列方程解决平面图形问题

6 应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题【知识与技能】使学生会用一元二次方程解应用题.【过程与方法】进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识.【情感态度】通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.【教学重点】实际问题中的等量关系如何找.【教学难点】根据等量关系设未知数列方程.一、情境导入，初步认识列方程解应用题的步骤是什么？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决.但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.二、思考探究，获取新知问题：有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84，x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.【教学说明】注意引导学生分析、理清题目中的数量关系，挖掘已知条件与要解决问题，激发学生解决问题的欲望，体会数形结合思想的应用.三、运用新知，深化理解1.见教材P52例1.2.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ B ）A.37B.5C.38D.73.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为64cm2.4.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.解：设花边的宽为x m，依题意有（6+2x）（3+2x）=40，解得x1=1，x2=112-（不合题意应舍去）.即花边的宽度为1m.5.如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.分析:如图，若设BC = x m，则AB的长为352x-m，若设AB = x m，则BC=(35-2x)m，再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a = 18m意味着BC边长应小于或等于18m，从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.解:（1）设BC=xm，则AB=CD=352x-m，依题意可列方程为x·352x-=150，解这个方程，得x1=20，x2=15.（2）当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;（3）不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC = x m，由（1）知AB=352x-m，从而有x·352x-=160，方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？分析：（1）如果P，Q同时出发，x s后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为12×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意值；（2）△ABC的面积的一半等于12×12AC·BC=12（cm2），令12×2x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在.解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2.由题意得AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，则12·（6-x）·2x=8.整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4.所以P，Q同时出发2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.（2）由题意，得S△AB C=12AC·BC=12×6×8=24（cm2），令12×2x×（6-x）=12×24，x2-6x+12=0，b2-4ac=62-4×12=-12<0，该方程无实数解，所以不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻.四、师生互动、课堂小结1.回顾、整理并总结，让学生在活动中积累实践经验，理解建立数学模型的重要性.2.独立完成以上例题.1.布置作业：教材“习题2.9”中第2、3、4题.2.完成练习册中相应练习.本课时无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己的机会，在此过程中发现并总结学生存在的思维误区，便于今后的教学.课堂上注意激发学生的学习热情，帮助学生形成积极主动的求知态度.实际问题与二次函数一、知识点1、实物抛物线一般步骤①据题意，结合函数图象求出函数解析式；②确定自变量的取值范围；②据图象，结合所求解析式解决问题.2、实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；④解决提出的实际问题.3、结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；③根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；④利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题二、标准例题：例1：如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=33-x+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y=13-x2+bx+c表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB的最大高度；（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？【答案】（1）y=-1 3x2+433x+5；（2）当x=532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）水柱能越过树，理由见解析【解析】（1）∵AB=10、∠OAB=30°，∴OB=12AB=5、OA =10×32=53，则A（53，0）、B（0，5），将A、B坐标代入y=-13x2+bx+c，得：17553035b cc⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：4335bc⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=-13x2+433x+5；（2）水柱离坡面的距离d=-13x2+433x+5-（-33x+5）=-13x2+533x=-13（x2-53x）=-13（x-532）2+254，∴当x=532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，∵AC =2、∠OAB =30°， ∴CD =1、AD =3， 则OD =43，当x =43时，y =-13×（43）2+433×43+5=5＞1+3.5， 所以水柱能越过树．总结：本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．例2：某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形ABCD （篱笆只围,AB BC 两边），设AB x =m .（1）若花园的面积为962m ，求x 的值；（2）若在P 处有一棵树与墙,CD AD 的距离分别是11m 和5m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值.【答案】（1）x 的值为8或12；（2）当9x =时，S 的值最大，最大值为99【解析】解：（1）(20)96x x -=，18x =，212x =x 的值为8或12（2）依题意得52011x x ≥⎧⎨-≥⎩，得59x ≤≤ 2(20)(10)100S x x x =-=--+当59x ≤≤时，S 随x 的增大而增大，所以，当9x =时，S 的值最大，最大值为99总结：此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行求解. 例3：一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？（3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？【答案】（1）26；（2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元；（3）当每件商品降价1 5元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．故答案为：26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200 整理，得x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20要求每件盈利不少于25元∴x2＝20应舍去，解得x＝10答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．（3）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元则：y＝（40﹣n）（20+2n）y＝﹣2n2+60n+800n＝﹣2＜0∴y有最大值当n＝15时，y有最大值＝1250元，此时每件利润为25元，符合题意即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．总结：本题主要考查一元二次方程的应用问题，特别注意函数的取值范围，再求最大值是要先分析函数的取值范围，在计算函数值的最大值.例4：随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可用1122p x=+来描述。

