专题06 圆锥曲线中的轨迹问题-2020高考数学尖子生辅导专题

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一） 【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤； □2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。

【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( )A ．椭圆B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。

即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。

例1．已知ABC ∆中，2,ABBC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。

点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。

记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 . 三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。

圆锥曲线轨迹方程的求法 0603班杨金梅指导老师陈引兰一直以来，圆锥曲线这部分内容都是高考必考内容，作为解析几何中一个重要的部分，在历次考试中也是让相当一部分考生感到棘手。

现在，我就圆锥曲线的轨迹方程的问题作一个归纳总结。

在一般情况下，我们对于求圆锥曲线的轨迹方程采用的方法有：直接法，定义法，相关点法，参数法。

下面就以上几种方法作一下介绍。

一、用直接法求轨迹方程利用动点运动的条件作出等量关系，表示成x,y的等式。

例：已知点A(-2,0),B(3,0).动点P(x,y)满足PA PB=x2,则点P的轨迹是（）.A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线解：PA=（-2-x,-y）, PB=(3-x,-y), P A· PB=x2则（-2-x）（3-x）+(-y)(-y)=x2 整理得：y2=x+6所以P点的轨迹为抛物线。

答案:D.二、有定义法求轨迹方程根据圆锥曲线的基本定义解题。

例：如图，已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M 为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程（ ）A.+=1B. －=1x225y216f(x2)x225y216C.+ =1 D.- =1(x +3)225y216(x +3)225y216解：由于P 为AM 的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6根据椭圆的定义知:P 点轨迹方程为+=1.x225y216解答：A f(x2)f(x2)三、用相关点法求轨迹方程当动点M 随着已知方程的曲线上另一动点C （x 0,y 0）运动时，找出点M 与点C 之间的坐标关系式，用（x,y ）表示（x 0,y 0）再将x 0,y 0代入已知曲线方程，即可得到点M 的轨迹方程。

例：如图所示从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.解:设动点P 的坐标为(x,y)，点Q 的坐标为（x 1,y 1），则N 点的坐标为（2x-x 1,2y-y 1）.∵N 点在直线x+y=2上，∴2x-x 1+2y-y 1=2①又∵PQ 垂直于直线x+y=2,∴=1即x-y+y 1-x 1=0 ②y -y1x -x1①②联立得：x 1=x+y-1,x 2=x+y-132121232又∵点Q 在双曲线上，∴x 12-y 12=1 ③将x1,x2代入③中，得动点P 的轨迹方程式为2x 2-2y 2-2x+2y-1=0四、用参数法求轨迹方程选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标得到动点轨迹的普通方程.例：（04.成都)过抛物线y 2=2px(p>0)的顶点O 作两条互相垂直的弦OA,OB,再以OA,OB 为邻边作矩形AOBM,如图,求点M 的轨迹方程.解:设M(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)OA 的斜率为k(显然k≠0),则OB 的斜率为-.1k OA 所在直线方程为y=kx.代入y 2=2px 得x 1=,y 1=2p k22p kOB 所在直线方程为y=-x,代入y 2=2px 得x 2= 2pk 2,y 2=-2pk1k 即B(2pk 2, -2pk) ∴OB=(2pk 2, -2pk),OA=(, )2p k22p k OM= OA+ OB =(+2pk 2, -2pk)所以有2p k22p k x=2p(-k)2 +4p, y=2p(-k) 消去(-k)得：y 2=2p(x-4p)(p>0)1k 1k 1k 即求得M 点的轨迹方程。

高考数学专题突破：圆锥曲线求轨迹的方法一、定义法（☆）二、直译法（☆☆）三、相关点法（☆）四、参数法五.交轨法六.几何法知识讲解椭圆线段的几何特（如下图）：（1）)2(21aPFPF=+；；（2）)(21aBFBF==；)(21cOFOF==；2221baBABA+==；（3）caFAFA-==2211；caFAFA+==1221；caPFca+≤≤-1；双曲线抛物线常规求解曲线轨迹的三个步骤1.建系设坐标，为谁设谁；2.把动点和有关量表示出来，常见的有中点斜率、点点距离、点面距离、重心等；3.根据题意列方程，并化简求解。

