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第三讲 度量空间与连续映射

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点集拓扑教学大纲

点集拓扑教学大纲
了解内容：拓扑空间中的序列及其收敛性；边界；
重点：拓扑空间
难点：基与子基、邻域基
第一节：度量空间与连续映射
内容1度量空间的俄概念、n维欧氏空间Rn、Hilbert空间H、离散度量空间；
内容2邻域、开集；
内容3度量空间映射的连续性。
第二节：拓扑空间与连续映射
内容1拓扑空间定义
内容2平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间；
分
配
教学内容：
第一章：集合论初步４（学时数）
掌握内容：集合的基本运算，映射及其性质。
理解内容：关系；可数集、不可数集、基数。
了解内容：选择公理。
重点：集合的基本运算，映射及其性质；
难点：基数；选择公理。
第一节：集合及其运算
内容1集合、集合之间的关系；
内容2集合的运算
第二节：映射
内容1关系、等价关系；
第二节：（有限）积空间
内容1积拓扑、拓扑积空间的概念；
内容2积空间的基、子基
内容3开映射；积空间到分空间投射的性质、积拓扑的性质。
第三节：商空间
内容1商拓扑及其性质；
内容2商映射及其性质；
内容3商空间。
第四章：连通性６（学时数）
掌握内容：连通空间；
理解内容：局部连通、道路连通；
了解内容：连通空间、局部连通、道路连通的关系；
内容3分离性公理的有限可积性。
第六节：可度量化空间
内容1、Urysohn嵌入定理；
内容2、Hilbert空间的可分性；
。
内容3、可分的度量化空间的等价空间第七章：紧致性 Nhomakorabea（学时数）
掌握内容：紧致空间和紧致空间的等价条件；紧致性与分离性的关系；
了解内容：可数紧致、列紧、序列紧，局部紧致空间，仿紧致空间及其之间的关系

连续映射（拓扑学）

连续映射（拓扑学）

连续性还等价于基开集的原像是开集，也等价于子基 开集的原像是开集．
连续映射
第三章连续映 射
连续映射与同 胚
连续映射 同胚 焊接引理
商拓扑与商映 射
商拓扑 商映射
序列的收敛性
Proof. 在证明定理之前，我们首先回顾几个包含式（见命 题??）： 设f : X → Y 是任意映射，A ⊆ X , B ⊆ Y ，则有
设知f −1 f (A) 是X 闭集．所以
有A¯ ⊆ f −1 f (A) = f −1 f (A) ，于是
得f (A) ⊆ f f −1 f (A) ⊆ f (A)．
连续映射
第三章连续映 射
连续映射与同 胚
连续映射 同胚 焊接引理
商拓扑与商映 射
商拓扑 商映射
序列的收敛性
Proof. （4）⇒（5）：假设对X 的任意子集A，有f (A) ⊆ f (A)．下 证对Y 的任意子集B，有f −1 B ⊇ f −1(B)．对集 合f −1(B)应用假设条件，并注意f [f −1(B)] ⊆ B，得
连续映射
第三章连续映 射
连续映射与同 胚
连续映射 同胚 焊接引理
商拓扑与商映 射
商拓扑 商映射
序列的收敛性
Example
常值映射总是连续的． 恒等映射id : (X , T ) → (X , T )也是连续的，但恒等映 射id : (X , T1) → (X , T2)却不一定连续．比如当X 至少含两个 点，T1是平庸拓扑，T2是离散拓扑时，恒等映射就不连 续．一般来讲，恒等映射id : (X , T1) → (X , T2)连续的充分 必要条件是T2 ⊆ T1．
焊接引理
第三章连续映 射
连续映射与同 胚

