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离散系统z域分析

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离散系统的Z域分析法

离散系统的Z域分析法
X(z)
D z-1
X(k-1)
z-1X(z)
X
注意:z域框图只能求系统零状态响应 注意 域框图只能求系统零状态响应
第
例题
1.求如图系统的单位响应 求如图系统的单位响应h(k)和单位阶跃响应 和单位阶跃响应g(k) 求如图系统的单位响应 和单位阶跃响应
8 页
2. 知 阶 散 统 初 条 为 zi (0) = 2, yzi (1) =1 已 二 离 系 的 始 件 y , 当 入 (k) = ε (k)时 输 f , 1 5 k k 输 全 应 (k) =[ + 4⋅ 2 − ⋅ 3 ]ε (k), 出 响 y 2 2 求 差 方 .， 画 系 框 。 此 分 程 并 出 统 图
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法: y(k) =y zi (k) + yzs (k) yzs (k) = h(k) ∗ x(k) 时域方法: 时域方法 •z变换方法: 变换方法: 变换方法 Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
X
第
二.系统框图的z域分析法
基本思路: 基本思路 时域框图 z域框图 域框图 z域代数方程 域代数方程 Yzs(z)
7 页
yzs(k)
x(k) ⇒ X (z) yzs (k) ⇒ Yzs (z) 延迟单元 x(k)
x(k)ε (k) ↔ X(z) x(k −1)ε (k) ↔ z−1X(z) + x(−1)
y(k)
X
第 5 页
优点: 优点:
•差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •将时域卷积→z域乘积； 将时域卷积→ 域乘积； 将时域卷积 域乘积 •部分分式展开后求解z逆变换较容易； 部分分式展开后求解z 部分分式展开后求解 逆变换较容易； •z变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0 变换过程自动引入了系统初始状态 的条件） 可同时求出零输入和零状态响应。 的条件）,可同时求出零输入和零状态响应。 ， 注意：z域求解系统只需 －状态[y(-1)，y(-2), …,] 注意： 域求解系统只需0 状态 域求解系统只需 时域求解系统要递推出0 状态确定待定系数。 时域求解系统要递推出 ＋状态确定待定系数。

第六章 离散系统z域分析

第六章 离散系统z域分析
若 f(k) ←→F(z) , <z< 则 d kf (k ) z F ( z ) , <z<
dz
例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解：
( k )
z z 1
d z ( z 1) z z k ( k ) z z 2 2 d z z 1 ( z 1) ( z 1)
六、序列除(k+m)(z域积分）
若 f(k) ←→F(z) , <z<，设有整数m，且k+m>0，
则
f (k ) k m
z
m


F ( )
z

m 1
d

, <z<
若m=0 ,且k>0，则
1
f (k ) k


F ( )
z

d
( k ) 的z变换。 例：求序列 k 1 解 z
F f (z) z zb
jIm [ z]
收敛域为|z|< |b|
o
|b |
R e [z]
例4 双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)= 的z变换。
b k , k a ,
k 0 k 0
解
F (z) Fy (z) F f (z)
z zb

z za
jIm [ z]
z z 1
F(z)=
z ( z 1)
2
三、序列乘ak(z域尺度变换)
若 f(k) ←→ F(z) , <z< ， 且有常数a0
则
akf(k) ←→ F(z/a) , a<z<a

离散系统Z域分析

离散系统Z域分析

离散系统Z域分析一、零输入响应的z域求解对于线性时不变离散时间系统，在零输入，即激励时，其差分方程为(8-45) 考虑响应为时的值，则初始条件为。

将式(8-45)两边取单边z变换，并根据z变换的移位性式(8-14)，可得故(8-46)对应式(8-46)响应的序列可由z反变换求得例8-19若已知描述某离散时间系统的差分方程为初始条件为，求零输入响应。