常规求解曲线轨迹的三个注意事项1.如果轨迹有不同情况，应该分类讨论。

2.若轨迹只是曲线的一部分，应该注明自变量x的取值范围；3.曲线轨迹和曲线方程有所区别，求曲线轨迹不仅要求出方程，而且要说明轨迹的形状。

一、定义法（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义）1.基本定义常用出题形式：1.离心率=______ →a与c的方程2.焦距=______→c 的方程3.圆锥曲线上的点到焦点的距离之和或之差=___→a 的方程4.已知点（x 0,y 0）在圆锥曲线上 →a 与b 的方程5.椭圆焦点三角形的周长(椭圆=2a+2c)=______→a 与c 的方程【例1】已知圆C ：（x+1）2+y 2=20点B （l ，0）．点A 是圆C 上的动点，线段AB 的垂直平分线与线段AC 交于点P ．（I ）求动点P 的轨迹C 1的方程；516【例2】如图，已知圆O 的方程为x +y =100,点A 的坐标为(-6,0),M 为圆O 上的任意一点,AM 的垂直平分线交OM于点P,则点P 的轨迹方程（ ）A.x 225 +y 216 =1B. x 225 －y 216 =1C.(x+3)225 + y 216 =1 D. (x+3)225 - y216 =1 【解析】由于P 为AM 的垂直平分线上的点，|PA|=|PM| 所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6 根据椭圆的定义知:P 点轨迹方程为x 225 +y216=1.【2017•江苏理】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，两准线之间的距离为8．（1）求椭圆E 的标准方程；【解析】（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c ，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b 2=a 2﹣c 2=3，∴椭圆的标准方程：；【2017山东理】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．【解析】（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．∴椭圆E的方程为；【2017天津理】设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；【解析】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．【2016北京（理）】已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；【解析】解：（Ⅰ）由题意可得e==，又△OAB的面积为1，可得ab=1，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，可得椭圆C的方程为+y2=1；【2016天津（理）】设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O 为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；【解析】解：（1）由+=，得，即，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；【2016四川（理）】已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；【解析】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；由题意，△F1F2C为直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴椭圆E的方程为+=1；代人直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；【2015北京理】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；【解析】（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）【2015山东理】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；【解析】（Ⅰ）由题意可知，2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；【2015福建理】已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；【解析】（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．【2015湖南理】已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；【解析】（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1【2015•四川理】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；【解析】（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，∴点（，1）在椭圆E上，又∵离心率是，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；【2014新课标1理】已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；【解析】（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；【2014•广西理】已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C 的方程；【解析】（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x 0，4），把点Q 的坐标代入抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）， 可得x 0=，∵点P （0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x 0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）． 故C 的方程为 y 2=4x ．【2014•山东理】已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形.（1）求C 的方程；【解析】（1）应用抛物线的定义求p .由抛物线第二定义的：2|3|322p p-=+， 2p ∴=或18p =（舍）当18p =时，经检验直线l 与C 只有一个交点，不合题意. C ∴的方程为：24y x =.【2014辽宁理】圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线C 1：﹣=1过点P 且离心率为．（Ⅰ）求C 1的方程；【解析】（Ⅰ）设切点P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），则切线的斜率为，可得切线的方程为，化为x 0x+y 0y=4．令x=0，可得；令y=0，可得．∴切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积S==．∵4=，当且仅当时取等号．∴．此时P ．由题意可得，，解得a 2=1，b 2=2．故双曲线C 1的方程为．【2014•广东理】已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的每一个焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C 的标准方程；【解析】（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．【2014江西理】如图，已知双曲线C ：﹣y 2=1（a ＞0）的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线AF ⊥x轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA （O 为坐标原点）．（1）求双曲线C 的方程；【解析】（1）解：依题意知，A （c ，），设B （t ，﹣），∵AB ⊥OB ，BF ∥OA ，∴•=﹣1，=，整理得：t=，a=，∴双曲线C 的方程为﹣y 2=1；【2014湖南（理21）】 如图7，O 为坐标原点，椭圆:1C )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为1e ；双曲线:2C 12222=-by a x 的左、右焦点为43,F F ，离心率为2e . 已知2321=e e ，且13||42-=F F . （1）求1C 、2C 的方程；【解析】（1）因为2321=e e ，所以232222=+⋅-a b a a b a ，因此得 44443a b a =-，即222b a =，从而)0,(2b F ，)0,3(4b F ，于是13||342-==-F F b b ，所以1=b ，22=a .故1C 、2C 的方程分别是 1222=+y x ，1222=-y x . 【2014重庆理】如图，设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上．DF 1⊥F 1F 2，=2，△DF 1F 2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；【解析】（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），其中c 2=a 2﹣b 2， 由=2，得|DF 1|==c ，从而=|DF 1||F 1F 2|=c 2=，故c=1．从而|DF 1|=，由DF 1⊥F 1F 2，得=+=，因此|DF 2|=，所以2a=|DF 1|+|DF 2|=2，故a=，b 2=a 2﹣c 2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y 2=1；【2014•四川理】已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；【解析】（1）依题意有解得所以椭圆C 的标准方程为+=1．【2014•天津理】设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；【解析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F 2（c ，0）， 由|AB|=|F 1F 2|，可得，化为a 2+b 2=3c 2． 又b 2=a 2﹣c 2，∴a 2=2c 2．∴e=．【2014•福建理】已知双曲线E ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别为l 1：y=2x ，l 2：y=﹣2x ．（1）求双曲线E 的离心率；【解析】（1）因为双曲线E 的渐近线分别为l 1：y=2x ，l 2：y=﹣2x ， 所以=2．所以=2．故c=a ，从而双曲线E 的离心率e==．【2014•陕西理】如图，曲线C 由上半椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0，y≥0）和部分抛物线C 2：y=﹣x 2+1（y≤0）连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为．（Ⅰ） 求a ，b 的值；【解析】（Ⅰ）在C 1、C 2的方程中，令y=0，可得b=1，且A （﹣1，0），B （1，0）是上半椭圆C 1的左右顶点．设C 1：的半焦距为c ，由=及a 2﹣c 2=b 2=1得a=2．∴a=2，b=1．【2013四川理20】已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P 41,33⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的离心率； 【解析】(1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =又由已知，c ＝1.所以椭圆C 的离心率2c e a ===. 【2012天津理】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； 【解析】（Ⅰ）取(0,),(,0),(,0)P b A a B a -；则221()22AP BP b b k k a b a a ⨯=⨯-=-⇔=（步骤1）222212a b e e a -==⇔=（步骤2）2、隐藏定义求解①看到两定点考虑椭圆和双曲线，看到定直线思考抛物线。