拓扑空间总复习

拓扑空间总复习
2. 可数性 3. 分离性 4，紧致性
连通性，道路连通性与紧致性
连通性
遗传 无
可乘 有
道路连通性
无
有
紧致性
无
有
有闭遗传
连续映射下 有 有 有
遗传 有
可乘 有
可分空间
无
有
Lindeloff 空间 无
无
有闭遗传
连续映射下 满和开 有 有
分离性
正则性 正规性
遗传 有
可乘 有
有
有
无
无
有闭遗传
无
有
无
无
连续映射下 无
4.设X={ a, b, c, }， 则点b的邻域系为：
5.设X={ a, b, c, d}， 则下列子空间不连通的是：
6.设X={ a, b, c, d}，
则（X，T）的连通分支是：
7. 8. 9.
10 .
11 .
12 .
选择题
1
2
7
8 910ຫໍສະໝຸດ 11 12 1314
二，填空题
1. 在实数空间R中，有理数集Q的导集是 ( R )
拓扑空间总复习
基本概念
一. 度量空间 1. 度量空间的定义 2. 度量空间的其他概念 3. 度量空间中的连续映射 二. 拓扑空间的定义
1. 拓扑空间的定义（包括子空间与积空间 2，常见的拓扑 3. 拓扑空间的其他概念 4，拓扑空间的连续映射与同胚映射
三. 拓扑空间中的性质 1. 连通性与道路连通性
不是拓扑
6. 7. 8. Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．
9.
10 .
11 .
12 13 .
. 14

点集拓扑讲义.ppt

点集拓扑讲义.ppt
则称 是集合 X 的一个度量.
称 (X , ) 是一个度量空间. 在不至引
起混淆的前提下，迳称 X 是一个度量
空间； (x, y) 称为点 x 到 y 的距离.
3
常见度量空间
➢➢➢实实实数数数空集空间间R RR
设设 ::RRRRRR ,,对对于于任任意意xx,,yy∈∈RR,, 令令((xx,,yy))||xxyy||,,容容易易验验证证 是是 RR 的的
间间，，ff :: XX YY，，xx00 XX 则则下下述述条条件件
((11))和和((22))分分别别等等价价于于条条件件((11)) **和和((22))**：：
((11)) ff 在在点点 xx00 处处是是连连续续的的；；
((11))** ff ((xx00))的的每每一一个个邻邻域域的的原原象象是是
由由由于于于
AAA000AA是是A是一一一个个个使使使开开开得得得集集集xxx，，，从从从AAA而而而000 ,,存存,存在在在
AA
BBB(((xxx,,,))) 满满满足足足
BBB(((xxx,,,))) AAA000 UUU AAAAAA AAA
故故故AAUUUAA AAA是是是开开开集集集... AA 18
一一个个度度量量..
(R, )称为实数空间或直线.这
个度量称为 R 的通常度量，并且常常
迳称 R 为实数空间．
4
常见度量空间
➢➢➢nnn维重 重重欧笛 笛笛氏卡 卡卡空儿 儿儿间积 积积RRRnRnnn 定 定定义 义义 :::RRRnnn RRRnnn RRR
能对 对对够任 任任验意 意意证xxx(((xxx为111,,,xxx22R2,,,LLnL的,,,xxx度nnn)))， ，量，xxx，((称(yyy111,,,(yyyR222,,n,LLL, ,,,)yyynnn)))

