圆锥曲线之双曲线

圆锥曲线中双曲线的二级结论
Title: Second-Level Conclusions on Hyperbola in Conic Sections
圆锥曲线是平面解析几何中重要的概念，其中的双曲线作为圆锥曲线的一种特殊情况，具有许多独特的性质和特征。

本文将介绍关于双曲线的二级结论，以进一步了解和理解这一曲线的属性。

1. 双曲线的定义特性：双曲线是平面上离心率小于1的点P(x, y)满足两个焦点F1和F2之间距离恒大于2a的轨迹。

2. 双曲线的对称性：双曲线具有关于x轴和y轴对称的性质。

换句话说，如果点P(x, y)在双曲线上，那么点P'(-x, y)、P"(x, -y)和P'(-x, -y)也在同一条双曲线上。

3. 双曲线的渐近线：双曲线的特殊性在于其两条渐近线的存在。

这两条渐近线分别与双曲线相切于无穷远处的两个点，且对于双曲线上的任意一点P(x, y)，其到两条渐近线的距离在无限趋近于零。

4. 双曲线的焦点与直径：双曲线的焦点是曲线离心率的重要特征之一。

对于双曲线的焦点F1和F2，其到双曲线上任意一点P(x, y)的距离之和等于常数2a。

此外，双曲线的直径也经过焦点，且其长度等于常数2a。

5. 双曲线的渐近双曲线：双曲线还具有与其相切于无穷远处且与双曲线的渐近线平行的两条渐近双曲线。

这两条渐近双曲线的离心率与双曲线相等，且焦点距离也相等。

通过上述二级结论，我们可以更深入地了解双曲线的性质和特征。

这些结论对于解决与双曲线相关的问题，如双曲线的方程、焦点、渐近线等都具有重要意义，也为进一步研究和应用双曲线提供了基础。

圆锥曲线第2讲 双曲线【知识要点】 一、双曲线的概念 1. 双曲线的第一概念：平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的核心，两个核心之间的距离叫做焦距。

注1：在双曲线的概念中，必需强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作），不但要小于这两个定点之间的距离（记作），而且还要大于零，不然点的轨迹就不是一个双曲线。

具体情形如下：（ⅰ）当时，点的轨迹是线段的垂直平分线； （ⅱ）当时，点的轨迹是两条射线； （ⅲ）当时，点的轨迹不存在； （ⅳ）当时，点的轨迹是双曲线。

专门地，假设去掉概念中的“绝对值”，那么点的轨迹仅表示双曲线的一支。

注2：假设用M 表示动点，那么双曲线轨迹的几何描述法为（，），即。

2. 双曲线的第二概念：平面内到某必然点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。

二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）； （2）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）.注：假设题目已给出双曲线的标准方程，那其核心究竟是在轴仍是在轴，要紧看实半轴跟谁走。

假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴；假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴。

2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即），咱们把如此的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为（）注：假设题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，那么咱们可设该等轴双曲线的方程为（），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。

进一步讲，假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点；假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点。

三、双曲线的性质以标准方程（，）为例，其他形式的方程可用一样的方式取得相关结论。

（1）范围：，即或；1F 2F a 22120F F a <<a 221F F c 202=a 21F F c a 22=c a 22>c a 220<<a MF MF 221=-ca 220<<c F F 221=2121F F MF MF <-e 1>e x 12222=-b y a x 0>a 0>b y 12222=-b x a y 0>a 0>b x yx x y yb a 22=λ=-22y x 0≠λλ=-22y x 0≠λλ0>λx 0<λy 12222=-b y a x 0>a 0>b ax ≥a x ≥a x -≤（2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）极点：左、右极点别离为、； （4）核心：左、右核心别离为、； （5）实轴长为，虚轴长为，焦距为；（6）实半轴、虚半轴、半焦距之间的关系为；（7）准线：； （8）焦准距：；（9）离心率：且. 越小，双曲线的开口越小；越大，双曲线的开口越大；（10）渐近线：； （11）焦半径：假设为双曲线右支上一点，那么由双曲线的第二概念，有，；（12）通径长：.注1：双曲线（，）的准线方程为，渐近线方程为。

圆锥曲线——双曲线（定义、性质及其应用）重要知识点讲解1. 双曲线第一定义； 标准方程；2. 双曲线相关概念（顶点，焦点，实轴，虚轴，离心率，通径，渐近线）3.重要结论：与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线；共渐近线的双曲线；共轭的双曲线；等轴双曲线. 知识点一：求（双曲线）轨迹方程1. 已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为2.点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，求P 点的轨迹方程；知识点二：双曲线相关概念应用 1. 双曲线22221124x y m m -=+-的焦距为___________2. 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，求△PF 1F 2的面积。

3．若双曲线11622=-mx y 的离心率2=e ，则=m .4．双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为5. 已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 6．与椭圆2214x y +=共焦点且过点()2,1P 的双曲线方程是 7. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）经过点()2,3，且离心率为2，则它的焦距为 ；知识点三：重要结论的应用1. 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．2. 求过点)2,2(-且与双曲线1222=-y x 有公共渐近线的双曲线方程3. 求焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程。

知识点四：双曲线综合应用 1. 已知21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且 9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积2. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43，求双曲线的方程.3.已知21,F F 是双曲线12222=-by a x 的左，右焦点,点()y x P ,是双曲线右支上的一个动点,且1PF 的最小值为8,双曲线的一条渐近线方程为x y 34=. 求双曲线的方程;4.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为). （Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2•>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围。

基础知识：一 双曲线的定义：在平面内，到两个定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数a 2（a 大于0且212F F a <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点21F F 、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数a 2应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：21212F F a PF PF <=-)0(>a ，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若21122F F a PF PF <=-（)0(>a ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支；3. 若常数满足约束条件：21212F F a PF PF ==-，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：21212F F a PF PF >=-，则动点轨迹不存在； 5．若常数0=a ，则动点轨迹为线段21F F 的垂直平分线。

二 双曲线的标准方程：1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a b y a x ，其中222b a c +=；2．当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a bx a y ，其中222b a c +=；3.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x ；如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x ；4. 共焦点的双曲线系方程12222=--+k b y k a x 或 12222=--+kb x k a y三 双曲线的几何性质：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的几何性质1.对称性：对于双曲线标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

圆锥曲线与方程 （2）双曲线1．双曲线定义：在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|) a PF PF 221=-（a 为常数c a <<0）的点的轨迹叫做双曲线． ⑴若2a ＜21F F ，则动点P 的轨迹是双曲线．⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线（在直线F 1，F 2上）． ⑶若2a ＞21F F ，则动点P 无轨迹．双曲线的第二定义:平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x ＝c a2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b2，与椭圆相同.2．双曲线的标准方程： 焦点在x 轴上时，方程为12222=-b y a x )00(>>b a ， 焦点)0,(1c F -)0,(2c F焦点在y 轴上时，方程为12222=-bx ay )00(>>b a ， 焦点),0(1c F -),0(2c F 注:222b a c +=（类比勾股定理）双曲线的一般方程：)0(122<=+mn ny mx注：方程C By Ax =+22（C B A ,,均不为0）表示双曲线的条件：方程变形：122=+BC yAC x，考察二次项系数的正负，若AC 与B C 异号，表示双曲线；若C B A ,,同号且B A ≠,则表示椭圆；若C B A ,,同号且AC =BC ，则表示圆．3．双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的性质：(1)范围：a x ≥或a x -≤，y R ∈． (2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称．(3)顶点坐标：双曲线和x 轴有两个交点)0,(),0,(21a A a A -，焦点坐标是)0(，c ±． (4)实轴长2a 、虚轴长2b 、焦距2c ；实半轴a 、虚半轴b 、半焦距c ． (5)双曲线12222=-by ax 的准线方程是cax 2±=，准线到中心的距离为2ac，或令双曲线标准方程22ax -22by ＝1中1为零即得渐近线方程.焦准距：（焦点到对应准线的距离）cb2．通径的长是ab 22，通径的一半(半通径)：2ba．(6) 渐近线方程是x ab y ±=① 双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>渐近线方程：令02222=-by ax )0,0(>>b a ，即x ab y ±=;② 渐近线是02222=-bya x(或x a by ±=⇔0=±by a x)的双曲线设为λ=-2222by ax ．(λ≠0),k 是待定系数．③（焦渐距）焦点到渐近线的距离恒为b ．(7) 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 定义式：a b =． 注：①等轴双曲线的渐近线方程为：x y ±= ．②渐近线互相垂直．③等轴双曲线可设为：)0(22≠=-λλy x ．（0>λ时焦点在x 轴，0<λ时焦点在y 轴上）(8) 离心率是22221ab ac ac e +=== （1>e ）e 越大，开口越开阔；e 越小，开口越扁狭． (9) 半径：若点),(00y x P 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上一点，21F F 、是其左、右焦点，|||)(|||0201ex a cax e PF +=+=， |||)(|||0022ex a x cae PF -=-=即焦半径：点),(00y x p 在左支上 01ex a PF --=和02ex a PF -=．点),(00y x p 在右支上 01ex a PF +=和02ex a PF +-=．4．双曲线的内外部(1) 00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->． (2) 00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的外部22221x y a b ⇔-<．5．双曲线系方程(1) 双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+λλb ya x（22b a <<-λ）(2) 双曲线12222=-b ya x共渐近线的双曲线系方程可设为λ=-2222bya x)0(≠λ． （当0>λ时焦点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上）．本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.。

圆锥曲线-双曲线一、双曲线的定义，标准方程 1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：x a y ba b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 23.双曲线的几何性质：（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222x x a y ba b -=>>()1x a x a <>≤-≥范围：，或<2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。

