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度量空间中的连续性与收敛性分析度量空间是数学中一个重要的概念，它是指一个集合和定义在该集合上的一个度量函数的组合。
在度量空间中，我们可以讨论元素之间的距离、连续性以及收敛性等概念。
本文将对度量空间中的连续性和收敛性进行详细分析。
一、连续性在度量空间中，连续性是一个基本的性质。
一个函数在度量空间中的连续性可以通过以下方式进行定义：定义1：设X和Y分别是两个度量空间，f：X→Y是一个函数。
若对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得对于任意的x1和x2∈X，只要d(x1,x2)<δ，就有d(f(x1),f(x2))<ε成立，则称函数f在点x∈X处连续。
定义2：若函数f在X的每一个点上都连续，则称函数f在X上连续。
根据上述定义，我们可以看出，一个函数在度量空间中的连续性与其在每个点的局部性质有关。
换句话说，函数f在点x处的连续性要求当x的邻域内的点趋近于x时，函数值也要趋近于f(x)。
二、收敛性在度量空间中，收敛性是另一个重要的性质。
一个数列在度量空间中的收敛性可以通过以下方式进行定义：定义3：设X是一个度量空间，{xn}是X中的一个数列。
若存在一个点x∈X，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，有d(xn,x)<ε成立，则称数列{xn}在X中收敛于x。
定义4：若数列{xn}在X中对于任意的ε>0，都存在正整数N，使得当n>N时，有d(xn,x)<ε成立，则称数列{xn}在X中收敛。
根据上述定义，我们可以看出，数列{xn}在度量空间X中的收敛性要求当n趋近于无穷大时，数列的元素趋近于某个点x。
三、连续性与收敛性的关系在度量空间中，连续性和收敛性是密切相关的。
事实上，连续性是收敛性的一个重要推论。
具体而言，我们有以下定理：定理1：设X和Y分别是两个度量空间，f：X→Y是一个函数。
若函数f在X上连续，且数列{xn}在X中收敛于x，则函数f在点x处的函数值序列{f(xn)}收敛于f(x)。
《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体，则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集，如果对任一点集都有R1 (第页，共47页)EL_________________________________，则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”，“必要”，“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。
3.3 紧集与有限维赋范线性空间3.3.1 致密集的概念实数直线上的Bolzano-Weierstrass 致密性定理 (compactness theorem)：任一有界数列必有收敛子列。
定义3.3.1 设(,)X ρ是度量空间，A X ⊂. 若在A 中的任何点列必有在X 中收敛的子点列，则称A 是(X 中的)致密集。
若X 自身是致密集，则称X 是致密空间。
性质1 有限点集是致密集。
注 点集和点列不一样，点列是取点集中的元素构成的，其各项可以重复，但点集中的元素却不能一样。
因此，由于有限点集中的元素有限，所以要想构成点列，必然有同一个元素无数次重复，这样，这些重复的元素构成的子点列必然收敛。
性质2 有限个致密集的并是致密集。
证 设12,,,m A A A 是度量空间(,)X ρ的致密集，往证1mk k A A ==也是(,)X ρ的致密集。
任取一点列{}n x A ⊂，则存在(1)A m ≤≤，{}n x 有无限多项属于A ，记其为{}kn x ，即{}kn x A ⊂.而A 是致密的，所以必有在X 中收敛的子点列{}k hn x ，使得()k h n x x Xh →∈→∞,即{}n x 在X 中收敛的子点列{}k hn x ，故A 也是(,)X ρ的致密集。
证毕！ 性质3 致密集的任何子集是致密集。
因此，任何一族致密集的交是致密集。
证 只要证明“致密集的任何子集是致密集”即可，而“任何一族致密集的交是致密集”则是前者的直接推论。
设A 是度量空间(,)X ρ的致密集，B 是A 的任一子集。
任取一点列{}n x B ⊂，因为B A ⊂，所以{}n x A ⊂.而A 是致密的，因此点列{}n x 必有在X 中收敛的子点列{}kn x ，使得()k n x x Xk →∈→∞,故B 也是致密的。
证毕！ 性质4 致密集的闭包是致密集。
证 设(,)X ρ是度量空间，A X ⊂是致密集，往证A 的闭包A AA '=也是致密集。
第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。
