从第五公设的怀疑到罗氏几何的创建

数学史上的著名猜想之（一）—―被否定的数学猜想过伯祥数学史上，长时期未能解决的数学猜想特别多！并且很多都是世界级的难题，其中数论方面的问题又占多数.它们表面上是那么的浅显，好像不难解决似的，其实，若无深厚的数学功底，即使想接近它也十分困难。

本章特作较多的介绍，使数学爱好者有一个初步了解.如果你有志要攻克这些猜想，就必须作好长期艰苦跋涉的思想准备.1．被否定的数学猜想（1）试证第五公设的漫长历程几何是从制造器皿、测量容器、丈量土地等实际问题中产生和发展起来的.几何学的发展历程中，有两个重大的历史性转折.其一是,大约从公元前7世纪到公元前3世纪，希腊数学从素材到框架，已经为几何学的理论大厦的建造准备了足够的条件.欧几里得在前人毕达哥拉斯、希波克拉底和欧多克斯等人的工作基础上，一举完成了统治几何学近2000年的极其伟大的经典著作《几何原本》.它使几何学发展成为一门独立的理论学科，是几何学史上的一个里程碑.其二，也正是由于《几何原本》的问世，才带来了一个使无数人困惑和兴奋的著名问题--欧几里得第五公设问题.在《几何原本》的第一卷中，规定了五条公设和五条公理.著名的欧几里得第五公设：“若两条直线被第三条直线所截，如有两个同侧内角之和小于两直角，则将这两直线向该侧适当延长后必定相交.”就是这五条公设中的最后一条.由于它在《几何原本》中引用得很少（直到证明关键性的第29个定理时才用到它）；而且，它的辞句冗长，远不如前四条公设那样简单明了.于是给后人的印象是：似乎欧几里得本人也想尽量避免应用第五公设.于是，一代又一代的数学家猜测:大概不用花费很多力气就能证明欧几里得第五公设.就这样，数学家们开始了试证第五公设的历程.这是个始料未及的漫长历程！真正是前赴后继，几乎每个时代的大数学家都做过这一件工作.然而，满以为非常简单，只不过是举手之劳的一件事，谁料历时两千年仍未解决.第五公设问题几乎成了“几何原理中的家丑”（达朗贝尔）.直至19世纪，人们才逐渐意识到“欧氏第五公设可以证明”是一个错误的猜想,但它却引导数学家们得到了有意义的结果.所以说：错误的猜想有时也是极有意义的！“在我们试图证明某个猜想的时候，如果使尽各种招数仍无进展，就应去查一查这个猜想本身有没有毛病.”（2）引出一个大胆猜想第五公设的一个又一个试证，总是发生“偷用”某个与第五公设等价的“假设”去代替的毛病，这逐渐地使几位思想较开阔而又有远见的数学家高斯、亚诺什•鲍耶、罗巴契夫斯基意识到:“欧几里得第五公设是不能从《几何原本》的其余公设、公理中导出.”也即与其它公设公理不相依赖，并且提出了一个新的大胆猜想：“欧几里得几何不是惟一的几何;任何一组假设如果彼此之间不导致矛盾的话，一定提供一种可能的几何.”罗巴契夫斯基、鲍耶正是在此想法的基础上开展了一系列工作，才发现了非欧几何的.虽然，他们的工作约有30年之久被人们所忽视；非欧几何的相容性问题在其后的40年中仍然悬而未决，然而，从某数学家的头脑中首先形成这大胆的猜想——与第五公设相矛盾的公理，也许仍可建立逻辑上相容的新几何——的那一刻起，就注定了即将发生几何学发展的又一次历史性的大转折：将迎来的是，几何学思想的大解放，几何学大发展的新时代.可以说，在19世纪所有复杂的技术创造中间，最深刻的一个——非欧几何的创造，就是起源于两千年试证第五公设的失败而日渐形成的大胆的猜想，非欧几何是在欧几里得几何领域中，一系列的长期努力所达到的一个新顶点。