<3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。

<>=>41离心率：e ca e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。

<>±5渐近线：y b ax = <>=±62准线方程：x a c5．若双曲线的渐近线方程为：x ab y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：)0(2222≠=-λλby a x1 22121x y m m m -=++若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A mB m m ..-<<-<->-2121或C m mD m R ..≠-≠-∈21且2. 220ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（） A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 22sin sin cos x y αααα-=设是第二象限角，方程表示的曲线是（） A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线4.曲线3sin 2x 2+θ+2sin y 2-θ=1所表示的图形是（ ）。

圆锥曲线复习（二)---—双曲线一.双曲线的定义第一定义:平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。

2双曲线的标准方程及几何性质标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y图形性质 焦点F 1（-)0,c ，F 2()0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 ｜ F 1F 2|=2c222c b a =+范围R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称 顶点 (-a ，0）。

（a ，0） （0，—a ）（0，a ） 轴 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率)1(>=e ac e 准线 c a x 2±=ca y 2±= 渐近线0=±bya x 0=±ayb x 到焦点的,c a =-最近距最远距无b Rt ∆焦渐距，第二个二、常见的结论：（1）与双曲线22221x y a b -=共同的焦点的双曲线22221x y a k b k-=-+(2）与双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0),有共同渐近线的双曲线系方程为λ=-2222by a x (a 〉0，b>0，λ≠0）, 当 λ>0 时，所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ〈0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 (3）等轴双曲线的性质：离心率为2，渐近线方程为y=±x 等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠0（4）双曲线形状与e 的关系：b k a ===，e 越大,即渐开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。

三、求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或定义法(强调取一支还是两支）。

第2讲 双曲线的标准方程和几何性质1．双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a (2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 范围 |x |≥a ，y ∈R|y |≥a ，x ∈R对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a ，虚轴长为2b 焦距|F 1F 2|＝2c离心率e ＝c a＝ 1＋b 2a2∈(1，＋∞) e 是表示双曲线开口大小的一个量，e 越大开口越大.渐近线 y ＝±b axy ＝±a bxa ，b ，c 的关系a 2＝c 2－b 2考点一 双曲线的定义及应用【例1-1】 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2， 所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).【例1-2】已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|， 则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45解析由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.规律方法1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系，一般地，双曲线的焦点三角形有以下性质： （1）(2c)2=|PF 1|2+ |PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2,得到：|PF 1||PF 2|= 2b 21− cos∠F 1PF 2;（2）S ∆F1PF 2= 12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=b 2sin∠F 1PF 21− cos∠F 1PF 2=b 2tan(∠F 1PF22)【变式1】 已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2)B.y 24－x 221＝1(y ＞2)C.x 221－y 24＝1D.y 24－x 22＝1 【解析】选A 如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝7，|BF |＝|BG |＝3，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x 24－y 221＝1(x >2)．【变式2】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2解析 由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2. 【变式3】双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10. 考点二 双曲线的标准方程【例2-1】已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.【例2- 2】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 解析 由题设知b a ＝52①，又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9②，由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.规律方法1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.不知道焦点在横纵坐标的曲线，可设为为mx 2＋ny 2＝1(当m ＞0，n ＞0，m ≠n ，为椭圆方程，当mn <0，m≠n ，为双曲线，当m=n ≠0，为圆)3. 与x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的曲线可设为12222=-+-kb y k a x （2b k <，为共焦点椭圆；22a k b <<为共焦点双曲线）4. 与x 2a 2±y 2b 2＝1(a >b >0)有相同离心率的曲线可设为12222=±mb y ma x 5. 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．【变式1】 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1 C.x 2－y 23＝1 D.x 223－y 232＝1 解析 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得⎩⎨⎧2a 2－3b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1. 【变式2】已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________.由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.【变式3】经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．【解析】设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.考点三 双曲线的性质 多维探究角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±22x D.y ＝±32x 解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .法二 由e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x . 规律方法【变式1】已知双曲线C ：x m 2－y n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 25＋y 16＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 【解析】 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35， ∴双曲线的离心率为1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0. 【变式2】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x 【解析】设双曲线的另一个焦点为F ′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF ′是矩形， ∴S △ABF ＝S △ABF ′，即bc ＝8，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b 2＝1可得y ＝±b 2c ，则|MN |＝2b 2c ＝2，即b 2＝c ，∴b ＝2，c ＝4，∴a ＝c 2－b 2＝2 3，∴C 的渐近线方程为y ＝±33x ， 角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D.2解析 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.【例3－3】已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，233B.⎝⎛⎭⎫233，＋∞ C.(1，2)D.(2，＋∞)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，233.规律方法 求双曲线离心率或其取值范围的方法1.求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e ；或者结合双曲线性质e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1−PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1− sinPF 1F 2 2.列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式) 【变式1】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)， 则|b －2a |a 2＋b 2＝1，得3a ＝4b ，所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝2516，又e >1，故e ＝54.【变式2】 已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A.2B.3 C ．2 D.5【解析】由已知易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±b a x ，不妨设点A ⎝⎛⎭⎫－1，b a ，B ⎝⎛⎭⎫－1，－ b a ，所以|AB |＝2b a ＝4|OF |＝4，所以ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝ca ＝ 5.故选D.角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－4】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 2－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 规律方法 与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【变式】已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2).基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±12xB.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .答案 B2.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3C.2D.62解析 由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π4，故双曲线C 的离心率e ＝⎝⎛⎭⎫cos π4－1＝ 2. 答案 A3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2B.2C.322D.22解析 法一 由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 答案 D4.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A.x 2－4y 25＝1B.x 22－2y 25＝1C.x 24－y 25＝1D.x 216－y 220＝1 解析 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝ba x ，可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y25＝1.答案 C5.已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±6xD.y ＝±66x 解析 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝⎛⎭⎫－12＝28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66x . 答案 D 二、填空题6.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为________________.解析 由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，ba ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线方程为x 25－y 220＝1.7.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.解析 a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝⎛⎭⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215. 8.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________.解析 由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 又|F 1O |＝|F 2O |，|PO |＝|MO |，得四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝60°，可得∠F 1PF 2＝60°， 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°，即4c 2＝20a 2－8a 2，c 2＝3a 2， 可得c ＝3a ，所以e ＝ca ＝ 3.三、解答题9.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1. (2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m 3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标.解 (1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a2＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3.又OM →＋ON →＝tOD →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝t (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，其中Δ＝(163)2－4×84>0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2xB.y ＝±12xC.y ＝±22xD.y ＝±2x解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6. 由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案 D12.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.[2，2＋6]B.[2，3＋1]C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]解析 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β， ∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎡⎦⎤12，32，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]. 又e >1，∴e ∈[2，3＋1].答案 D13.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________. 解析 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0， ∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1. ∵双曲线的渐近线过点A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3， 故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 14.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.。

双曲线是圆锥曲线的一种，它的生成方式有以下几种：
1. 第一定义：双曲线是由平面与一个圆锥相交得到的，当平面与圆锥的交线为双曲线时，我们称这个双曲线为第一定义双曲线。