解零输入时，，有若记，则对上式两边取单边z变换，有可得因故零输入响应为二、零状态响应的z域求解阶线性时不变离散时间系统的差分方程为(8-47)在零状态，即时，将等式(8-47)两边取单边z变换，可得( 8-48)其中设激励序列为因果序列，即当时, ，且。

有(8-49)故零状态响应为例8-20若已知且，求零状态响应。

解设，则有故所求零状态响应为三、全响应的z域求解对于线性时不变离散时间系统，若激励和初始状态均不为零，则对应的响应称为全响应。

根据线性时不变特性，全响应可按(8-50)计算，其中分别表示零输入和零状态响应，求解方法如上所述。

也可直接由时域差分方程求z变换而进行计算，即在激励为，初始条件不全为零时，对方程式(8-47)进行单边z变换，有(8-51)可见式(8-51)为一个代数方程，由此可解得全响应的像函数，从而求得全响应。

例8-21已知且，求全响应。

解设，对差分方程两边取单边z变换，有得有故全响应为可见这与例8-19和例8-20结果之和相同。

数字信号处理实验离散系统的Z域分析

数字信号处理实验离散系统的Z域分析

数字信号处理实验报告实验名称：离散系统的Z 域分析学号：姓名： 评语： 成绩： 一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。

2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。

3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。

二、实验原理与计算方法1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：。

∑∞-∞=-=n n z n x Z X )()(在MATLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。

其命令格式为：syms n; f=(1/2)^n+(1/3)^n;ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )* h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z )则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即∑∞-∞=-==n n z n h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若，则系统稳∞<∑∞-∞=n n h |)(|定。

由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。

因为，若z =1时H (z )收敛，即∑∞-∞=-=n n z n h z H )()(，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。

∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1因此因果稳定系统应满足的条件为：，即系统函数H (z )的所有极点全部落在1,||<∞≤<ααz z 平面的单位圆之内。

3、MATLAB 中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法MATLAB 中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。

信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析

信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析

零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用

第6章 离散时间系统的z域分析

第6章 离散时间系统的z域分析

1 | z | 1 2 | z | 2
例 求序列f (k ) cosh (2k ) (k )的z变换。
1 2k 由于 cosh ( k ) (e e 2 k ) 2 2 在单边指数序列a k ( k )的z变换中令a e 2 , 可得 z e (k ) , | z || e 2 | z e2 根据z变换的线性性质可得
f (k )
3
f ( k ) ( k ) 3
2
2
1
1 o 1 2
f ( k 1) 3 2
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k ) 3 2
1
k
1
1 o 1 2
f ( k 1)
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k )
3
k
3
2 1
1 o 1 2
k
1 o 1 2
k
(1)双边Z变换的移位 若 f (k ) F ( z )
k 0
该式称为单边Z变换。
将f ( k )的Z变换简记为Z [ f ( k )] ，象函数F ( z )的逆z变换 简记为Z
1
[ F ( z )] f ( k )与F ( z )两者间的关系简记为 ，
f (k ) F ( z )


在拉普拉斯变换分析中重点讨论了单边拉普拉斯 变换，这是由于在连续时间系统中，非因果信号 的应用较少。 对于离散系统，非因果信号也有一定的应用范围， 因此对单、双边z变换都进行讨论。
a
b
O
Re(z )
6.1.3 常见序列的Z变换
(k )
1
O
k
(k ) 1

离散系统的Z域分析

z
k
cos(
0
k
)
k
z
z2 z2 z cos 2z2 2z cos 0
0
1
2
..........
k
sin 0k
k
z
2z2
z 2
sin 0 z cos 0
1 2
.........
k k
k
z (z )2k kk Nhomakorabea1
五、ZT & DTFT
求和收敛
设f(k)
为因果序列、则
F (e j ) f k e jk
Z eS Ts e e Ts jTs e j
k
F (z) f (k)zk k 0
e Ts
Ts
2 s
S 域中的一点→ → Z 域中的一点；Z 域中的一点→ → S 域中的无穷个点。
S 1 Ln z 1 Ln(e j ) 1 Ln j
Ts
Ts
Ts
Ts
三、收敛域: F (z) f k zk
ak (k) bk (k 1) z z ∣a∣< |z|< |b|
za zb
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
四、常用 z 变换
(k+1) ←→z; (k-1) ←→z-1;……
(k) ←→1 (k) ←→z/(z-1) ←→ - (- k-1)
零、极 点分布
k k z k k 1
F(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k)，… …
(3) F(z)有重极点 推导记忆：

