2019年高中数学第二章数列2.2等差数列(第2课时)等差数列的性质巩固提升(含解析)新人教A版

第2课时 等差数列的性质
[学生用书P99(单独成册)]
[A 基础达标]
1．在等差数列{a n }中，若a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( )
A ．5
B.8 C ．10 D ．14
解析：选B.由等差数列的性质，得a 1＋a 7＝a 3＋a 5.因为a 1＝2，a 3＋a 5＝10，所以a 7＝8.
2．若等差数列{a n }的首项a 1＝5，a m ＝3，则a m ＋2等于( )
A ．13
B.3－4m －1 C ．3－2m －1 D ．5－
2m －1 解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝5，a m ＝3，所以d ＝
a m －a 1m －1＝－2m －1
. 所以a m ＋2＝a m ＋2d ＝3＋－4m －1＝3－4m －1. 3．若{a n }是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有( )
①{|a n |}；②{a n ＋1－a n }；③{pa n ＋q }(p ，q 为常数)；④{2a n ＋n }．
A ．1个
B.2个 C ．3个 D ．4个
解析：选C.数列－1，1，3是等差数列，取绝对值后：1，1，3不是等差数列，①不成立．若{a n }是等差数列，利用等差数列的定义，{a n ＋1－a n }为常数列，故是等差数列，②成立．若{a n }的公差为d ，则(pa n ＋q )－(pa n －1＋q )＝p (a n －a n －1)＝pd 为常数，故{pa n ＋q }是等差数列，③成立．(2a n ＋n )－(2a n －1＋n －1)＝2(a n －a n －1)＋1＝2d ＋1，故{2a n ＋n }是等差数列，④成立．故选C.
4．在等差数列{a n }中，a 2 000＝log 27，a 2 022＝log 217
，则a 2 011＝( ) A ．0
B.7 C ．1 D ．49
解析：选A.因为数列{a n }是等差数列，所以由等差数列的性质可知2a 2 011＝a 2 000＋a 2 022
＝log 27＋log 217
＝log 21＝0，故a 2 011＝0. 5．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程x 2
＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( )
A ．无实根
B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根
解析：选A.因为a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝9，所以a 5＝3，则方程为x 2＋
6x ＋10＝0，因为Δ＝62
－4×10＝－4<0，所以方程无实根．
6．已知等差数列{a n }中，a 2＝3，a 6＝11，则a 12＝________．
解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 6－a 2＝4d ＝11－3＝8，d ＝2，所以a 12＝a 6＋6d ＝11＋6×2＝23.
答案：23
7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝59， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4. 所以这三个数为－1，3，7或7，3，－1.
所以这三个数的积为－21.
答案：－21
8．已知数列{a n }是等差数列，若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝________．
解析：因为a 4＋a 7＋a 10＝3a 7，所以a 7＝173
.因为a 4＋…＋a 14＝11a 9＝77，所以a 9＝7，d ＝23，所以a k －a 9＝(k －9)d .即13－7＝(k －9)×23
，解得k ＝18. 答案：18
9．已知数列{a n }为等差数列，且公差为d .
(1)若a 15＝8，a 60＝20，求a 105的值；
(2)若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2a 5＝52，求公差d .
解：(1)法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1
＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415. 故a 105＝a 1＋104d ＝6415＋104×415
＝32. 法二：因为{a n }为等差数列，所以d ＝a 60－a 15
60－15＝415
，
所以a 105＝a 60＋45×415
＝32. 法三：因为{a n }为等差数列，所以a 15，a 60，a 105也成等差数列，则2a 60＝a 15＋a 105，所以a 105＝2×20－8＝32.
(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34，所以a 2＋a 5＝17.
由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝17，a 2a 5＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 5＝13或⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4. 所以d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.
10．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 11＝－26，a 51＝54，求a 14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？
解：由等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d 列方程组得，
⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋10d ＝－26，a 1＋50d ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2.
所以a 14＝－46＋13×2＝－20.
所以a n ＝－46＋(n －1)·2＝2n －48.
令a n ＞0，即2n －48＞0，n ＞24.
所以从第25项开始，各项均为正数．
[B 能力提升]
11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种计量单位)．这个问题中，甲所得为( )
A.54
钱 B.43钱 C.32钱 D ．53
钱 解析：选B.依据题意，设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d .又因为a －2d ＋a
－d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，解得a ＝1.则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝43a ＝43
，故选B. 12．在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝________．
解析：在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，所以a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 10＝(a 1＋a 10)＋(a 2＋a 9)＋(a 3＋a 8)＋(a 4＋a 7)＋(a 5＋a 6)＝5(a 5＋a 6)＝20，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝20.
答案：20
13．已知首项为a 1，公差d 为正整数的等差数列{a n }满足下列两个条件：①a 3＋a 5＋a 7＝93；②满足a n >100的n 的最小值是15.试求公差d 和首项a 1的值．
解：因为a 3＋a 5＋a 7＝93，
所以3a 5＝93，所以a 5＝31，
所以a n ＝a 5＋(n －5)d >100，所以n >69d
＋5. 因为n 的最小值是15，所以14≤69d
＋5<15， 所以6910<d ≤723
， 又d 为正整数，所以d ＝7，a 1＝a 5－4d ＝3.
14．(选做题)某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次)
解：设在相同的时间内，从低到高每档产品的产量分别为a 1，a 2，…，a 10，利润分别为b 1，b 2，…，b 10，
则{a n }，{b n }均为等差数列，且a 1＝60，d 1＝－3，b 1＝8，d 2＝2，所以a n ＝60－3(n －1)＝－3n ＋63，
b n ＝8＋2(n －1)＝2n ＋6，
所以利润f (n )＝a n b n ＝(－3n ＋63)(2n ＋6)
＝－6n 2＋108n ＋378
＝－6(n －9)2＋864.
所以当n ＝9时，f (n )max ＝f (9)＝864.
所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润．。