2. 第二定义：双曲线是由平面与一个椭圆或圆相交得到的，当平面与椭圆或圆的交线为双曲线时，我们称这个双曲线为第二定义双曲线。

3. 第三定义：双曲线是由平面与一个抛物线相交得到的，当平面与抛物线的交线为双曲线时，我们称这个双曲线为第三定义双曲线。

4. 截口曲线：双曲线也可以通过在圆锥、椭圆、圆或抛物线上截取一部分曲线得到，这部分曲线就是双曲线的截口曲线。

5. 另类生成方式：在高考福建卷第18题中，提出了一种新颖的双曲线生成方式。

这种方式是基于圆锥曲线的另一种生成方法，通过特定的计算和作图步骤，可以得到双曲线。

以上是双曲线的一些常见生成方式，实际上，双曲线的生成方法还有很多，可以通过不同的数学公式和几何变换来生成双曲线。

③2OA ON OM =⋅，即OA 是OM 、ON 的等比中项.二、双曲线1.双曲线的定义式如图，P 是双曲线上一点，1F 、2F 是焦点，AB 是实轴，则12PF PF AB -=，即双曲线定义.2.双曲线的直径与共轭直径如图，双曲线的平行弦CD 、EF 、GH 的中点M 、N 、P 在同一条直线l 上，当l 与双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的交点为A 、B 时，这条线段AB 叫做抛物线的直径.双曲线的直径有若干条，它们都过双曲线的中心O .设平行弦斜率为k ，则直径方程为220b x a ky -=，其中双曲线为22221(,0)x y a b a b-=>.平行于直径AB 的弦11C D 、11E F 、11G H 的中点1M 、1N 、1P 也在同一条直线1l 上，当1l 与双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的共轭双曲线22221(,0)x y a b a b-=->的交点为1A 、1B 时，线段11A B 叫做直径AB 的共轭直径.397（1）双曲线直径与共轭直径的关系：直径与共轭直径的斜率之积为定值，即1122AB A B b k k a=，其中双曲线方程为22221(,0)x y a b a b-=>.（2）双曲线的任意一条直径平分平行于其共轭直径的弦.（3）如图，设双曲线22221(,0)x y a b a b-=>两共轭直径的长2AB m =、2CD n =，O 是双曲线的中心，两共轭直径与长轴的夹角（锐角）为2DOF α∠=、2BOF β∠=，且βα<，则sin()abmnαβ-=且2222m n a b -=-（定值）.（4）双曲线上任意一点P 的焦半径之积等于其对应的半共轭直径的平方.（5）如图，AB 、CD 是共轭直径，作EFGH 使其四边过共轭直径端点且与共轭直径平行，则4EFGH S ab = .3.双曲线中的弧与弓形如图A 是双曲线上的右顶点，右支上有点(,)M x y -和(,)N x y ，则398弧AN 的长度为2201x Archal ae ch tdt =+⎰；弓形MAN 的面积为ln()x y S xy ab a b=-+弓形MAN .4.双曲线的切线（1）如图，O 是双曲线的中心，M 是弦CD 的中点，AB 是直径，P 是线段AB 上一点，若AM APBM BP =，则PC 、PD 是双曲线的切线.反之，若PC 、PD 是双曲线的切线，则AM APBM BP=.（2）如图，M 是弦CD 的中点，AB 是直径，若BK CD ，则BK 是双曲线的切线.反之，若BK 是双曲线的切线，则BK CD .（3）如图，直线AB 切双曲线于点T ，交双曲线的渐近线于A 、B ，则TA TB =.且双曲线上动点的切线与渐近线形成的三角形的面积为定值OAB S ab ∆=.399更进一步，如图，直线交双曲线及其渐近线，则有AC BD =、EG FH =；以及OAC OBD S S ∆∆=、OEG OFH S S ∆∆=.（4）如图，O A 、OB 是渐近线，AB 、CD 是切线，则AD BC ，且OA OB OC OD⋅=⋅即OA OB ⋅为定值；（5）如图，两共轭双曲线中，TM 、TN 是切线，AB TM GH 、CD TN EF ，AB 、CD 交于P ，EF 、GH 交于双曲线的中心O ，则22TM OG OH TN OE OF ⋅=⋅；PA PB OG OHPC PD OE OF⋅⋅=⋅⋅.400（6）如图，AB 、AC 是焦点弦，则A 、B 处切线的交点I 在准线GH 上，即1AF B ∆的内心I 在准线上；A 、C 处切线的交点a I 在准线EF 上，即2AF C ∆的外心a I 在准线上.（7）如图，CE 、CF 是双曲线的定切线，动切线AB 交CE 、CF 于A 、B ，则2AF B ∠为定值.（8）如图，A B 是双曲线的实轴，CD 切双曲线于T ，且AC AB ⊥、BD AB ⊥，则①以CD 为直径的圆过焦点1F 、2F .②反之，以CD 为直径的圆过焦点1F 、2F ，则AC AB ⊥、BD AB ⊥.③若2CF 、1DF 交于H ，则以CH 为直径的圆过1F 、T ，以DH 为直径的圆过2F 、T .④若1F M 、2F N 垂直于切线CD ，则以AB 为直径的圆过M 、N .⑤1FT ON 、2F T OM .401⑥若11CF DF ⊥（110CF DF ⋅= ），则CD 是双曲线的切线或渐近线.另外，110CF DF ⋅<则CD 与双曲线相离；110CF DF ⋅>则CD 与双曲线相交.5.双曲线的特征三角形如图，双曲线方程为22221(,0)x y a b a b -=>，M 是准线2a x c =与渐近线by x a=的交点，A 是实轴右端点，B 是虚轴上端点，1F 、2F 是左右焦点，则（1）特征三角形2Rt AOB Rt OAN Rt OMF ∆≅∆≅∆；渐近线by x a=、直线x a =、直线y b =、圆222x y c +=四线共点N .（2）过焦点向渐近线作垂线，则垂足在准线上；反之，过准线与渐近线的交点作这条渐近线的垂线，则垂线过焦点；焦点到渐近线的距离2MF AN OB b ===.（3）以实轴、虚轴分别为长、宽的矩形DEHN 与以双曲线的中心为圆心、半焦距长为半径的圆相内接.（4）以双曲线的中心为圆心，实半轴长为半径的圆过准线与渐近线的交点，即OM OA a ==.（5）本图提供了双曲线草图的准确画法。

双曲线1．双曲线定义定义1（教材定义）：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．定义2（补充定义）：平面内到定点F 的距离与到对应定直线l 的距离之比为定值e (e>1)的点的轨迹叫做双曲线．这个定点叫做双曲线的焦点，对应的定直线叫做双曲线的准线，定值e 叫做离心率 集合S ＝）（12>=e e PQPF ， 其中直线l 1、l 2叫做对应准线，F 1，F 2叫做对应的焦点。

2．双曲线的标准方程和几何性质(教材定义)标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) 学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)3．双曲线的标准方程和几何性质（含补充）以焦点在x 轴为例：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)1）渐近线：y ＝±ba x2）准线：ca x l c a x l 2221=-=：，右准线：左准线3）通径：（过焦点的所有弦长中通径最短为ab 22MN =）4）焦点到渐近线距离为b PF =25）一般弦长公式：直线l ：y =kx +m 与双曲线C 交于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）则弦长AB 的计算公式为()212212212411x x x x k x x k AB -++=-+=或者()21221221241111y y y y ky y k AB -++=-+=4．双曲线的重要二级结论（补充）1）焦点三角形周长如图一所示：过其中一个焦点F 2构成的弦长PQ 与另外一个焦点F 1围成的三角形的周长为：L △PQF 1=4a+2PQ 当PQ=通径时取最小值 推导：由PF 1-PF 2=2a ,QF 1-QF 2=2a 可知 PF 1+QF 1-PF 2-QF 2=PF 1+QF 1-PQ =4a所以L △PQF 1=PF 1+QF 1+PQ =PF 1+QF 1-PQ +2PQ =4a +2PQ2）焦点三角形面积如图二所示：双曲线上一动点P 与左右焦点F 1、F 2围成的三角形的面积为：），（其中212221PF F θθtanb S F PF ∠==∆推导：设PF 1=m ，PF 2=n 则PF 1-PF 2=m -n =2a ①在三角形PF 1F 2由余弦定理可知：212122212212PF F PF PF PF PF F F ∠-+=cos所以：mncos θn m c 24222-+= ②①2化为mn n m a 24222-+= ③②-③=()2412b cos θmn =- 即22412212b θsin mn =⎪⎭⎫⎝⎛-+从而得出222b θsin mn = ④又因为222222121221θtanθsin mn θcos θsin mn mnsin θS F PF ⋅=⋅==∆，代入④式可得2221θtanb SF PF =∆3）过双曲线上异于左右顶点A 1、A 2两点的任意一点P ，直线P A 1与直线P A 2的斜率之积为定值。

