋2＝32－14·2·2·cos135°＝2. 答案：B3．解析：设a 与b 的夹角为θ，∵(a ＋b)·(2a －b)＝92， ∴2a 2＋a·b －b 2＝92. 又∵|a|＝|b|＝3，∴2×9＋3×3cosθ－9＝92， ∴cosθ＝－12. ∴b 在a 方向上的投影为|b|cosθ＝3×(－12)＝－32. 答案：B4．解析：|OA →|＝2，|OB →|＝1，cos 〈O A →，O B →〉＝O A →·O B →|OA →||OB →|＝sin(π3＋θ)， S △AOB ＝12|O A →||O B →|sin 〈O A →，O B →〉＝12×2×1×1－[sin (π3＋θ)]2， 当sin(π3＋θ)＝±1时，△AOB 面积有最大值，且最大值为1. 答案：C5．解析：∵(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，∴(BC →＋BA →)·AC →－AC →2＝0，∴(BC →＋BA →－AC →)·AC →＝0，∴(BC →＋BA →＋CA →)·AC →＝2BA →·AC →＝0，∴BA →⊥AC →.∴∠A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由已知得b ＝(1，k)－a ＝(－1，k －1)，又a ⊥b ，∴a·b ＝0，∴－2＋k －1＝0，k ＝3.答案：37．解析：∵|2a －b|2＝4，∴4a 2－4a·b ＋b 2＝4，∴4a·b ＝1，即a·b ＝14. ∴(a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋12＝52， ∴|a ＋b|＝102. ∴cos θ＝a·(a ＋b )|a|·|a ＋b|＝1＋14102＝104. 答案：1048．解析：∵a·b ＝a·c ，∴a·(b －c)＝0，如图，∠CBD ＝π2， ∴|AB →|＝|AC →|，同理|AB →|＝|BC →|，|BC →|＝|AC →|.∴△ABC 为正三角形．答案：正三角形三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)·a ＝0·a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52. (3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a|cosθ. ∴|a|cosθ＝a·b |b|＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22.10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵m ∥p ，∴3sinx －23cosx ＝0.∴tanx ＝2.∴sinx·cosx ＝sinxcosx sin 2x ＋cos 2x ＝tanx tan 2x ＋1＝25. (2)f(x)＝m·n ＝3sinxcosx ＋cos 2x ＝32sin2x ＋12cos2x ＋12＝sin(2x ＋π6)＋12. ∵b 2＝ac ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －ac 2ac ＝12. ∴0＜B ≤π3， ∴M ＝{θ|0＜θ≤π3}． ∵x ∈M ，∴π6＜2x ＋π6≤5π6. ∴1≤f(x)≤32，即f(x)的值域为[1，32]．。

（江苏专版）高考数学一轮复习第五章平面向量课时达标检测（二十七）向量的数量积及其应用课时达标检测(二十七） 向量的数量积及其应用[练基础小题——强化运算能力]1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b ＝________. 解析：∵|a|cos 〈a ，b 〉＝4，|b|＝3，∴a ·b ＝|a||b |·cos〈a ，b 〉＝3×4＝12. 答案：122．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b)⊥b ，则实数m 的值为________． 解析：因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由(a －b)⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝2 3.答案：2 33．设向量a ，b 满足|a|＝1，|a －b|＝3，a ·(a －b)＝0，则|2a ＋b|＝________. 解析：由a ·(a －b)＝0，可得a ·b ＝a 2＝1，由|a －b|＝3，可得(a －b)2＝3，即a 2－2a ·b ＋b 2＝3，解得b 2＝4.所以(2a ＋b)2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝12，所以|2a ＋b|＝2 3.答案：2 34．(2018·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a ·(b －a)＝2，则向量a 与b 的夹角为________．解析：a ·(b －a)＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，所以向量a 与b 的夹角为π3.答案：π35．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m ＝________.解析：∵|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a ·b ＝|a|2＋|b|2，∴a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.答案：－2[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·常州期初测试)若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b)⊥(a －2b)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是________．解析：因为(a ＋2b)⊥(a －2b)，所以(a ＋2b )·(a －2b)＝0，即a 2－4b 2＝0，所以|a|＝2|b|.(a ＋b)2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝7|b|2, |a ＋b|＝7|b|，(a －b)2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝3|b|2,| a －b|＝3|b|，(a ＋b )·(a －b)＝a 2－b 2＝3|b|2，所以向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值cosθ＝217. 答案：2172．(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ―→＝(1，－2)，AD ―→＝(2,1)，则AD ―→·AC ―→＝________.解析：由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ―→·AC ―→＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.答案：53．(2018·姜堰月考)在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝2，BC ―→＝3BD ―→，AB ―→·AD ―→＝7，则△ABC 的面积为________．解析：因为BC ―→＝3BD ―→，所以AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→＝AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝23AB ―→＋13AC ―→. 