第二章 拓扑空间与连续映射

第二章 拓扑空间与连续映射
2010-8-31 宁德师范高等专科学校 11
-1
2.3 邻域
定义2 定义2.3.1 设(X, T)是拓扑空间. x∈X, UX称为x 的邻域, 如果存在V∈T使x∈VU; 若U是开的, U称 为x的开邻域. 定理2.3.1 设UX. U是X的开集U是它的每一 定理2 点的邻域. 证 由定义得“”; 利用开集之并为开得 “” . x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系, 记为 Ux.
2010-8-31
宁德师范高等专科学校
9
2.2 拓扑空间与连续映射(3)
定义2 定义2.2.3 可度量化空间. 离散空间是可度量化空间. 多于一点的平庸空间不是可 度量化空间. 度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之 一. 本书将在§6.6中给出该问题的一个经典的解. 定义2 定义2.2.4 X, Y是两拓扑空间. f: X→Y. 称f连续, 若Y中每 -1 一开集U的原象f (U)是X中的开集. 定理2 定理2.2.1 恒同映射连续. 连续函数的复合是连续的. 定义2.2.5 f: X→Y称为同胚或同胚映射, 若f是一一映射且 定义2 -1 f及f 均连续.
设f是包含a的所有闭集之交20121027宁德师范高等专科学校2224定理249对度量空间x20121027宁德师范高等专科学校232420121027宁德师范高等专科学校2425定义251a的所有内点的集合称为a的内部记为a20121027宁德师范高等专科学校2525是a所包含的所有开集之并是含于a内的最大开集
2010-8-31 宁德师范高等专科学校 13
2.3 邻域(3)
利用邻域与开集的关系(定理2.3.1)导出开集, 从Ux(x∈X) 具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发, 定义 T={UX|x∈U, U∈Ux}, 则(X, T)是拓扑空间, 且这空间中每一点x的邻域系 恰是Ux. 详见定理2.3.3. 定义2.3.2(点连续) 映射f: X→Y称为在点x∈X连续, 如果U 定义2 -1 是f(x)在Y中的邻域, 则f (U)是x在X中的邻域. 定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出 的拓扑空间中的点的连续性的一致. 另一方面, 关于点的连 续性, 易验证(定理2.3.4), 恒等映射在每一点连续, 两点连续 的函数之复合仍是点连续的.

度量空间(距离空间)

度量空间(距离空间)

《度量空间》读书笔记金融数学10本 黄小听 17号关键词：度量空间 距离 连续映射 可分性 列紧性 完备性 完备化在数学分析中，当实数集R 中点列}{n x 的极限为x 时，用||x x n -来表示n x 与x 的接近程度。

实际上，|x x |n -可表示为数轴上n x 与x 这两点间的距离。

那么R 中点列}{n x 收敛于x 也就是指n x 与x 之间的距离随着∞→n 而趋于0，即0),(lim =∞→x x d n n 。

于是设想在一般的点集X 中如果也有“距离”，则在点集X 中也可借这一距离来定义极限，那么究竟什么是距离呢？一 度量空间的定义定义1.1 设X 是一个非空集合，若存在映射R X X d →⨯:，使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：(1)0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当y x =（非负性）；(2)),(),(x y d y x d =（对称性）；(3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤（三角不等式），则称d 为X 上的一个度量函数（或距离函数），),(d X 为度量空间（或距离空间），简记为X 。

注：若X 为度量空间，Y 是X 的一个非空子集，则Y 也是一个度量空间，称Y 为X 的子空间。

例1-1 n 维欧氏空间n R 。

解析：n 维欧氏空间n R ，n R 表示n 维向量),,,(21n x x x x ⋯=。

对于n R 中任意两点),,,(x 21n x x x ⋯=，)y ,,,y (y 21n y ⋯=，定义： 21]||[),(12∑=-=n i i i y x y x d 易证）y x d ,(满足距离的条件，且其中的三角不等式为：≤-∑=21]||[12n i i i z x 21]||[12∑=-n i i i y x +21]||[12∑=-n i i i z y 因此，),(d R n 是度量空间，其中d 称为欧几里得距离。