§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。
设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；（2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<（3）邻域语言若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。
解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。
§ 2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2Xτ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足（1）,X τ∅∈；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。
集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。
τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。
下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。
● 先解释拓扑定义的理由:① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。
紧集上的连续函数性质是闭区间上连续函数性质的拓广引理 1 设 X 、Y 为距离空间 ,A 为 X 中的紧集 ,T 是由 A 到 Y 中的连续映射 ,则 T 的像 T(A)是 Y 中的紧集。
证明 :设 {yn}为 T(A)中的一个点列 ,则有 A 中的点列 {xn},使得 yn=T(xn) (n=1 ,2 ,3…… )。
由于 A 是紧集 ,故 {xn}中有收敛于 A 中某一点 x0 的子列{xnk},又因 T 连续 ,故lim k →∞ynk=lim k →∞T(xnk) =T(x0 )显然 ,T(x0 )∈ T(A) ,故 T(A)是紧集。
引理 2 设 X 是距离空间 ,A 是 X 中的紧集 ,f 是定义在 A 上的连续函数 ,则 f 有界且可达到其上、下确界。
证明 :因为 f(A)是 R 中的紧集 ,故为有界闭集。
于是 f 有界 ,且其上、下确界均属于 f(A) ,就是说 f 能达到其上、下确界。
定理 1 (最大值、最小值定理 )若函数 f 在紧集 A 上连续 ,则 f 在紧集 A 上有最大值和最小值。
证明 :1 .先 n R 中的紧集及空间n R 的完备性。
紧集上连续函数的性质定义25 度量空间X 中的集合K 叫做紧集，如果K 的任何开覆盖中皆可抽出有限的子覆盖定义26 度量空间的集合B 叫做是有界的，如果它包含在某个以点0x 为中心r 为半球O (x 0 ，r ）之中引理2 紧集是有界集设K 是紧集，任意取取点x 0∈K . 那么n O = O (x 0 ，n ）的全体覆盖整个空间X ，从K 的紧性易知，可以从这些球中抽出有限的子覆盖{123t t t o o o ⊂⊂s t o ⊂ ， 1t ＜2t ＜s t ＜}，K ⊂s t 从而说明是K 有界集.引理3 设k 是紧集，那么任何无穷{n x }K ⊂都至少有一个极限点属于K . 反面论证.设序列{n x }没有属于K 的极限点，那么K 的每点x 都被某ε的领域(,)O x ε 包住而使(,)O x ε中不含{n x }的与x 不同的点，从而得到一个K 的开覆盖，在这开覆盖中取一个有限子覆盖。
度量空间的紧性Compactness在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实：R 的紧性，即有界数列必有收敛子列．但这一事实在度量空间中却未必成立．例1.4.1设22[,]{|()|()|}X L f L f x dx ππππ-=-=<∞⎰，对于,f g X ∈，定义122(,)(|()()|)d f g f x g x dx ππ-=-⎰，令{()}{sin }n f x nx =，那么{()}n f x 是有界的发散点列．证明由于所以{()}n f x 为有界点列．对于任意的,n m ∈N ，有 因此{()}n f x 不是基本列，当然不是收敛列．□定义1.4.1列紧集、紧集与紧空间Sequentiallycompactset,Compactset,Compactspace 设X 是度量空间，A X ⊂．(1)如果A 中任何点列都有收敛于X 的子列，则称A 为列紧集(或致密集、或相对紧集)；(2)如果A 是列紧集，也是闭集，则称A 为紧集； (3)如果X 本身是列紧集(必是闭集)，则称X 为紧空间．注1：若A 是X 的列紧集，{}n X A ⊂且0()n x x n →→∞，那么0x A ∈？