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圆锥曲线之轨迹方程的求法（一） 【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤； □2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。
【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( )A ．椭圆B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。
即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。
例1．已知ABC ∆中，2,ABBC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。
点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。
记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 . 三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。
圆锥曲线轨迹方程的求法 0603班杨金梅指导老师陈引兰一直以来，圆锥曲线这部分内容都是高考必考内容，作为解析几何中一个重要的部分，在历次考试中也是让相当一部分考生感到棘手。
现在，我就圆锥曲线的轨迹方程的问题作一个归纳总结。
在一般情况下，我们对于求圆锥曲线的轨迹方程采用的方法有：直接法，定义法，相关点法，参数法。
下面就以上几种方法作一下介绍。
一、用直接法求轨迹方程利用动点运动的条件作出等量关系，表示成x,y的等式。
例：已知点A(-2,0),B(3,0).动点P(x,y)满足PA PB=x2,则点P的轨迹是（）.A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线解：PA=（-2-x,-y）, PB=(3-x,-y), P A· PB=x2则（-2-x）（3-x）+(-y)(-y)=x2 整理得：y2=x+6所以P点的轨迹为抛物线。
答案:D.二、有定义法求轨迹方程根据圆锥曲线的基本定义解题。
例：如图，已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M 为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程（ ）A.+=1B. －=1x225y216f(x2)x225y216C.+ =1 D.- =1(x +3)225y216(x +3)225y216解：由于P 为AM 的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6根据椭圆的定义知:P 点轨迹方程为+=1.x225y216解答：A f(x2)f(x2)三、用相关点法求轨迹方程当动点M 随着已知方程的曲线上另一动点C （x 0,y 0）运动时，找出点M 与点C 之间的坐标关系式，用（x,y ）表示（x 0,y 0）再将x 0,y 0代入已知曲线方程，即可得到点M 的轨迹方程。
例：如图所示从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.解:设动点P 的坐标为(x,y)，点Q 的坐标为（x 1,y 1），则N 点的坐标为（2x-x 1,2y-y 1）.∵N 点在直线x+y=2上，∴2x-x 1+2y-y 1=2①又∵PQ 垂直于直线x+y=2,∴=1即x-y+y 1-x 1=0 ②y -y1x -x1①②联立得：x 1=x+y-1,x 2=x+y-132121232又∵点Q 在双曲线上，∴x 12-y 12=1 ③将x1,x2代入③中，得动点P 的轨迹方程式为2x 2-2y 2-2x+2y-1=0四、用参数法求轨迹方程选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标得到动点轨迹的普通方程.例：（04.成都)过抛物线y 2=2px(p>0)的顶点O 作两条互相垂直的弦OA,OB,再以OA,OB 为邻边作矩形AOBM,如图,求点M 的轨迹方程.解:设M(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)OA 的斜率为k(显然k≠0),则OB 的斜率为-.1k OA 所在直线方程为y=kx.代入y 2=2px 得x 1=,y 1=2p k22p kOB 所在直线方程为y=-x,代入y 2=2px 得x 2= 2pk 2,y 2=-2pk1k 即B(2pk 2, -2pk) ∴OB=(2pk 2, -2pk),OA=(, )2p k22p k OM= OA+ OB =(+2pk 2, -2pk)所以有2p k22p k x=2p(-k)2 +4p, y=2p(-k) 消去(-k)得：y 2=2p(x-4p)(p>0)1k 1k 1k 即求得M 点的轨迹方程。
高考数学专题突破：圆锥曲线求轨迹的方法一、定义法（☆）二、直译法（☆☆）三、相关点法（☆）四、参数法五.交轨法六.几何法知识讲解椭圆线段的几何特（如下图）：（1）)2(21aPFPF=+；；（2）)(21aBFBF==；)(21cOFOF==；2221baBABA+==；（3）caFAFA-==2211；caFAFA+==1221；caPFca+≤≤-1；双曲线抛物线常规求解曲线轨迹的三个步骤1.建系设坐标，为谁设谁；2.把动点和有关量表示出来，常见的有中点斜率、点点距离、点面距离、重心等；3.根据题意列方程，并化简求解。
常规求解曲线轨迹的三个注意事项1.如果轨迹有不同情况，应该分类讨论。
2.若轨迹只是曲线的一部分，应该注明自变量x的取值范围；3.曲线轨迹和曲线方程有所区别，求曲线轨迹不仅要求出方程，而且要说明轨迹的形状。