高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法在高中数学学习中，平面解析几何是一个重要的内容，也是考试中的重点。

平面解析几何主要研究平面上的点、直线、圆等几何图形的性质和关系，通过坐标系和代数方法进行分析和解决问题。

下面我们将介绍一些常见的平面解析几何题型及解答方法，希望能给同学们提供一些帮助。

一、直线方程的求解直线方程的求解是平面解析几何中的基础内容。

常见的题型有已知直线上的两点，求直线方程；已知直线的斜率和一点，求直线方程等。

这里我们以已知直线上的两点，求直线方程为例进行说明。

例如，已知直线上的两点为A(2,3)和B(4,5)，求直线方程。

解题思路：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

根据已知条件，我们可以列出方程组：3 = 2k + b5 = 4k + b解方程组，得到k和b的值，从而得到直线方程。

解题步骤：1.将方程组改写为矩阵形式：| 2 1 | | k | | 3 || 4 1 | | b | = | 5 |2.利用矩阵的逆运算，求出k和b的值。

3.将k和b的值代入直线方程y = kx + b，即可得到直线方程。

通过这个例子，我们可以看到求解直线方程的方法是通过已知条件列方程组，然后通过矩阵运算求解出未知数的值，最后将值代入直线方程得到结果。

二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容。

常见的题型有直线与圆的切线问题、直线与圆的交点问题等。

这里我们以直线与圆的切线问题为例进行说明。

例如，已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，直线的方程为y = 2x - 1，求直线与圆的切点坐标。

