第二节映射

第二节 映射与有限集合的元素的个数数学中的对应关系非常多,如数轴上的点与实数的对应;平面上的点与坐标的对应;函数与图象的对应等,这些对应有的是单值对应,也有的是一一对应,我们把集合A 到B 上的单值对应称为映射.在数学竞赛中恰当地利用映射方法解题,可以使问题简单具体,往往会出奇制胜.本节我们来初步地了解一个映射与集合中的计数问题.【基础知识】一. 有限集合的元素的个数问题我们首先约定:若X 是一个有限集,则X 内所含的全部元素的个数用)(X Card 表示. 如果A 、B 、C 是任意的三个有限集,那么有以下几个公式(容斥原理):(1))()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=;(2) )()()()()()(C B Card B A Card C Card B Card A Card C B A Card --++= )()(C B A Card C A Card +-.(3) )()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=(4)若A B ≠⊂,则)()()(B C Crad A Crad B Crad A -= (5) =)(C B A Card )()()()(C Card B Card A Card C B A Card --- )()(C B Card B A Card ++)(C A Card +二．映射1．映射的概念设A 、B 是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一的元素y 与之对应,那么就称这种对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping).其中元素x 称为这个映射的原象,y 为x 在这个映射下的象.2．关于映射的理解理解映射B A f →:的关键是抓住集合A 中的元素在集合B 中的象的存在性和唯一.根据映射中象与原象的不同状态，有下面几种很常用的特殊映射：(1)满射：如果在映射B A f →:下，集合B 中每一个元素在集合A 中都至少有一个原象，那么称映射B A f →:为A 到B 的满射.(2)单射：如果在映射B A f →:下，集合A 中不同元素在B 中有不同的象，那么称映射B A f →:为A 到B 的单射.(3)双射:如果映射B A f →:同时是A 到B 上的满射和单射,那么称映射B A f →:为A 到B 的双射,即一一映射.(4)如果f 为满射且任何B b ∈,都有A 中的m 个元素m a a a ,,,21 ,使得b a f i =)((m i ,,2,1 =),则称f 为m 的倍数映射.3.映射中的计数问题(1)对于满射B A f →:,显然有).()(B Card A Card ≥(2)对于单射B A f →:,显然有).()(B Card A Card ≤(3)配对原理:如果存在集合A 到集合B 上的双射,那么满射B A f →:,显然有).()(B Card A Card =(4)如果f 为m 的倍数映射,则).()(B mCard A Card =【典例精析】【例1】试问在1，2，……，100中能3或4或5整除的数共有多少？〖分析〗先分析能被3或4整除的数.在1，2，……，100中能被3整除的数有33个，能被整除的数有25个，同时被3且被4整除的数有8个，从而在1，2，……，100中能被3或4整除的数共有33+25-8=50个.根据此种思路，即可求解本题.【解】设全集}100,,2,1|{ ==x x U ，U x x A i ∈=|{且x 被i 整除}).5,4,3(=i 令543A A A A =，则所求的数为)()()()(43543A Card A card A A A Card A Card +== )()()()()(5435453435A A A Card A A Card A A Card A A Card A Card +---+ =33+25+20－601568==--.从而知在1，2，……，100中能3或4或5整除的数共有60个.〖说明〗本题主要考查容斥原理的应用.【例2】一次会议中有1990位数学家参加，每人至少有1327位合作者.求证：可以找到4位数学家，他们中每两个人都合作过.【解】记数学们为)1990,,2,1( =i v i ，与i v 合作过的数学家组成集合i A .任取合作过的数学家21,v v ，由.1990)(,1327)(,1327)(2121≤≥≥A A Card A Card A Card 得： .0199021327)()()()(212121>-⨯≥-+=A A Card A Card A Card A A Card 从而存在数学家213A A v ∈且.,2313v v v v ≠≠又])[()()()(321321321A A A Card A Card A A Card A A A Card -+=.119901327)199021327(=-+-⨯≥从而存在数学家3214A A A v ∈且142434,,v v v v v v ≠≠≠，从而可知4321,,,v v v v 两两合作过.〖说明〗本题的实质是证明φ≠321A A A ，通过容斥原理的计算来完成.【例3】称有限集S 的所有元素的乘积为S 的“积数”.给定数集}.1001,,31,21{ =M 求数集M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和.〖分析〗数集M 的所有子集的积数之和为.1)10011()311)(211(-+++ 设数集M 的所有含偶数个元素的子集的积数和为x ，所有含奇数个元素的个子集的积数之和为y ，则=+y x.1)10011()311)(211(-+++ 只需再建立一个关于y x ,的方程，就可解出.,y x 【解】设数集M 的所有含偶数个元素的子集的积数之和为x ，所有含奇数个元素的子集的积数之和为y ，则=+y x .1)10011()311)(211(-+++ 又=-y x .1)10011()311)(211(---- 所以.10099,299-=-=+y x y x 解得.2004851=x 【例4】设集合}|),{(|},||),{(a x y y x B x a y y x A +====，若2)(=B A C r ad ，求实数a 的取值范围.【解】当0>a 时，画出草图，如图.