若A 是X 的紧集，0x A ∈？．定理1.4.1设(,)X d 是度量空间，下列各命题成立： (1)X 的任何有限集必是紧集； (2)列紧集的子集是列紧集； (3)列紧集必是有界集，反之不真． 证明(1)、(2)易证．下面仅证(3)．假设A X ⊂是列紧集，但A 无界．取1x A ∈固定，则存在2x A ∈，使得12(,)1d x x ≥．对于12,x x ，必存在3x A ∈，使得13(,)1d x x ≥、23(,)1d x x ≥．由于A 是无界集，可依此类推得到X 的点列{}n X 满足：只要i j ≠，就有(,)1i j d x x ≥．显然点列{}n X 无收敛子列，从而A 不是列紧集导致矛盾，故A 是有界集．反过来，A 是有界集，A 未必列紧．反例：空间2[,]X L ππ=-上的闭球B O =有界，而不是列紧集(见例1.1)．□注2：R 中的开区间(0,1)是列紧集，却不是紧集．(由于R 中的有界数列必有收敛子列，所以(0,1)中的数列必有收敛子列，但(0,1)不是闭集，故列紧不紧．)注3：自然数{1,2,,,}n L L N =不是列紧集．(N 无界)推论1.4.1(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是完备空间．证明(1)若X 为紧空间，那么X 本身为列紧集，而列紧集有界，故X 为有界空间． (2)若X 为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知X 中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得X中的基本列收敛，因此X 为完备的空间．□关于n 维殴氏空间n R 中的列紧集、紧集的特性有如下定理． 定理1.4.2设n A ⊂R ，n R 是n 维殴氏空间，那么 (1)A 是列紧集当且仅当A 是有界集； (2)A 是紧集当且仅当A 是有界闭集．证明(1)必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果A 是有界的无限集，则A 具有极限点，从而可证充分性．(2)由(1)易得．□注4：由于R 中的非空紧集A 就是有界闭集，定义A 上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量(距离)空间中依然成立．首先说明连续映射将紧集映射为紧集．引理1.4.1设f 是从度量空间(,)X d 到(,)Y ρ上的连续映射(称为算子)，A 是X 中的紧集，那么()f A 是Y 中的紧集．证明设()E f A =，首先证明E 是Y 中的列紧集．{}n y E ∀⊂，{}n x A ∃⊂，使得()n n y f x =，1,2,n =L ．由于A 是紧集，所以点列{}n x 存在收敛的子列{}kn x ，且0kn x x A →∈，又知f 是X 上的连续映射，于是0lim lim ()()k k n n k k y f x f x E →∞→∞==∈．即{}n y 有收敛于E 的子列{}kn y ，因此E 为Y 中的列紧集．再证E 是闭集．设{}n y E ⊂，0()n y y n →→∞，根据A 的紧性和连续映射f 可得，对应的点列{}n x (()n n y f x =)存在收敛的子列{}kn x ，0kn x x A →∈．从而00lim lim lim ()()k k n n n n k k y y y f x f x E→∞→∞→∞====∈，即E 是闭集．□定理1.4.3最值定理设A 是度量空间X 中的紧集，f 是定义在X 上的实值连续函数(泛函)，即:f X →R ，那么f 在A 上取得最大值与最小值．证明设()E f A =，由上述引理知E 是R 中的紧集．所以E 是R 中的有界集，于是上、下确界存在，设sup{()|}M f x x A =∈，inf{()|}m f x x A =∈．下证M 是f 在A 上取得的最大值，同理可证m 是f 在A 上取得的最小值．由确界性的定义知，n ∀，n x A ∃∈，使得1()n f x M n >-，即可得11()n M f x M M n n-<≤<+-． 再由A 为紧集知存在{}{}kn n x x ⊂，使得*kn x x A →∈(k →∞),于是 令k →∞，有*()f x M =，因此M 是f 在A 上取得的最大值．□1.4.2度量空间中的全有界性刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的讨论可知：(1)度量空间中的列紧集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价．定义1.4.2ε网设X 是度量空间，,A B X ⊂，给定0ε>．如果对于A 中任何点x ，必存在B 中点x'，使得(,)d x x'ε<，则称B 是A 的一个ε网．