第2节 双曲线及性质知识点一 双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a ，0<2a <|F 1F 2|}． 3．焦点：两个定点F 1，F 2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F 1F 2|. 5. 双曲线标准方程x 2y 2y 2x 2一、双曲线的定义的应用例1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为__________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，则该双曲线的方程为x 2－y 24＝1. (2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2.若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 反思感悟 双曲线的定义的应用(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 一般地，双曲线的焦点三角形有以下性质：(2c)2=|PF 1|2+ |PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2,得到：|PF 1||PF 2|= 2b 21− cos∠F 1PF 2;S ∆F1PF 2= 12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=b 2sin∠F 1PF 21− cos∠F 1PF 2=b 2tan(∠F 1PF 22)跟踪训练1 (1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3解析 由题意得||PF 1|－|PF 2||＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|±6，∴|PF 2|＝9或－3(舍去) (2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48解析 ⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，∴12PF F S ＝12|PF 1||PF 2|＝24. 二、求双曲线的标准方程例2 (1)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)的双曲线的标准方程为________．解析 由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b 2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1. (2)求过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．解 设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB <0.因为点P ，Q 在双曲线上，则⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝1，2569A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－116，B ＝19.故双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.反思感悟 求双曲线的标准方程1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.不知道焦点在横纵坐标的曲线，可设为为mx 2＋ny 2＝1(当m ＞0，n ＞0，m ≠n ，为椭圆方程，当mn <0，m≠n ，为双曲线，当m=n ≠0，为圆)3. 与x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的曲线可设为12222=-+-kb y k a x （2b k <，为共焦点椭圆；22a k b <<为共焦点双曲线）4. 与x 2a 2±y 2b 2＝1(a >b >0)有相同离心率的曲线可设为12222=±mby ma x 5. 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2 (1)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)的双曲线的标准方程为________．解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得⎩⎨⎧16a 2－4b 2＝1，①24a 2－8b 2＝1，②解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1. (2)已知方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是________．解析 ∵方程对应的图形是双曲线，∴(k －5)(|k |－2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ k －5>0，|k |－2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5<0，|k |－2<0.解得k >5或－2<k <2.知识点二 双曲线的性质x ≥a 或x ≤－ay ≤－a 或y ≥a一、由双曲线的几何性质求标准方程 例1 求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．解 (1)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43.由题意得⎩⎨⎧b a ＝43，9a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴所求的双曲线方程为4x 29－y 24＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵点A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b2＝1.②①②联立，无解．当焦点在y 轴上时，设所求方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵点A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1. 方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.反思感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等．解 (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.二、求双曲线的离心率例2 已知圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( ) A. 2 B.53 C.52D.5解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，可得其一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，又由圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0，可得圆心为C (0,5)，半径r ＝2， 则圆心到直线的距离为d ＝|－5a |b 2＋(－a )2＝5ac ，则5a c ＝2，可得e ＝c a ＝52.反思感悟 求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca得解．(2)解方程法：若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练2 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解 设F 1(c ，0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，所以b 2a＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0，所以⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca －1＝0，即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)，所以双曲线的离心率为1＋ 2.知识点三 直线与双曲线的位置关系 设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba 时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba 时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．思考 直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？答案 不是．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点 知识点二 弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].一、直线与双曲线的位置关系例1 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，消去y 整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1. 所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.又直线l 恒过点D (0，－1)，则①当x 1x 2<0时，S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2.②当x 1x 2>0时，S △OAB ＝|S △OAD －S △OBD |＝⎪⎪⎪⎪12|x 1|－12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2. 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.由(1)，知上述k 的值符合题意，所以k ＝0或k ＝±62. 反思感悟 直线与双曲线(1)位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为0的情况)． (2)弦长公式：设直线y ＝kx ＋b 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.跟踪训练1 已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)． (1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长． 解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)，由已知可得左、右焦点F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1，又c ＝2，所以b ＝3，所以双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)由题意可知直线m 的方程为y ＝x －2，联立双曲线及直线方程消去y 得2x 2＋4x －7＝0， 设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6. 二、与双曲线有关的轨迹问题例2 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4 s ．已知各观测点到该中心的距离是1 020 m ．则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面上)( )A ．北偏西45°方向，距离68010 mB ．南偏东45°方向，距离68010 mC ．北偏西45°方向，距离680 5 mD ．南偏东45°方向，距离680 5 m解析 如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴，y 轴正向，建立直角坐标系．设A ，B ，C 分别是西、东、北观测点，则A (－1 020，0)，B (1 020,0)，C (0,1 020). 设P (x ，y )为巨响发生点．由已知|P A |＝|PC |，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y ＝－x ， 又B 点比A 点晚4 s 听到爆炸声，故|PB |－|P A |＝340×4＝1 360， 可知P 点在以A ，B 为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，依题意得a ＝680，c ＝1 020，∴b 2＝c 2－a 2＝1 0202－6802＝5×3402, 故双曲线方程为x 26802－y 25×3402＝1，将y ＝－x 代入上式，得x ＝±6805，∵|PB |＞|P A |，∴x ＝－6805，y ＝680 5 ，即P (－6805，6805), 故PO ＝68010 . 故巨响发生在接报中心的北偏西45°距中心68010 m 处． 反思感悟 和双曲线有关的轨迹(1)定义法．解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线． (2)直接法．根据点满足条件直接代入计算跟踪训练2 若动圆P 经过定点A (3,0)，且与定圆B ：(x ＋3)2＋y 2＝16外切，试求动圆圆心P 的轨迹．解 设动圆圆心P (x ，y )，半径为r .则依题意有|P A |＝r ，|PB |＝r ＋4，故|PB |－|P A |＝4. 即动圆圆心P 到两个定点B (－3,0)，A (3,0)的距离之差等于常数4，且4<|AB |，因此根据双曲线定义，点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支． 设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则c ＝3,2a ＝4，b 2＝5，所以动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．所以动圆圆心P 的轨迹是双曲线x 24－y 25＝1的右支双曲线的定义1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支． 由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫62，0 C.⎝⎛⎭⎫52，0 D ．(3，0) 答案 B解析 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.3．已知双曲线x 2a －3＋y 22－a ＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于( )A.32 B ．5 C ．7 D.12 答案 D解析 根据题意可知，双曲线的标准方程为 y 22－a －x 23－a＝1. 由其焦距为4，得c ＝2，则有c 2＝2－a ＋3－a ＝4，解得a ＝12.4．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O的距离为( ) A ．3或7 B ．6或14 C ．3 D ．7答案 A解析 连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线， ∴|ON |＝12|PF 2|，∵||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|＝10，∴|PF 2|＝14或6， ∴|ON |＝12|PF 2|＝7或3.5．(多选)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是( ) A ．2 B ．－1 C. 4 D ．－3 答案 AB解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴AB 满足条件．6．若曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________． 答案 (2，＋∞)解析 由曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，可得x 21m －y 21m －2＝1，即有m >0，且m －2>0，解得m >2.7．以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程为______________． 答案 y 25－x 24＝1解析 由题意， 知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.8．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________．答案 45解析 由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解 已知双曲线x 216－y 29＝1，则c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意知b 2＝25－a 2，故所求双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1.∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在所求双曲线上， ∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a 2＝1，化简得4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254.当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去， ∴a 2＝1，b 2＝24， ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 10．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1—→·MF 2—→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1—→·MF 2—→＝0，则MF 1⊥MF 2， 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义，知m －n ＝2a ＝8，① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，② 由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为 x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.11．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线答案 A解析 设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心分别为O 1和O 2，半径分别为1和2， 由两圆外切的充要条件，得 |MO 1|＝r ＋1，|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝1， 又|O 1O 2|＝4，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支(靠近O 1)．12．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 不妨设P 是双曲线右支上一点， 在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12，∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B. 13．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为________. 答案 32解析 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点， 所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.14．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则|PQ |＝________，△PF 1Q 的周长为________． 答案233 1633解析 ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴F 2(2,0)． 又点P 的横坐标为2，∴PQ ⊥x 轴． 由223－y 2＝1，得y ＝±33，故|PF 2|＝33. ∴|PQ |＝233. 又P ，Q 在双曲线的右支上，∴|PF 1|－|PF 2|＝23，|QF 1|－|QF 2|＝2 3. ∴|PF 1|＝|QF 1|＝2a ＋|PQ |2＝733，∴△PF 1Q 的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |＝1633.15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C ′：x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k (k ∈N *)次反射后回到左焦点所经过的路径长为__________．答案 2k (a －m )解析 光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点， 如图，|BF 2|＝2m ＋|BF 1|，|BF 1|＋|BA |＋|AF 1|＝|BF 2|－2m ＋|BA |＋|AF 1|＝|AF 2|＋|AF 1|－2m ＝2a －2m ， 所以光线经过2k (k ∈N *)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k (a －m )．16．已知△ABC 的一边的两个顶点B (－a ，0)，C (a ，0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形． 解 设顶点A 的坐标为(x ，y )，则 k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝yx －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a ＝m ，即x 2a 2－y 2ma2＝1(y ≠0)． 当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的两个交点)； 当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上； 当m <－1时，椭圆焦点在y 轴上；当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)．双曲线的性质1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．42 答案 C解析 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，e ＝c a ＝32.3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( ) A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1 C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝1 答案 D解析 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x 2－y 2＝16，即x 216－y 216＝1. 4．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22 C ．1 D.2 答案 B解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)， 故顶点到渐近线的距离为22. 5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12.故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.6．如图，双曲线C ：x 29－y 210＝1的左焦点为F 1，双曲线上的点P 1与P 2关于y 轴对称，则|P 2F 1|－|P 1F 1|的值是________．答案 6解析 设F 2为右焦点，连接P 2F 2(图略)，由双曲线的对称性，知|P 1F 1|＝|P 2F 2|， 所以|P 2F 1|－|P 1F 1|＝|P 2F 1|－|P 2F 2|＝2×3＝6.7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 答案 2解析 设B 为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2， ∴c ＝|OB |＝2 2. 又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又∵a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2.8．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________． 答案 y 2－3x 2＝36 解析 椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32， 则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23， 从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36. 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； (2)渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6. 解 (1)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6， 于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.(2)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)， 即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－x 2814＝1.故所求双曲线的标准方程为 x 29－y 24＝1或y 29－x 2814＝1. 10．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解 直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4. 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2. 于是双曲线的离心率为2.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，故选A.12．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( ) A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．y 2－x 2＝80 D ．y 2－x 2＝24答案 D解析 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.13．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D.2 答案 D解析 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为(2a ，3a )．∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.故选D.14．如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 如图，因为|AO |＝|AF |，F (c ，0)，所以x A ＝c 2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝ca>2.15．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( ) A ．[3－23，＋∞) B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞答案 B解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3， 所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则x 203－y 20＝1(x 0≥3)，可得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的图象的对称轴方程为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)． 16．已知双曲线E ：x 2m －y 25＝1.(1)若m ＝4，求双曲线E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； (2)若双曲线E 的离心率为e ∈⎝⎛⎭⎫62，2，求实数m 的取值范围． 解 (1)m ＝4时，双曲线方程化为x 24－y 25＝1，所以a ＝2，b ＝5，c ＝3，所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，渐近线方程为y ＝±52x . (2)因为e 2＝c 2a 2＝m ＋5m ＝1＋5m ，e ∈⎝⎛⎭⎫62，2，所以32<1＋5m <2，解得5<m <10， 所以实数m 的取值范围是(5,10)．直线与双曲线的位置关系1．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2答案 A解析 因为在双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2， 所以若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 符合题意．2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 易知选项B 正确．3．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2与直线y ＝ax (a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．a ＝1B ．0<a <1C ．a >1D ．a ≥1 答案 D解析 等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的渐近线方程为y ＝±x ，若直线y ＝ax (a >0)与等轴双曲线x 2－y 2＝a 2没有公共点，则a ≥1.4．直线l ：y ＝kx 与双曲线C ：x 2－y 2＝2交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－2，2)C ．(－1,1)D ．[－1,1] 答案 C解析 由双曲线C ：x 2－y 2＝2与直线l ：y ＝kx 联立，得(1－k 2)x 2－2＝0.因为直线l ：y ＝kx与双曲线C ：x 2－y 2＝2交于不同的两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，8(1－k 2)>0， 解得－1<k <1，即斜率k 的取值范围是(－1,1)．5．设点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 22＝1(a >0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的面积为26，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x答案 D解析 设F 1(－c ，0)，A (－c ，y 0)，则c 2a 2－y 202＝1， ∴y 202＝c 2a 2－1＝c 2－a 2a 2＝b 2a 2＝2a 2， ∴y 20＝4a 2， ∴|AB |＝2|y 0|＝4a. 又2ABF S ＝26，∴12·2c · |AB |＝12·2c ·4a ＝4c a＝26， ∴c a ＝62， ∴b a ＝c 2a 2－1＝22. ∴该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的左支交于不同的两点，则k 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，153 解析 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，① 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根．所以⎩⎨⎧ Δ＝16k 2＋40(1－k 2)>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2<0，解得1＜k ＜153. 7．直线y ＝x ＋1与双曲线x 22－y 23＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 46解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22－y 23＝1，得x 2－4x －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝－8，∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2×(16＋32)＝4 6.8．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e ＝________.答案 3＋1 解析 以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，则M 在y 轴上，可设|F 1F 2|＝2c ，M 在y 轴正半轴，则M (0，3c )，又F 1(－c ，0)，则边MF 1的中点为⎝⎛⎭⎫－c 2，32c ，代入双曲线方程，可得c 24a 2－3c 24b 2＝1，由于b 2＝c 2－a 2，e ＝c a ，则有e 2－3e 2e 2－1＝4，即有e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，由于e >1，即有e ＝1＋ 3.9．已知双曲线的方程为x 2－y 22＝1，直线l 过点P (1,1)，斜率为k . 当k 为何值时，直线l 与双曲线有一个公共点？解 设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋(1－k )，x 2－y 22＝1， 得 (k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.当k 2－2＝0，即k ＝±2时，方程只有一个解；当k 2－2≠0，且Δ＝24－16k ＝0，即k ＝32时，方程只有一个解． 综上所述，当k ＝±2或k ＝32时，直线l 与双曲线只有一个公共点． 10．斜率为2的直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为6，求直线l 的方程． 解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*) 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．于是|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5⎣⎡⎦⎤3625m 2－4×310(m 2＋2). 因为|AB |＝6，所以365m 2－6(m 2＋2)＝6. 则m 2＝15，m ＝±15.由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±15代入上式，得Δ>0，所以m 的值为±15，故所求l 的方程为y ＝2x ±15.11．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点，则a 的取值范围是____________． 答案 －6<a <6且a ≠±3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. ∵直线与双曲线相交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0⇒－6<a <6且a ≠± 3. ∴a 的取值范围是－6<a <6且a ≠± 3.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≥2.13．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案 3215解析 双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215， 所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215.所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左、右顶点为A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为________． 答案 ±1解析 由题意知F (c ，0)，A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，其中c ＝a 2＋b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝c ，x 2a 2－y 2b 2＝1， 解得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ， 所以A 1B —→＝⎝⎛⎭⎫c ＋a ，b 2a ，A 2C —→＝⎝⎛⎭⎫c －a ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B —→·A 2C —→＝(c ＋a )(c －a )－b 4a 2＝0， 解得a ＝b ，所以渐近线的斜率为±1.15．设双曲线x 2－y 22＝1上有两点A ，B ，AB 中点M (1,2)，则直线AB 的方程为________________． 答案 y ＝x ＋1解析 方法一 (用根与系数的关系解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1， 得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2， 所以k ＝1，满足Δ>0，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．因为x 1≠x 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，所以k AB ＝2×1×22×2＝1，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y22＝1满足Δ>0.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.16．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)．(1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长；(2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ， 得3x 2＋2x －2＝0.设两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×289＝2143.(2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∴e >62且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)．。

