江阴高中高三数学专题复习⑶ 转化与化归思想2013.3

第四讲转化与化归思想知识整合一、转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．二、转化与化归的常见方法1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．2．换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题．6．构造法：构造一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决．10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A使原问题获得解决，体现了正难则反的原则．1.特殊与一般的转化典题例析例1(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cos A＋cos C1＋cos A cos C＝45.[思路探究]看到a，b，c成等差数列，可联想到等边三角形举特例求解．[解析]显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以cos A＋cos C1＋cos A cos C＝cos60°＋cos60°1＋cos60°cos60°＝11＋14＝45.(2)已知f (x )＝33x ＋3，则f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)＝__2_020__.[思路探究] 看到求f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)的值，想到求f (x )＋f (1－x )的值．[解析] f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x ＝3x ＋33x ＋3＝1，所以f (0)＋f (1)＝1，f (－2 019)＋f (2 020)＝1，所以f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)＝2 020. 规律总结化一般为特殊的应用(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． (2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案．(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．1．AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的坐标为__(0，－1)__．[解析] 找特殊情况，当AB ⊥y 轴时，AB 的方程为y ＝1，则A (－2,1)，B (2,1)，过点A 的切线方程为y －1＝－(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0.同理，过点B 的切线方程为x －y －1＝0，则l 1，l 2的交点为(0，－1)．2．在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( C )A ．20B ．15C ．36D ．6[解析] 方法一：由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD→＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－(AD →＋23AB →)＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝(AB →＋34AD →)·(13AB →－14AD →)＝13(AB →＋34AD →)·(AB →－34AD →)＝13(AB →2－916AD →2)＝13(144－916×64)＝36，故选C.方法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.2.函数、方程、不等式之间的转化 典题例析例2 (1)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[1e ，1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．[1e ，e]B ．(2e ，e]C ．(2e，＋∞)D ．(2e ，e ＋1e)[解析] 设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，当x ∈[1e ，1]时，f ′(x )＝1－x x ≥0，f (x )是增函数，所以x ∈[1e ，1]时，f (x )∈[a －1e ，a ]．设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1，0)单调递减，在[0,1]单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈[1e ，1]，存在唯一的y ∈[－1,1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以[a －1e ，a ]⊆[1e ，e]，∴2e<a ≤e ，故选B.(2)(文)(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若对∀x 1∈[12，3]，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[解析] 当x ∈[12，3]时，f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.(理)(2019·济南调研)已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn ，则( A )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定[解析] 由不等式可得1n 2－1m 2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m 2＋ln m .设f (x )＝1x 2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增．因为f (n )<f (m )，所以n <m .故选A ． 规律总结函数、方程与不等式相互转化的应用1．函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助． 2．解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．1．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈[12，2]，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为( B )A ．[12，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)[解析] 由题意得，对一切x ∈[12，2]，f (x )>0都成立，即a >2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2(1x －12)2＋12在x ∈[12，2]上恒成立，而－2(1x －12)2＋12≤12，则实数a 的取值范围为(12，＋∞)． 2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln4，则( B )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．b <c <a[解析] a ＝13ln 94＝13ln(32)2＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln4＝14×2ln2＝ln22.故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f (32)，b ＝f (54)，c ＝f (2)．因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln xx2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，e]上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0， 函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54<32<2<e ，所以f (54)<f (32)<f (2)，即b <a <c ，故选B.3.正难则反的转化 典题例析例3 (1)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋(m2＋2)x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是( B )A ．(－5，－103)B ．(－373，－5)C ．(－5，－2)D ．(－5，＋∞)[解析] g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，又t ∈[1,2]，则m ＋4≥21－3×1＝－1，即m ≥－5；②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为 (0，18) .[解析] f ′(x )＝2ax －1＋1x.(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12(1x －1x2)．①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈(12，1)．设h (t )＝12(t －t 2)＝－12(t －12)2＋18，t ∈(12，1)，显然函数y ＝h (t )在区间(12，1)上单调递减，所以h (1)<h (t )<h (12)，即0<h (t )<18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12(1x －1x2)．②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[18，＋∞)．所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为(0，18)．规律总结转化化归思想遵循的原则1．熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题． 2．简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．3．直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何向平面几何问题转化)．4．正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．1．若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( D )A ．(－∞，12]B ．(－∞，12)C ．(－12，＋∞)D ．[－12，＋∞)[解析] 设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k (x 21＋x 222)＝k (x 1＋x 22－3)＝－6k ＋12，所以中点P (－12k ，－6k ＋12)．由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>(－12k )2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x ＝3)对称．所以实数k 的取值范围是[－12，＋∞)．故选D.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围是 (－3，32) .[解析] 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )>0， 因为Δ＝36p 2≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0解得⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3<p <32，即满足题意的实数p 的取值范围是(－3，32)．4.形体位置关系的转化 典题例析例4 (1)如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为__4__.[解析] 方法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝(12×2×1)×2＝2，V 三棱柱EBF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝(12×2×1)×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.方法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V 正方体ABHI －DEKG ＝23＝8， 故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEGH ＝12×8＝4.(2)如图1所示，正△ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．现将△ABC 沿CD 翻折，使翻折后平面ACD ⊥平面BCD (如图2)，求三棱锥C －DEF 的体积．[解析] 方法一：如图，取CD 的中点M ，连接EM ，则EM ∥AD ，且EM ＝12AD ＝a2，又AD ⊥平面BDC ，故EM 为三棱锥E －DFC 的高．求三棱锥C －DEF 的体积，即求三棱锥E －DFC 的体积． 由题意，知CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，F 为BC 的中点， 所以S △CDF ＝12S △BCD ＝12×12CD ·BD ＝14(2a )2－a 2·a ＝34a 2.所以V 三棱锥E －CDF ＝13S △CDF ·EM ＝13×34a 2×12a ＝324a 3.即V 三棱锥C －DEF ＝324a 2.方法二：如图所示，知三棱锥C －DEF 与三棱锥E －DFC 的体积相等，且三棱锥E －DFC 是三棱锥A －BDC 的一部分．因为平面ACD ⊥平面BCD ，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，故三棱锥E －DFC 的底面积和高分别是三棱锥A －BDC 的底面积和高的一半．由题意，知CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，AD ⊥BD ，AD ＝BD ＝a ，DC ＝3a ，所以S △BCD ＝12×3a ·a ＝32a 2. 故V 三棱锥A －BDC ＝13S △BCD ·AD ＝13×32a 2×a ＝36a 3，则V 三棱锥C －DEF ＝14V 三棱锥A －BCD ＝14×36a 3＝324a 3. 规律总结形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1．(2019·吉林模拟)已知如图，四边形ABCD 和四边形BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，∠BCD ＝∠BCE ＝π2，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC ＝CD ＝CE ＝2AD ＝2BG ＝2，则五面体EGBADC的体积为 73.[解析] 如图所示，连接DG ，BD .由平面ABCD ⊥平面BCEG ， ∠BCD ＝∠BCE ＝π2，可知EC ⊥平面ABCD ， 又CE ∥GB ， 所以GB ⊥平面ABCD .又BC ＝CD ＝CE ＝2，AD ＝BG ＝1，所以V 五面体EGBADC ＝V 四棱锥D －BCEG ＋V 三棱锥G －ABD＝13S 梯形BCEG ·DC ＋13S △ABD ·BG ＝13×2＋12×2×2＋13×12×1×2×1＝73.故填73. 2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形，M 为PC 的中点．(1)求证：PC ⊥AD ；(2)求点D 到平面P AM 的距离．[解析] (1)证明：如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，AC ，由题意可知△P AD ，△ACD 均为正三角形，所以OC ⊥AD ，OP ⊥AD .又OC ∩OP ＝O ，所以AD ⊥平面POC ， 又PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AD .(2)点D 到平面P AM 的距离即点D 到平面P AC 的距离，由(1)可知，PO ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P －ACD 的高．在Rt △POC 中，PO ＝OC ＝3，PC ＝6，在△P AC 中， 因为P A ＝AC ＝2，PC ＝6，所以边PC 上的高 AM ＝P A 2－PM 2＝22－(62)2＝102， 所以△P AC 的面积S △P AC ＝12PC ·AM ＝12×6×102＝152.设点D 到平面P AC 的距离为h ，由V D －P AC ＝V P －ACD ，得13S △P AC ·h ＝13S △ACD ·PO ，又S △ACD ＝12×2×3＝3，所以13×152×h ＝13×3×3，解得h ＝2155.故点D 到平面P AM 的距离为2155.。