由图可知当且仅当1>a 时，直线a x y +=与两条射线||x a y =有两个交点，即B A 仅有两个元素；当0<a 时，同理可得当且仅当1-<a 时，B A 有两个元素.从而实数a 的取值范围为.1||>a【例5】有1987个集合，每个集合有45个元素，任意两个任意的并集有89个元素，问此1987个集合的并集有多少个元素?〖分析〗由每个集合有45个元素，且任意两个集合的并集有89个元素知，任意两个集合有=y )0(>+a a x )0(<+a a x且只有一元素.【解】显然可以由题设找到这样的1987个集合，它们都含有一个公共元素a ，而且每个两个集合不含a 以外的公共元素.下面我们来排除其它可能性：由任意两个集合的并集有89个元素可知，1987个集合中的任意两个集合有且只有一外公共元素，则容易证是这1987个集合中必有一个集合A 中的元素a 出现在A 以外的45个集合中，设4521,,,A A A ，其余的设为.,,,19864746A A A设B 为.,,,19864746A A A 中的任意一个集合，且B a ∉，由题设B 和A ,4521,,,A A A 都有一个公共元素,且此46个元素各不相同,故B 中有46个元素,与题设矛盾!所以这1987个集合中都含有a .故所求的结果为1987×44+1=87429,即这1987个集合的并集有87429个元素.〖说明〗这里我们先设计一种符合题设的特殊情形,然后再排除其可能的情形,从而达到解题的目的,这是一种“先猜后证”的解题策略，应注意加以强化.【例6】怎样证明集合},,,{21n a a a S =的全体子集的个数为.2n〖分析〗本题限定利用一一映射的知识加以解决，因此首先应建立一个集合S 与其到自然数子集}12,,1,0{-n间的一一映射.【证明】将集合S 的每一个子集合)0,1}(,,,{2121n m n i i i a a a m i i i m ≤≤≤≤≤≤ 与一个二进制数2)(21m i i i b b b 相对应，使得121===m i i i b b b ，而其余的),,(021m k i i i k b ≠=.在这种对应下，空集φ映射于0)000(2= ，而全集映射于2)111( =12-n ，其余的子集合映射于2)000( 与2)111( 之间的某一个确定的二进制数，容易验证这种映射是从S 的全体子集到自然数的子集}12,,1,0{-n间的一一映射，所以子集合的个数为.2n 〖说明〗本题将集合中的元素与自然数集建立起了一种一一映射，这种建立一一映射的方法在竞赛中是常用的.这个问题也可以这样来解决，子集合中元素个数为k 的子集合个数是),,2,1,0(n k C k n =，所以全体子集的个数是，并且这种方法也是常见的证法.【例7】如图所示，将8×8的国际象棋棋盘的左上角和右下角都剪去一个方格，问剪去两角的棋盘能否用31个1×2的矩形完全覆盖?〖分析〗如果将问题改为能否用32个1×2的矩形将8×8的国际象棋棋盘完全覆盖，这将一个十分容易的问题，可以找到很多种方法.但是要注意这种不同的完全覆盖的方法的个数却是一个十分困难的问题.M·E·Fischer 于1961年处出了这个数字等于12988816=24×9012. 但是能过尝试可以发现，要找到一个将剪去两个角的国际象棋棋盘完全覆盖的方法却是十分困难的.虽然剪去两个角的棋盘和原来的棋盘相差“不大”，然而前者却不能完全覆盖不定期个问题用一一映射的概念就可以迎刃而解了.【解】首先我们注意到一个1×2的矩形，不论用什么样的覆盖方法，它必覆盖住棋盘的一个黑格与一个白格.假定能用某种方法用31个1×2的矩形完全覆盖，那么这种覆盖方法实质上就是在剪过的棋盘上的黑格和白格之间建立了一个一一映射.这说明剪过的棋盘上的黑格和白格是一样多的.然而，实际上剪过的棋盘上还有32个黑格和30个白格.这一矛盾说明不能用1×2的矩形将剪过的棋盘完全覆盖.〖说明〗本题与上节的例1一样，也是利用一一映射处理问题，这种处理方法在数学竞赛中是最常用的方法之一，应重点掌握.【例8】集合A 和B 分别由适合如下条件的所有五倍数构成：对于集合A 中的每一个数，其各位数字之和或者加1或者减1之后是5的倍数；对于集合B 中的每一个数，其各位数字之和或者是5的倍数，或者是减去2之后是5的倍数.证明：集合A 和集合B 中所含的元素个数相等.〖分析〗若要证明两个集合所含的元素个数相同，只需在两个集合之间建立一种一一映射即可.【解】分别用)(),(βαS S 表示βα,的数字和.对αβα-=∈109999,A 是五位数，并且 )5(mod 146109999)()(≡=++++=+βαS S ，因此0)(),5(mod 1)(≡±≡βαS S 或)5(mod 2，即.B ∈β反之，设B ∈β，则A ∈-=βα109999.因此对应αα-→109999是A 、B 之间的一一对应，从而).()(B Card A Card =〖说明〗建立一一映射证明两集合的个数相同，是奥林匹克数学竞赛中常用的方法，应重点掌握.【例9】设3021,A A A ，， 是集合}2003,,2,1{ 的子集，且660)(≥i A Card （30,,2,1 =i ）.求证：存在}30,,2,1{,, ∈≠j i j i ，使得.203)(≥j i A A Card【证明】不妨设每一个i A 的元素都为660个（否则去掉一些元素）.作一个集合、元素的关系表：表中每一行（除最上面的一行外）分别表示30个集合3021,A A A ，，，表的n 列（最左边的一列除外）分别表示2003个元素1，2，……，2003.若)301,2003,,2,1(≤≤=∈j i A i j ，则在i 所在的列与j A 所在行的交叉处写上下班1，若j A i ∉，则在交叉处写上0.如下表：表中每一行有660个别，因此共有30×660个1.设第j 列有j m 个1（2003,,2,1 =j ），则有.6603020031⨯=∑=j j m由于是每个元素j 属于2j m C 个交集t s A A ，因此，.)(301200312∑∑≤<≤==t s t s j m A ACrad C j 由柯西不等式=∑=200312j m j C -∑=200312(21j j m )20031∑=j j m 20031(21≥)(20031∑=j j m ∑=-200312)j j m 所以必有j i ≠满足：211)(230⨯≥C A A Card j i 20031()(20031∑=j j m ∑=-200312)j j m =202200329)200366030(660>⨯-⨯， 所以.203)(≥j i A A Card〖说明〗本题中所作的表，称为元素、集合的从属关系表，它在讨论涉及多个集合的问题时经常采用.