第六章 离散系统的z域分析

3z 例： 2δ(k)+ 3ε(k) ←→ 2 + δ ε z −1
第1-12页 12页
z > 1
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
6.2
z变换的性质 z变换的性质
二、移位特性
双边z 双边z变换
若： f (k) ←→F (z) ， α<z<β，且有整数 β 且有整数m>0， ， 则： f(k±m) ←→ z±mF(z)， α<z<β ± ， β
2 2
z > a
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信号与系统 电子教案
6.2
z变换的性质 z变换的性质
四、卷积定理
若： f1 (k) ←→F1(z) ， α1<z<β1 β f2 (k) ←→F2(z) ， α2<z<β2 β 则： f1(k) * f2(k) ←→ F1(z)F2(z)， ， 例 收敛域至少为 相交部分 求单边序列 (k+1)akε(k)的z变换，(0<a<1)。 的 变换， 。 变换
三、z域尺度变换(序列乘ak) 域尺度变换(序列乘a
若： f (k) ←→F (z) ， α<z<β，且对整数m>0， β 且对整数 ， 则： ak f(k) ←→ F(z/a)， αa<z<βa ， β 变换。 例：求指数衰减正弦序列 aksin(βk)ε(k) 的z变换。 β 解:
6.1 z 变 换
b k , k < 0 f 2 (k ) = b k ε (−k − 1) = 0, k ≥ 0
解: 反因果序列的 变换为： 反因果序列的z变换为 变换为：

离散信号与系统的Z域分析

序列相加减（线性加权）后，所得序列z变换的ROC，有 可能比原序列z变换的ROC大。位移特性常用来分析单边 周期信号，单边周期信号总具有相似的形式。
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 16
例： F(z) = 1/(za) |z| a 求f [k]。 解：
1 F ( z) z 1 1 az
z 例： (3) u[k ] , z 3 z 3
k
类似于傅氏、拉氏变换的尺度变换特性。
1 1 s L f (at ) F ( j ) f (at ) F ( ), a a a a
F
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 18
a 0, a 0
例*：求aksin(0k) u[k] 的z变换及收敛域
1 cos 0 z 1 1 2 z 1 cos 0 z 2 sin 0 z 1 1 2 z 1 cos 0 z 2
五、单边z变换的主要性质
f [k ] F ( z), z R f
f1[k ] F1 ( z), z R f 1
1 2
sin 0 z 1 za 2 2 z 1 cos 0 z 2
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 19
五、单边z变换的主要性质
4. z域微分特性（时域线性加权）
dF ( z ) kf [k ] z dz
Z
Z Rf
m d m d F ( z) Z m m 或写成 : ( z ) F ( z ) k f [k ] ( z ) m dz dz
2 2
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 13
五、单边z变换的主要性质
2. 位移特性(记忆)
因果序列的位移

离散信号与系统的 Z 域分析

第 六 章 离散信号与系统的 Z 域分析引言与线性连续系统的频域分析和复频域分析类似，线性离散系统的频域分析是输入信号分解为基本信号e jΩk 之和,则系统的响应为基本信号的响应之和。

这种方法的数学描述是离散时间傅里叶变换和逆变换。

如果把复指数信号e jΩk 扩展为复指数信号Z k ,Z=re jΩ ,并以Zk 为基本信号， 把输入信号分解为基本信号Z k 之和， 则响应为基本信号Z k 的响应之和。