一、定义法（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义）1.基本定义常用出题形式：1.离心率=______ →a与c的方程2.焦距=______→c 的方程3.圆锥曲线上的点到焦点的距离之和或之差=___→a 的方程4.已知点（x 0,y 0）在圆锥曲线上 →a 与b 的方程5.椭圆焦点三角形的周长(椭圆=2a+2c)=______→a 与c 的方程【例1】已知圆C ：（x+1）2+y 2=20点B （l ，0）．点A 是圆C 上的动点，线段AB 的垂直平分线与线段AC 交于点P ．（I ）求动点P 的轨迹C 1的方程；516【例2】如图，已知圆O 的方程为x +y =100,点A 的坐标为(-6,0),M 为圆O 上的任意一点,AM 的垂直平分线交OM于点P,则点P 的轨迹方程（ ）A.x 225 +y 216 =1B. x 225 －y 216 =1C.(x+3)225 + y 216 =1 D. (x+3)225 - y216 =1 【解析】由于P 为AM 的垂直平分线上的点，|PA|=|PM| 所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6 根据椭圆的定义知:P 点轨迹方程为x 225 +y216=1.【2017•江苏理】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，两准线之间的距离为8．（1）求椭圆E 的标准方程；【解析】（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c ，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b 2=a 2﹣c 2=3，∴椭圆的标准方程：；【2017山东理】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．【解析】（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．∴椭圆E的方程为；【2017天津理】设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；【解析】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．【2016北京（理）】已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；【解析】解：（Ⅰ）由题意可得e==，又△OAB的面积为1，可得ab=1，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，可得椭圆C的方程为+y2=1；【2016天津（理）】设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O 为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；【解析】解：（1）由+=，得，即，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；【2016四川（理）】已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；【解析】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；由题意，△F1F2C为直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴椭圆E的方程为+=1；代人直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；【2015北京理】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；【解析】（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）【2015山东理】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；【解析】（Ⅰ）由题意可知，2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；【2015福建理】已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；【解析】（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．【2015湖南理】已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；【解析】（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1【2015•四川理】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；【解析】（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，∴点（，1）在椭圆E上，又∵离心率是，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；【2014新课标1理】已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；【解析】（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；【2014•广西理】已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C 的方程；【解析】（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x 0，4），把点Q 的坐标代入抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）， 可得x 0=，∵点P （0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x 0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）． 故C 的方程为 y 2=4x ．【2014•山东理】已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形.（1）求C 的方程；【解析】（1）应用抛物线的定义求p .由抛物线第二定义的：2|3|322p p-=+， 2p ∴=或18p =（舍）当18p =时，经检验直线l 与C 只有一个交点，不合题意. C ∴的方程为：24y x =.【2014辽宁理】圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线C 1：﹣=1过点P 且离心率为．（Ⅰ）求C 1的方程；【解析】（Ⅰ）设切点P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），则切线的斜率为，可得切线的方程为，化为x 0x+y 0y=4．令x=0，可得；令y=0，可得．∴切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积S==．∵4=，当且仅当时取等号．∴．此时P ．由题意可得，，解得a 2=1，b 2=2．故双曲线C 1的方程为．【2014•广东理】已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的每一个焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C 的标准方程；【解析】（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．