【数学】2.2.1《综合法与分析法》课件1(新人教B版选修1—2)

特点：执果索因. 特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点. 用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q ⇐ P1
P1 ⇐ P2
P2 ⇐ P3
…
得到一个明显 成立的结论
例 ， 证 3+ 7 <2 5 题 求 ：
证明：因为 3 + 7和2 5都是正数，所以要证
因为21 < 25显然成立，所以
（ 3 ⇐+ 7） <（2 5） 10 ⇐+ 2 21 < 20 21 21 < 5 ⇐ < 25 ⇐
a + b 回顾基本不等式： ≥ 回顾基本不等式： 2
ab
分析法 (a>0,b>0)的证明. (a>0,b>0)的证明. 的证明 综合法
证法1 证法1 a + b − Q
ab
因为 ( a − b ) 2 ≥ 0
2 a + b − ab = 2 ( a − b )2 = 2
a+b ≥ ab 证法2 证法2要证 2 只需证 a + b ≥ 2 ab
, 果法 综合法又叫顺推证法或由因导 .
用 表示已知条件、已有的 、公理、定理 P表示已知条件、 定义、 定义 公理、 , , 等Q 表示所要证明的结论则综合法可用框图 : 表示为
P⇒Q1 Q1 ⇒Q2 Q2 ⇒Q3
⋅⋅⋅
Qn ⇒Q
1 ∆ A , 例 在 ABC ,三个内角 ,B C对应的边分别为 中 a,b,c,且 ,B C成等差数列 ,b,c成等比数列 A , ,a ,求证 ∆ABC . 为等边三角形 A , ,转化为符号语言就是 分析 将 ,B C成等差数列 2B = A + C A,B C为 ABC ; , ∆ , 的内角这是个隐含条
件明确表示等比数列 ,转化为符号语言就是 = ac. b 此 ,如 能 角 边 一 来 那 就 以 一 时 果 把 和 统 起 , 么 可 进 步 找 和 之 的 系, 进 判 三 形 形 寻 角 边 间 关 而 断 角 的 , 弦 理 好 足 求 是 以 余 定 状 余 定 正 满 要 .于 ,可 用 弦 理 为 具 行 明 工 进 证 .
证明 要证 AF ⊥ SC 只需证SC ⊥ 平面AEF,
只需证AE ⊥ SC (因为 ), 只需证AE ⊥ 平面SBC, 只需证AE ⊥ BC (因为 ), 只需证BC ⊥ 平面SAB, 只需证BC ⊥ SA (因为
S
E
A
F
C
B 图 2.2 − 1
),
由SA ⊥ 平面ABC可知, 上式成立.所以, AF ⊥ SC.
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1直接证明(一)
, 确性 我们知道合情推理所得结论的正 ,这正是数学区别于其他 是需要证明的 . 科学的显著特点数学结论的正确性必 须通过逻 辑推理的方式 加以证明本节 . : 证明方法 直接 我们将学习两类基本的 . 证明与间接证明
2.2.1 综 法 分 法 合 与 析
( , , 系sinθ + cosθ) − 2sinθcosθ = 1于是由① 2− 2
2
4 ×② 得 sin2 α − 2sin2 β = 1.
4 ,发现 把 sin α − 2sin β = 1 与结论相比较 , ,于是尝试转化结 角相同 但函数名称不同 论: 统一函数名称,即把正切函数化为正 (余)弦函数把结论转化为 2 α − sin2 α = . cos 1 cos2 β − sin2 β ,再与 sin2 α − sin2 β = 1 4 2 1 2 2 , cos α − sin α = (cos2 β 比较发现只要把 2 − sin2 β)中的角的余弦转化为正 ,就能达 弦 . 到目的 2 证 明 因 (sinθ + cosθ) − 2sinθcosθ = 1所 为 , 以 把① ② 代 上 ,可 4sin2 α − 2sin2 β = 1. ③ 入 式 得
2 2
3+ 7 <2 5
3 + 7 < 2 5成立
例2 如图2.2 −1所示,SA ⊥ ABC AB ⊥ BC 过 作 , , A SB 平面 的垂线 垂足为 ,过 作 的 , E E SC , F . 垂线垂足为 .求证AF ⊥ SC
S
E
A
F
C
分析 本例所给的已知条件 B , ,我们不容易 中垂直条件较多 图 2.2 − 1 确定如何在证明中使用 ,因而用综合法比 它们 .这时可以从结论出发 , ,逐步反推寻求使 , 较困难 当前命题成立的充分条 . 件
2
证明 由A,B, C成等差数列, 有2B = A + C. 因为A,B, C为∆ABC的内角, 所以A + B + C = π. π 由 ① ②, 得B = . 3 由a, b, c成等比数列, 有b2 = ac.