欧⼏⾥得第五公设问题：⾮欧⼏何的产⽣关于欧⼏⾥得其⼈现在了解的很少.根据记载推断，欧⼏⾥得早年就学于雅典，在公元前三百年左右应托勒密王的邀请，在亚历⼭⼤城从事教学⼯作，传说他是⼀位温良敦厚的教育家，曾受教于柏拉图的“雅典学院”，深得柏拉图⼏何学的真传。

据传托勒密王曾问欧⼏⾥得有⽆学习⼏何的捷径，欧⼏⾥得回答说：“⼏何学⽆王者之道”。

另⼀则轶事说，⼀次⼀个学⽣刚学了第⼀个⼏何命题就问：“学了这些我能获得什么呢？”欧⼏⾥得叫来⼀个仆⼈吩咐说：“给这位先⽣三个分币，因为他⼀门⼼思从学过的东西中捞点什么。

”欧⼏⾥得写过不少数学、天⽂、光学和⾳乐⽅⾯的著作，现存的有《原本》、《数据》、《论剖分》、《现象》、《光学》、和《镜⾯反射》等，还有⼀些仅知其名内容失传的著作如《圆锥曲线》、《衍论》、《曲⾯轨迹》、《辩伪书》等。

所有的著作中，最重要的莫过于《原本》。

关于《原本》原始的⼿稿已不存在了，只有后来的⼀些修订本。

从1482年到19世纪末，它已⽤各种⽂字出了⼀千版以上，除《圣经》以外没有任何其他著作，其研究、使⽤和传播之⼴泛能够与它相⽐。

《原本》的中⽂译本为《⼏何原本》，它的英⽂原名为《Elements》，应译作《原本》，《⼏何原本》中的“⼏何”⼆字是利玛窦和徐光启在1307年翻译成中⽂时加上去的。

《原本》并不是单纯地讲⼏何，还包括了⼏何数论和初等代数的⼀些内容。

《原本》共⼗三篇（后来有⼈⼜附加了两篇），包括5条公理、5条公设、119个定义和465个命题。

其中公理和共设的区分是采⽤亚⾥⼠多德的⽅法，同时沿⽤当时尺规作图的演绎证明的思想。

另外，由于毕达哥拉斯学派的不可公度量的发现造成很⼤困难，《原本》中采⽤⽐例理论，把基础建⽴在⼏何直观上，避免了⽆理数所造成的困境。

《原本》中的公设是指只适⽤于⼏何的真理，包括5个：1、从任⼀点到任⼀点作直线（是可能的）；2、把有限直线不断循直线延长（是可能的）；3、以任⼀点为中⼼和任⼀距离[为半径]作⼀园（是可能的）；4、所有直⾓彼此相等；5、若⼀直线与两直线相交，且若同侧所交两内⾓之和⼩于两直⾓，则两直线⽆限延长后必相交于该侧的⼀点。

学知报/2010年/12月/13日/第E02版教学论坛罗氏几何学的诞生记四川省宜宾县育才中学陈节芳十九世纪初，由俄国青年数学家罗巴切夫斯基创立的罗氏几何学是一盏明亮的导航灯，打破了欧几里得几何是唯一一种几何体系，这一统治了人类两千多年的观念，使人类的空间观念发生了质的飞跃，迎来了几何学复兴的黄金时代；非欧几何在物理学中的成功应用，催生了广义相对论，这一震憾了二十世纪科学界的成果。

“十九世纪最有启发性，最重要的成就就是非欧几何的发现。

”这是伟大的数学家希尔伯特（1862－1943，德国人），对这一历史贡献的中肯评价。

罗巴切夫斯基以其智慧，勇气，正直，冷静的大家风范，成为我们景仰的榜样。

罗巴切夫斯基H.N公元1792年12月1日生于俄国下诺优哥罗德（今高尔基城），1807年进入喀山大学学习，1811年毕业并获硕士学位，留校任教,23岁就成为喀山大学数学教授.1820—1846,1823—1825曾两度任物理数学系主任,1827—1846任喀山大学校长,1846年后一直担任喀山学区副督学。