【2014江西理】如图，已知双曲线C ：﹣y 2=1（a ＞0）的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线AF ⊥x轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA （O 为坐标原点）．（1）求双曲线C 的方程；【解析】（1）解：依题意知，A （c ，），设B （t ，﹣），∵AB ⊥OB ，BF ∥OA ，∴•=﹣1，=，整理得：t=，a=，∴双曲线C 的方程为﹣y 2=1；【2014湖南（理21）】 如图7，O 为坐标原点，椭圆:1C )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为1e ；双曲线:2C 12222=-by a x 的左、右焦点为43,F F ，离心率为2e . 已知2321=e e ，且13||42-=F F . （1）求1C 、2C 的方程；【解析】（1）因为2321=e e ，所以232222=+⋅-a b a a b a ，因此得 44443a b a =-，即222b a =，从而)0,(2b F ，)0,3(4b F ，于是13||342-==-F F b b ，所以1=b ，22=a .故1C 、2C 的方程分别是 1222=+y x ，1222=-y x . 【2014重庆理】如图，设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上．DF 1⊥F 1F 2，=2，△DF 1F 2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；【解析】（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），其中c 2=a 2﹣b 2， 由=2，得|DF 1|==c ，从而=|DF 1||F 1F 2|=c 2=，故c=1．从而|DF 1|=，由DF 1⊥F 1F 2，得=+=，因此|DF 2|=，所以2a=|DF 1|+|DF 2|=2，故a=，b 2=a 2﹣c 2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y 2=1；【2014•四川理】已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；【解析】（1）依题意有解得所以椭圆C 的标准方程为+=1．【2014•天津理】设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；【解析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F 2（c ，0）， 由|AB|=|F 1F 2|，可得，化为a 2+b 2=3c 2． 又b 2=a 2﹣c 2，∴a 2=2c 2．∴e=．【2014•福建理】已知双曲线E ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别为l 1：y=2x ，l 2：y=﹣2x ．（1）求双曲线E 的离心率；【解析】（1）因为双曲线E 的渐近线分别为l 1：y=2x ，l 2：y=﹣2x ， 所以=2．所以=2．故c=a ，从而双曲线E 的离心率e==．【2014•陕西理】如图，曲线C 由上半椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0，y≥0）和部分抛物线C 2：y=﹣x 2+1（y≤0）连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为．（Ⅰ） 求a ，b 的值；【解析】（Ⅰ）在C 1、C 2的方程中，令y=0，可得b=1，且A （﹣1，0），B （1，0）是上半椭圆C 1的左右顶点．设C 1：的半焦距为c ，由=及a 2﹣c 2=b 2=1得a=2．∴a=2，b=1．【2013四川理20】已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P 41,33⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的离心率； 【解析】(1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =又由已知，c ＝1.所以椭圆C 的离心率2c e a ===. 【2012天津理】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； 【解析】（Ⅰ）取(0,),(,0),(,0)P b A a B a -；则221()22AP BP b b k k a b a a ⨯=⨯-=-⇔=（步骤1）222212a b e e a -==⇔=（步骤2）2、隐藏定义求解①看到两定点考虑椭圆和双曲线，看到定直线思考抛物线。
圆锥曲线中轨迹问题曲线轨迹方程的探求一直是高考中的重点和热点，涉及面广，综合性强。
曲线轨迹方程的探求有两种类型，第一种类型是几何关系已知，轨迹未知；第二种类型是曲线形状已知，求方程。
类型一常用的方法有直接法、相关点法和参数法。
类型二常用的方法有定义法和待定系数法。
（1）直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何的基本知识推出等量关系，求方程时便可利用直接法。
（2）定义法：如果所给几何条件能够确定符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。
（3）相关点法：如果动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某一已知曲线上运动，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便可得出动点P的轨迹方程，又称为代入法。
（4）参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，如求两动直线的交点时常用这种方法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。
（6）几何法：利用平面几何或解析几何的有关基础知识去分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后求出动点的轨迹方程。
热点透析题型1：直接法【例1】已知定点A、B，且AB=2a。
如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？【解】本题首先要建立坐标系，建立坐标系的要求是保持对称性，以使所求方程简单，容易看出方程表示什么曲线。