圆锥曲线中轨迹问题曲线轨迹方程的探求一直是高考中的重点和热点，涉及面广，综合性强。

曲线轨迹方程的探求有两种类型，第一种类型是几何关系已知，轨迹未知；第二种类型是曲线形状已知，求方程。

类型一常用的方法有直接法、相关点法和参数法。

类型二常用的方法有定义法和待定系数法。

（1）直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何的基本知识推出等量关系，求方程时便可利用直接法。

（2）定义法：如果所给几何条件能够确定符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。

（3）相关点法：如果动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某一已知曲线上运动，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便可得出动点P的轨迹方程，又称为代入法。

（4）参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，如求两动直线的交点时常用这种方法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。

（6）几何法：利用平面几何或解析几何的有关基础知识去分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后求出动点的轨迹方程。

热点透析题型1：直接法【例1】已知定点A、B，且AB=2a。

如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？【解】本题首先要建立坐标系，建立坐标系的要求是保持对称性，以使所求方程简单，容易看出方程表示什么曲线。

如图，取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-a，0）、B（a，0）。

设P（x，y）。

∵即化简整理，得，即。

这就是动点P的轨迹方程。

第六讲 求轨迹方程的六种常用技法1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。

练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。

2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。

练习：4．方程|2|x y ++表示的曲线是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为2121y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程。