即(,)x BA O x ε∈⊂U图4.1B 是A 的一个ε网示意图例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是2R 的0.8网．图4.2整数集Z 是全体有理数Q 的0.6网示意图定义1.4.3全有界集设X 是度量空间，A X ⊂，如果对于任给的0ε>，A 总存在有限的ε网,则称A 是X 中的全有界集．注5：根据定义可知A 是X 中的全有界集等价于0ε∀>，12{,,,}n x x x X ∃⊂L ,使得1(,)ni i A O x ε=⊂U ，其中(,)i O x ε表示以i x 中心，以ε为半径的开邻域．引理1.4.2A 是度量空间X 的全有界集当且仅当0ε∀>，12{,,,}n x x x A ∃⊂L ,使得1(,)ni i A O x ε=⊂U ．证明当A 是全有界集时，0ε∀>，12{,,,}n x x x X ∃⊂L ,使得1(,)2ni i A O x ε=⊂U ．不妨设1i n∀≤≤有(,)2i O x A εφ≠I ，选取(,)2i i y O x A ε∈I ，显然12{,,,}n y y y Y ⊂L 以及(,)(,)2i i O x O y εε⊂，因此11(,)(,)2nni i i i A O x O y εε==⊂⊂U U ．□注6：在n R 中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系．定理1.4.4全有界集的特性设X 是度量空间，A X ⊂，若A 是全有界集，则(1)A 是有界集；(2)A 是可分集． 证明(1)设A 是全有界集，取1ε=，由定义知，n ∃∈N 及12{,,,}n x x x X ⊂L ,使得1(,1)ni i A O x =⊂U ．现令121max{(,)}i i nM d x x ≤≤=+，则易知1(,)A O x M ⊂，可见A 是有界集． (2)设A 是全有界集，下证A 有可列的稠密子集．由引理1.4.2知对于1n nε=(1,2,n =L)，存在()()()12{,,,}nn n n n k B x x x A =⊂L ，使得()11(,)nk n i i A O x n=⊂U ，下面证明1n n B ∞=U 是A 的稠密子集．x A ∀∈，0δ∀>，存在0n ∈N ，使得01n δ<，由于0n B 是A 的01n 网，故001n n n i x B B ∞=∃∈⊂U ，使001(,)n d x x n δ<<，从而，0(,)n x O x δ∈，即1n i B ∞=U 在A 中稠密，显然1n i B ∞=U 是可列集，故A 可分．□注7：由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不一定是全有界集． 例如全体实数对应的离散度量空间0(,)R d 中的子集{1,23}L ，，N =是有界集，却不是全有界集．定理1.4.5全有界的充要条件设X 是度量空间，A X ⊂，则A 是全有界集当且仅当A 中的任何点列必有基本子列． 证明(1)充分性⇐：反证法．若A 不是全有界集，则存在00ε>，A 没有有限的0ε网，取1x A ∈，再取2x A ∈，使120(,)d x x ε≥，(这样的2x 存在，否则1{}x 为A 的0ε网)．再取3x A ∈，使130(,)d x x ε≥，230(,)d x x ε≥(这样的3x 存在，否则12{,}x x 为A 的0ε网)．以此类推，可得{}n x A ⊂，而{}n x 没有基本子列，产生矛盾，故A 是全有界集．(2)必要性⇒：设{}n x 是A 的任一点列，取1k kε=，1,2,k =L ，因为A 是全有界集，故A 存在有限k ε网，记为k B ．以有限集1B 的各点为中心，以1ε为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了A ，从而覆盖了{}n x ，于是至少有一个开球(记为1S )中含有{}n x 的一个子列(1)1{}k x S ⊂．同样以有限集2B 的各点为中心，以2ε为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了(1){}k x ，于是至少有一个开球(记为2S )中含有1{}k x 的一个子列(2)2{}k x S ⊂．依次可得一系列点列：(1){}k x ：(1)(1)(1)(1)123,,,,,k x x x x L L． (2){}k x ：(2)(2)(2)(2)123,,,,,k x x x x L L．,,,L L L L．(){}i k x ：()()()()123,,,,,i i i i k x x x x L L．且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为{}n x 的子列，即 是{}n x 的子列．下证(){}k k x 是基本列．