圆锥曲线之----双曲线专题1. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得∠F 1PF 2=60°，|OP|=3b(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )A. 43B. 2√33C. 76D. √426【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的定义与余弦定理的应用，得到a 2与c 2的关系是关键，也是难点，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．利用双曲线的定义与余弦定理可得到a 2与c 2的关系，从而可求得该双曲线的离心率． 【解答】解：设该双曲线的离心率为e ，依题意，||PF 1|−|PF 2||=2a ， ∴|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2，不妨设|PF 1|2+|PF 2|2=x ，|PF 1|⋅|PF 2|=y ， 上式为：x −2y =4a 2，① ∵∠F 1PF 2=60°， ∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得，|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|⋅cos60°=4c 2，② 即x −y =4c 2，②又|OP|=3b ，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=4|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=36b2， 即|PF 1|2+|PF 2|2+|PF 1|⋅|PF 2|=36b 2，即x +y =36b 2，③由②+③得：2x =4c 2+36b 2， ①+③×2得：3x =4a 2+72b 2， 于是有12c 2+108b 2=8a 2+144b 2， ∴c 2a =76， ∴e =ca =√426． 故选D ．2. 过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，O 为坐标原点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗=12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则双曲线的离心率为( )A. 1+√52B. √52C. √5D. 1+√32【答案】C【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．设F′为双曲线的右焦点，由题设知|EF|=b ，|PF|=2b ，|PF′|=2a ，再由|PF|−|PF′|=2a ，知b =2a ，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵|OF|=c ，|OE|=a ，OE ⊥EF ，∴|EF|=b ， 设F′为双曲线的右焦点，∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则E 为PF 的中点，OE 为△FPF′的中位线，∴|PF|=2b ，|PF′|=2a ，∵|PF|−|PF′|=2a ，∴b =2a ， ∴e =√1+(ba )2=√5， 故选：C3. 已知F 1，F 2分别是双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a,b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,2) B. (2,+∞) C. (1,√2) D. (√2,+∞) 【答案】A【解析】解：如图1，不妨设F 1(0,c)，F 2(0,−c)，则过F 1与渐近线y =ab x 平行的直线为y =ab x +c ， 联立{y =a b x +cy =−a b x 解得{x =−bc2a y =c 2即M(−bc 2a ,c2) 因M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2+y 2=c 2内， 故(−bc 2a )2+(c2)2<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2−a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线离心率e =ca >1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选：A ．不妨设F 1(0,c)，F 2(0,−c)，则过F 1与渐近线y =a b x 平行的直线为y =ab x +c ，联立直线组成方程组，求出M 坐标，利用点与圆的位置关系，列出不等式然后求解离心率即可． 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力．4. 若双曲线E ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F(3,0)，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为P(−3,−6)，则E 的方程为( )A. x 25−y 24=1B. x 24−y 25=1C. x 26−y 23=1D. x 23−y 26=1【答案】D【解析】解：由题意可得直线l 的斜率为k =k PF =0+63+3=1， 可得直线l 的方程为y =x −3， 代入双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1可得(b 2−a 2)x 2+6a 2x −9a 2−a 2b 2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=6a2a2−b2，由AB的中点为P，可得6a2a2−b2=−6，即有b2=2a2，又a2+b2=c2=9，解得a=√3，b=√6，则双曲线的方程为x23−y26=1．故选：D．求出直线l的斜率和方程，代入双曲线的方程，化简可得x的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点坐标，可得a，b的方程组，解得a，b，进而得到双曲线的方程．本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的焦点和联立方程组，运用韦达定理、中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的离心率为()A. √3B. 2C. √2D. √5【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，则c=√a2+b2=√3a，进而得到离心率．【解答】解：设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，由|ON|=a，且ON为△F1F2A的中位线，可得|F2A|=2a，|F1N|=√c2−a2=b，即有|F1A|=2b，在直角三角形MF2A中，可得|MF2|=2√2a，即有|MF1|=2b+2a，由双曲线的定义可得|MF1|−|MF2|=2b+2a−2√2a=2a，可得b=√2a，∴c=√a2+b2=√3a，∴e=ca=√3．故选：A ．6. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若∠F 1MF 2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,√2) B. (√2,+∞) C. (1,2) D. (2,+∞) 【答案】D【解析】【分析】可得M ，F 1，F 2的坐标，进而可得MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，结合abc 的关系可得关于ac 的不等式，结合离心率的定义可得范围．本题考查双曲线的离心率，考查学生解方程组的能力，属中档题． 【解答】解：联立{x 2a 2−y 2b2=1y =b a(x −c)，解得{x =c 2y =−bc 2a，∴M(c 2,−bc2a )，F 1(−c,0)，F 2(c,0)， ∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3c 2,bc 2a)，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c 2,bc2a )， 由题意可得MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即b 2c 24a 2−3c24>0，化简可得b 2>3a 2，即c 2−a 2>3a 2， 故可得c 2>4a 2，c >2a ，可得e =ca >2 故选D ．7. 设双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N ，连结MF 2，NF 2，若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √6【答案】B【解析】解：若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得△MNF 2为等腰直角三角形，设|MF 2|=|NF 2|=m ，则|MN|=√2m ， 由|MF 2|−|MF 1|=2a ，|NF 1|−|NF 2|=2a ，两式相加可得|NF 1|−|MF 1|=|MN|=4a ，即有m =2√2a ，在直角三角形HF 1F 2中可得4c 2=4a 2+(2a +2√2a −2a)2， 化为c 2=3a 2，即e=ca=√3．故选：B．由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|=|NF2|=m，则|MN|=√2m，运用双曲线的定义，求得|MN|=4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为(√3−1)a，则其离心率为()A. √3B. 2C. √3+1D. 2√3【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c−a，结合条件和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：如图：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S△AF1F2=12|AF2|⋅|F1F2|=12r(|AF1|+|AF2|+|F1F2|)，由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=|AF2|+|F1F2|−|AF1|2=2c−2a2=c−a=(√3−1)a，从而可以得出c=√3a，则离心率e=ca=√3，故选A．9.已知O为坐标原点，双曲线x2−y2b2=1(b>0)上有一点P，过点P作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的离心率为()A. √17B. √15C. √5D. √3【答案】C【解析】解：由双曲线方程可得渐近线方程bx±y=0，设P(m,n)是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，则l的方程为：bx+y−bm−n=0，l与渐近线bx−y=0交点为A，则A(bm+n2b ,bm+n2)，|OA|=|bm+n2b|√1+b2，P点到OA的距离是：d=√b2+1，∵|OA|⋅d=1，∴|bm+n2b |√1+b2⋅bm−n√b2+1=1，∴b=2，∴c=√5，∴e=√5故选：C．求得双曲线的渐近线方程，设P(m,n)是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得b，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和两直线平行的条件：斜率相等，联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.倾斜角为30°的直线l经过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±xB. y=±12x C. y=±√32x D. y=±√52x【答案】A【解析】解：如图MF2为△ABF2的垂直平分线，可得AF2=BF2，且∠MF1F2=30°，可得MF2=2c⋅sin30°=c，MF1=2c⋅cos30°=√3c，由双曲线的定义可得BF1−BF2═2a，AF2−AF1=2a，即有AB=BF1−AF1=BF2+2a−(AF2−2a)=4a，即有MA=2a，AF2=√MA2+MF22=√4a2+c2，AF1=MF1−MA=√3c−2a，由AF2−AF1=2a，可得√4a2+c2−(√3c−2a)=2a，可得4a2+c2=3c2，即c=√2a，b=√c2−a2=a，则渐近线方程为y=±x．故选：A．由垂直平分线性质定理可得AF2=BF2，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得AB= 4a，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．11. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为( )A. √62B. √52C. 2√33D. √3【答案】B【解析】解：如图，不妨设直线l 的斜率为−ab ，∴直线l 的方程为y =−ab (x −c)，联立{y =−a b (x −c)x 2a2−y 2b 2=1，得(b 2−a 2)c 2y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0． ∴y =ab 3±a 2b 2(b 2−a 2)c．由题意，方程得(b 2−a 2)c 2y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0的两根异号， 则a >b ，此时y A =ab 3+a 2b 2(b 2−a 2)c<0，y B =ab 3−a 2b 2(b 2−a 2)c>0．则ab 3+a 2b 2(a 2−b 2)c =3ab 3−a 2b 2(b 2−a 2)c，即a =2b ．∴a 2=4b 2=4(c 2−a 2)，∴4c 2=5a 2，即e =ca=√52． 故选：B ．不妨设直线l 的斜率为−a b ，∴直线l 的方程为y =−ab (x −c)，联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解． 本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．12. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45°，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√3xC. y =±xD. y =±2x 【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a ，b 的关系，进而得到所求渐近线方程． 【解答】解：设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ， 由|ON|=a ，且ON 为△F 1F 2A 的中位线，可得 |F 2A|=2a ，|F 1N|=√c 2−a 2=b ， 即有|F 1A|=2b ， 因为∠F 1MF 2=45°，所以在等腰直角三角形MF 2A 中，可得|MF 2|=2√2a ， 即有|MF 1|=2b +2a ，由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2b +2a −2√2a =2a ， 可得b =√2a ，则双曲线的渐近线方程为y =±√2x. 