解题思路：首先，我们需要确定直线与圆是否有交点。

当直线与圆有交点时，我们可以通过求解方程组得到交点坐标。

当直线与圆没有交点时，我们需要判断直线与圆的位置关系，进而确定是否有切点。

解题步骤：1.将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。

2.求解二次方程，得到x的值。

第3课时用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1 一般图形的问题1．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( ) A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝9002．(白银中考)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝63．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是________m.4．一个直角三角形的两条直角边相差 5 cm，面积是7 cm2，这两条直角边长分别为________________．5．(自贡中考)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．知识点2 边框与甬道问题6．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( )A．(20－x)(32－x)＝540B．(20－x)(32－x)＝100C．(20＋x)(32－x)＝540D．(20－x)(32＋x)＝5407．如图所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147 m2，则休闲广场的边长是________m.8．如图所示，某小区计划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB垂直，另一条与AB平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144平方米，求甬路的宽度．中档题9．(宁夏中考)如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )A．x2＋9x－8＝0B．x2－9x－8＝0C．x2－9x＋8＝0D．2x2－9x＋8＝010．(襄阳中考)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?11．在高度为2.8 m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5 m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3 m2(铝合金条的宽度忽略不计)?12．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2?综合题13．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°.AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB 边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．参考答案基础题1.B2.B3.124.2 cm 、7 cm5.设垂直于墙的－边长为x 米，由题意，得x(58－2x)＝200.解得x 1＝25，x 2＝4.∴另一边长为8米或50米．答：矩形长为25米宽为8米或矩形长为50米宽为4米．6.A7.78.设甬路的宽度为x 米．依题意，得(40－2x)(26－x)＝144×6.解得x 1＝2，x 2＝44(不合题意，舍去)．答：甬路的宽度为2米． 中档题 9.C10.设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m ，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m.依题意，得x(26－2x)＝80.解得x 1＝5，x 2＝8.当x ＝5时，26－2x ＝16>12(舍去)；当x ＝8时，26－2x ＝10<12.答：所建矩形猪舍的长为10 m ，宽为8 m ．11.设窗户的高为x m ，则窗户的宽为9.5－2x －0.53＝3－23x(m)，则根据题意列方程为：x(3－23x)＝3，解得x 1＝1.5，x 2＝3(不合题意，舍去)．所以窗户的高为1.5 m ，宽为3－23×1.5＝2(m)． 12.设矩形温室的宽为x m ，则长为2x m ．根据题意，得(x －2)·(2x －4)＝288.解得x 1＝－10(不合题意，舍去)，x 2＝14.所以x ＝14，2x ＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28 m ，宽为14 m 时，蔬菜种植区域的面积是288 m 2. 综合题13．(1)设x 秒后，△PBQ 的面积等于4 cm 2.根据题意，得x(5－x)＝4.解得x 1＝1，x 2＝4.∵当x ＝4时，2x ＝8>7，不合题意，舍去．∴x ＝1.(2)设x 秒后，PQ ＝5，则(5－x)2＋(2x)2＝25.解得x1＝0(舍去)，x2＝2.∴x＝2.(3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2.根据题意，得x(5－x)＝7.此方程无解．所以不能．周周练(21.2.3～21.3)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．小新在学习解一元二次方程时，做了下面几个填空题：(1)若x2＝9，则x＝3；(2)方程mx2＋m2x＝0(m≠0)，则x＝－m；(3)方程2x(x＋1)＝x＋1的解为x＝－1．其中，答案完全正确的有( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个2．已知α，β满足α＋β＝5，αβ＝6，则以α，β为根的一元二次方程是( ) A．x2－5x＋6＝0B．x2－5x－6＝0C．x2＋5x＋6＝0D．x2＋5x－6＝03．(衡阳中考)若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为( ) A．－2 B．2C．4 D．－34．解方程3(x－1)2＝6(x－1)，最适当的方法是( )A．直接求解 B．配方法C．因式分解法 D．公式法5．多项式a2＋4a－10的值等于11，则a的值为( )A．3或7 B．－3或7C．3或－7 D．－3或－76．经计算整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4，则一元二次方程x2－3x－4＝0的所有根是( )A．x1＝－1，x2＝－4B．x1＝－1，x2＝4C．x1＝1，x2＝4D．x1＝1，x2＝－47．某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为( )A．50(1＋x)2＝60B．50(1＋x)2＝120C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝120D．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝1208．(哈尔滨中考改编)今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1 600 m2，那么扩大后的正方形绿地边长为( ) A．120 mB．100 mC．85 mD．80 m二、填空题(每小题4分，共24分)9．(聊城中考)一元二次方程x2－2x＝0的解是______________．10．一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根互为倒数，则c＝________．11．设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2＝_______，x1x2＝_______．12．(南昌中考)已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________．13．已知：如图所示的图形是一无盖长方体的铁盒平面展开图.若铁盒的容积为3 m3，则根据图中的条件，可列出方程：____________．14．(巴彦淖尔中考)某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请___个队参赛．三、解答题(共44分)15．(20分)用适当的方法解下列方程：(1)(徐州中考)x2－2x－3＝0；(2)(x＋2)2＝2x＋4；(3)(3x＋1)2－4＝0；(4)4x 2－12x ＋5＝0；(5)4(x －1)2－9(3－2x)2＝0.16．(6分)当x 为何值时，32x 2＋14(x －1)和13(x －2)互为相反数？17．(8分)向阳村2013年的人均收入为12 000元，2015年的人均收入为14 520元．求人均收入的年平均增长率．18．(10分)(淮安中考)小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元．请问她购买了多少件这种服装？参考答案1.A2.A3.A4.C5.C6.B7.D8.D9.x 1＝0，x 2＝2 10.1 11.7 3 12.25 13.x(x ＋1)＝3 14. 515.(1)x 1＝－1，x 2＝3.(2)x 1＝0，x 2＝－2.(3)x 1＝13，x 2＝－1.(4)x 1＝52，x 2＝12.(5)x 1＝74，x 2＝118. 16.∵32x 2＋14(x －1)和13(x －2)互为相反数，∴32x 2＋14(x －1)＋13(x －2)＝0.解得x 1＝－1，x 2＝1118.∴当x 为－1或1118时，32x 2＋14(x －1)和13(x －2)互为相反数． 17.设人均收入的年平均增长率为x ，根据题意得12 000(1＋x)2＝14 520.解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：人均收入的年平均增长率为10%.18.设购买了x 件这种服装，根据题意，得[80－2(x －10)]x ＝1 200.解得x 1＝20，x 2＝30.当x ＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去．∴x ＝20.答：她购买了20件这种服装．。