如图，取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-a，0）、B（a，0）。
设P（x，y）。
∵即化简整理，得，即。
这就是动点P的轨迹方程。
第六讲 求轨迹方程的六种常用技法1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。
2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。
练习：4．方程|2|x y ++表示的曲线是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为2121y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程。
例3．椭圆22142x y +=中,过(1,1)P 的弦恰被P 点平分,则该弦所在直线方程为_________________。
高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中动点轨迹方程问题本文介绍了解动点轨迹问题的四种方法：直译法、定义法、代入法和参数法。
其中，直译法包括建系、设点、列式、代换和证明五个步骤；定义法则是根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；代入法和参数法则是在特定条件下使用的方法。
此外，文章还提到了解轨迹问题时需要注意的两点：求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，要验证曲线上的点是否都满足方程。
接下来，文章以一个例题为例，介绍了利用代点法求轨迹方程的具体步骤。
该例题要求求出点P的轨迹方程，通过设点、列式、代换和证明四个步骤，最终得出了轨迹方程x2+y2=2.此外，文章还介绍了如何利用轨迹方程验证曲线上的点是否都满足方程，以及如何去掉满足方程的解而不再曲线上的点。
最后，文章介绍了另一种解轨迹问题的方法：定义法。
该方法是先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
I）设圆心C的坐标为(x,y)，则圆方程为(x-1)^2+y^2=1，又因为在y轴上截得的弦长为2，所以C到y轴的距离为1，即x^2+y^2=1.联立两式可得圆心C的轨迹方程为x^2+y^2-x-1=0.II）由题意可知，直线l的斜率为k，且过点Q(1,0)，则直线方程为y=k(x-1)。
将直线方程代入圆的方程中，得到方程x^2+(k(x-1))^2-x-1=0，化简可得x^2(1+k^2)-2xk^2+k^2-1=0.由于直线l与轨迹C有交点A、B，所以方程有两个不同的实根，即Δ=4k^4-4(k^2+1)(k^2-1)≥0.解得-1≤k≤1.再将k带入直线方程可求出交点A、B的坐标，进而证明AR//FQ。
求AB中点的坐标为((k^2-1)/(1+k^2),k(k^2-2)/(1+k^2))，将其代入x^2+y^2-x-1=0中得到轨迹方程为x^4-2x^3+6x^2-2x+1-4y^2=0.1.定点、定值问题的解法定点、定值问题通常可以通过设定参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少。
专题六 圆锥曲线中的轨迹问题轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想．模块1 整理方法 提升能力曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下3种：1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法．2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数x 、y 的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法．3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了N 个未知数与参数，要得到未知数x 与y 之间的关系，需要找1N -个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况．例1已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求l 的方程及△POM 的面积．【解析】（1）法1（定义法）：圆心()0,4C ，由垂径定理可知CM PM ⊥，于是点M 在以CP 为直径的圆上，所以M 的轨迹方程为()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=．法2（直接法）：设M 的坐标为(),x y ，由CM PM ⊥可得0CM PM ⋅=u u u u r u u u u r．(),4CM x y =-u u u u r ，()2,2PM x y =--u u u u r ，于是()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=．法3（参数法）：当l 的斜率不存在时，其直线方程为2x =，于是2840y y -+=，所以点M 的坐标为()2,4．当l 的斜率存在时，设直线方程为()22y k x -=-，(),M x y ．联立()222280y k x x y y ⎧-=-⎪⎨+-=⎪⎩消去y 可得()()()22221448120k x k k x k k +-+++-=，于是()2221k k x k +=+，将22y k x -=-代入，消去参数k ，可得2222222212y y x x x y x ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫+⎢⎥⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，整理可得()()22132x y -+-=（2x ≠）． 综上所述，M 的轨迹方程为()()22132x y -+-=．（2）法1：由OP OM =可知点M 在以原点为圆心，OP 为半径的圆上．联立()()22221328x y x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得25145x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是点M 的坐标为214,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是直线l 的方程为()1223y x -=--，即380x y +-=．△POM的面积为11625=． 