0ε∀>，取K ，使得12K K εε=<，那么当,k p K >时，不妨设p k >，则有()p p k x S ∈，记开球k S 的中心为*k x ，那么有()()()**()(,)(,)+(,)2p k p k p k p k k k k k k d x x d x x d x x εεεε≤≤+=<，故(){}k k x 是{}n x 的基本子列．□推论1.4.2豪斯道夫(Hausdorff)定理设X 是度量空间，A X ⊂． (1)若A 是列紧集，则A 是全有界集；(2)若X 是完备的度量空间，则A 是列紧集当且仅当A 是全有界集．证明(1)因为列紧集中的任何点列都有收敛子列，故它必是基本子列，由上述定理1.4.5知A 是全有界集；(2)必要性⇒：由(1)知，度量空间中的列紧集一定是全有界集．充分性⇐：{}n x A ∀⊂，因为A 是全有界集，所以{}n x 含有基本子列{}kn x ，又知X 完备，于是{}kn x 在X 中收敛，可见A 的任何点列都有收敛X 的子列，即A 是列紧集．□注9：对于一般的度量空间：列紧集是全有界集；全有界集是有界集，有界集却不一定是全有界集，全有界集却不一定是列紧集．例如：让X 表示[0,1]上的有理数全体，在欧氏距离定义下，由于11lim (1)33n n e n →∞+=，所以X不是完备的度量空间、X 不是列紧集．由于0ε∀>，存在正整数n ，使得1nε<，那么121{0,,,,,1}n n n n-L 是X 的ε网，所以X 是全有界． 综上所述，紧集、列紧集、全有界集及有界集、可分集有如下的关系：紧集⇒列紧集⇒全有界集⇒⎧⎨⎩有界集可分集紧集⇐闭列紧集⇐完备全有界集定理1.4.6[,]C a b 中点集列紧的的充要条件设[,]A C a b ⊂，则A 是列紧集的充要条件为以下两条成立． (1)A 一致有界：0M ∃>，x A ∀∈，对任何[,]t a b ∈有()x t M ≤成立；(2)A 等度连续：0ε∀>，0δ∃>(δ与t 及x 无关)，当12,[,]t t a b ∈及12t t δ-<时，x A ∀∈有12()()x t x t ε-<．注意区别等度连续与映射的一致连续两个概念．推论1.4.3阿尔采拉(Arzela)引理设{[,],}i i F f f C a b i I =∈∈是[,]C a b 的一致有界且等度连续的函数族，则从F 中必可选出在[,]C a b 上一致连续的子序列{()}n f t ．定理1.4.7设(1)p A l p ⊂≥，则A 是列紧集的充要条件为以下两条成立． (1)A 一致有界：0M ∃>，12(,,,,)k x x x x A ∀=∈L L ，有11()ppk k x M ∞=<∑；(2)A 等度连续：0ε∀>，N ∃，12(,,,,)k x x x x A ∀=∈L L ，有11()ppk k N x ε∞=+<∑．例1.4.2设0(,)X d 为离散的度量空间，A X ⊂，证明：A 是紧集的充要条件为A 是有限点集．(2-18)证明(1)充分性⇐：设A 是有限点集，则A 必为闭集，又无点列，故为紧集． (2)必要性⇒：反证法．假设A 为无限点集，则必有可列子集A A '⊂，且A '种元素各不相同，不妨设为12{,,,,}{}n n A x x x x '==L L ，当m n ≠时，根据离散度量空间中距离的定义知0(,)1m n d x x =，从而{}n x 无收敛子列，这与A 的紧性矛盾，故A 必为有限集．□例1.4.3设X 为紧的度量空间，M 是X 的闭子集，证明M 是紧集．(2-21)证明1由于M 是闭子集，所以只需证明M 是列紧集．设{}n x 是M 的一个点列，显然{}n x X ⊂，又知X 是紧的度量空间，于是{}n x 存在收敛于X 的子列{}k n x ，即M 是列紧集．□证明2由于X 是列紧集，且列紧集的子集是列紧集，所以M 是列紧集．又知M 是闭子集，因此M 是紧集．□注10：在离散的度量空间中，A 是紧集⇔A 是有限点集．在n 维欧氏空间n R 中，A 是紧集⇔A 是有界闭集． 在完备度量空间中，A 是紧集⇔A 是全有界闭集．紧的度量空间的闭子集是紧集．完备的度量空间的闭子集是完备的．。
第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(∙∙ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(∙∙ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(∙∙ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x yx y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(∙∙ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