一元二次方程的应用第1课时面积问题教材版本：冀教版授课年级：九年级学情分析学生在此之前已经学习了一元一次方程、二元一次方程组和分式方程的应用，对方程模型有了认识，积累了用方程解决实际问题的一些经验，为学习本节课做了充分的准备。

不过本节课有一定的难度，同时学生在解方程中存在一定的问题，导致计算不准确无法完成解题过程.教材分析本节课主要是一元二次方程在几何图形中的应用，是学习了一元二次方程的定义及解法之后，初中数学又一重要内容，也是考试的重点问题，通过本节学习不仅可以扩大解决实际问题的范围还可能再理解数学思想方法（化归、转化等）方面得到提升，为以后学习二次函数打好基础.教学目标知识与技能：会根据几何图形问题中的数量关系和相等关系列出一元二次方程,并对方程的根的合理性做出解释.过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．情感态度与价值观目标：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．重点难点重点：列一元二次方程解有关问题的应用题.难点：发现问题中的等量关系.教学过程:复习引入：列方程解应用题的步骤：⑴审⑵设⑶列⑷解⑸验⑹答.师生活动：教师提出问题，学生回忆，选一名同学作答，其他同学补充.设计意图：通过回顾列方程解应用题的步骤唤起学生数学建模思想，复习矩形面积，为解决有关面积方面的问题做铺垫.互助探究一：例1、我校要在校园内墙边的空地上修建一个平面图为矩形的存车处，要求存车处的一面靠墙(墙长22m，如图所示），另外三面用90m的铁栅栏围起来，如果矩形存车处的面积为700m2，求矩形存车处的长和宽.（提示：设未知数的时候，以平行于墙的一边或垂直于墙的一边为未知数）解：设长方形平行于墙的一边长为xm，Array则垂直于墙的一边长为（90-x）／2 m根据题意，得x（90-x）／2=700 .整理这个方程，得x2-90x+1400=0 .解这个方程，得x1=70,x2=20由于墙长22m，x1=70不合题意，应舍去.当x=20时，（90-x）／2=35.答：这个长方形存车处的长和宽分别为35m和20m.师生活动：教师引导学生读题，找到题目中的关键词语，找出等量关系，探究解决方法.设计意图：解决问题过程中，要检验结果的合理性，提高学生审题的能力，规范学生解题过程的安排，使学生会解决有关面积的问题.巩固练习：如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为30m ，另三边由一段总长度为35m 的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m 2，设垂直于墙的一边长为x m,则x 满足的方程为x(35-2x)=125． 变式练习1：如图，要利用一面墙（墙长为25m ）建羊圈，用100m 的围栏围成总面积为400 m 2的三个大小相同的矩形羊圈，则AB= 20 m ,BC= 20 m.变式练习2：.如图，要建一个面积为150m 2的长方形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18m ），并在与墙平行的一边上开一道1m 宽的门.现在可用的材料为34m 彩钢，设长方形仓库垂直于墙的一边长为xm ，则x 满足的方程为x(34+1-2x) =150.设计意图：通过巩固练习及变式练习使学生熟练掌握利用墙围矩形此类问题的解决思路及书写过程.互助探究二：例2.如图，一块长为80cm ,宽为60cm 的长方形硬纸片，在四角各剪去一个同样的小正方形，做成一个底面积为1500cm 2的无盖的长方体盒子，求剪去的小正方形的边长。