这种方法的数学描述为Z 变换及其逆变换,这种方法称为离散信号与系统的Z 域分析法.如果把离散信号看成连续时间信号的 抽样值序列，则Z 变换可由拉普拉斯变换引入.因此离散信号与系统的Z 域分析 和连续时间信号与系统的复频域分析有许多相似之处.通过Z 变换，离散时间信 号的卷积运算变成代算,离散时间系统的差分方程变成Z 域的代数方程,因此可 以比较方便的分析系统的响应。

Z 变换从拉普拉斯变换到Z 变换对连续信号f(t)进行理想抽样，即f（t）乘以单位冲击序列δT （t），T 为 抽样间隔，得到抽样信号为f s （t）=f（t）δT （t）= =对fs（t）取双边拉普拉斯变换，得F s （s）=￡[fs（t）]=令z=e sT , 则Fs（s）=F(z) ,得F（z）=因为T为常数,所以通常用f(k)表示f(kT),于是变为F(z)=称为f(k)的双边Z变换,z为复变量。

z和s的关系为:z=e sTs=（1/T）㏑z由复变函数理论,可以得到f(k)= ∮cF(z)z k-1 dz式(7.1-5)称为F(z)的双边Z逆变换(后面讨论).双边Z变换的定义和收敛域§双边 Z 变换的定义对于离散序列f(k)(k=0,±1,±2,┄),函数(z的幂级数)F(z)=称为f(k)的双边Z变换,记为F(z)=Z[f(k)].F(z)又称为f(k)的象函数,f(k)又 称为F(z)的原函数.为了表示方便,f(k)与F(z)之间的对应关系可表示为 f(k)　F(z)§双边 Z 变换的收敛域f(k)的双边Z变换为一无穷级数,因此存在级数是否收敛的问题.只有当 (7.1-6)式的级数收敛,F(z)才存在.F(z)存在或级数收敛的充分条件是　∞在f(k)给定的条件下,式(7.1-6)级数是否收敛取决于z的取值.在z复平面上, 使级数收敛的z取值区域称为F(Z)的收敛域。

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五、序列乘k（z域微分）
若 f(k) ←→F(z) , <z< 则 d kf (k ) z F ( z ) , <z<
dz
例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解：
( k )
z z 1
d z ( z 1) z z k ( k ) z z 2 2 d z z 1 ( z 1) ( z 1)
k
6.1
k 0 k 0
z变换
的z变换（式中a为常数）。 解：代入定义
Fy (z)

k 0

a z
k
k
lim
N

k 0
N
( az
1
)
k
lim
1 ( az
1
)
N 1
N
1 az
1
可见，仅当az-1<1，即 z >a =时，其z变换存在。
Fy (z) z z a
k
f (k ) z
k


k

z f (k ) a
k
F( ) a
z
例1：akε(k)
←→
z za
例2：cos(k)ε(k) ←→? cos(k)ε(k)=0.5(ej k+
第6-14页
■
e-j k)ε(k)
←→
0.5 z ze
j

0.5 z z e
第6-3页
■
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
6.1
z变换
二、收敛域
z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级 数收敛，即

f (k ) z
k

k
时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是 序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。 收敛域的定义：

对于序列f(k)，满足
j
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
6.2
z变换的性质
四、卷积定理
若 f1(k) ←→F1(z) 1<z<1, f2(k) ←→ F2(z) 2<z<2 则 f1(k)*f2(k) ←→ F1(z)F2(z)
对单边z变换，要求 f1(k)、 f2(k)为因果 序列
jIm [z ]
收敛域为|z|>|a|
o
|a |
R e [z ]
第6-6页
■
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信号与系统 电子教案 例3 求反因果序列 的z变换。 解
F f (z)
6.1
b , f f (k ) 0,
k
z变换
b ( k 1)
k
k 0 k 0
b
1
1
f (k ) k