【例10】（首届东南地区竞赛）n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛.但是如果一周内某球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛，求n 的最大值.(注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛.)【解】如下表所示：表格中的“*”表示该球队在该周有主场比赛，不能出访.容易验证，按表中的安排，6下面证明7支球队不能在四周内完成比赛.设)7,6,5,4,3,2,1(=i S i 表示i 号球队的主场比赛周次的集合.假设4周内能完成比赛，则S i 是{1，2，3，4}的非空真子集.一方面由于某周内该队有主场比赛，在这一周内不能安排该球的客场比赛，所以)7,6,5,4,3,2,1(=i S i 中，没有一个集合是另外一个集合的子集.另一方面，设}}4,3,1{},3,1{},3{{}},4,3,2{},3,2{},2{{}},3,2,1{},2{},1{{===C B A }}4,3{{}},4,2{{}},4,2,1{},4,1{},4{{===F E D由抽屉原理，一定存在j i S S j i j i j i ,},5,4,3,2,1{,,,,∈≠属于同一集合A 或B 或C 或D 或E 或F ，必有j i S S ⊆或j i S S ⊇发生.所以n 的最大值是6.〖说明〗本题是例9的深入延伸，先能过表格得出一个确定的值，再证明大于（小于）这个数的不能成立，这是求解最值问题的常用方法.【例11】（1992年全国高中数学联赛）设集合},,2,1{n S n =.若X 是n S 的子集，把X 中的所有数的和称为X 的“容量”（规定空集的容量为0）.若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集.（1）求证：n S 的奇子集与偶子集的个数相等.（2）求证：当3≥n 时，n S 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.（3）当3≥n 时，求出n S 的所有奇子集的容量之和.〖分析〗要证明两个集合的元素一样多，一种方法是直接将两个集合中的元素个数算出来，另外一种方法是在这两个集合之间建立一个一一映射.这里我们采用第二种方法解决.【解】(1)设A 是n S 的任一奇子集，构造映射f 如下：}1{-A A ，若A ∈1；}1{ A A ，若A ∉1.（注：}1{-A 表示从集合A 中去掉1后的集合）所以映射f 是将奇子集映为偶子集的映射.易知，若21,A A 是n S 的两个不同的奇子集，则)()(21A f A f ≠，即f 为单射.又对n S 的每一个偶子集B ，若B ∈1，则存在}1{\B A =，使得B A f =)(；若B ∉1，则存在}1{ B A =，使得B A f =)(，从而f 是满射.所以f 是使得n S 的奇子集的组成的集到n S 的偶子集所组成的集之间的一一对应，从而n S 的奇子集与偶子集的个数相等，故均为12221-=⋅n n 个. （2）设)(n n b a 表示n S 中全体奇（偶）子集容量之和.若)3(≥n 是奇数，则n S 的奇子集由如下两类构成：①1-n S 的奇子集；②1-n S 的偶子集与集}{n 的并，于是可得：)2(21--⋅++=n n n n n b a a （*）又n S 的偶子集可由1-n S 的偶子集和1-n S 的偶子集与集}{n 的并构成，所以：)2(21--⋅++=n n n n n a b b （**）由（*）、（**）便可得.n n b a =若)4(≥n 是偶数，同上可知：)2(211---⋅++=n n n n n a a a)2(211---⋅++=n n n n n b b b由于1-n 是奇数，由上面已证11--=n n b a ，从而.n n b a =综上即知，).,3,2( ==n b a n n（3）由于n S 的每一个元素均在12-n 个子集n S 中出现，所以n S 的所有子集容量之和为)1(2)21(221+=+++--n n n n n又由（2）知n n b a =，所以).1(2)1(22132+=+⋅=--n n n n a n n n 〖说明〗对于第（2）小题的证明，建立了递推关系，这是解决“计数”问题的一个有效的方法.【例12】（2003年IOM 试题）设A 是集合}1000000,,2,1{ =S 的恰有101个元素的子集.证明：在S 中存在数10021,,,t t t ，使得100,,2,1},|{ =∈+=j A x t x A j j 中，每两个的交集为空集.〖分析〗先弄清在什么情况下φ≠j i A A .设∈a j i A A ，则.,,A y x t y t x a j i ∈+=+=于是x y t t j i -=-.这说明选取10021,,,t t t 时，只要保证其中任意两个之差不等于A 中任二元素之差即可.【解】考虑集合},|{A y x y x D ∈-=，则.101011100101)(=+⨯≤d Crad若φ≠j i A A ，设∈a j i A A ，则j i t y a t x a +=+=,，其中A y x ∈,，则D x y t t j i ∈-=-. 若D t t j i ∈-，即存在A y x ∈,，使得x y t t j i -=-，从而j i t y t x +=+，即φ≠j i A A . 所以φ≠j i A A 的充要条件是D t t j i ∈-.于是我们只需在集合S 中取出其100个元素，使得其中任意的两个的差都不属于D.下面用递推的方法来取出这100个元素.先在S 中任取一个元素1t ，再从S 中取一个元素,2t 使得}.|{221D x x t D t t ∈+=+∉这是因为取定1t 后，至多有10101个S 中的元素都不能作为2t ，从而在S 中存在这样的2t . 若已有)99(≤k 个S 中的元素k t t t ,,,21 满足要求，再取,1+k t 使得k t t t ,,,21 都不属于}.|{11D x x t D t k k ∈+=+++这是因为k t t t ,,,21 取定以后，至多有10101999999≤k 个S 中的数不能作为,1+k t 故在S 中存在满足条件的1+k t .