五年级上平面图形的解决问题（三）1．一块平行四边形土地底是204米，高是16米。

在这块土地上栽白菜，每棵占地8平方分米。

这块地大约能栽多少棵白菜？2．有一块三角形的地，底是20米，高是8米，共收蔬菜400千克。

这块地平均每平方米收蔬菜多少千克？3．有一种三角形小旗的底是20厘米，高是25厘米。

做30面这样的小旗至少需要多少平方厘米的彩纸？4．下图，已知正方形的边长是6厘米，求平行四边形的面积是多少？5、一条红领巾的底长100厘米，高33厘米，做600条这样的红领巾需要红布多少平方米?6、一个平行四边形苗圃，底是72米，高是15米，平均棵树占地15平方分米，这个苗圃可以栽树多少棵？7、有一块梯形的广告牌，上底是14米，下底是16米，高是4米。

要油漆这块广告牌，如果每平方米需要用油漆600克，施工队准备了30千克油漆，够不够？8、孙大叔家用80（1）这个花圃的面积是多少平方米？（2）如果每平方米种菊花99、用一张长108厘米，宽8016厘米的三角形小旗，最多能做多少面？30米10、一个梯形的麦田，上底400米，下底600米，高100米。

它的面积是多少公顷？如果每公顷收小麦7000千克，这块麦田能收小麦35吨吗？能□不能□11、一块长方形的玉米地，长是40米，宽是15米，玉米地中间有一条2米宽的小路（如图）。

如果每平方米土地能收获20千克玉米，这块地一共能收小麦多少千克玉米？12、一个桃园的占地面积是12公顷。

如果每棵桃树占地6平方米，每棵桃树能收获30千克桃，这个果园一共能收获多少千克桃？合多少吨？13、把一个平行四边形转化成一个长方形，平行四边形的面积等于（），平行四边形的底等于长方形的（），平行四边形的高等于长方形的（），因为长方形的面积=（），所以平行四边形的面积=（），用字母表示（）。

