拓扑空间与连续映射

第二章 拓扑空间与连续映射一、教学目的与要求本章是点集拓扑学的基础知识，在本章中建立了点集拓扑学许多最基本的概念，为学习点集拓扑学的核心内容打下基础。

本章应掌握的概念有：度量空间、开集、邻域、拓扑空间、映射在一点连续、连续映射、度量诱导的拓扑、可度量化空间、同胚、拓扑不变性质、邻域系、聚点、孤立点、闭集、闭包、内点、内部、边界点、边界、基、子基、邻域基、邻域子基、序列、序列的极限点、收敛、子序列。

学生还应该掌握：典型的拓扑和度量空间的例子、开集和邻域的性质、连续映射和同胚映射的性质、（集合的）内部的性质内部和边界和闭包之间关系、连续映射的等价条件（分别用开集、闭集、邻域来描述）、邻域系的性质和判定方法、基的判定法和子集族成为基（或子基）的条件、映射在一点连续的性质和判定法则、拓扑空间和度量空间中序列的性质。

二、教学重点与难点教学重点：拓扑空间和连续映射、导集、闭集、闭包、基与子基、拓扑空间中的序列。

教学难点：拓扑空间概念的建立、导集概念和基与子基概念的建立等。

三、课时安排与教学方法教学内容 （计划／实际）课时数课程类型／教学方法2.1,2.2 4/4 理论/讲授2.3,2.4 4/4 理论/讲授2.5,习题课 4/4 理论/讲授、讨论2.6,2.7 4/4 理论/讲授习题课 4/4 练习/讲授、讨论四、教学过程在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间, 将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射. 然后将两者再度抽象, 给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射. 随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域, 闭包, 内部, 边界, 基和子基, 序列等等.2.1度量空间与连续映射首先,我们从在数学分析中学过的连续函数出发, 抽象出度量和度量空间的概念.定义2.1.1 设是一个集合, X :X X R ρ×→.如果对于任何,,x y z X ∈,有(1) (正定性) (,)0,x y ρ≥并且(,)0x y ρ=当且仅当x y = ;(2) (对称性)(,)(,)x y y x ρρ=;(3) (三角不等式)(,)x z ρ≤(,)(,),x y y z ρρ+则称ρ是集合X 的一个度量.如果ρ是集合X 的一个度量,则称偶对(,)X ρ是一个度量空间或称,X 是一个对于度量ρ而言的度量空间.有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已有交代,不提它不至于引起混淆，这时我们称X 是一个度量空间. 此外对于任意两点 ,,,x y ∈X 实数(,)x y ρ称为从点到点的距离.例2.1.1 实数空间 R .对于实数集合定义,R :R R Rρ×→如下：对于任意,,x y R ∈令(,).x y x y ρ−=容易验证ρ是的一个度量因此偶对R ,(,)R ρ是一个度量空间.这个度量空间特别地称为实数空间或直线.这里定义的度量,ρ称为的通常度量,并且常常略而不提，称为实数空间.R 例2.1.2维欧氏空间n .n R对于任意1212,,,,,,(),()nn n x x x x ,y y y y R ==∈……令(,)x y ρ=容易验证ρ是的一个度量,因此偶对nR (,)nRρ是一个度量空间.这个度量空间特别地成为维欧式空间.这里定义的度量n ,ρ称为的通常度量,并且称为维欧氏空间.nR nR n 例2.1.3Hilbert 空间H .记为平方收敛的所有实数序列的集合,即H2121,,,;{()}i i i x R i Z x H x x x ∞+=∈∈<∞==∑…定义:H H R ρ×→如下：对于任意1212,,,,(),()x x x y y y H ==……∈令(,)x y ρ=则偶对(,)H ρ是一个度量空间.这个空间特别地称为Hilbert 空间.例2.1.4 离散的度量空间.设(,)X ρ是一个度量空间.称(,)X ρ是离散的，或者称ρ是的一个离散度量，如果对于每一个X ,x X ∈存在一个实数0x δ>使得(,)xx y ρδ>对于任何,.y X y x ∈≠例如我们假定是一个集合,定义X:X X Rρ×→使得对于任何,,x y X ∈有(,)0,x y x y ρ==或(,)1,x y x y ρ=≠容易验证ρ是的一个离散的度量，因此度量空间是离散空间.X 定义2.1.2 设(,)X ρ是一个度量空间，.x X ∈对于任意给定的0,ε>集合(,){}x y y X ρε<∈记作(,),B x ε或，称为一个以()B x εx 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域，有时也称为x 的一个ε−邻域.定理2.1.1 度量空间(,)X ρ的球形邻域具有以下基本性质：(1)每一点x X ∈至少有一个球形邻域，并且点属于它的每一个球形邻域; x (2)对于点x X ∈的任意两个球形邻域，存在的一个球形邻域同时包含于两者;x (3) 如果y X ∈属于x X ∈的某一个球形邻域，则y 有一个球形邻域包含于的x那个球形邻域.定义2.1.3 设A 是度量空间的一个子集.如果X A 中的每一个点有一个球形邻域包含于A (即对于每一个存在实数,a A ∈0ε>使得(,)B a A ε⊂)，则称A 是度量空间中的一个开集.X 例2.1.5 实数空间中的开区间都是开集. R 定理2.1.2 度量空间中的开集具有以下性质：X (1) 集合本身和空集Φ都是开集; X (2) 任意两个开集的交是一个开集;(3) 任意一个开集族(即有开集构成的族)的并是一个开集。