所以AB ―→·AD ―→＝AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB ―→＋13AC ―→＝23AB ―→2＋13AB ―→·AC ―→＝23×32＋13×3×2cos A ＝7，解得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.所以S △ABC ＝12×3×2s in π3＝332.答案：3324．已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t的值为________．解析：∵n ⊥(t m ＋n )，∴n·(t m ＋n )＝0，即t m·n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n|2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.答案：－45．(2018·如皋月考)在△ABC 中，若BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→，则sin A sin C的值为________．解析：由BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→得accos B ＋2bccos A ＝abcos C . 由余弦定理得a 2＋c 2－b 22＋2×b 2＋c 2－a 22＝a 2＋b 2－c 22，即a 2＝2c 2，所以a c＝ 2.由正弦定理得sin A sin C ＝ac ＝ 2.答案： 26．(2017·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD ―→＝2DC ―→，AE ―→＝λAC ―→－AB ―→ (λ∈R)，且AD ―→·AE ―→＝－4，则λ的值为________．解析：法一：AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23AC ―→.又AB ―→·AC ―→＝3×2×12＝3，所以AD ―→·AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→＋23AC ―→·(－AB ―→＋λAC ―→)＝－13AB ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23AB ―→·AC ―→＋23λAC ―→2＝－3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨假设点C 在第一象限，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)． 由BD ―→＝2DC ―→，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，则AD ―→·AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233·(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案：3117．(2018·姜堰月考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝2，∠BAC ＝2π3，若AM ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，且3x ＋y ＝1，则|AM ―→|的最小值为________．解析：因为AM ―→＝x AB ―→＋y AC ―→,3x ＋y ＝1，所以|AM ―→|2＝(x AB ―→＋y AC ―→)2＝x 2AB ―→2－2xy AB ―→·AC ―→＋y 2AC ―→2＝36x 2＋12xy ＋4y 2＝4(3x ＋y )2－36xy ≥4－12⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋y 22＝1.当且仅当3x ＝y 即x ＝16，y ＝12时取等号．答案：18．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：法一：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.法二：由tan α＝7，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，所以OB ―→·OC ―→＝1×2×22＝1，OA ―→·OC ―→＝1×2×152＝15，OA ―→·OB ―→＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－35， 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，得OC ―→·OA ―→＝m OA ―→2＋n OB ―→·OA ―→，即15＝m －35n .①同理可得OC ―→·OB ―→＝m OA ―→·OB ―→＋n OB ―→2， 即1＝－35m ＋n .②①＋②得25m ＋25n ＝65，即m ＋n ＝3. 答案：39.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ―→·AN ―→的最大值为________．解析：设AN ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ―→＝AD ―→＋12DC ―→＝12AB ―→＋AD ―→.所以AM ―→·AN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋AD ―→·(λAB ―→＋μAD ―→)＝λ2AB ―→2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ―→·AD ―→＋μAD ―→2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ―→·AN ―→≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ―→·AN ―→有最大值9，此时，N 位于C 点．答案：910．(2018·徐州月考)已知向量a ，b 满足|b|＝3，|a|＝2|b －a|，若|a ＋λb |≥3恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：设b ＝OB ―→＝(3,0)，a ＝OA ―→＝(x ，y )，则b －a ＝(3－x ，－y )，a ＋λb ＝(x ＋3λ，y )．由|a|＝2|b －a|得x 2＋y 2＝4[(3－x )2＋(－y )2]，即x 2＋y 2－8x ＋12＝0，所以y 2＝－x 2＋8x －12(2≤x ≤6)．因为|a ＋λb |≥3恒成立，所以(x ＋3λ)2＋y 2≥9.所以任意2≤x ≤6，(x ＋3λ)2＋(－x 2＋8x －12)≥9，即(6λ＋8)x ＋(9λ2－21)≥0.因为函数g (x )＝(6λ＋8)x ＋(9λ2－21)在[2,6]上的图象为线段，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 2＝26λ＋8＋9λ2－21≥0，g6＝66λ＋8＋9λ2－21≥0，解得λ≤－3或λ≥13.所以实数λ的取值范围为(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.答案：(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞二、解答题11．