1816年开始,罗巴切夫斯基像前人一样,尝试证明欧几里得几何中的第五公设——平行公设,但不久发现,所有的这种证明都无法逃出循环论证的怪圈;从而,他以一个数学家的敏感和睿智,从“过直线外一点能作一条或没有或多余一条直线与该直线平行”出发,否定了“没有”,猜想到“能作一条”和“能作多余一条”是各自独立的,它们均与其它公理,公设相容,把“能作多余一条”——否定欧氏第五公设,保留其它公设,用严格的逻辑推理, 得到一系列等价命题，始终没有推出矛盾；他大胆地认为：从否定第五公设出发得到的结果，代表着一种新的几何学。

1826年2月23日，以《几何学原理的扼要阐述，暨平行线定理的一个严格证明》为题材，在喀山大学数学物理系的一次学术报告会上，宣读了他的关于非欧几何的论文，宣告了罗巴切夫斯基几何的诞生。

罗氏几何，不仅是对欧氏几何传统的冲击，也是对直觉和常识的挑战。

欧氏几何与第五公理一、欧氏几何的建立欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。

在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。

欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。

这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。

这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。

后又被译成多种文字，共有二千多种版本。

它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。

两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。

二、一座不朽的丰碑欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。

这部划时代的著作共分13卷，465个命题。

其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。

但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。

真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。

在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。

我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。

这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。

同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。

在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。

欧几里德采用的正是这种方法。

他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。

关于欧⽒⼏何的第5公设及⾮欧⼏何关于欧⽒⼏何的第5公设及⾮欧⼏何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本⽂综述了由欧⽒⼏何到⾮欧⼏何的发展历史；评述了⾮欧⼏何的思想及其伟⼤意义；论述了欧⽒⼏何，罗⽒⼏何，黎曼⼏何的对⽴统⼀关系。

⽐较了三种⼏何的主要特征及适⽤范围。

关键词：第五公设，欧⽒⼏何，罗⽒⼏何，黎曼⼏何。

⼀、关于Euclid的《Elements》欧⼏⾥得的《⼏何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。

2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的⼀个第⼗世纪的《原本》希腊⽂⼿抄本，可能⽐泰恩本更早些。

3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。

4、现在看到的各种版本（⼀千多种版本）均⾮欧⼏⾥得⼿稿的传本，⽽是依据后⼈的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。

5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《⼏何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较⼤的修改，如删去了《原本》中的⾮⼏何部分内容，并将⼏何部分重新整理和编写。

把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平⾏公理；“过直线外⼀点，有⽽且只有⼀条直线与原直线平⾏”等等，编成了《新欧⼏⾥得⼏何原本》。

于是⾃19世纪开始，初等⼏何课本⼀般都是以此为兰本的改编本。

6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意⼤利传教⼠利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国⼈的拉丁⽂本15卷。

⼆百五⼗年之后，1857年，后9卷由英⼈伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英⽂版第15卷。

由于它们均系⽂⾔，并且名词，术语和现代有很⼤的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。

⼆、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建⽴数学”的观念，即：⼀个合乎逻辑的学科，应当是由⼀组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这⼀学科的其他所有命题。

非欧几何（Non-Euclidean geometry）简介福州大学林鸿仁非欧几何就是非欧几里得几何，是针对欧几里得几何而言的，非欧几何通常指的是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。

众所周知，素有“几何之父”之称的古希腊的数学家欧几里得( Euclid，希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年-前275年）有一本传世之作叫《几何原本》，已经传了两千多年了。

其中的基本内容，至今还是我们孩子们学习的课程，包括《平面几何》和《立体几何》。

西方的几何学大概兴于公元前7世纪的古埃及，对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，几何是在测量地块中获得的，是一种经验的几何知识，所以大都十分零散杂乱，缺乏系统。

古希腊的欧几里得首先觉察到，很有必要对这些“上帝的杰作”进行整理，于是特地到古埃及的亚历山大，收集整理并于公元前3世纪写成《几何原本》这一巨著，开创了数学理论的系统化逻辑化的先河，除了使几何成为一门独立学科之外，也成为西方科学研究方法的典范。