例3．椭圆22142x y +=中,过(1,1)P 的弦恰被P 点平分,则该弦所在直线方程为_________________。

高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中动点轨迹方程问题本文介绍了解动点轨迹问题的四种方法：直译法、定义法、代入法和参数法。

其中，直译法包括建系、设点、列式、代换和证明五个步骤；定义法则是根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；代入法和参数法则是在特定条件下使用的方法。

此外，文章还提到了解轨迹问题时需要注意的两点：求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，要验证曲线上的点是否都满足方程。

接下来，文章以一个例题为例，介绍了利用代点法求轨迹方程的具体步骤。

该例题要求求出点P的轨迹方程，通过设点、列式、代换和证明四个步骤，最终得出了轨迹方程x2+y2=2.此外，文章还介绍了如何利用轨迹方程验证曲线上的点是否都满足方程，以及如何去掉满足方程的解而不再曲线上的点。

最后，文章介绍了另一种解轨迹问题的方法：定义法。

该方法是先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。

I）设圆心C的坐标为(x,y)，则圆方程为(x-1)^2+y^2=1，又因为在y轴上截得的弦长为2，所以C到y轴的距离为1，即x^2+y^2=1.联立两式可得圆心C的轨迹方程为x^2+y^2-x-1=0.II）由题意可知，直线l的斜率为k，且过点Q(1,0)，则直线方程为y=k(x-1)。

将直线方程代入圆的方程中，得到方程x^2+(k(x-1))^2-x-1=0，化简可得x^2(1+k^2)-2xk^2+k^2-1=0.由于直线l与轨迹C有交点A、B，所以方程有两个不同的实根，即Δ=4k^4-4(k^2+1)(k^2-1)≥0.解得-1≤k≤1.再将k带入直线方程可求出交点A、B的坐标，进而证明AR//FQ。

求AB中点的坐标为((k^2-1)/(1+k^2),k(k^2-2)/(1+k^2))，将其代入x^2+y^2-x-1=0中得到轨迹方程为x^4-2x^3+6x^2-2x+1-4y^2=0.1.定点、定值问题的解法定点、定值问题通常可以通过设定参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少。