(2017·全国卷Ⅲ改编)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，求λ＋μ的最大值．解：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y－2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中t a n φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ―→·(AB ―→－AC ―→)＝18，求边c 的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π，∴sin(A ＋B )＝sin C ，∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cosC ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b.∵CA ―→·(AB ―→－AC ―→)＝18，∴CA ―→·CB ―→＝18，即abcos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝(a ＋b)2－3ab ，∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.。

（江苏专版）高考数学一轮复习第五章平面向量课时跟踪检测（二十六）平面向量的数量积及其应用文课时跟踪检测（二十六） 平面向量的数量积及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，所以－4－2x ＝0，x ＝－2，所以a ＝(1，－2)，a ·b ＝10. 答案：102．(2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b)＝8，|a|＝2，则|b|＝________.解析：因为a ·(a －b)＝8，所以a ·a －a ·b ＝8， 即|a|2－|a||b|cos a ，b ＝8， 所以4＋2|b |×12＝8，解得|b|＝4.答案：43．(2017·盐城三模)已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b|＝1，|a －b|＝21，则向量a ，b 的夹角为________．解析：设向量a ，b 的夹角为θ，由|a －b|＝21得，21＝()a －b 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝25＋1－2×5×cos θ，即cos θ＝12，所以向量a ，b 的夹角为π3.答案：π34．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b)⊥(a －b)，则m 的值是________． 解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， 因为(a ＋b)⊥(a －b)，所以m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， 所以m ＝－2. 答案：－25．(2018·淮安高三期中)在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠ABC ＝60°，则AB ―→·AC ―→＝________.解析：由题意得AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，所以AB ―→·AC ―→＝AB ―→·(AB ―→＋AD ―→)＝AB ―→2＋AB ―→·AD ―→＝4＋2×1×cos 120°＝3.答案：36．(2018·南通一调)已知边长为6的正三角形ABC ，BD ―→＝12BC ―→，AE ―→＝13AC ―→，AD 与BE 交于点P ，则PB ―→·PD ―→的值为________．解析：如图，以D 为原点，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，D (0,0)，A (0，33)，E (1, 23)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，332，所以PB ―→·PD ―→＝|PD ―→|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＝274.答案：274二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·淮安调研)已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a|＝________.解析：由已知得2a －b ＝(3，x )，而(2a －b )·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3，所以|a|＝1＋x 2＝4＝2. 答案：22．若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a|＝32，则λ＝________.解析：由题意可得e 1·e 2＝12，|a|2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12. 答案：－123．(2018·苏北四市期末)已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________．解析：因为非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|，所以a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，a ·b ＝－12a 2＝－12b 2，所以a ·(2a －b)＝2a 2－a ·b ＝52a 2，|2a －b|＝2a －b2＝5a 2－4a ·b＝7|a|，cos 〈a ,2a －b 〉＝a ·2a －b |a |·|2a －b |＝52a 2|a |·7|a |＝527＝5714.答案：57144．(2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD 中，P 为矩形ABCD 所在平面内一点，且满足PA ＝3，PC ＝4，矩形对角线AC ＝6，则PB ―→·PD ―→＝________.解析：由题意可得PB ―→·PD ―→＝(PA ―→＋AB ―→)·(PA ―→＋AD ―→)＝PA ―→2＋PA ―→·AD ―→＋AB ―→·PA ―→＋AB ―→·AD ―→＝9＋PA ―→·(AD ―→＋AB ―→)＋0＝9＋PA ―→·AC ―→＝9＋3×6×cos(π－∠PAC )＝9－18×PA 2＋AC 2－PC 22×PA ×AC ＝9－18×9＋36－162×3×6＝－112.答案：－1125．(2018·苏锡常镇调研)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ―→＝λAB ―→，λ∈R ，若BD ―→·CP ―→＝－3，则λ＝________.解析：法一：由题意可得BA ―→·BC ―→＝2×2cos π3＝2，BD ―→·CP ―→＝(BA ―→＋BC ―→) ·(BP ―→－BC ―→) ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(AP ―→－AB ―→)－BC ―→] ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(λ－1)·AB ―→－BC ―→]＝(1－λ)BA ―→2－BA ―→·BC ―→＋(1－λ)BA ―→·BC ―→－BC ―→2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， 所以λ＝12.