故选A ．13. 已知点F 为双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线x =a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，若AF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. √5B. 1+√2C. 1+√5D. −1+√5【答案】D【解析】解：设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1的右焦点F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y =ba x ， 由x =a 代入渐近线方程可得y =b ， 则A(a,b)，可得AF 的中点为(a+c 2,12b)，代入双曲线的方程可得(a+c)24a 2−14=1，可得4a 2−2ac −c 2=0， 由e =ca ，可得e 2+2e −4=0，解得e =√5−1(−1−√5舍去)， 故选：D ．设出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得将交点A 的坐标，运用中点坐标公式，可得中点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，考查渐近线方程的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．14. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)，过左焦点F 的直线切圆x 2+y 2=a 2于点P ，交双曲线C 右支于点Q ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. y =±x B. y =±2xC. y =±12xD. y =±√32x 【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义和渐近线方程，属于中档题． 由已知可得|OP |=a ，设双曲线的右焦点为F′，由P 为线段FQ 的中点，知|QF′|=2a ，|QF|=2b ，由双曲线的定义知：2b −2a =2a ，由此能求出双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的渐近线方程．【解答】解：∵过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为P ，∴|OP |=a ，设双曲线的右焦点为F′， 由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得，P 为线段FQ 的中点， ∴|QF′|=2|OP |=2a,|QF |=2|PF |=2b,，由双曲线的定义知：|QF |−|QF′|=2b −2a =2a ， ∴b =2a ． ∴双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±ba x =±2x ， 故选B ．15. 已知F 为双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点.过点F 向C 的一条渐近线引垂线.垂足为A.交另一条渐近线于点B.若|OF|=|FB|，则C 的离心率是( )A. √62B. 2√33C. √2D. 2【答案】B【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单几何性质，考查求双曲线性质的常用方程，考查数形结合思想，属于中档题．方法一：由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求得|AF|，分别求得|OB|，|根据勾股定理|OB|2=|OA|2+|AB|2，求得a 和b的关系，即可求得双曲线的离心率； 方法二：利用余弦定理求得：|OB|2=|OF|2+|FB|2−2|OF||FB|cos∠OFB =2c 2+2bc ，即可求得求得a 和b 的关系，即可求得双曲线的离心率；方法三：根据三角形的面积相等及渐近线方程求得A 点坐标，利用直角三角形的性质，即可求得a和b的关系，即可求得双曲线的离心率；方法四：求得双曲线的渐近线及AB的方程，联立即可求得A和B点坐标，根据等腰三角形的性质，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：方法一：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，|AB|=b+c，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a，|OB|2=OA|2+|AB|2=a2+ (b+c)2．∴4a2=a2+(b+c)2，整理得：c2−bc−2b2=0，解得：c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca =2√33，故选B．方法二：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a由∠OFB=π−∠OFA，cos∠OFB=cos(π−∠OFA)=−cos∠OFA=−bc，由余弦定理可知：|OB|2=|OF|2+|FB|2−2|OF||FB|cos∠OFB=2c2+2bc，∴2c2+2bc=4a2，整理得：c2−bc−2b2=0，解得：c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca =2√33故选B．方法三：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a，根据三角形的面积相等，则A(a2c ,abc)，∴在Rt△OAB中，2a=2×2×abc ，即c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca=2√33故选B．方法四：双曲线的一条渐近线方程为y=ba x，直线AB的方程为：y=−ab(x−2)，{y=baxy=−ab(x−c)，解得：{x=a2cy=abc，则A(a2c,abc)，{y=−baxy=−ab(x−c)，解得：{x=a2ca2−b2y=−abca2−b2，则B(a2ca2−b2,abca2−b2)，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，则2×abc =abca2−b2，整理得：a2=3b2，∴e=c a=√1+b 2a =2√33， 故选：B ．16. 已知双曲线x 2(m+1)2−y 2m 2=1(m >0)的离心率为√52，P 是该双曲线上的点，P 在该双曲线两渐近线上的射影分别是A ，B ，则|PA|⋅|PB|的值为( )A. 45B. 35C. 43D. 34【答案】A【解析】解：双曲线x 2(m+1)2−y 2m 2=1(m >0)的离心率为√52，可得e 2=c 2a 2=(m+1)2+m 2(m+1)2=54， 解得m =1，即双曲线的方程为x 24−y 2=1，渐近线方程为x ±2y =0， 设P(s,t)，可得s 2−4t 2=4， 由题意可得|PA|⋅|PB|=√1+4⋅√1+4=|s 2−4t 2|5=45．故选：A ．运用离心率公式，解方程可得m =1，求得渐近线方程，设P(s,t)，可得s 2−4t 2=4，运用点到直线的距离公式，化简整理，即可得到所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查点到直线的距离公式，化简整理的运算能力，属于中档题．17. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 29的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √173B. √176C. √105D. √102【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的性质，以及双曲线的定义和中位线定理，勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，知E 为PF 的中点，令右焦点为F′，则O 为FF′的中点，则|PF′|=2|OE|=23a ，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF′|+2a =83a ，在Rt △PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，由此能求出离心率． 【解答】解：由若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得E 为PF 的中点， 令右焦点为F′，O 为FF′的中点， 则|PF′|=2|OE|=23a ，由E 为切点，可得OE ⊥PF ， 即有PF′⊥PF ，由双曲线的定义可得|PF|−|PF′|=2a ， 即|PF|=|PF′|+2a =83a ，在Rt △PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，即649a 2+49a 2=4c 2，即c =√173a ，则离心率e =c a =√173．故选A ．18. 已知双曲线M ：x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=2c.若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin∠PF 1F 2=3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A. (1,2+√73) B. (1,2+√73] C. (1,2) D. (1,2]【答案】A【解析】解：由a sin∠PF 1F 2=3csin∠PF 2F 1，在△PF 1F 2中，由正弦定理可得PF 2sin∠PF 1F 2=PF1sin∠PF 2F1， 可得3c ⋅PF 2=a ⋅PF 1，且PF 1−PF 2=2a联立可得PF 2=2a 23c−a >0，即得3c −a >0，即e =ca >13，…①又PF 2>c −a(由P 在双曲线右支上运动且异于顶点)， ∴PF 2=2a 23c−a >c −a ，化简可得3c 2−4ac −a 2<0， 即3e 2−4e −1<0，得2−√73<e <2+√73…②又e >1，③由①②③可得，e 的范围是(1,2+√73).故选：A ．利用正弦定理及双曲线的定义，可得a ，c 的不等式，结合PF 2>c −a ，即可求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，考查化简整理的圆能力，属于中档题．19. 设F 1，F 2是双曲线x 24−y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值等于( )A. 2B. 2√2C. 4D. 8【答案】A【解析】解：由已知F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，则|F 1F 2|=2√5．即{|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20||PF 1|−|PF 2|=4， 得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选A ．先由已知F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，得出|F 1F 2|=2√5.再由向量的数量积为0得出直角三角形PF 1F 2，最后在此直角三角形中利用勾股定理及双曲线的定义列出关于的方程，即可解得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．本题主要考查了双曲线的应用及向量垂直的条件．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．20. 已知双曲线y 2a 2−x2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 2，F 1，过F 1且倾斜角为锐角的直线1与圆x 2+y 2=a 2相切，与双曲线的上支交于点M.若线段MF 1的垂直平分线过点F 2，则该双曲线的渐近线的方程为( )A. y =±43xB. y =±34xC. y =±53xD. y =±35x【答案】B【解析】解：设MF 1与圆相切于点E ，因为|MF 2|=|F 1F 2|=2c ，所以△MF 1F 2为等腰三角形， N 为MF 1的中点， 所以|F 1E|=14|MF 1|，又因为在直角△F 1EO 中，|F 1E|2=|F 1O|2−a 2=c 2−a 2， 所以|F 1E|=b =14|MF 1|①又|MF 1|=|MF 2|+2a =2c +2a ②， c 2=a 2+b 2 ③ 由①②③可得c 2−a 2=(c+a 2)2， 即为4(c −a)=c +a ，即3c =5a ， b =√c 2−a 2=√259a 2−a 2=43a ， 则双曲线的渐近线方程为y =±ab x ， 即为y =±34x.故选：B ．先设MF 1与圆相切于点E ，利用|MF 2|=|F 1F 2|，及直线MF 1与圆x 2+y 2=a 2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．21. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF 交双曲线右支于点B ，且B 为线段AF 的中点，则该双曲线的离心率是( )A. 2B. √62C. 2√105D. √2【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出FA 的中点B 的坐标是解题的关键．设渐近线方程为y =b a x ，则FA 的方程为y −0=−ab (x −c)，代入渐近线方程求得A 的坐标，由中点公式求得中点B 的坐标，再把点B 的坐标代入双曲线求得离心率． 【解答】解：由题意设渐近线方程为y =ba x ， 则FA 的方程为y −0=−ab (x −c)， 代入渐近线方程y =b a x 可得A 的坐标为(a 2c ,abc)，B 是线段AF 2的中点(c+a 2c2,ab2c )，根据中点B 在双曲线C 上， ∴(a 2c +c)24a 2−a 2b 24b 2c 2=1，∴c 2a 2=2， 故e =ca =√2， 故选：D ．22. 已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM|=2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2=( )A. 1+√172B. 1+√174C. 2+√52D. 2+√54【答案】A【解析】解：由题意可设F(c,0)，一条渐近线方程为y =ba x ， 可得M(c,bca )， 即有2a =bc a ，即bc =2a 2，即b 2c 2=4a 4，即(c 2−a 2)c 2−4a 4=0，由e=c可得e4−e2−4=0，a(负的舍去)，解得e2=1+√172故选：A．设出F的坐标和一条渐近线方程，求得M的坐标和|FM|，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。