拓扑空间中的连续映射的8个等价命题引言在拓扑空间中，连续映射是一种非常重要的概念。

连续映射的性质和等价命题可以帮助我们理解拓扑空间的结构和性质。

本文将探讨拓扑空间中连续映射的8个等价命题，并对每个命题进行详细的解释和证明。

一、定义在开始讨论连续映射的等价命题之前，我们先来回顾一下连续映射的定义。

定义：设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个函数。

如果对于Y中的每个开集V，f-1(V)是X中的开集，则称f是从X到Y的连续映射。

二、等价命题下面是拓扑空间中连续映射的8个等价命题：1. 逆映射的原像是开集如果f:X→Y是一个连续映射，那么对于Y中的每个开集V，f-1(V)是X中的开集。

证明：对于Y中的每个开集V，根据连续映射的定义，f-1(V)是X中的开集。

2. 逆映射的原像是闭集如果f:X→Y是一个连续映射，那么对于Y中的每个闭集W，f-1(W)是X中的闭集。

证明：根据连续映射的定义，f-1(Y-W) = X-f-1(W)，由此可知f-1(W)是闭集。

3. 逆映射的连续性如果f:X→Y是一个连续映射，并且f是双射，则f-1:Y→X也是连续映射。

证明：对于Y中的每个开集V，我们需要证明(f-1)-1(V) = f(V)是X中的开集。

由于f是连续映射，f-1(f(V)) = V是Y中的开集。

因此，f(V)是X中的开集，即f-1是连续映射。

4. 连续映射的复合映射是连续的如果f:X→Y和g:Y→Z是连续映射，则复合映射g∘f:X→Z也是连续映射。

证明：对于Z中的每个开集W，我们需要证明(g∘f)-1(W) = f-1(g-1(W))是X中的开集。

由于g是连续映射，g-1(W)是Y中的开集；由于f是连续映射，f-1(g-1(W))是X中的开集。

因此，复合映射g∘f是连续映射。

5. 连续映射保持连通性如果f:X→Y是一个连续映射，并且X是连通的，则f(X)是Y中的连通子集。

证明：假设f(X)在Y中不是连通的，即存在开集U和V，满足f(X)∩U ≠ ∅，f(X)∩V ≠ ∅，f(X)∩(U∩V) = ∅，并且U∩f(X)和V∩f(X)是f(X)的分离集。

2.2 拓扑空间2.2.1 拓扑空间的基本概念定义2.2.1 设X 是一非空集，τ是X 的某些子集组成的一个集类，若τ满足：(1),X ττ∅∈∈；(2) 若,1,2,,i A i n τ∈= , 则1ni i A τ=∈ ；(3) 若,A I ατα∈∈，则IA αατ∈∈ , 其中指标集I 可以是有限集、可数集或不可数集； 则称τ为X 上的一个拓扑（结构）。

并称(,)X τ为拓扑空间，有时简写(,)X τ为X .τ中的元素称为X 的τ-开集，简称开集。

空间X 中的元素称为点。

若开集A （即：A τ∈）含有点x ，则称A 为x 的邻域，任何开集E （即：E τ∈）的余集c E X E =-称为闭集。

若拓扑空间(,)X τ又满足如下条件 (4) 若对,x y X ∀∈，当x y ≠时，必存在,x y 的邻域,U V ，使U V =∅ ，则称(,)X τ是Hausdorff 空间.注 在度量空间中，我们总是把按定义2.2.1的方法定义的开集全体作为拓扑,因此，度量空间自然地成为一个拓扑空间，而且是Hausdorff 空间。

例2.2.1 设τ是1R 中所有开的实数集构成的集族，则τ是1R 上的一个拓扑，并称之为1R上的通常拓扑或标准拓扑(usual topology ).类似地， 2R 平面上所有开集构成的集族τ是2R 上的一个拓扑，也称之为2R 上的通常拓扑或标准拓扑(usual topology ).例2.2.2 设{,,,,}Xa b c d e =，考察X 的子集族123{,,{},{,},{,,},{,,,}},{,,{},{,},{,,},{,,}},{,,{},{,},{,,},{,,,}}X a c d a c d b c d e X a c d a c d b c d X a c d a c d a b d e τττ=∅=∅=∅ 则1τ是X 上的一个拓扑，但2τ和3τ都不是X 上的拓扑。

第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。

§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。

设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；（2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<（3）邻域语言若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。

解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。

§ 2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2Xτ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足（1）,X τ∅∈；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。

集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。

τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。

下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。

● 先解释拓扑定义的理由:① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。

拓扑空间中连续映射相关命题证明摘要：定义在欧式空间的连续函数，将其连续的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射，从度量空间及其连续映射导入了一般拓扑学中的拓扑空间、连续映射的概念，本文通过介绍了拓扑空间中连续映射的定义, 总结连续映射的相关命题，并给出详细证明过程。