所在在S 中存在10021,,,t t t ，其中任意两个的差都不属于D.综上所述，命题得证.〖说明〗条件610)(=S Card 可以改小一些.一般地，我们有如下更强的结论：若A 是S={1，2，3，……，n }的一个k 元子集，m 为正整数，满足条件n >(m －1)(12+k C )，则存在Ｓ中的元素m t t t ,,,21 ，使得m j A x t x A j j ,,2,1},|{ =∈+=中任意两个的交集为空集.这个结论是可以证明的，请读者自已试证之(见Ｂ组习题６).【赛向点拨】1.集合中的计数问题是最近几年竞赛试题中的常见问题，是综合考查集合知识的一个很好的出发点.2.映射方法是处理竞赛问题的一种非常重要的方法，将问题利用映射的方法重往往可以化难为易、化繁为简.3. 集合是组合数学的基础，也是高中数学竞赛中的重要组成部分.希望大家通过本讲学习开拓思路，灵活解题，另外，要想解好集合题目，相关知识也很重要.【针对练习】(A 组)1．某班期中考试中，数学优秀率为70%，语文优秀率为75%，则两门学科都优秀的百分率是（ ）A ．60%B ．55%C ．50%D ．45%2．已知集合A={2，4，6，8，9}，集合B={1，2，3，4，6，7}.又已知集合C 是这样的一个非空集合：若C 的各元素都加上2，则变为A 的一个子集；若C 的各元素都减去2，则变为B 的一个子集，则=)(C Card （ ）A ．9B ．8C ．7D ．63．(2002年全国高中数学赛)已知两个实数集合A ＝｛a 1,a 2,…,a 100｝与B ＝｛b 1,b 2,…,b 50｝，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f (a 1)≤f (a 2)≤…≤f (a 100)则这样的映射共有（ ）个.A ．C 50100 B.C 4899 C.C 49100 D.C 49994．设},1|{,2)(2Z n n n n A x x x f ∈≤≤=-+=，}),(|{A n n f y y B ∈==，则集合 }|2{Z m m B ∈ 的元素的个数是（ ）A ．100B ．51C ．36D ．以上都不对5．（2007年江西预赛）正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为（ ）． A ．119 B. 120； C. 151； D.154.6．某班有50人，开设英语和日语两种外语.现规定每人至少选学一门，估计报英语的人数占全班总人数的80%~90%之间，报日语的人数占全班总人数的32%~40%之间.设M 是两门都学的人数的最大值，m 是两门都学的人数的最小值，则M －m = .7．已知集合},10000,2|{Z n n x x M n ∈≤≤==，把M 中最高位数字是1的数全部抽出出来，组成一个新的集合S ，则S 中的元素共有 个(3010.02lg =).8．已知映射B A f →:，其中集合}4,3,2,1,1,2,3{---=A ，其中集合中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意,A a ∈在B 中，和对应的元素是||a ，则集合B 中的元素的个数是 .9．一个自然数若与它的“反序数”相等，这个自然数就称为一个“魔幻数”.如3和1991都是“魔幻数”.在集合}20001,|{≤≤∈=x Z x x M 的元素中，去掉所有的“魔幻数”后，形成一个不含“魔幻数”的子集N ，则集合N 中的元素共有 个.10.（2007年山东省青岛市奥林匹克学校入学试题）开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？11.求1至250之间能被2、3、5和7中任何一个整数整除的整数的个数.12. n 个点n r r r ,,,21 顺次排在同一条直线上，每个点涂上黑色或白色.已知1r 和n r 分别涂上了白色和黑色.求证：相邻点间线段不同色的个数一定是奇数.（B 组）1.设,21m A A A A =},,,,{21m A A A R =若R 中每r 个元素的交集不空，而1+r 个元素的交集为空集，则：（1）)(A Card 至少是多少？（2）当)(A Card 最小时，)(i A Card 为多少？2.设Z 是平面上由)3(>n 个点组成的点数，其中任三点不共线，又设自然数k 满足不等式<2n .n k <如果Z 中的每个点都至少与Z 中的k 个点有线段相连，证明：这些线段中一定有三条线段构成三角形的三边.3. (2005年北方数学奥林匹克数学邀请赛)已知n 位数的各位数字只能取集合{}1,2,3,4,5中的元素，设含有数字５且在５的前面不含３的n 位数个数为()f n ，求()f n ．4.对于任何的集合S ，设)(S n 为集合S 的子集的个数.如果A 、B 、C 是三集合，满足下列条件： （1）)()()()(C B A n C n B n A n =++；（2）.100)()(==B Card A Card 求)(C B A Card 的最小值.5.（2006年山东省第二届夏令营试题）设T 是由10060的所有的正因数组成的集合，S 是T 的一个子集，其中没有一个数是另一个数的倍数，求)(S Card 的最大值.6. 若A 是S={1，2，3，……，n }的一个k 元子集，m 为正整数，满足条件n >(m －1)(12+k C )，则存在Ｓ中的元素m t t t ,,,21 ，使得m j A x t x A j j ,,2,1},|{ =∈+=中任意两个的交集为空集.【参考答案】（A 组）1．解：设班级人数为100，则两门学科中至少有一门优秀的总人数不大于100.由)()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=，可得70+75－)(B A Card 100≤,即.45)(≥B A Card故两门学科都优秀的百分率至少为%.452．解：逆向思维，即A 中各元素都减去2，得集合D={0，2，4，6，7}，集合B 中的各元素都加上2，得集合E={3，4，5，6，7，10}，因此集合C 是集合D 与集合E 的公共元素组成的集合G ={4，6，7}的真子集，这样的集合C 共有7123=-个.3. 解：不妨设b 1＜b 2＜…＜b 50，将A 中元素a 1,a 2,…,a 100按顺序分为非空的50组。