【高考理科数学专题复习系列之____】圆锥曲线 （四）双曲线一． 要点梳理1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。

F 1（-)0,c ，F 2（F （),0c -，F （,c o3、直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。

唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。

4、共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。

通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。

此即为共轭之意。

1）性质：共用一对渐近线。

双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。

2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将1变为1-。

5、渐近线：①若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a by ±=②若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx 6、准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅7、与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ9、与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x二、例题讲解例1：根据下列条件，求双曲线方程：(1) 与双曲线116922=-y x 有共同渐近线，且过点)32,3(-； (2) 与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(。

圆锥曲线之双曲线双曲线的定义和性质一：知识要点知能点1：双曲线的定义平面内与两定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F 且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

特别提醒：1、在此定义中“常数要大于0且小于12F F ”这一限制条件非常重要，不可去掉。

2、如果定义中的常数改为等于12F F ，此时动点的轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线（含端点）。

3、如果定义中的常数为零，此时动点的轨迹为线段12F F 的垂直平分线。

4、如果定义中的常数改为大于12F F ，此时动点的轨迹不存在。

5、若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹成为双曲线的一支。

6、设(),M x y 为双曲线上的任意一点，若M 点在双曲线右支上，则()1220MF MF a a -=>；若M 点在双曲线左支上，则()1220MF MF a a -=->。

知能点2：双曲线的标准方程（1）()222210,0x y a b a b-=>>，焦点在x 轴上，焦点为(),0F c ±，焦距122F F c =； （2）()222210,0y x a b a b-=>>，焦点在y 轴上，焦点为()0,F c ±，焦距122F F c = 特别提醒：1、上述方程中，222c a b =+2、标准方程中，若2x 项的系数为正⇔双曲线的焦点在x 轴上；若2y 项的系数为正⇔双曲线的焦点在y 轴上。

知能点3：双曲线的一般方程我们把()2210Ax By A B +=<称为双曲线的一般方程。

二：经典例题例1.一动圆与圆C 1：()1122=-+y x 和圆C 2：()4122=++y x 都外切；则动圆的轨迹为例2． 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1） 过点P （4,0），Q （0，5）焦点在坐标轴上；（2）c=6，经过点（-5，2），焦点在x 轴上；例3．求与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程.三：当堂练习A 级试题1．已知点12(4,0),(4,0)F F -，曲线上的动点P 到F 1的距离与到点F 2的距离之差为6，则曲线方程为（ ） Ａ．221(0)97x y x -=>； Ｂ．22197x y -= Ｃ．221(0)97y x y -=> Ｄ．22197y x -= 2．在双曲线的标准方程中，6,8a b ==，则其方程为 。