14、把一个用四根木条做成的平行四边形框拉成一个长方形，（）没变，（）变了，变（）了。

（填“大”或“小”）15、一个平行四边形广告牌的底是5米，高是4米。

利用代数式求解解决几何图形问题一、基本概念与性质1.1 几何图形的定义与分类：平面几何图形、立体几何图形等。

1.2 点、线、面的基本性质：点的位置、线的方向与长度、面的面积与形状。

1.3 角度与弧度的概念：角度的度量、弧度的定义。

1.4 三角形、四边形、圆的基本性质：三角形的边长关系、四边形的对角线关系、圆的半径与直径关系。

二、点的坐标与直线方程2.1 坐标系的概念：直角坐标系、极坐标系。

2.2 点的坐标表示：坐标轴上的点、坐标平面内的点。

2.3 直线方程的定义：直线的一般方程、直线的点斜式方程。

2.4 直线与坐标轴的关系：直线与x轴、y轴的交点。

三、三角形的相关代数式求解3.1 三角形的边长关系：海伦公式、余弦定理。

3.2 三角形的面积公式：底乘高、海伦公式。

3.3 三角形的角度关系：正弦定理、余弦定理。

四、四边形的相关代数式求解4.1 四边形的对角线关系：对角线互相平分、对角线交点为重心。

4.2 四边形的面积公式：分割成三角形求面积、对角线交点公式。

五、圆的相关代数式求解5.1 圆的半径与直径关系：半径与直径的比值、圆的周长与半径关系。

5.2 圆的面积公式：πr²、圆的面积与半径关系。

5.3 圆的方程：圆的标准方程、圆的一般方程。

六、立体几何图形的代数式求解6.1 立方体的体积与表面积：体积公式、表面积公式。

6.2 圆柱体的体积与表面积：体积公式、表面积公式。

6.3 球的体积与表面积：体积公式、表面积公式。

七、解题策略与方法7.1 画图辅助解题：画出几何图形，明确已知与求解量。

7.2 列代数式：根据题目条件，列出相关的代数式。

7.3 化简与求解：化简代数式，求解未知量。

7.4 检验与讨论：检验解的正确性，讨论解的适用范围。

八、注意事项8.1 掌握基本概念与性质：明确几何图形的定义与性质，为解题打下基础。

8.2 熟练掌握代数式的求解：熟悉各种几何图形的代数式，提高解题速度。

8.3 灵活运用解题策略：根据题目条件，选择合适的解题方法。

备考指南求平面几何图形的面积问题比较常见.对于规则的平面几何图形，可以直接利用三角形、矩形、等腰梯形、圆等的面积公式来求解；而对于不规则的曲边平面图形，直接运用平面几何图形的面积公式往往很难求得，须利用定积分的几何意义求解.定积分的几何意义是指被积函数与坐标轴围成的面积，即曲边图形的面积S =∫a bf (x )d x .若被积函数的图象位于x 轴上方,则函数的定积分为正；若位于x 轴的下方,则函数的定积分为负.定积分与曲边梯形面积的关系，如下表所示.图形阴影部分面积S ＝∫b a f (x )d x S ＝-∫baf (x )d xS ＝∫ca f (x )d x -∫bc f (x )d xS ＝∫b af (x )dx －∫b ag (x )d x ＝∫ba [f (x )－g (x )]d x利用定积分的几何意义求平面几何图形面积的步骤如下：(1)根据题意画出平面几何图形；(2)根据几何图形确定被积函数，求出图象与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分.例1.（1）求函数y =4-x 2在[-2,2]上的图象与x轴所围成的图形的面积；（2）求函数y =sin x 在区间[-π,π]上的图象与x 轴围成的图形的面积.解：（1）由y =4-x 2可得x 2+y 2=4(y ≥0)，该式表示的是圆心在原点、半径为2的半圆，如图1中阴影部分所示.根据定积分的几何意义可知该半圆的面积为S=∫-224-x 2d x =12π×22=2π.图1图2（2）根据题意画出图形，函数y =sin x 在区间[-π,π]上的图象与x 轴围成的图形如图2中的阴影部分所示，根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积为∫-ππsin x d x =0.当被积函数的图象关于坐标轴或坐标原点对称时，比较容易求得几何图形的面积，直接利用定积分的几何意义和图形的对称性即可解题.例2.求曲线y 2=2x 与y =x -4所围成的图形的面积.分析：题中的图形由两条曲线围成，很难快速求得问题的答案，需将图形分割，把问题转化为求两部分图形的面积的和或差，再根据定积分的几何意义来解题.图3图4解法一：以两曲线的交点为分界点，将阴影部分分割为两部分，如图3所示.S =S 12=2∫022x x +∫28[2x -(x -4)]d x=32)|2032-(12x 2-4x )]|82=18.解法二：以x 轴为分界线，将阴影部分分割为两用定积分的几何意义求不规则平面图形黄文琴56备考指南∫226|图5图6当不能直接用定积分表示不规则平面几何图形的面积时，需采取分割图形的方法或者变换积分变量∫.反证法是解答数学问题的常用方法，是一种间接证明方法.当遇到一些从正面分析、求解较为困难的问题，或采用常规方法难以获解的问题时，采用反证法求解往往比较奏效.反证法是指假设原命题不成立，经过推理后，得到与已知条件、定理、性质等相矛盾的结论，从而证明原命题成立的方法.对于两个互相矛盾的命题和判断来说，根据矛盾律，可由其中一个为真，推断出另一个为假，但是不能由一个为假来断定另一个为真.然而，根据排中律的原理，我们不但能够由其中一个为真推断出另一个为假，同时也能够由一个为假来推断出另一个为真.反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律.在运用反证法来证明问题时，根据推出的矛盾和结果来否定反设，用的就是矛盾律；在否定反设之后，能够肯定原命题的正确性，用的是排中律.反证法解题的一般步骤为：第一步：认真读题，准确找到原命题的条件和结论；第二步：对原命题进行反设，即假设原命题不成立；第三步：由假设出发，进行推理论证，得到与已知条件、公理、定理、公式、定义等相矛盾的结论；第四步：得出最后的结论，证明原命题成立.对于命题：p⇒q，则需先假设命题结论q不成立，即¬q成立，然后由p和¬q出发，运用相关的定理、性质、公式等进行推理，得出相矛盾的结果，断定是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真.反证法的应用范围较广，可用于解答方程、不等式、函数、数列、解析几何、三角函数、立体几何等问题，下面举例说明.例1.求证：方程2x=3有且只有一个根.证明：由2x=3，可得x=log23，则方程2x=3有解.下面运用反证法来证明方程2x=3只存在唯一的赵雪岑。