优秀参赛课件《映射》教案及说明(精华版)教案：《映射》教学内容：教材章节：数学五年级上册，第五章《图形与几何》，第二节《映射》。

内容描述：本节课主要介绍映射的概念，通过具体实例让学生理解映射的定义，以及映射的基本性质。

包括：映射的定义，一对一和多对一的映射，映射的性质等。

教学目标：1. 学生能理解映射的概念，掌握映射的基本性质。

2. 学生能通过具体实例，分析并判断出映射关系。

3. 学生能运用映射的知识，解决实际问题。

教学难点与重点：重点：映射的概念，映射的性质。

难点：理解一对一和多对一的映射，以及映射的应用。

教具与学具准备：教具：黑板，粉笔，多媒体课件。

学具：笔记本，彩笔。

教学过程：一、实践情景引入（5分钟）1. 教师通过多媒体展示几个实际问题，如地图上的距离与实际距离的对应关系，温度计上的温度与实际温度的对应关系等，引导学生思考对应关系的问题。

二、映射的概念（10分钟）1. 教师通过PPT展示映射的定义，一对一和多对一的映射，引导学生理解并区分。

2. 学生跟随PPT的示例，自主学习映射的性质，并尝试解答PPT上的练习题。

三、映射的应用（10分钟）1. 教师通过PPT展示几个应用映射解决实际问题的例子，如人口普查数据的分组显示，引导学生运用映射的知识解决问题。

2. 学生跟随PPT的示例，自主尝试解答PPT上的练习题。

四、随堂练习（10分钟）1. 教师给出几个映射的实际问题，如根据身高和鞋码的对应关系，判断某个学生的鞋码等，学生独立解答。

2. 学生分享解答结果，教师点评并解答疑问。

五、作业布置（5分钟）1. 教师布置几个映射的相关作业题目，如判断某个图形的映射关系，应用映射解决实际问题等。

板书设计：板书题目：《映射》板书内容：映射的定义一对一映射多对一映射映射的性质作业设计：答案：略课后反思及拓展延伸：1. 教师反思本节课的教学效果，是否达到了教学目标，学生对映射的概念和性质是否掌握到位。

