圆的概念_个性化辅导讲义
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圆的概念一、圆中相关概念的结构示意图圆()()⎩⎨⎧⇒⇒ 等圆大小半径同心圆位置圆心 相关概念⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒ 圆周角圆心角等弧半圆、优弧、劣弧弧直径弦 二、知识应用知识点1：有关概念例题1、如图，圆中弦的条数为（ ） A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．5条说明：弦是圆上任意两点间的线段。
例题2、判断题（1）直径是弦（ ） （2）弦是直径（ ） （3）半圆是弧（ ） （4）弧是半圆（ ）（5）长度相等的两段弧是等弧（ ） （6）等弧的长度相等（ ）说明：通过原命题和逆命题的对比，深刻理解圆中概念的含意。
例题3、下列说法中：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。
正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个说明：等弧是指弧的度数和长度都相等的弧，等弧只可能出现在同圆或等圆中。
例题4、画图说明满足下列条件的点的轨迹：（1）经过点A ，且半径等于cm 2的圆的圆心轨迹；（2）边cm 1=BC ，面积为2cm 21的ABC ∆的顶点A 的轨迹.说明：根据给定的条件，探求并确定符合条件的轨迹图形，通常是转化为四个基本轨迹.（圆的轨迹、平行线轨迹、角平分线轨迹、线段中垂线轨迹）。
例题5、已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形ACBD 一定是（ ）（A ）等腰梯形 （B ）菱形 （C ）矩形 （D ）正方形说明：问题的关键是①圆的两条直径具备什么性质？②构成特殊四边形的条件。
知识点2：相关计算与证明例题6、如图，在⊙O 中，AB 、CD 为直径，试说明AC 与BD 的位置关系。
说明：同圆的半径相等。
因此当圆中有多条直径或半径出现时，就有相等的线段和等腰三角形出现。
A B E C O D例题7、如图，CD 是⊙O 的直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且OC AB =，求A ∠的度数.说明：因为同圆的半径相等，所以当圆中有两条半径出现，就有等腰三角形出现，于是可根据等腰三角形的性质定理求得，所以连结半径是常用的辅助线.例题8、已知：如图，两同心圆的直径AC 、BD 相交于O 点.求证：AB=CD.说明：此题目不难，但它是以“同心圆”为背景的，所以该题目重点不是证明过程，而是“同心圆”具备什么性质和特征。
例题9、求证：菱形四条边中点在以对角线的交点为圆心的同一圆上.说明：本题为文字叙述题，所以应先写出已知和求证并画出图形；证点共圆，只须证这些点与定点的距离相等即可.知识点3：点和圆的位置关系例题10、导火索长18㎝，爆破时导火索燃烧的速度是每秒0.9㎝，点燃导火索的人需要跑到离爆破点120㎝以外的安全区域，这个人每秒跑6.5m 是否安全？例题11、已知等腰直角三角形ABC （如图），试取斜边AB 上的一点为圆心画圆，使点A 、B 、C 分别在所画的圆内、圆外和圆上，并说明该半径与△ABC 三边之间的数量关系．A B CDO CD A EB OC A B CD O说明：确定一个圆有两个条件：圆心和半径，问题的关键圆心和半径的确定。
例题12、如图, 已知矩形ABCD 的边cm 3=AB ，cm 4=AD .（1）以点A 为圆心，cm 4为半径作⊙A ，则点B 、C 、D 与⊙A 的位置关系如何？（2）若以点A 为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？说明：要判定平面上一点与圆的位置关系，只须比较该点到圆心的距离与半径的大小.例题13、⊙O 半径为2.5，动点P 到定点O 的距离为2，动点Q 到P 点距离为1，问P 点、Q 点和⊙O是什么位置关系？为什么？例题14、如图，在ABC ∆中，090=∠ACB ，AB CD ⊥，,300=∠A 3=AC cm, 以C 为圆心，3cm 为半径画圆C ，指出点D B A ,,与⊙C 的位置关系，若要⊙C 经过点D ，则这个圆的半径应有多长.说明：本题考查点与圆的位置关系，解题关键是分别求出点D B A ,,三点到点C 的距离；易错点是分不清D C B A ,,,四点中，哪一点是圆心而导致错误.随堂练习一、填空题（每小题3分，共24分）1. 已知⊙O 的半径为5 cm ，P 为一点，当OP ＝5 cm 时，点P 在 ；当 OP 时，点P 在圆内；当OP 大于5 cm 时，点P 在2. 以点C 为圆心，任意画三个圆，则它们是 圆.3. 一个圆的最大的弦长为10cm ，则此圆的半径为 .4. ⊙O 的半径为cm 3，cm 732.1=OP ，那么点P 与⊙O 的关系为________5.点P 到⊙O 的最小距离为4，最大距离为9，则⊙O 的半径为 。