欧几里得的《几何原本》全书共分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。

在每一卷中，欧几里得都采用了完全不同的叙述方式，先提出公理、公设和定义，再将命题进行逻辑推理和证明。

他先后对直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何等进行系统的论述。

在这里，作为定义的基本概念，如点、线、面、直角等，已不是具体的图形或图像，而是抽象的一般概念；推演定理的方法，也尽量避开直观，而采用“三段论式”的逻辑方法。

欧几里得的成功之处在于，从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，用很少的几个公理公设，令人信服地推出了很多的定理，而且它们与现实世界又是一致的。

欧几里得建立的这一个几何学公理体系一直受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范。

因此，在相当长的历史时期里，人们一直把几何称为“欧几里得几何”简称“欧氏几何”，并把它奉为金科玉律。

但由于时代的局限，他的5条公设中的第5条一直被质疑。

罗巴切夫斯基几何的发现过程1893年，在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的塑像。

这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始人——罗巴切夫期基。

非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。

不过，这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的一段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞美，反而遭到种种歪曲、非难和攻击，使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认。

罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。

欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一，它是由古希腊学者最先提出来的。

公元前三世纪，希腊亚历山大里亚学派的创始者欧几里得集前人几何研究之大成，编写了数学发展史上具有极其深远影响的数学巨著《几何原本》。

这部著作的重要意义在于，它是用公理法建立科学理论体系的最早典范。

在这部著作中，欧几里得为推演出几何学的所有命题，一开头就给出了五个公理(适用于所有科学)和五个公设(只应用于几何学)，作为逻辑推演的前提。

《几何原本》的注释者和评述者们对五个公理和前四个公设都是很满意，唯独对第五个公设（即平行公理）提出了质疑。

第五公设是论及平行线的，它说的是：如果一直线和两直线相交，且所构成的两个同侧内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的一侧相交。

数学家们并不怀疑这个命题的真实性，而是认为它无论在语句的长度，还是在内容上都不大像是个公设，而倒像是个可以证明的定理，只是由于欧几里得没能找到它的证明，才不得不把它放在公设之列。

为了给出第五公设的证明，完成欧几里得没能完成的工作，自公元前3世纪起到19世纪初，数学家们投入了无穷无尽的精力，他们几乎尝试了各种可能的方法，但都遭到了失败。

罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的。

开始他也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明。

三大数学危机数学危机是数学公理在定义上的不完全或不够严谨，导致在理性推论下，将会得到错误的结论。

例如：在无理数还没被发现之前，在毕氏定理中出现腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度，竟是无法写成有理数的数。

这是第一次数学危机。

第二次数学危机得解决微积分引入无穷小量而产生的极值问题（飞矢不动的悖论）。

第三次数学危机则是因罗素悖论而起，罗素悖论点出了数学集合论中的缺失。

飞矢不动悖论是古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论中的一个。

人们通常把这些悖论称为芝诺悖论。

芝诺提出，由于箭在其飞行过程中的任何瞬间都有一个暂时的位置，所以它在这个位置上和不动没有什么区别。

中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。

芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？”“那还用说，当然是动的。

”“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。

可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”“有的，老师。

”“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。

”“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”“不动的，老师”“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”“也是不动的，老师”“所以，射出去的箭是不动的？”罗素悖论（Russell's paradox），也称为理发师悖论，是罗素于1901年提出的悖论，一个关于类的内涵问题。

罗素悖论当时的提出，造成了第三次数学危机。

理发师悖论”悖论内容一位理发师说：“我只给不给自己刮脸的人刮脸。

”那么他是否给自己刮脸呢？如果他给的话，但按照他的话，他就不该给自己刮脸；如果他不给的话，但按照他的话，他就该给自己刮脸。

于是矛盾出现了。

罗素悖论我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。

但这样的企图将导致悖论：罗素悖论：设性质P(x)表示“”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“”。