2. 教师给出拓展延伸题目，如探索一对一和多对一映射在实际生活中的应用等，学生自主探究。

2.3 映射两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x 称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.谈重点映射定义的理解(1)映射中的集合A和B是非空集合，它们可以是数集、点集或由图形组成的集合以及其他元素的集合．(2)映射是一种特殊的对应，其特殊性在于：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这种集合A中元素的任意性和集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．对应关系常用图示或文字描述的方式来表达．(3)对应有“方向性”，即“从A到B的对应”与“从B到A的对应”一般是不同的，因此，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(4)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的像，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”．(5)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，也就是由像组成的集合C⊆B.【例1－1】给出下列四个对应，其中构成映射的是( )．A．(1)(2) BC．(1)(3)(4) D．(3)(4)解析：判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B 中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应，因此(2)和(3)不是映射，故选B.答案：B解技巧判断映射的技巧映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．【例1－2】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥1，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；(3)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝10 00xx≥⎧⎨<⎩，，，；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝(5)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f为矩形到它的面积的对应；(6)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应关系f为x→1||x.解：(1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3按对应关系f，在B中没有元素和它对应，故(1)不是映射．(2)∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对任意的x，总有y≥1.又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.∴当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B .∴对A 中每一个元素x ，在B 中都有唯一的y 与之对应，故(2)是映射．(3)按照对应关系f ，在A 中任意一个非负数，在B 中都有唯一的数1与之对应；在A 中任意一个负数，在B 中都有唯一的数0与之对应，故(3)是映射．(4)对任意的x ∈A ＝{x |x ＞0}，按对应法则f ：x →y＝y ∈B ＝{y |y ∈R }，即y =和y =(4)不是映射．(5)∵对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，∴对于集合A 中的每一个矩形，B 中都有唯一的实数与之对应，故(5)是映射．(6)∵实数0的绝对值还是0，其没有倒数，∴对于A 中的实数0，B 中没有元素与之对应，故(6)不是映射．2．一一映射的概念若从A 到B 的映射满足下列条件：①A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；②A 中的不同元素的像也不同；③B 中的每一个元素都有原像．就称此映射为一一映射．有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作一一对应．映造出多少个映射？其中有多少个一一映射？分析：可根据映射的定义，构造从集合A 到集合B 的映射，即让A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应．从集合A 到集合B 的映射，若对应关系不同，则所得到的映射不同．最后依据一一映射的概念从中数出一一映射的个数．解：从集合A 到集合B 可构造如下映射(其中的对应关系用箭头表示)：(3)，A 到集合B 能构造出4个映射，其中有2个一一映射．【例2－2】若M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤1}，下列对应关系f ：x →y 是从M 到N 的一一映射的是( )．A ．12y x =B ．13y x = C ．212y x = D ．y ＝(x －1)2 解析：一一映射首先是映射，其次是A 中的不同元素在B 中的像不同，且B 中的每一个元素在A 中都有原像，只有满足这三个条件的对应关系，才是从A 到B 的一一映射．在选项A 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤1，对于集合M 中的每一个元素在N 中都有唯一的像与之对应，且M 中的不同元素的像也不同，N 中的每个元素都有原像，符合一一映射的三个条件；在选项B 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤23，所以集合N 中的元素y ∈213y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭在M 中没有原像；在选项C 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤2，所以集合M 中的元素x ∈{x x ≤2}在N 中没有像；在选项D 中，当x ＝0和2时，都有y ＝1，所以集合M 中的不同元素的像可能相同，故选A.(1)函数包括三要素：定义域、值域、两者之间的对应关系；映射包括三要素：非空集合A 、非空集合B 以及A ，B 之间的对应关系．(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个非空集合中的元素为任意元素，如人、物、命题等都可以．(3)在函数中，对定义域中的每一个数x ，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应，在映射中，对集合A 中的任意元素a 在集合B 中都有唯一确定的像b 和它对应．(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；在映射中，对于集合B 中的任一元素b ，在集合A 中不一定有原像．(5)函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．函数概念可以叙述为：设A ，B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫作A 到B 的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．【例3】下列对应是不是从A 到B 的映射？是不是从A 到B 的函数？(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝11x +；(2)A ＝{三角形}，B ＝{圆}，f ：三角形的内切圆； (3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →x 2＋y 2＝1.分析：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、对应关系是否为映射．解：(1)当x ＝－1时，y 的值不存在，所以不是映射，更不是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，也是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，则由x 2＋y 2＝1，得y ＝±1，即A 中的一个元素0与B 中的两个元素±1对应，因此(4)不是A 到B 的映射，也不是从A 到B 的函数．警误区关系式x＝1是函数吗？有的同学问：关系式y＝1是y关于x的函数，那么关系式x＝1是y关于x的函数吗？函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y ∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．4．像与原像的求解问题(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y，则y称为像，而x叫原像．(2)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像．对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像；也可根据对应关系式，由像逆推出原像．解答此类问题，关键是：①分清原像和像；②搞清楚由原像到像的对应关系．例如：已知M＝{自然数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1(b∈P)．则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________；P中的元素11对应着M中的元素________．∵2×11－1＝21，∴M中的元素11对应着P中的元素21.由2a－1＝11，得a＝6，∴P中的元素11对应着M中的元素6.【例4－1】已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )．A．18 B．30 C．272D．28解析：由题意，可知64,910,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得a＝2，b＝－8，∴对应关系为y＝2x－8.故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.答案：B【例4－2】已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y ＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像．分析：解答(1)可利用x＝1，y＝2代入对应关系求出3x－2y＋1与4x＋3y－1的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组321=1431=2x yx y-+⎧⎨+-⎩，，求出x，y的值便可．解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9，故A中元素(1,2)的像为(0,9)．(2)令32114312x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，，得6,179.17xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故B中元素(1,2)的原像是69, 1717⎛⎫ ⎪.(1)一般地，若集合A中含有m个元素，集合B中含有n个元素，则从A到B的映射有n m个，从B到A的映射有m n个．例如：求集合A＝{a，b，c}到集合B＝{－1,1}的映射的个数．按照映射的定义，A中元素可都对应B中同一个元素，即a→－1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→1，共有2个不同的映射；A中元素也可对应B中两个元素，即a→－1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→1，共有6个不同的映射，综上可知，从A到B的映射共有2＋6＝8＝23个．以后可以根据两个集合中元素的个数直接计算映射的个数．(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图像法、数形结合等)．例如，设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．要确定映射f，则只需要确定M中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值．而f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，还满足f(a)＋f(b)＝f(c)，因此要确定这样的映射f的个数，则只需要确定由－1,0,1能组成多少个等式( )＋( )＝( )．注意到映射不要求N中元素一定要取完，因而可通过列表把f(a)，f(b)，f(c)的取值情况表示出来．【例5－1】集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．解析：由于f(3)＝3，因此只需考虑剩下的两个元素1和2的像的问题，总共有如图所示的4种可能(也可直接利用公式得到这样的映射共有22＝4个)．答案：4【例5－2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．解析：要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)， f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是23个．答案：3【例5－3】设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．解析：因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．答案：27 6。