度量空间连续映射的等价条件

（ １ ） 厂 （ Ａ） ）］ Ａ；
（ ２ ） 厂 （ ） ）ｃ Ｕ； （ ３ ） Ａ ｕ Ｂ） ＝ Ａ ）ｕ Ｂ）；
（ ４ ） ， （ Ａ ｎ曰 ）ｃ Ａ ）ｎ Ｂ）； （ ５ ） 厂 （ ｕ Ｖ ） ＝厂。 （ ）ｕ厂 （ Ｖ ）；
２ ０ １ ３年 ２月
渭南师 范学 院学报
Ｊ ｏ ｕ ｍａ ｌ ｏ ｆ Ｗｅ ｉ ｎ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｆ ｅｂ ．２ ０ｌ ３ Ｖｏ ｌ ＿ ２８ Ｎｏ． ２
第２ ８卷 第 ２期
度量空 间连续 映射 的等价条件
Hale Waihona Puke 作者简介 ： 赵 正波 （ １ ９ ６ ６ 一） ， 男， 陕西华县人 ， 渭南师范学院数学与信息科 学学 院讲 师， 理学硕士 ， 主要从事非经 典逻辑
研究．
命题演算具有可靠性 、 完备性和可判定性 ， 但是谓词演算却是半可判定的 Ｊ ． 把证明过程的每一步用 命题来描述 ， 使得证明过程的每一步都变成命题之间的蕴涵关系 ， 有助于证 明过程的规范化和帮助数学知 识 的推 广和普 及 ． 点集拓 扑 中的度量 空 间上连续 映射 的等 价条 件是 连 续概 念 由实数 空 间 和 ｎ维 欧 氏空 间
ｃ Ｂ 乍 Ｕ Ｂ ＝ Ｂ ∞ ｎ Ｂ ＝Ａ营 Ａ Ｄ Ｂ’ ￣ ｏＡ Ｕ Ｂ ＝ Ｘ￣ ｏＡ ｎ Ｂ ＝
．
关于映射的像集和原像集用到的概念和性质介绍如下 ： 定义 １ 设 ｘ和 Ｙ是两 个集合 ， ｆ ： Ｘ ｙ ， ４ ｃ ， Ｕ Ｃ Ｙ ， 则称
Ａ ）＝ ｛ Ｙ∈Ｙ １
∈Ａ ， Ｙ＝ ） ｝
为， 下 Ａ的像集 ， 厂 （ Ｕ ）： ｛ ∈Ｘ Ｉ ）∈ ｝ 称为厂Ｆ 的原像集．

度量空间中的自列紧集、紧集、连通集与连续映射


由 d x, r r 和 d r, s r s 得 d s, x d r, s d r, x r s r s 。所
以 x N 。同理可得，若 x N ，则 x M 。所以 M N 。
因为集 A 是连通的，所以集合 A \ M N 不空(若空则 M 、 N 分离集 A )。
自列紧集(列紧闭集)与连续映射 1.度量空间的自列紧子集在连续映射下的象是自列紧集。 证明: 设 X、Y 是度量空间， A 是 X 的自列紧子集。
设 f : A Y 是连续映射,象集为 B f X Y 。设yn 是 B 的序列。对任意
正整数 k，设 yk 的某个原象是 xk A X ，这样得到 X 的序列xn 。因为 X 是自
R 的定义是函数值小于 y0 的自变量集合)。同理，对于任意点 s S ，存在邻域
U s, s 使得U s, s A S 。
对任意点 r R ，s S ，设s s 2 ；设 dr inf d r, s s S ，显然 dr 0
(否则，便不存在不包含 S 的点的邻域)， d r, s s d r, s s 0 。
紧集与连续映射 1.度量空间的紧子集在连续映射下的象是紧集。 证明:
设 X、Y 是度量空间， A 是 X 的紧子集。设 f : A Y 是连续映射,象集为
B f XY 。
设 B 的一个开覆盖为 G 。任意 S G 是开集，所以对任意 y S ，存在邻域
U y, y S 。对于任意 x f 1 y ( f 1 y 是 y 的原象集)，因为 f : A Y 是连
所以，对任意 r R ，s S 都有 d r, s s dr 4 。对任意 r R ，设r dr 4 。