法2：由OP OM =可知点O 在PM 的垂直平分线上，而PM 的垂直平分线过圆心()1,3，所以直线l 的斜率为13-，直线方程为()1223y x -=--，即380x y +-=．因为OP =点O 到直线l的距离为d =，所以PM ==POM的面积为11625=． 【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下4种：点在圆上，向量数量积为0，斜率乘积为1-，勾股定理．用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向量数量积为0”的角度能避开分类讨论．求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题．例2在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆2C ：()2259x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值．（1）求曲线1C 的方程；（2）设()00,P x y （03y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A 、B 和C 、D ．证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点A 、B 、C 、D 的纵坐标之积为定值．【解析】（1）法1：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆2C 的圆心()5,0的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以()5,0为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，所以方程为220y x =．法2：设M 的坐标为(),x y ，由已知得()22253x x y +=-+，且点M 位于直线2x =-的右侧，于是20x +>()2255x y x -+=+，化简得曲线1C 的方程为220y x =．【证明】（2）当点P 在直线4x =-上运动时，设P 的坐标为()04,y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为()04y y k x -=+，即040kx y y k -++=025431k y kk ++=+，整理得2200721890k y k y ++-=…①．设过P 所作的两条切线PA 、PC 的斜率分别为1k 、2k ，则1k 、2k 是方程①的两个实根，所以001218724y yk k +=-=-…②． 由10124020k x y y k y x-++=⎧⎪⎨=⎪⎩可得21014020k y y y k -++=…③．设四点A 、B 、C 、D 的纵坐标分别为1y 、2y 、3y 、4y ，则1y 、2y 是方程③的两个实根，所以()01121204y k y y k +⋅=，同理可得()02342204y k y y k +⋅=．于是()()010*******40044y k y k y y y y k k ++==()()22201201200121212400416400166400y k k y k k y y k k k k k k ⎡⎤+++-+⎣⎦==．所以当P 在直线4x =-上运动时，四点A 、B 、C 、D 的纵坐标之积为定值6400．【点评】定义法和直接法非常相似，其出发点都是找几何条件，其区别在于对所找的几何条件的理解．如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的，则可以根据曲线的定义马上得到所求的轨迹方程，这就是定义法．如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明显，则可以利用直接法，把所找的几何条件代数化，再把代数化后的式子化简到最简．第（2）问的定值证明需要引进参数，而引进多少个参数是因题而异的，一般是从点的坐标和直线的方程这两个角度引进参数．本题总共引进了六个参数：1k 、2k 、1y 、2y 、3y 、4y ，其准则是所引进的参数都能帮助解题，且最终都能将其消去，这是解析几何中“设而不求”的重要思想方法．例3已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l 、2l 分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【证明】（1）焦点坐标为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭．不妨设直线1l ：y a =，直线2l ：y b =，则2,2a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2Q b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是1,22a b R +⎛⎫- ⎪⎝⎭．当线段AB 垂直于x 轴时，不妨设a b >，则有1,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02R ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，于是1FQ k =，1AR k =，所以AR ∥FQ ．当线段AB 不垂直于x 轴时，直线AB 的斜率为22222a b k a b a b -==+-，方程为222a y a x a b ⎛⎫-=-⎪+⎝⎭，即()20x a b y ab -++=，因为F 在线段AB 上，所以1ab =-．于是1122FQ bk b ==---，22212111122ARa bba ab b k b a a b +----====-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，所以AR ∥FQ ．【解析】（2）△PQF 的面积为2a b -．直线AB 与x 轴的交点为,02ab ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以△ABF的面积为11222aba b ⨯+-．由1222a b ab a b -=+-，可得11ab +=，于是0ab =（舍去）或2ab =-…①．设AB 中点为(),M x y ，则224a b x +=…②，2a by +=…③．③式平方，可得22224a b ab y ++=，将①②代入，可得21y x =-．方程消去2个参数，从而得到x 与y 之间的关系．一般来说，引进了N 个未知数与参数，要得到未知数x 与y 之间的关系，一般需要找1N -个方程．找到方程后，通过加、减、乘、除、模块2 练习巩固 整合提升练习1：已知圆M ：()2211x y ++=，圆N ：()2219x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ．【解析】（1）设动圆P 的半径为r ，则1PM r =+，3PN r =-，两式相加，可得4PM PN +=，所以圆心P 是以M 、N 为焦点，24a =的椭圆（左顶点除外）．2a =，1c =，b ，所以C 的方程为22143x y +=（2x ≠-）．（2）由（1）可知1PM r =+，3PN r =-，所以22PM PN r MN -=-≤，于是2r ≤，当且仅当点P 为()2,0时，等号成立，所以当圆P 的半径最长时，圆P 的方程为()2224x y -+=．①当l 的斜率不存在的时候，此时显然l 就是y轴，AB =②当l 的斜率存在的时候，显然l 的斜率不为0，设l 与x 轴交于点Q ，则有12QM QP=，即1122Q Qx x --=-，由此解得4Q x =-，且k ==)4y x =+．联立)224143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，可得27880x x +-=．由弦长公式，有187AB ===． 练习2：已知椭圆C ：22142x y +=，()00,P x y 为椭圆C 外一点，过点P 作椭圆C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）当点()00,P x y 为定点时，求直线AB 的方程； （2）若PA 、PB 相互垂直，求点P 的轨迹方程． 【解析】（1）设()11,A x y 、()22,B x y ，则切线PA 方程为11142x x y y+=，点P 在切线PA 上，所以1010142x x y y +=…①．同理，切线PB 方程为22142x x y y+=，点P 在切线PB 上，所以2020142x x y y +=…②．由①②可得直线AB 的方程为00142x x y y+=，即00240x x y y +-=． （2）①若直线PA 、PB 的斜率都存在，不妨设其斜率分别为1k 、2k ，则121k k =-．设过点()00,P x y 的直线方程为()00y y k x x -=-．由()0022142y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()()()2220000214220kx k kx y x kx y +--+--=．因为直线与椭圆相切，所以()()()2222000016421220k kx y k kx y ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦，即()22200004220x k x y k y -+-+=．由PA 、PB 与椭圆相切可知1k 、2k 是该方程的两个实数根，所以2122214y k k x -==--，即22006x y +=．②若直线PA 、PB 中有一条斜率不存在，则另一条斜率为0，此时点P 的坐标为(2,2±±，满足22006xy +=．综上所述，点P 的轨迹方程为226x y +=．【点评】给定圆锥曲线C 和点()00,P x y ，用0x x 、0y y 、02x x +、02y y+分别替换2x 、2y 、x 、y ，得到直线l ，我们称点P 和直线l 为圆锥曲线C 的一对极点和极线．其结论如下：当P在圆锥曲线C 上的时候，其极线l 是曲线C 在点P 处的切线；当P 在圆锥曲线C 外的时候，其极线l 是曲线C 从点P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；当P 在圆锥曲线C 内的时候，其极线l 是曲线C 过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹．特别地：椭圆22221x y a b +=（0a b >>），与点()00,P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=．双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >），与点()00,P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b-=．抛物线22y px =（0p >），与点()00,P x y 对应的极线方程为()00y y p x x =+．在椭圆22221x y a b +=（0a b >>）中，点(),0P c 对应的极线方程为2a x c=，这就是椭圆的右准线．本题采用整体法进行消参方法，这是消参的一种方法．第（2）小问也可以引进()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，共2个未知数x 、y 和4个参数：1x 、1y 、2x 、2y ，利用以下5个方程进行消参：1010142x x y y +=、2020142x x y y +=、2211142x y +=，2222142x y +=、121214x x y y =-． 练习3：如图，抛物线1C ：24x y =和2C ：22x py =-（0p >）． 点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点分别为A 、B （M 为原点O 时，A 、B 重合于O ）．当012x =时，切线MA 的斜率为12-．（1）求p 的值；（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A 、B 重合于O 时，中点为O ）．【解析】（1）因为抛物线1C ：24x y =上任意一点(),x y 的切线的斜率为2xy '=，且切线MA 的斜率为12-，所以点A 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，故切线MA 的方程为()11124y x =-++．因为点()01M y 在切线MA 及抛物线2C 上，所以有(01132244y =-+=和(2012py =-，由此可得2p =．（2）设(),N x y ，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭． 当12x x ≠时，因为N 是线段AB 的中点，所以有122x x x +=…①，22128x x y +=…②．切线MA 的方程为()211124x x y x x =-+，即21124x x x y =-，同理MB 的方程为22224x x x y =-．解此方程组，得MA 、MB 的交点()00,M x y 的坐标为1202x x x +=，1204x xy =，由此及点M 在抛物线2C 上，得2004x y =-，即2212126x x x x +=-…③．由①②③可得243x y =，0x ≠．当12x x =时，A ，B 重合于原点O ，此时线段AB 的中点N 为原点O ，坐标也满足上述方程．因此，线段AB 的中点N 的轨迹方程为243x y =．。