第二讲 映射及映射法知识、方法、技能1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.显然有（f —1）—1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f .事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的. 任给b a f A a =∈)(,设，则a b f=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f —1下的原象，即f —1(b)=a ，所以，f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .赛题精讲Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a ff f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.【略解】由f 的定义和已知数据，得 ⎩⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u 同理，由.9)(,3)(223,221]1127[,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=x y y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.图Ⅰ－1－2－1【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.集合A 为直线x y x y 333==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：},36,,0|)sin ,cos {(πθπρρθρθρ<<∈≠=R A }.20,,0|)sin ,cos {(πϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23πθϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3,6(ππθ∈ ).2,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.Ⅱ映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠≠⊂∈-=''→⊂令 于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为.))()((21)(111∑∑=='+=ni i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接 B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:. 下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(42+==n C B card A card加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C 例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y card 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+<n f n f 格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖；（iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:ϕ，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有 )()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.【解法1】存在，首先有一条链.1→2→3→5→8→13→21→… ①链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足n n f n f f +=)())(( ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链.对于①中的数m>n ，由①递增易知有n m n f m f -≥-)()( ③我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1)()1(+=+k f k f ④这链中其余的数由②逐一确定.对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(([由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.若n 属于新链，在n=k+1时，.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------第二讲映射及映射法第二讲映射及映射法知识、方法、技能 1．映射的定义设A， B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的映射，记作（1）映射是特殊的对应，映射中的集合 A， B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是截然不同的. （2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了. （3）映射包括集合 A 和集合 B，以及集合 A 到 B 的对应法则 f，三者缺一不可. （4）对于一个从集合 A 到集合 B 的映射来说， A 中的每一个元素必有惟一的，但 B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个. 2．一一映射一般地，设 A、 B 是两个集合，是集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射下，对于集合 A 中的不同元素，在集合 B 中有不同的象，而且 B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射. 3．逆映射如果 f是 A 与 B 之间的一一对应，那么可得 B 到 A 的一个映射 g：任给，规定，其中 a 是 b 在 f下的原象，称这个映射 g 是 f的逆映射，并将 g 记为 f1. 显然有（f如果 f 是 A 与 B 之间的一一对应，则 f是 f. 事实上， f同，所以 b1和 b2在 f1）1= f，即 1是 B 与 A 之间的一一对应，并且 f11 / 9的逆映射1是 B 到 A 的映射，对于 B 中的不同元素 b1和 b2，由于它们在 f下的原象不1下的像不同，所以 f1是 1－1 的. 任给设，则这说明 A 中每个元素 a 在 f1都有原象.因此， f1是映射上的. 这样即得 f1是 B 到 A 上的 1－1 映射，即 f1是 B 与 A 之间一一对应.从而 f1有逆映射由于任给设，其中 b 是 a 在 f1下的原象，即f1(b)=a，所以， f(a)=b，从而得),()(，这即是 f1的逆映射是 f. 赛题精讲Ⅰ 映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题. 例 1：设集合集合Z映射 f：FZ.使得 vuyxvxyuyxvucdabdcbafff,,,,66),,,( ,39),,,(.已知),,,(求的值. 【思路分析】应从入手，列方程组来解之. 【略解】由 f的定义和已知数据，得将两式相加，相减并分别分解因式，得显然，在的条件下，可见但即对应可知. 