由余弦定理及③ ,可得b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B = a 2 + c 2 − ac. 2 2 2 再由 ④, 得a + c − ac = ac, 即 (a − c ) = 0,
只需证 a + b − 2 ab ≥ 0
( a − b )2 ≥ 0 只需证
因为 ( a − b )2 ≥ 0 成立
a+b a+b 所以 ≥ ≥ ab成立 所以 2 2
a b成立
一般地，从要证明的结论出发， 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻 证明的结论出发 求推证过程中，使每一步结论成立的充分条 求推证过程中，使每一步结论成立的充分条 直至最后， 件，直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件 已知条件、定理、 的条件（ 一个明显成立的条件（已知条件、定理、定 公理等）为止， 义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分 析法（也叫逆推证法或执果索因法 逆推证法或执果索因法） 析法（也叫逆推证法或执果索因法）．
(
)
1 2 2 即 cos α − sin α = cos β − sin β , 证 2 1 2 即 1− 2sin α = 1− 2sin2 β , 证 2 2 2 即 4sin α − 2sin β = 1. 证
2 2
(
)
(
)
由 上 与 相 ,于 问 得 . 于 式 ③ 同 是 题 证
直接证明（练习）
)
(a + b )
2
2
< (1 + ab) 2 因此 (a 2 − 1)(b 2 − 1) > 0
2
只需证明
(a − 1)(b − 1) > 0 所以原命题成立.
直接证明（回顾小结）
解题方向比较明确， 分析法 解题方向比较明确， 利于寻找解题思路； 利于寻找解题思路； 条理清晰，易于表述。 条理清晰，易于表述。
π 3 α 例 已知 ,β ≠ kπ + (k ∈Z),且 2 sinθ + cosθ = 2sinα, ① sinθ⋅ cosθ = sin2 β,
2 2
②
1− tan α 1− tan β . 求证: = 2 2 1+ tan α 2 1+ tan β
(
)
,发现结论中没有出 分析 比较已知条件和结论 现角 ,因此第一步工作可以从 θ 已知条件中消去. θ 观察已知条件的结论特 ,发现其中蕴含数量关 点
,是直接证明中最基本的 两种方 综合法和分析法 , . 法 也是解决数学问题时常 用的思维方式
1 综合法
,我们经常从已知条件和 某些数学定 在数证明中 公理、 ,通过推理推导出所要的 义、公理、定理等出发 , 结论例如: a a 已知 ,b > 0,求证 b2 + c2 + b c2 + a2 ≥ 4abc. 2 2 证明 因为b + c ≥ 2bc, a > 0,
, 思考 请对综合法与分析法进 行比较说出 . ,说说 它们各自的特点 回顾以往的数学学习 . 你对这两种证明方法的 新认识
, ,我们经常把综合法 事实上在解决问题时 : 和分析法结合起来使用根据条件结构特 , Q 点去转化结论得到中间结论 ; 根据结论 ,得到中间结论 . P 的结构特点去转化条件 P Q , 若由 可以推出 成立 就可以证明结论 .下面来看一个例子 . 成立
(
) (
)
所以a b 2 + c 2 ≥ 2abc. 2 2 2 2 又c + a ≥ 2ac, b > 0, 所以b c + a ≥ 2abc. 因此 a b + c + b c + a ≥ 4abc.
2 2 2 2
(
)
(
) (
)
(
)
一般地 , 利用已知条件和某些数 学定义、公理、 学定义、公理、 定理等 , 经过一系列的推理论证 , 最后推导出所 要证明的结论成立 , 这种证明方法叫做 综合法 (synthetica l method ).
2 2
(
)
1− tan2 α 1− tan2 β 另 方 ,要 一 面 证 . = 2 2 1+ tan α 2 1+ tan β 2 sin2 β sin α 1− 1− 2 cos2 β 即 证 cos α = . 2 2 sin α sin β 1+ 21+ 2 cos2 β cos α
① ② ③ ④
⑤ 因此 a = c.从而有A = C. π 由② ③ ⑤ 得, A = B = C = .所以∆ABC是等边三角形. 3
,往往先作语言转换 ,如把文字语言 解决数学问题时 ,或把符号语言转换成图 . 转换成符号语言 形语言等 ,把其中的隐含条件明显 还要通过细致的分析 表示 . 出来