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)． 令P (x,0)，由BD ―→·CP ―→＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1.因为AP ―→＝λAB ―→，所以λ＝12.答案：126.(2018·苏北四市调研)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→＝________.解析：BC ―→·DC ―→＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝(OC ―→＋OD ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝OC ―→2－OD ―→2，同理，AB ―→·AD ―→＝AO ―→2－OD ―→2＝－7，所以BC ―→·DC ―→＝OC ―→2－OD ―→2＝OC ―→2－AO ―→2－7＝9.答案：97．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则向量m ，n 的夹角的余弦值为________．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 所以由(m ＋n )⊥(m －n )得(m ＋n )·(m －n )＝0， 即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3， 则m ＝(－2,1)，n ＝(－1,2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝45.答案：458.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝(OA ―→＋AC ―→)·AB ―→＝OA ―→·AB ―→＋AC ―→·AB ―→＝2cos 3π4＋24×2＝－12.答案：－129．已知|a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b|，②|4a －2b|； (2)当k 为何值时，(a ＋2b)⊥(k a －b)．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)①因为|a ＋b|2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a ＋b|＝4 3. ②因为|4a －2b|2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， 所以|4a －2b|＝16 3.(2)因为(a ＋2b)⊥(k a －b)，所以(a ＋2b )·(k a －b)＝0， 所以k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.所以k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．10．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP ―→＝2PD ―→. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP ―→·BP ―→的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP ―→·BP ―→＝6，求AB ―→与AD ―→夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB ―→⊥AD ―→，即AB ―→·AD ―→＝0， 又AB ＝9，BC ＝6，CP ―→＝2PD ―→， 所以AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋13AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－23AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋13 AB ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－23 AB ―→＝AD ―→2－13AB ―→·AD ―→－29AB ―→2＝62－29×92＝18.(2)设AB ―→与AD ―→的夹角为θ，由(1)得， AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋13AB ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－23AB ―→＝AD ―→2－13AB ―→·AD ―→－29AB ―→2＝62－ 13×9×6×cos θ－29×92＝6，所以cos θ＝23.故AB ―→与AD ―→夹角的余弦值为23.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·徐州高三年级期中考试)如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为AB A B 上的一点，若OP ―→·OA ―→＝2，则OP ―→·AB ―→＝________.解析：如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (0,2)，设P (x ，y )，由OP ―→·OA ―→＝2，可得2x ＝2，x ＝1，P 为A B 上的一点，所以|OP ―→|＝2，所以P (1，3)，OP ―→＝(1，3)，又AB ―→＝(－2,2)，所以OP ―→·AB ―→＝－2＋2 3.答案：－2＋2 32．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若||AB ―→＝3，||AC ―→＝5，则(AP ―→＋AQ ―→)·(AB ―→－AC ―→)的值为________．解析：法一：因为AP ―→＝AQ ―→＋QP ―→，所以AP ―→＋AQ ―→＝2AQ ―→＋QP ―→，而AB ―→－AC ―→＝CB ―→，由于QP ―→⊥CB ―→，所以QP ―→·CB ―→ ＝0，所以(AP ―→＋AQ ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝(2AQ ―→＋QP ―→)·CB ―→＝2AQ ―→·CB ―→，又因为Q 是BC 的中点，所以2AQ ―→＝AB ―→＋AC ―→，故2AQ ―→·CB ―→＝(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→2－AC ―→2＝9－25＝－16.法二：由题意得△ABC 是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB ⊥BC ，从而P 为AC 的中点．又|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝5，所以|BC ―→|＝4，cos ∠BAC ＝35，故AP ―→＋AQ ―→＝12AC ―→＋12(AB ―→＋AC ―→)＝12AB ―→＋AC ―→，从而(AP ―→＋AQ ―→)·(AB ―→－AC ―→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ―→＋AC ―→ ·(AB ―→－AC ―→) ＝12AB ―→2＋12AB ―→·AC ―→－AC ―→2 ＝12×9＋12×3×5×35－25＝－16. 答案：－163．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA ―→·BC ―→＝c CB ―→·CA ―→. (1)求角B 的大小；(2)若|BA ―→－BC ―→|＝6，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝bcos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0， 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA ―→－BC ―→|＝6，所以|CA ―→|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2a c ≥2a c －2a c ＝(2－2)a c (当且仅当a ＝c 时取等号)，即a c ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12a c sin B ≤32＋12， 即△ABC 的面积的最大值为32＋32.。