5)( ,同理，由. 9)( ,uvy又有知对应地，于是有以下两---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------3 / 9 种可能：（Ⅰ ）（Ⅱ ）由（Ⅰ ） 解出 x=1， y=9， u=8， v=6； 由（Ⅱ） 解出 y=12， 它已超出集合 M 中元素的范围.因此， （Ⅱ ） 无解. 【评述】 在解此类问题时， 估计取值范围的讨论十分重要的可能值是关键， 其中， 对它们的例 2：已知集合和集合求一个 A 与 B 的一一对应 f ， 并写出其逆映射. 图Ⅰ －1－2－1 【略解】 从已知集合 A ， B 看出， 它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ －1－2－1） . 集合 A 为直线和所夹角内点的集合， 集合 B 则是第一、 三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使 A 区域拓展成 B 区域， 并要没有折叠 与漏洞 .先用极坐标表示集合 A和B ：令在这个映射下， 极径没有改变， 辐角之间是一次函数， 因而和之间是一一对应， 其中所以， 映射 f 是 A 与 B 的一一对应. 逆映射极易写，从略. 【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握. Ⅱ 映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题. 例 3：设 X={1， 2，， 100}，对 X 的任一非空子集 M， M 中的最大数与最小数的和称为 M的特征，记为).(Mm求 X 的所有非空子集的特征的平均数. 【略解】设令于是是X 的非空子集的全体（子集组成的集）， Y 到 X 自身的满射，记 X 的非空子集为 A1， A2，， An（其中 n=2100－1），则特征的平均数为由于 A 中的最大数与 A 中的最小数的和为 101， A 中最小数与 A 中的最大数的和也为101，故从而特征平均数为如果 A， B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为说，如果 f是单射，则有card果 f是双射，则有)(Acard).(),(BcardcardA对于映射(ABAf来)()(Bcard).这在计算集合 A 的元素的个数时，有着重要的应用.即；如果 f 是满射，则有；如当)(Acard比较难求时，我们就找另一个集合 B，建立一一对应，把 B 的个数数清，就有这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例. 例 4：把△ABC 的各边 n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 些平等四边形的个数. 【略解】如图Ⅰ －1－2－2 所示，我们由对称性，先考虑边不行于 BC 的小平行四边形.把 AB 边和 AC 边各延长一等分，分别到 B ， C ，连接 B C .将 A B 的 n 条平行线分别延长，与 B C 相交，连同 B ， C 共有 n+2 个分点，从 B 至 C 依次记为 1， 2，， n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交 B C于 i， j， k， l.记 A={边不平行于 BC 的小平行四边形}，jiB 把小平行四边形的四条边延长且交边于四点的过程定义为一个映射：下面我们证明 f是 A 与 B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于的四点亦不全同.所以，四点组),,, (lkji亦不相同，从而 f是 A 到 B 的1－1 的映射. 任给一个四点组21 ，过 i， j 点作 AB 的平行线，过 k， l作 AC 的平行线，必交出一个边不平行于 BC 的小平行四边形，所以，映射 f是 A 到 B 的满射. 总之f是 A 与 B 的一一对应，于是有加上边不平行于 AB 和 AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是例 5：在一个 66 的棋盘上，已经摆好了一些 12 的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有 14 个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌. 【思路分析】还有 14 个空格，说明已经摆好了 11 块骨牌，如5 / 9果已经摆好的骨牌是 12 块，图Ⅰ －1－2－3 所示的摆法就说明不能再放入骨牌. 所以，有 14 个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有 14 个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题. 【略解】我们考虑下面 56 个方格中的空. 如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于 3 个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决. 现设第一行中的空格数最多是 3 个，则有，另一方面全部的骨牌数为11，即所以必有事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌. 【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见. 当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习. 例 6：设 N={1， 2， 3， }，论证是否存一个函数使得2) 1 ，对一切成立，格，即---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------7 / 9除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格， 考察它上方的与之相邻的方格中的情况. （1） 如果上方的这个方格是空格， 则问题得到解决. （2） 如果上方的这个方格被骨牌所占， 这又有三种情况. （i ） 骨牌是横放的， 且与之相邻的下方的另一个方格也是空格， 则这时有两空格相邻， 即问题得到解决； （ii ） 骨牌是横放的， 与之相邻的下方的另一个方格不是空格， 即被骨牌所覆盖； （iii ） 骨牌是竖放的. 现在假设仅发生（2） 中的（ii ） 和（iii ） 时， 我们记 X 为下面 56 个方格中的空格集合，Y 为上面 56 个方格中的骨牌集合， 作映射， 由于每个空格（X 中的） 上方都有骨牌（Y 中的）， 且不同的空格对应于不同的骨牌.所以， 这个映射是单射， 于是有 ， 对一切成立. 【解法 1】 存在， 首先有一条链. 123581321 ① 链上每一个数 n 的后继是)(nf ， f 满足 即每个数是它产面两个数的和， 这种链称为 f 链. 对于①中的数 mn ， 由①递增易知有 我们证明自然数集 N 可以分析为若干条 f 链， 并且对任意自然数 mn ， ③成立（从而)()）， 并且每两条链无公共元素） .方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》 江苏教育出版社） 设已有若干条 f 链， 满足③， 而 k+1 是第一个不在已有链中出现的数， 定义 这链中其余的数由②逐一确定. 对于 mn ， 如果 m 、 n 同属于新链， ③显然成立， 设 m 、 n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1 时，设对于 m，③成立，则由②易知即对新链上一切 m，③成立. 若 n 属于新链，在 n=k+1 时，设对于 n，③成立，在 mn 时， m 不为原有链的链首。