2020年高考数学(理)总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题题型一圆锥曲线中的定点、定值问题【题型要点】圆锥曲线中定点、定值问题必然是变化中所表现出来的不变的量，那么就用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值•解决这类问题的一般思路是：(1) 引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等.(2) 根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.(3) 求解定点、定值问题，如果事先不知道定点、定值，可以先对参数取特殊值，通过特殊情况求出这个定点、定值，然后再对一般情况进行证明.2 2 —【例1】已知椭圆C: x? +右=l(a>b>0)的离心率为乎，点Q b,-［在椭圆上，0为坐a b 2< b J标原点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知点P, M , N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S 为定值，并求该定值.题组训练一圆锥曲线中的定点、定值问题2 2已知椭圆C : X2+ y2= 1过A(2,o), B(0,1)两点.a b(1) 求椭圆C的方程及离心率；(2) 设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.题型二圆锥曲线中的范围问题题型要点】与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．2．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．3．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．【例2】设圆F i：/+ y2+ 4x= 0的圆心为F i,直线I过点F2(2,0)且不与x轴、y轴垂直，且与圆F i相交于两点C、D，过F2作F i C的平行线交直线F i D于点E.(1)证明||EF i|—|EF2||为定值，并写出点的轨迹方程；⑵设点E的轨迹曲线与直线I交于M, N两点，过F2且与垂直的直线与圆F i交于P, Q两点，求△ PQM与厶PQN的面积之和的取值范围.题组训练二圆锥曲线中的范围问题设圆x2+ y2+ 2x—i5 = 0的圆心为A，直线I过点B(i,O)且与x轴不重合，I交圆A于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(i)证明|EA|+ |EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；⑵设点E 的轨迹为曲线 C i ,直线I 交C i 于M , N 两点，过B 且与I 垂直的直线与圆 A交于P , Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.题型三圆锥曲线中的存在性问题【题型要点】解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在， 若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3) 当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.(1)求椭圆C 的方程；⑵设过点A(4,0)的直线I 与椭圆相交于 M , N 两点(点M 在A , N 两点之间)，是否存在 直线I 使厶AMF 与厶MFN 的面积相等？若存在，试求直线I 的方程；若不存在，请说明理由． 【例3】已知椭圆2 C ： X2 + a 2 i 『3 ] 治=1(a>b>0)的离心率为",且过点P 1,- F 为其右焦点.题组训练三圆锥曲线中的存在性问题已知抛物线C: x2= 2py(p>0)的焦点为F，直线2x—y+ 2= 0交抛物线C于A, B两点，P 是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.⑴D是抛物线C上的动点，点E(—1,3)，若直线AB过焦点F ,求|DF|+ |DE |的最小值；(2)是否存在实数p，使|2QA+ QB|=|2QA —QB| ?若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．题型四基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题【题型要点】求解圆锥曲线中的最值问题，主要有两种方法: 一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即要把求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解•求最值方法有：(1) 利用基本不等式求最值时要注意一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可.(2) 通过代换、拆项、凑项等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件.【例4】已知P为圆A: (x+ 1)2+ y2= 12上的动点，点B(1,0).线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点T,记点T的轨迹为r(1)求曲线『的方程；⑵设M , N是『上的两个动点，MN的中点H在圆x2+ y2= 1上，求原点到MN距离的最小值.题组训练四基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题2 2 . ixOy中，椭圆C: *+器=1(a>b>0)的离心率是今，抛物线E: x2= 2y 的焦点F是C的一个平面直角坐标系顶点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线I与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；51②直线I与y轴交于点6,记厶PFG的面积为S，△ PDM的面积为求三的最大值52及取得最大值时点P的坐标.【专题训练】1已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为¥，它的一个焦点恰好与抛物线y2= 4x的焦点重合.(1)求椭圆C的方程；⑵设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB, AC,若直线AB, AC斜率之积为1直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理4由.2. 已知两点A( —2, 0), B(,2, 0)，动点P在y轴上的投影是Q,且2PA PB = |PQ|2.(1)求动点P的轨迹C的方程；⑵过F(1,0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G, H , M , N,且E i, E2分别是GH ,MN的中点.求证：直线E1E2恒过定点.2 2 23. 如图，椭圆E：字+存=1(a>b>0),经过点A(0, —1)，且离心率为才(1)求椭圆E的方程;⑵经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P, Q(均异于点A),证明: 直线AP与AQ的斜率之和为定值.24. 已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点0,离心率为双曲线y2—号=1离心率的一半，直线y = x被椭圆E截得的线段长为一.直线|: y = kx+ m与y轴交于点P,与椭圆E交于A, B两个相异点，且AP =沪B.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数m,使OA + ^0B= 40P?若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.。

专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型例题+题型归类练)目录类型一：定义法求轨迹方程类型二：直接法类型三：代入法（相关点法）类型四：点差法一、必备秘籍1、曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0F x y =的解； ②以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点．此时，把方程(,)0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 3、求轨迹方程的方法： 3.1定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