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量 (含答案 ) 及参照答案( 附参照答案 )平面向量一、填空题1、（2014 年江苏高考）如图，在平行四边形中，已知，，则的值是▲．2、（ 2013 年江苏高考）设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为。

3、（ 2012 年江苏高考）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．4、（2015 届江苏南京高三9 月调研）已知向量a＝(2 ，1) ，b＝(0 ，－1) ．若 (a ＋λb) ⊥a，则实数λ＝▲．5、（ 2015 届江苏南通市直中学高三9 月调研）已知△ ABC中，∠ C=90°，，分别为边上的点，且，，则▲．6、（ 2015 届江苏苏州高三9 月调研）如图是半径为 3 的圆的直径是圆上异于的一点是线段上凑近的三均分点且则的值为▲7、（南京市 2014 届高三第三次模拟）在Rt△ABC中， CA＝CB＝2，M，N是斜边 AB 上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为▲．8、（南通市2014 届高三第三次调研）在直角三角形中，=90°，，．若点知足，则▲．9、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二））已知平面内的四点 O，A，B，C知足，，则 =▲．10（、徐州市 2014届高三第三次模拟）如图，在△中，已知，，，，，则▲．11、（南京、盐城市2014 届高三第二次模拟（淮安三模））已知|| ＝1，|| ＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为▲12、（2014 江苏百校联考一）如图，是半径为 1 的圆的直径，△ ABC是边长为 1 的正三角形，则的最大值为13、（2014 南通二模）在△ ABC中，D是 BC的中点，AD＝8，BC＝20，则的值为▲．14、（苏锡常镇四市2014 届高三 3 月调研（一））如图，在△ABC中， BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为▲15、（兴化市2014 届高三上学期期中）已知在中，，，设是的心里，若，则．二、解答题1、（ 2013 年江苏高考）已知，。

课时作业(二十四) [第24讲 平面向量的数量积及应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝________.2．若向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.3．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．4．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a, 则△ABC 的形状是____________．能力提升5．a ＝(2,3)，b ＝(－1，－1)，则a ·b ＝________.6．[2011·惠州三模] 已知向量|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为________．7．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．8．[2011·苏北四市一调] 设a ，b ，c 是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于________．9．[2011·镇江统考] 已知Rt △ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP →|＝________. 10．平面向量a ＝(x ，y )，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(1,1)，d ＝(2,2)，若a·c ＝b·d ＝1，则这样的向量a 有________个．11．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________．12．[2011·南通一模] 在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点．若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝10，则点C 的坐标是________．13．(8分)[2011·南通一模] 已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，|a －b |＝2.(1)求a ·b 的值；(2)求|a ＋b |的值．14．(8分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，λ的取值范围．15．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)、B (2,3)、C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．16．(12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，求函数f (A )的取值范围．课时作业(二十四)【基础热身】1．－1 [解析] λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，因为λa ＋b 与a 垂直，所以λ＋4＋9λ＋6＝0，故λ＝－1.2．7 [解析] |5a －b |＝a －b 2＝25a 2－10a ·b ＋b 2＝25＋10×1×3×12＋9＝7.3．[0,1] [解析] ∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]．所以|b |∈[0,1]．4．等边三角形 [解析] 由a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，a ＋b ＋c ＝0，得AB ＝BC ＝CA ，所以△ABC 为等边三角形．【能力提升】5．－5 [解析] a ·b ＝2×(－1)＋3×(－1)＝－5.6．120° [解析] 由a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－60⇒cos θ＝－12，故θ＝120°. 7.655 [解析] ∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－＋3×74＋9·16＋49＝55， ∴a 在b 方向上的投影|a |cos θ＝22＋32×55＝655. 8.π3[解析] 由a ，b ，c 是单位向量，模都为1，a ＝b ＋c ⇒a －b ＝c ⇒(a －b )2＝c 2⇒a 2＋b 2－2a ·b ＝c 2⇒a ·b ＝12⇒|a ||b |cos θ＝12⇒cos θ＝12⇒θ＝π3. 