F ( )

d
( k ) 的z变换。 例：求序列 k 1 解 z
(k )
z 1

( 1) d z ( 2
z
1 k 1
(k ) z

1
z
1

1

)d z ln(
1
)
z
z ln(
) z 1
第6-10页
■
3z z 1
，z>1
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信号与系统 电子教案
6.2
z变换的性质
二、移位（移序）特性
单边、双边差别大！
双边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z) , <z<，且对整数m>0，则 f(km) ←→ zmF(z), <z< 证明：Z[f(k+m)]= f (k m) z f (n) z z 单边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z), |z| > ，且有整数m>0, 则 f(k-1) ←→ z-1F(z) + f(-1) f(k-2) ←→ z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1
z
第6-17页
■
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信号与系统 电子教案
6.2
z变换的性质
七、k域反转(仅适用双边z变换）
若 f(k) ←→F(z) , <z< 则 f( –k) ←→ F(z-1) , 1/<z<1/ 例：已知
a ( k )
k
z za
，|z| >a
求a –k( –k – 1)的z变换。
z
，z>1
–(– k –1)
第6-9页
■
z 1 ，z<1
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信号与系统 电子教案
6.2
z变换的性质
6.2 一、线性
z变换的性质
本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适 用于单边也适用于双边z变换。 若 f1(k)←→F1(z) 1<z<1, f2(k) ←→ F2(k) 2<z<2 对任意常数a1、a2，则 a1f1(k)+a2f2(k) ←→ a1F1(z)+a2F2(z) 其收敛域至少是F1(z) )与F2(z)收敛域的相交部分。 例： 2(k)+ 3(k) ←→ 2 +
f (k m) z F ( z ) f (k ) z
m k 0 m 1 mk
证明： Z[f(k – m)]= f (k m) z
k 0
k

f ( k m) z
k 0
m 1
k

f ( k m) z
k m

( k m )
z
m
上式第二项令k – m=n
F2 ( z )

k 0

f2 (k ) z
k
3 2z
1
z
2
收敛域为z > 0
对有限序列的z变换的收敛域一般为0<z<∞，有时 它在0或/和∞也收敛。
第6-5页
■
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信号与系统 电子教案 例2 求因果序列f
0, (k ) a (k ) k y a ,
f (k ) z
k

k
所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。
第6-4页
■
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信号与系统 电子教案
6.1
z变换
例1求以下有限序列的z变换(1) f1(k)=(k) ↓k=0 (2) f2(k)={1 , 2 , 3 , 2,1} 解 (1)
F1 ( z )

k

(k ) z
k


k

(k ) z
k
1
可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关， 所以其收敛域为整个z 平面。 (2) f2(k)的双边z 变换为 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域为0<z< ∞ f2 (k)的单边z 变换为
信号与系统 电子教案 6.1 z 变换
第六章
离散系统z域分析
一、从拉普拉斯变换到z变换 二、收敛域
6.2 6.3 6.4
z 变换的性质 逆z变换 z 域分析
一、差分方程的变换解 二、系统的z域框图 三、利用z变换求卷积和 四、s域与z域的关系 五、离散系统的频率响应
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信号与系统 电子教案 例4 双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)= 的z变换。
k
6.1
b , k a ,
z变换
k 0 k 0
解
F (z) Fy (z) F f (z)
z z b

z z a
jI m [z ]
|b |
可见，其收敛域为a<z<b |a | o （显然要求a<b，否则无共 R e [z ] 同收敛域) 序列的收敛域大致有一下几种情况： （1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；
取样信号
第6-2页
f S ( t ) f ( t ) T ( t )

k

f ( kT ) ( t kT )
两边取双边拉普拉斯变换，得
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信号与系统 电子教案
F Sb ( s )

k

f ( kT ) e
kTs
令z = esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示； f(kT) →f(k) ，得
k n k n nk m m
z F ( z)
m
f (k m) z
m
F ( z ) f ( k m) z
k 0
m 1
k
第6-11页
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信号与系统 电子教案
6.2
z变换的性质
f(k+1) ←→ zF(z) – f(0)z f(k+2) ←→ z2F(z) – f(0)z2 – f(1)z


k 0
m 1
f ( k m) z
k