3.2直接法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(,)x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3.3代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P '的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线y x 、例题5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知P 是平面上的动点，且点P 与(2,0),(2,0)F F -的距离之差的的直线分别与x 轴的正半轴和y 为坐标原点．若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点，则0,0a b >>，(,BP x y ∴=，(PA a =-2BP PA =，a ∴又(),AB a b =-=，(,OQ x =-，1OQ AB ⋅=，()332x x ⎛⎫∴-⋅-+ ⎪⎝⎭)2230,0x y y +=>.故答案为：)2302x y +>.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知定点()0,4A ，满足12NR NM =，又12NR NM =，可得例题5．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．(1)求动点P 的轨迹【答案】(1)24y x =设(),P x y ，()AP x =+，()1,0OB =，(1PB =-，(AP OB x ⋅=+()221x B y P =-+，因为AP OB PB ⋅=，则)221x x y +=-+，所以222121x x x x ++=-+，即24y x =．例题6．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（文））已知直线线l 垂直于轴，动点在直线l 上，且OP OQ ⊥，记点的轨迹为C ，设点P 的坐标为(),x y ，则(Q x OP OQ ⊥，∴0OP OQ ⋅= 220x y -=，0x =时，P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故曲线C 的方程为(22x y x =≠ 412NR NM =；AP OB PB ⋅=；OP OQ ⊥等，根据这些已知条件直接转化为代数式求解.类型三：代入法（相关点法）21y =上运动时，连接A 与定点故答案为：()()22211x y -+-=，)()0,+∞.()22,x y ，(1221y y k-=)221212y y +=圆a=，24∴动圆圆心6．（2022·和2，动圆【答案】动圆O O=，大圆O的半径为5.过动点P分别作7．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆O与圆O内切，且4【答案】圆心为(6,0)，半径为3的圆.【详解】如图，以O O所在直线为x轴，以O O的中点为原点，设动点(,)P x y ，(,0)Q t (01)t ≤≤， 高二专题练习）在ABC 中，2BC y x =⨯+足，且33QM QP =. 求动点M 的轨迹Γ的方程；【答案】(1)221x y +=；0,),(,)y M x y ，则Q ，所以0(,0),(,QP x QM x y ==，由33QM QP =得x y ⎧=⎪⎨⎪⎩，即()22313x y +=，故动点的轨迹Γ的方程为x【答案】点M的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为a的圆.M x y，若A、B不与原点重合时，则AOB是直角三角形，且∠O为直角，设线段AB的中点(,)为半径的圆，。

(专题)圆锥曲线的轨迹问题轨迹问题一．直接法1. 一动点P到一定点F(2,0)的距离与它到定直线x=8的距离之比为1:2，则动点P 的轨迹方程是_______________.2. 与两定点O(0,0),A(3,0)距离的比为1的点的故轨迹方程为__________________. 23. 一元二次方程ax2+bx+c=0,(a,b,c∈R,且a≠0)的判别式等于1，两根之积为-8，则点（b,c）的轨迹是（）A. 椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条直线4. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-1。

3（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得∆PAB与∆PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

二．相关点（代入法）x2y2+=1上的动点，过P作椭圆长轴上的垂线，D为垂足，则PD的中点的5. P为椭圆169轨迹方程为____________________.6. 已知∆ABC有两个固定顶点A(6,0),B(-6,0),顶点C在圆x+y=36上，则这个三角形的重心的轨迹方程为_____________________.227. 已知圆x+y=4上有一定点A(2,0),过A作弦AB并延长至P,使BP=223AB,求动点P2的轨迹方程.8. 已知抛物线y=x+1，定点A(3,1),B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有2BP=1PA,当B在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程，并指明这种轨迹为哪种曲线。

2三．定义法9．已知∆ABC的底边的两个端点分别为B（-6,0）和C(6,0),周长为32，则顶点A的轨迹方程为____________________.10.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程___________________.11.若动圆与圆（x+2)2+y2=4相外切且与直线x=2相切，则动圆的圆心的轨迹方程是______________________.12.与圆(x-1)2+(y+2)2=1相外切并且半径为2的动圆的圆心轨迹方程_______________.13.已知 O方程为x2+y2=1，圆外有一定点A（4,0），求过点A且和 O相切的动圆圆心的轨迹。

专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。

首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y 的等式，就得到轨迹方程。

直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。

经典例题：1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【详解】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =，12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）=﹣4，+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |，=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．2．（2020·湖南省高三期末）点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. 求点P 的轨迹方程；【答案】22143x y +=12=，化简即可求出；12=，化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方程．【答案】轨迹方程是221169x y -=.【分析】利用动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54可得方程，化简由此能求出轨迹M 的方程．【详解】由题意，设P （x ，y ），则()22252516165x y x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得轨迹方程是221169x y -=． 故答案为221.169x y -=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。