9．1 [解析] 由OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →－OA →＝12(AB →＋AC →)⇒AP →＝12(AB →＋AC →)⇒|AP →|＝12|(AB →＋AC →)|＝12AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2. AB →⊥AC →⇒AB →·AC →＝0，AB →2＋AC →2＝BC →2，BC ＝2.故|AP →|＝1.10．1 [解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝12，其中x 2＋y 2＝12表示以原点O 为圆心，22为半径的圆，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22，故直线与圆相切，只有一个交点，故满足条件的a 只有一个解．11. 2 [解析] 如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA →＝(0,1)，CB →＝(2,0)，故2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1＝22⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝12时取得．12．(－1，－3) [解析] 法一：设点的坐标是(，y )，且x <0，y <0，直线OB 方程为y ＝43x ，因点C 在∠AOB 的平分线上，所以点C 到直线OB 与y 轴的距离相等，从而|4x －3y |5＝|x |.又x 2＋y 2＝10，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．法二：设点C 的坐标是(x ，y )，且x <0，y <0，则因点C 在∠AOB 的平分线上，所以由cos 〈OC →，OA →〉＝cos 〈OC →，OB →〉得－y 1·10＝－3x －4y 510.又x 2＋y 2＝10，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1， y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．13．[解答] (1)由|a －b |＝2，得|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4＋1－2a·b ＝4，∴a·b ＝12. (2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋2×12＋1＝6， ∴|a ＋b |＝ 6.14．[解答] 由条件知，cos45°＝a·b |a|·|b|，∴a·b ＝3， 设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝a ＋λb λa ＋b |a ＋λb |·|λa ＋b |<0， ∴(a ＋λb )·(λa ＋b )<0.λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a·b <0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856. 若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反，∴存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k λ＝1，λ＝k . ∴k ＝λ＝－1，∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1. 15．[解答] (1)方法一：由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC→＝(4,4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42、210.方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则E 为B 、C 的中点，则E (0,1)，又E (0,1)为A 、D 的中点，所以D (1,4)．故所求的两条对角线的长分别为|BC →|＝42，|AD →|＝210；(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 16．[解答] (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵角A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝π3. ∴0<A <2π3，∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12，故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。

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】专题5.3 平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝ 【解析】因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为 【解析】由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋2λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m＋n )，则实数t 的值为5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为【解析】如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF ＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC ＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________. 【解析】由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.8．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________． 【解析】∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.9．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．【解析】设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC ＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点． 二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cosB ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ·(AB －AC )＝18，求边c 的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .∵CA ·(AB －AC )＝18， ∴CA ·CB ＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，∴c2＝4c2－3×36，c2＝36，∴c＝6.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。