点集拓扑


是一个
证明:(1)对于X 的任意一个开集U，
i (U ) U 是 X 中的一个开集，所
以恒同映射 iX 是连续映射. (2)
f g
1 X
f 1 ( g 1 (U ))
g 1 (U )
U
X
Y
Z
设 f : X Y 和 g :Y Z 都是连续映射，则对于Z的任意开
g (U ) 和 f ( g (U )) 分别是 集 U，
def
• 邻域
U ( X )为x的邻域 V 开 X , 使得x V U .
定理2.1.3：U是x的一个邻域 0, 使得x B( x, ) U
def
•开集的三条性质 定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质： （1）集合X本身和空集 都是开集； （2）任意两个开集的交是一个开集； （3）任意一个开集族（即由开集构成的族） 的并是一个开集．
( AT1 A A )T ( A ) A A 1 AT2 AT2 0
1
A T
.
是X的一个有限子集，所以 由上面的讨论知 T 是X 上的拓扑 AT A T . 根据上述（1），（ 2）和（3），P是X的 这个拓扑称为 X的有限补拓扑，
一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间 称（ X , T ) 为有限补空间. （ X，P）称为一个有限补空间．
注
意
T ；
如果没有特别说明，我们提到度量 空间的拓扑时，指的就是拓扑 在称度量空间 ( X , ) 为拓扑空间 时，指的就是拓扑空间 ( X , T ) .
定义2.2.3 设（X，T）是一个拓扑空 间．如果存在X的一个度量ρ 使得拓扑T 即 是由度量ρ 诱导出来的拓扑 Tρ，则称（X， T）是一个可度量化空间．

3.度量空间


lim
n
xnx, 或x n来自x(n)21
定理3.1 设 {xn}是度量空间{V，d}中收敛于x序 列，则
（1）{xn}是有界的；
（2）{xn}的极限是唯一的。
证明: (1)已知
lim
n
x
n
x.
取=1，则存在自然
数N，当n>N时有
(xn,x)<1 令M=1+max{(x1,x),,(xN,x),1},则对一 切n∈N,有 (xn , xm) (xn , x) (xm, x) 2M
Br (x) {y V | (x, y) r}是闭集.
实际上，y Br (x),(x, y) r.令r0 r (x, y) 0,
z Br0 (y),由于(z, x) (z, y) (y, x) r0 (x, y) r,
故z Br (x),因此, Br0 (y) Br (x)
U(a,)U(x,).U(a,)中必包含有异于x的中之点.
从而,U(x,)必包含有异于x的A中之点.
29
因此,x是A的极限点, 即x A.所以,( A) A.
(2)x A B.当x A B时,显然x A B;
当x(AB)′时,则x不是A的极限点, 就是B的极限点. 若不对,即x既不是A的极限点,也不是B的极限点, 于是,有x的邻域U(x,),它不包含A的点, 又有x的邻域U(x,)U(x,), 它既不包含A的点,也不包含B的点, 这与x是AB的极限点矛盾.
‖x‖= (x, x)
x, y∈V两点间的距离定义为
d(x,y)=‖x-y‖= (x y, x y)
可以证明：d满足度量三公理，从而
{V,d}是度量空间。
6
首先证明:x,yV,有Cauchy不等式
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用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其他性质无关.以下， 我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念.
定义 2.1.1 设 X 是一个集合， : X X R .如果对于任 何
x ， y ， z X ，有
（1） （正定性） x, y 0 ，并且 x, y 0 当且仅当 x y ； （2） （对称性） x, y y, x ； （3） （三角不等式） x, z x, y y, z ； 则称 是集合 X 的一个度量.
, yn R n ，令
y y1 , y2 ,
x, y
x y
是 R n 的一个度量，因此偶对 R n , 是一个度量空间.这个度
量空间特别地称为 n 维欧氏空间.
例2.1.4
离散的度量空间.
设 X , 是一个度量空间.称 X , 是离散的，或者称 是 X 的一个离散度量， 如果对于每一个 x X ， 存在一个实数 x 0 使得 x, y x 对于任何 y X ， x y 成立. 例如我们假定 X 是一个集合，定义 : X X R 使得对于任 何 x, y X ，有