1. 双曲线标准方程的求解步骤.2. 双曲线的几何问题.3. 双曲线的第二定义及其应用.4. 双曲线的总结.2.2.1 双曲线的定义及其标准方程定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹，叫作双曲线.双曲线焦点：两个定点F 1、F 2焦距：两焦点之间的距离 |F 1F 2|1212|MF MF F F |＜MF 1 F 2动点M 的轨迹：以F 1、F 2 为端点的两条射线.动点M 的轨迹：不存在.MF 1 F 2当时：1212|MF MF |F F -=当时：1212MF MF F F -＞用定义判断下列动点M的轨迹是否为双曲线.(1) 到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之差为3的点的轨迹.(2) 到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之差为4的点的轨迹.(3) 到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之差为3的点的轨迹.是不是不是xyO222c =a +b22221x y a b-=MF 1 F 2焦距2c22221y x a b-=y xOMF 1F 2 222c =a +b焦点在哪个轴上，哪个系数为正.22221x ya b-=22221y xa b-=双曲线标准方程的两种形式焦点在 x 轴上：焦点在 y 轴上：221916x y -=在 x 轴上 (－5,0)和(5,0）在 x 轴上 (0,－13)和(0,13）22222144y x m m m()-=-　＜在 y 轴上 (0,－2)和(0,2)例1 判定下列双曲线的焦点在 哪个轴上，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标.22114425x y-=求双曲线标准方程的步骤：双曲线方程可以设成 Ax 2+By 2=1（AB ＜0）的形式，方程可变形为：22111x y A B+=　若A ＞0，表示焦点在 x 轴上的双曲线；若B ＞0，表示焦点在 y 轴上的双曲线.例2 写出适合下列条件的双曲线标准方程.(1) a = 4 , b = 1, 焦点在 x 轴上.(2) a = 4 , c = 5, 焦点在 y 轴上.22116x y -=221169y x -=223b c a =-=经过点Q(－3,0) ，求它的标准方程.第一步：确定双曲线方程的类型焦点在x 轴上，因此设双曲线的方程为：22 221x y a b-=第二步：求参数a 、b由题意可知 c =5，因此有 52 = a 2 + b 2因为椭圆经过点Q ，因此有2222301a b--=() a = 3b = 4经过点 Q (－3,0) ，求它的标准方程.第三步：写出双曲线方程a = 3b = 422221 34x y-=经过点Q(－3,0) ，求它的标准方程.练习1 已知双曲线 的焦点在 y 轴上，且焦距为8，则m 等于 .22111x y+m m =-+8解：由题意得，c = 422211416a b m m ()()+=++-==8m =双曲线的方程可化为22111y xm m -=+-练习2 过点 ，且与椭圆有相同的焦点的双曲线的标准方程为21,()214y +=A. D. C. B. 2214x y -=22133x y -=2212yx -=2212x y -=B两边平方，化简解得解法一：由题意得，焦点为由双曲线的定义可知，22222231231a |()()|=++--+22a =因此有2221b c a =-=2212x y -=练习2 过点 ，且与椭圆有相同的焦点的双曲线的标准方程为21,()214y +=3030(,)(,)-、解法二：设所求双曲线的方程为由题意可得，22a =因此有21b =22221x ya b-=223a b +=2222211a b-=练习2 过点 ，且与椭圆有相同的焦点的双曲线的标准方程为21,()214y +=2212x y -=焦点在哪个轴上，哪个系数为正. 22221x ya b-=22221y xa b-=2.2.2 双曲线的几何性质双曲线的标准方程22 221x y a b-=22221y xa b-= 222c=a+bxy O MF1 F2yxOMF1F2双曲线的图像范围|x |a,y R≥∈xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb |y |a,x R≥∈双曲线的渐近线b y xa=±a y xb=±xy O F 1 F 2y xO F 1F 2 aa b bxy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb F 1(-c,0) F 2(c,0)F 1(0,-c) F 2(0,c)xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb A 1(-a ,0) A 2(a ,0)A 1(0,-a ) A 2(0,a )双曲线的对称性xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点双曲线的轴xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 实轴：线段|A 1A 2| = 2a 虚轴：线段|B 1B 2| = 2b当a =b ，等轴双曲线双曲线的焦距xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 焦距：线段|F 1F 2| = 2cxy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 离心率：221c be a a==+221c b e a a==+1e ＞a c0＜＜xy O F 1 F 2ab椭圆的离心率 e 反映了双曲线的开口程度.当e 越趋于1时，双曲线开口越小；当e 越趋于+∞时，双曲线开口越大.xy O F 1 F 2ab 221c b e a a==+例1 已知双曲线E 经过点A (4 , 3)，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上，离心率e =3/2，求双曲线E 的方程.解：设椭圆的方程为22221x ya b-=由题意得2222431a b-=2232c a b e a a +===2244511a b ==22514411x y-=练习1 设中心在原点双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程 .11 2e=221 2x y+=解：椭圆的焦点在x 轴上，且焦点为(－1,0)、(1,0)椭圆的离心率为22e=双曲线焦点为(－1,0)、(1,0)，离心率为双曲线的参数：22 122c a b===、、22221x y-=双曲线的方程：练习2 求椭圆 9y 2 － 16x 2 = 144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把已知方程化成标准方程2222143y x -=这里22435a b c a b===+=,,答案参见(理科课本P58例3 / 文科课本P51例3)双曲线的几何问题1. 双曲线定义的集合语言：P = { M | ||MF 1|－|MF 2|| =2a ，2a ＜|F 1F 2| }， |F 1F 2| =2c ，其中c ＞a ，且a 、c 为常数.xyOF 1 F 2例2 已知F 是双曲线 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的一点，则|PF |+|PA |的最小值为 .221412x y-=9xy OF F 2P A|PF |+|PA | = |PF 2|+2a +|PA |= 2a +( |PF 2|+|PA | )思路：找到一个替代点，使两定点在曲线的两侧最小值 = 4+5 = 9练习 设双曲线的两个焦点为F 1、F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|:|PF 2|=3:4，则△PF 1F 2的面积等于 .2218y x -=85xyOF 1 F 2P|PF 1|:|PF 2|=3:4|PF 2 |－|PF 1|=2a =2|PF 1|=6|PF 2|=8△PF 1F 2是一个等腰三角形221864852S =⨯⨯-=双曲线的几何问题2. 双曲线的渐近线xy O F 1 F 2ab 求渐近线的方法：令等式右边等于022221x y a b-=22220x y a b -=令b y xa=±得2. 双曲线的渐近线求渐近线的方法：令等式右边等于022220y x a b -=令a y xb=±得y xO F 1F 2 a b 22221y x a b-=2. 双曲线的渐近线若已知渐近线，求双曲线的方程.一定注意分焦点在x 轴、y 轴上两种情况分析.y xO F 1F 2 a b 22221y x a b-=例3 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点(2,－3)，则双曲线的标准方程为12y x =±A.D. C. B.221832x y -=224177x y-=224177x y-=221832y x -=通过渐近线，排除了A 、C ；通过点(2,－3)排除了D.练习 (2015安徽, 文) 下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）2y x =± A. D. C. B. 2214yx -=2212y x -=2212x y -=2214x y -=练习 (2015安徽, 理) 下列双曲线中，焦点在 y 轴上，且渐近线方程为的是（ ）2y x =±A. D. C. B. 2214yx -=2214y x -=2214x y -=2214x y -=练习 (2014天津, 理) 下列双曲线 的一条渐近线方程平行于直线 l ：，且双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程是（ ）210y x =+A.D.C.B.221520x y-=2233125100x y-=2233110025x y-=221205x y -=22221x ya b-=渐近线：y =±2x(－5,0)练习 (2013全国I) 下列双曲线 (a ＞0，b ＞0)的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. D. C.B. 14y x=±22221x ya b-=522y x=±12y x=±4y x =±by xa=±渐近线双曲线的几何问题3. 双曲线的离心率求离心率或其范围的方法：(1)求a 、b 、c ，直接求出 e .(2)列出a 、b 、c 的方程，借助b 2=c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.y xO F 1F 2 a b 22221y x a b-=过点(4,－2)，则双曲线的离心率为 A. 6B. 5C.62D.5222221x ya b-=22220x ya b -=令b y xa =±得渐近线方程焦点在 x 轴上，因此方程设为12b a =225514222c a +b b =+==a a a =过点(4,－2)，则双曲线的离心率为A. 6B. 5C.62D.5222221x ya b-=22220x ya b-=令b y xa =±得渐近线方程焦点在 x 轴上，因此方程设为12b a =52c a =。

圆锥曲线（双曲线）圆锥曲线（双曲线）一．双曲线的定义（第一定义）平面内与两定点F1、F2距离之差的绝对值等于定长2a注意：⑴当2a＜|21FF|时动点P的轨迹表双曲线的轨迹表双曲线若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

⑵当2a=|21FF|时动点P的轨迹表以F1、F2为端点的两条射线为端点的两条射线⑶当2a＞|21FF|时点P不存在不存在二．双曲线的标准方程及几何性质222bac+=标准方程标准方程22221(0,0)x ya ba b-=>>22221(0,0)y xa ba b-=>>图像图像焦点坐标焦点坐标 )0,(),0,(21cFcF-)0,(),0,(21cFcF-顶点坐标顶点坐标 )0,(),0,(21aAaA-),0(),,0(21aBaB-取值范围取值范围|x|≥a，RyÎ|y|≥a，RxÎ对称轴对称轴 x轴，y轴实轴为a2、虚轴为b2准线方程准线方程cax2±=cay2±=渐近线渐近线xaby±=xaby±=离心率离心率 )1(>=eace（离心率越大，开口越大）（离心率越大，开口越大）通径通径ab22三、双曲线常规题型1．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：⑴经过两点（⑴经过两点（227,3,3））、（-7-7，，-62） ⑵双曲线经过点（⑵双曲线经过点（3,93,92），离心率为310⑶双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(⑷与双曲线x 2－2y 2＝2有共同的渐近线，且经过点（2，－2） ⑸过点P （2，－1），渐近线方程是y ＝±3x. 2．双曲线221102x y -=的焦距为（的焦距为（） A ．32B ．42C ．33D ．433．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为的轨迹方程为（（ ） A ．221916x y -= B ．221169x y -+= C ．221(3)169x y y -+=≥ D ．221(3)169x y y -+=-≤4．到两定点(3,0))0,3(21F F 、-的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（的轨迹是（ ） A ．椭圆．椭圆 B ．线段．线段 C ．双曲线．双曲线 D ．两条射线．两条射线5．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为的值为( ( )A ．－14B B．－．－．－4C 4 C 4 C．．4 D.146．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为的值为 ．7．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（的渐近线方程是（ ） A ．x y32±=B ．x y94±=C ．x y23±= D ．x y 49±=8．已知双曲线的方程为1222=-2b y a x，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点2F ，m AB =||，1F 为另一焦点，则1ABF D 的周长为（的周长为（ ） A ． m a 22+ B ． m a 24+ C ．m a + D ． m a 42+9．已知双曲线4422=-y x上一点P 到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么P 点到另一焦点的距离等于（一焦点的距离等于（ ） A ．10 B ．10或2 C ．526+D ．526±10．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（的取值范围是（ ） A ．1-＜k ＜1 B ．k ＞0 C ．k ≥0 D ．k ＞1或k ＜1-11．双曲线14122222=--+my m x 的焦距是（的焦距是（ ） A ．4 B ．22C ．8 D ．与m 有关有关12．过双曲线191622=-y x 左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABFD （F 2为右焦点）为右焦点） 的周长是（的周长是（ ）A ．28 B ．22 C ．14 D ．12 13．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15， 则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 14．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15， 则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．与曲线1492422=+yx 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（共渐近线的双曲线方程为（）A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x16．方程151022=-+-ky k x 表示双曲线，则Îk （ ） A ．（5，10） B ．（5,¥-） C ．（10，¥+） D ．),10()5,(+¥È-¥17．双曲线112422=-y x 上点P 到左焦点的距离为6，则这样的点P 的个数为（的个数为（） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 1818．双曲线．双曲线)0,1(,x 122222222¹¹=-=-l l l by a b y a x 与双曲线有相同的（有相同的（ ）） A ．焦点．焦点 B ．准线．准线C ．离心率．离心率D ．渐近线．渐近线19．“a b<0”是“方程ax 2+b y 2 =c 表示双曲线”的（表示双曲线”的（ ）A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件．充分不必要条件C ．充要条件．充要条件D ．非充分非必要条件．非充分非必要条件20．一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切，则动圆心的轨迹为（都外切，则动圆心的轨迹为（ ）A ．抛物线．抛物线B ．圆．圆C ．双曲线的一支 D ．椭圆．椭圆21．方程22142x y t t +=--所表示的曲线为C ，有下列命题：，有下列命题： ①若曲线C 为椭圆，则24t <<；②若曲线C 为双曲线，则4t >或2t <； ③曲线C 不可能为圆；不可能为圆； ④若曲线C 表示焦点在y 上的双曲线，则4t >。

废话说太多也不好，直接点，这个知识点联赛可能考，完事。

什么知识点？？？？就是双曲线的光学性质！！什么意思？
就是： 从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。

就像下面这个样子！
这和椭圆的光学性质有异曲同工之妙： 「数学联赛」圆锥曲线之椭圆光学性质！我们来看看如何证明这个东西，题型是如何的！
先假设：双曲线的方程为：
F1(-C,0),F2(C,0),PM为双曲线的切线，P(m，n)，所以PM切线方程为：
所以PM的斜率为：
直线PF1的斜率为：
直线PF2的斜率为：
所以就有tanα
同理可以得出：tanβ
所以：tanα=tanβ得到α=β。

考题一般这样来：。