6．若⊙O 的半径为R ，点A 到圆心O 的距离为d ，当点A 在圆外时，则___________；当点A 在圆上，则__________；当点A 在圆内时，则__________．7．和线段AB 两个端点的距离相等的点的轨迹是_______________ _ ．8．如图，图中有______条直径，________条弦，以A 为一个端点的优弧有_______个，劣弧有_____个．二、选择题（每小题3分，共30分）1.下列说法正确的是（A ）两个半圆是等弧 （B ）同圆中优弧与半圆的差必为劣弧（C ）同圆中优弧与劣弧的差必为劣弧 （D ）由弦和弧组成的图形叫弓形2. 已知⊙O 的直径是6 cm ，若P 是⊙O 内部的一点，则OP 的长度的取值范围是( ).(A) OP ＜6cm (B) 3cm OP ≤ (C) 3cm OP 0<≤ (D) 3cm OP 0<<3. 两个圆的圆心都是O ，半径分别为1r 和2r ，且21r OA r <<，那么点A 在（）A ．⊙1r 内B ．⊙2r 外C ．⊙1r 外，⊙2r 内D ．⊙1r 内，⊙2r 外4. AB 是⊙O 的弦，AB OC ⊥于C ，再以OC 为半径作同心圆，称作小⊙O ，点P 是AB 上异于A 、B 、C 的任意一点，则点P 的位置是（ ）A ．在大⊙O 上 .B ．在大⊙O 的外部.C ．在小⊙O 内部 .D ．在小⊙O 外且在大⊙O 内部.5．若⊙O 的半径为cm 6.3，线段cm OA 725=．则点A 与⊙O 的位置关系是（ ）． A ．A 点在⊙O 外 B ．A 点在⊙O 上 C ．A 点在⊙O 内 D ．不能确定6．⊙O 的半径cm r 10=，圆心到直线L 的距离cm OM 8=，在直线L 上有一点P ，且6=PM ，则点P （ ）．A ．在⊙O 内B ．在⊙O 上C ．在⊙O 外D ．可能在⊙O 内也可能在⊙O 外7．下面四个命题，真命题的个数为（ ）．①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧；④弧是半圆A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．给出下面四个命题：(1)两个端点重合的弧叫等弧；(2)半圆不是弧；(3)可以画一个圆经过已知矩形的四个顶点；(4)到圆心的距离小于半径的点的集合是圆的内部除圆心外的所有点．其中真命题的个数是（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为)0,0(，点P 的坐标为)2,4(，则点P 与O ⊙的位置关系是（ ）．A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．点P 在⊙O 上或在⊙O 外10．已知P 为⊙O 内部一点，经过P 作⊙O 的直径，则可作的直径的条数是（ ）．A ．1条B ．2条C ．无数条D ．无数条或1条三、解答题（1小题6分，其余每题8分，共46分）1．已知如图，AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，BC OD //交AC 于D ，且cm 2 OD ，求BC 的长。
2．有一长和宽分别为cm 4、cm 3的矩形ABCD ，以A 点为圆心作圆，若B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A 的半径r 的取值范围。
3．点P 到圆上的最大距离为8cm ，最小距离为6cm ，求⊙O 的半径。
4．以⊙O 的半径OA 为边作正方形OABC ，求证点B 在圆外，点C 在圆上，两对角线的交点M 在圆内.5．如图，已知：⊙O 中，A 、B 在圆上，AM=BN.求证：四边形ABNM 为等腰梯形6．求证：直径是圆中最长的弦.A B O MN作业1. 以2cm 为半径可以画 个圆，以O 为圆心可以画 个圆，以O 为圆心，以 2为半径可以画 个圆．2. ⊙O 的半径为cm 3，点M 在⊙O 上，cm 3=MN ，那么N 点与⊙O 的位置关系是_______3. 直径b a ⊥相交于O 点，m AB =，当A 、B 在a 、b 上移动时，AB 中点P 的轨迹为________4．到AOB ∠的两边距离相等的点的轨迹是____________．5. 已知⊙O 的半径为1，点P 与O 的距离为R ，且方程022=+-R x x 有实数根，则P 在⊙O 的________.6. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm ，BC=4cm ，CM 是中线，以C 为圆心，以5cm 长为半径画圆，则对A 、B 、C 、M 四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 .7．一个点到一个圆的最短距离是cm 3，最长距离是cm 6，则这个圆的半径是（ ）．A ．cm 5.4B ．cm 5.1C ．cm 5.4或cm 5.1D ．cm 9或cm 38. 图中，⊙O 中的点A 、O 、D 以及点B 、O 、C 分别在不同的两直线上，图中弦的条数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．在ABC ∆中，︒=∠90C ，cm AB 5=，cm BC 4=，以A 为圆心，以cm 3为半径画圆，则点C 与⊙A 的位置关系为（ ）．A ．C 在⊙A 上B ．C 在⊙A 外C ．C 在⊙A 内D ．C 与⊙A 的位置无法确定10．在ABC ∆Rt 中，cm 3=BC ，cm 4=AC ，cm 5=AB ，以B 为圆心，以BC 为半径作⊙B ，点A 、C 及AB 、AC 的中点D 、E 与⊙B 有怎样的位置关系？11．已知如图，AB 是⊙O 的直径，P 是OA 上一点（不同于A 、O ），C 是⊙O 上一点。
求证：PB PC PA <<.12．如图，AB 是⊙O 的任一直径，CD 是⊙O 中不过圆心的任一条弦．求证：CD AB >．13. 如图，已知ABC ∆中，BD ，CE 是两条高．求证：B ，C ，D ，E 四点在同一个圆周上．。