非欧几何的发现与建立的心路历程及其启示摘要：简述非欧几何的创立——从数学内部矛盾的引发、提出反问题、演绎出一个“不合常理”的体系、证明这个体系和确立非欧几何.在此基础上，阐述其对数学科学研究和数学教育研究的重要意义和影响.关键词：非欧几何；欧氏几何；“第五公设”；历程；启示Thediscoveryandtheprocessoftheestablishmentofnon-Euclideangeometryandits’InspirationLI Yi，LIN Li-yun(Department of Mathematics，Zhangzhou Teachers’College，Zhangzhou 363000，China)Abstract: This paper describes the creation of non-Euclidean geometry——it causes by the internal contradictions of mathematics 、make a counter question、deductive a “Irrational” s ystem、prove this system and establish the non-Euclidean geometry. On this basis，it describes the research’significance and impact to the mathematics research and mathematics education research.Key words: non-Euclidean geometry; Euclidean geometry; “The fifth postulate”; process; Inspiration.非欧几何在数学发展史上具有重要的地位。

它打破了欧氏几何的权威，使得几何学得到极大扩展，尤其是将公理化方法表现得淋漓尽致.另外，非欧几何艰难的发现历程同样具有研究的价值.本文尝试重新阐述非欧几何发现的心路历程，力图寻找出发现所面对的困难以及解决所使用的方法论，从而揭示非欧几何创立的完整过程，但不拘泥于细枝末节.在此基础上，结合数学科学研究和数学教育研究，提出一些启示。

数学家：欧几里得的故事言传身教欧几里得大约生于公元前325年，他是古希腊数学家，他的名字与几何学结下了不解之缘，他因为编著《几何原本》而闻名于世，但关于他的生平事迹知道的却很少，他是亚历山大学派的奠基人。

早年可能受教于柏拉图，应托勒密王的邀请在亚历山大授徒，托勒密曾请教欧几里得，问他是否能把证明搞得稍微简单易懂一些，欧几里得顶撞国王说：“在几何学中是没有皇上走的平坦之道的。

”他是一位温良敦厚的教育家。

另外有一次，一个学生刚刚学完了第一个命题，就问：“学了几何学之后将能得到些什么？”欧几里得随即叫人给他三个钱币，说：“他想在学习中获取实利。

”足见，欧几里得治学严谨，反对不肯刻苦钻研投机取巧的思想作风。

在公元前6世纪，古埃及、巴比伦的几何知识传入希腊，和希腊发达的哲学思想，特别是形式逻辑相结合，大大推进了几何学的发展。

在公元前6世纪到公元前3世纪期间，希腊人非常想利用逻辑法则把大量的、经验性的、零散的几何知识整理成一个严密完整的系统，到了公元前3世纪，已经基本形成了“古典几何”，从而使数学进入了“黄金时代”。

柏拉图就曾在其学派的大门上书写大型条幅“不懂几何学的人莫入”。

欧几里得的《几何原本》正是在这样一个时期，继承和发扬了前人的研究成果，取之精华汇集而成的。

《几何原本》欧氏《几何原本》推论了一系列公理、公设，并以此作为全书的起点。

共13卷，目前中学几何教材的绝大部分都是欧氏《几何原本》的内容。

勾股定理在欧氏《几何原本》中的地位是很突出的，在西方，勾股定理被称作毕达哥拉斯定理，但是追究其发现的时间，在我国和古代的巴比伦、印度都比毕达哥拉斯早几百年，所以我们称它勾股定理或商高定理。

在欧氏《几何原本》中，勾股定理的证明方法是：以直角三角形的三条边为边，分别向外作正方形，然后利用面积方法加以证明，人们非常赞同这种巧妙的构思，因此目前中学课本中还普遍保留这种方法。

据说，英国的哲学家霍布斯一次偶然翻阅欧氏的《几何原本》，看到勾股定理的证明，根本不相信这样的推论，看过后十分惊讶，情不自禁地喊道：“上帝啊，这不可能”，于是他就从后往前仔细地阅读了每个命题的证明，直到公理和公设，最终还是被其证明过程的严谨、清晰所折服。