关键字：连续函数，拓扑空间，点连续1连续性的简要说明由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。

设11:E E f →是一个函数，10E x ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x =收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x =收敛于0()f x ； （2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有 ε<-|)()(|0x f x f （3）邻域语言若V 是包含)(0x f 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得V U f ⊂)(。

详解：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述；对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）。

[1]2拓扑空间2.11拓扑空间的定义设X 是一非空集，X 的一个子集族X 2⊆τ称为X 的一个拓扑，若它满足 （1）τ∈∅,X ；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ； (3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。

集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记),(τX 。

τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。

2.12常见拓扑1）离散拓扑 —— 非空集合X 的所有子集构成的集族2X τ=（包括∅）。

2） 平庸（平凡）拓扑 ——X 是非空集合，{,}X τ=∅。

2.21拓扑空间(,)X d 中开集，12,A A 是开集12A A ⇒⋂是开集。

证明：设12,A A 是X 上的开集。

梁基华拓扑学基础梁基华是著名的数学家，他在拓扑学领域做出了重要贡献。

拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间中的形状和性质。

在梁基华的拓扑学基础研究中，他主要关注拓扑空间、连续映射、同胚等基本概念，并运用这些概念解决了一系列问题。

在拓扑学中，最基本的概念就是拓扑空间。

拓扑空间是指一个具有拓扑结构的集合，这个结构由开集的概念来描述。

开集是指在集合中任意一点周围存在一个包含该点的开区间。

梁基华通过对拓扑空间的研究，发现了许多有趣的性质和结论。

连续映射是拓扑学中另一个重要的概念。

连续映射是指保持拓扑结构的映射，即原空间中的开集在映射后仍然是开集。

梁基华在研究连续映射时，发现了许多映射的性质和特点，这些性质对于理解拓扑空间的结构非常重要。

同胚是拓扑学中的一个重要概念，它指的是两个拓扑空间之间存在一个双射，且该双射和其逆映射都是连续映射。

同胚可以看作是两个空间具有相同的拓扑结构，它们在拓扑上是完全等价的。

梁基华通过研究同胚的性质和刻画，深入理解了拓扑空间的结构和性质。

在梁基华的拓扑学基础研究中，他还解决了一些关于拓扑空间的问题。

例如，他研究了紧致空间的性质，证明了一个紧致空间的闭子集也是紧致的。

他还研究了Hausdorff空间的性质，证明了Hausdorff空间中任意两个不相交的紧致集合可以被两个不相交的开集分离。

这些结果对于理解拓扑空间的性质和结构具有重要意义。

总的来说，梁基华在拓扑学基础研究中做出了重要贡献。

他通过研究拓扑空间、连续映射、同胚等基本概念，解决了一系列关于拓扑空间的问题，深化了对拓扑学的理解。

他的研究成果为后人在拓扑学领域的发展提供了重要的基础和参考。

拓扑空间与连续映射拓扑空间是数学中一个重要的概念，它描述了集合中的点如何聚集在一起，以及它们之间的关系。

拓扑空间的研究可以帮助我们理解各种数学和物理问题，同时也具有广泛的应用。

而连续映射则是在拓扑空间中描述点之间的映射关系的工具。

一、拓扑空间的基本定义在介绍拓扑空间之前，我们先给出集合和子集的定义。

定义1：集合是由元素组成的一个整体。

定义2：如果一个集合A的所有元素都是另一个集合B的元素，那么称A是B的子集。

在集合的基础上，我们可以定义拓扑空间。

定义3：拓扑空间是一个集合X，它的子集族T满足以下条件：（a）空集∅和整个集合X都是T的元素。

（b）T的任意有限个元素的交集仍然是T的元素。

（c）T的任意多个元素的并集仍然是T的元素。

拓扑空间的定义使得我们可以通过T族定义拓扑空间里的开集。

定义4：集合X的一个子集U是开集，如果U属于T。

定义5：设X是一个拓扑空间，P是X的一个点，邻域是包含P的开集的集合。

二、连续映射的定义在了解了拓扑空间后，我们可以引入连续映射的概念。

定义6：设X和Y是两个拓扑空间，函数f：X→Y是一个映射。

如果对于任意Y的开集V，f的原像f^(-1)(V)是X的开集，那么称f是一个连续映射。

连续映射的定义表明了映射在两个拓扑空间中的关系。

如果一个映射满足原像开集是定义域拓扑的开集，则该映射被称为连续映射。

三、连续映射的性质连续映射具有一些重要的性质，我们来介绍其中两个性质。

性质1：设X、Y、Z是三个拓扑空间，f：X→Y和g：Y→Z是两个连续映射，则复合函数g∘f：X→Z也是连续映射。

这个性质说明了连续映射的复合仍然是连续映射。

如果我们有多个连续映射进行复合，其结果仍然是连续映射。

性质2：设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y是一个连续双射，且f和f^(-1)都是连续映射，则f是一个同胚映射。

这个性质描述了连续双射和同胚映射的关系。

如果一个连续双射的逆映射也是连续映射，则该映射称为同胚映射。