下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概 念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点． 定 理 2.1.4 设 X 和 Y 是 两 个 度 量 空 间 , f : X Y , 以 及
x0 X ．则下述条件（1）和（2）分别等价于条件（1） * 和（2） *
（1） f 在点 x0 处是连续的； （1）
y R ，令 x, y x y .容易验证 是 R 的一个度量，因此偶对
R, 是一个度量空间.这里定义的度量 称为 R 的通常度量.
例 2.1.2 n 维欧氏空间 R . 对于实数集合 R 的 n 重笛卡儿积
n
Rn R R
定义
R
: Rn Rn R 如 下 ： 对 于 任 意 x x1 , x2 , , xn ，
0, 如果x y x, y 1, 如果x y
易验证 是 X 的一个离散的度量，因此度量空间 X , 是离散的.
定义 2.1.2 设 X , 是一个度量空间， x X .对于任意给定 的实数 0 ，集合
y X x, y
如果 是集合 X 的一个度量，则称偶对 X , 是一个度量空 间，或称 X 是一个对于 而言的度量空间.此外，对于任意两点 x ，
y X ，实数 x, y 称为从点 x 到点 y 的距离.
例2.1.1 实数空间 R .
对于实数集合 R ，定义 : R R R 如下：对于任意 x ，
记作 B x, ，或 B x ，称为一个以 x 为中心，以 为半径的球形 邻域，简称为 x 的一个球形邻域，有时也称为 x 的一个 邻域. 此处的球形邻域是球状的吗？
定理 2.1.1 度量空间 X , 的球形邻域具有以下基本性质： （1） 每一点 x X ，至少有一个球形邻域，并且点 x 属于它 的每一个球形邻域； （2） 对于点 x X 的任意两个球形邻域，存在 x 的一个球形 邻域同时包含于两者； （3） 如果 y X 属于 x X 的某一个球形邻域，则 y 有一个 球形邻域包含于 x 的那个球形邻域.
*
f x0 的每一个邻域的原像是 x0 的一个邻域；
（2） f 是连续的； （2） Y 中的每一个开集的原像是 X 中的一个开集.
*
从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的， 或者在某一点处是否是连续的 , 本质上只与度量空间中的开集有关 （注意邻域是通过开集定义的） ．这就导致我们甩开度量空间这个概 念,参照度量空间中开集的基本性质（定理 2.1.2）建立拓扑空间和拓 扑空间之间的连续映射的概念. 作业：P54 习题 3 和 6。
定义 2.1.3 设 A 是度量空间 X 的一个子集．如果 A 中的每个 点都有一个球形邻域包含于 A （即对于每一个 a A 存在实数 ，则称 A 是度量空间 X 中的一个开集． 0 使得 B a, A ） 注意：此处的开集仅是度量空间的开集． 例 2.1.5 实数空间 R 中的开区间都是开集．
定理 2.1.3 设 x 是度量空间 X 中的一个点．则 X 的子集 U 是 x 的一个邻域的充分必要条件是 x 有某一个球形邻域包含于 U ． 定义 2.1.5 设 X 和 Y 是两个度量空间, f : X Y ,以及 x0 X . 如果对于 f x0 的任何一个球形邻域 B f x0 , , 存在 x0 的某一 个球形邻域 B x0 , , 使得 f B x0 , B f x0 , 则称映射 在点 x0 处是连续的． 如果映射 f 在 X 的每一个点 x X 处连续,则称 f 是一个连续 映射．
§2.1 度量空间与连续映射
首先回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义 . 函数
f : R R 称为在点 x0 R 处是连续的，如果对于任意实数 0 ，
存 在 实 数 0 ， 使 得 对 于 任 何 x R ， 当 x x0 时 ， 有
f x f x0 .为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要
定理 2.1.2 度量空间 X 中的开集具有以下性质： （1） 集合 X 本身和空集 都是开集； （2） 任意两个开集的交是一个开集； （3） 任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集． 证明 根据定理 2.1.1
此外根据定理 2.1.1（3）可见每一个球形邻域都是开集．
球形邻域与开集有何联系？ 为了讨论问题的方便我们将球形邻域的概念稍稍作一点推 广． 定义 2.1.4 设 x 是度量空间 X 中的一个点, U 是 X 的一个子 集．如果存在一个开集 V 满足条件： x V U ,则称 U 是点 x 的一个邻域．