专题五 转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，本专题主要训练转化与化归的思想方法在解决数学问题中的应用。

内容主要包括转化与化归的主要原则、方法、依据。

通过对既往全国及江苏等省市高考试题的研究，不难发现，几乎每题都渗透这种思想方法。

1、,通过转化转化与化归的原则是：（1）将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的或已经解决的问题；（2）将抽象的问题转化为具体的、直观的问题；（3）将复杂的问题转化为简单的问题；（4）将一般性的问题转化为直观的、特殊的问题，（5）将实际问题转化数学问题，使问题便于解决。

2、 转化与化归的方法有：（1）函数与方程的相互转化；（2）函数与不等问题的相互转化；（3）数与形的转化；（4）空间与平面的相互转化；（5）一般与特殊的相互转化；（6）实际问题与数学理论的转化； （7）高次与低次的相互转化：（8）整体与局部的相互转化。

3、转化与化归思想思维程序问题（抽象、数学化）数学问题（化归、转化 把问题化为模型）数学模型（求解 运用模型）得解 巩固练习（一） 一、选择题1、已知f （x ）=ax 2+ax+a-1，对任意实数x ，恒有f （x ）＜0，则a 的取值范围是（C ） （A ）（-0,34） （B ）（-∞，0） （C ）(]0,∞- （D ）(])34(0,∞+∞- 2、函数)112lg(--=xy 的图象关于 （A ） （A ）原点对称 （B ）x 轴对称 （C ）y 轴对称 （D ）直线y=x 对称3、设7777897298199C C C m +-+-= ，则m 除以8的余数是 （A ）（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）1-294、三个数，a=0．3-0．4，b=log 0．30．4，c=log 40．3，则有 （D ）（A ）b ＜c ＜a （B ）a ＜c ＜b （C ）c ＜a ＜b （D ）c ＜b ＜a 5、不等式0||42≥+-xx x 的解集是 （D ） （A ）}22|{≤≤-x x（B ）|03|{ x x ≤-或}30≤≤x（C ）02|{ x x ≤-或20≤x } （D ）03|{ x x ≤-或20≤x }6、若圆x 2+y 2=1被直线ax+by+c=0所截的弦长为AB ，当a 2+b 2=2c 2时，弦AB 的长是（B ） （A ）22 （B ）2 （C ）1 （D ）21 7、（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）10展开式中各项系数和为 （A ） （A ）211-2 （B ）211-1 （C ）211（D ）211+18、函数y=f （x ）是函数y=-)10(222≤≤-x x 的反函数，则函数y=f （x ）的图象是图2-4-1中的（ B ）9、已知⊙c ：x 2+y 2+2x-24=0，A （1，0）．P 为⊙c 上任意一点，AP 的垂直平分线与C 、P 的连线交于M ，则M 点的轨迹方程是（C ）（A ）125421422=-y x （B ）125421422=+y x （C ）121425422=+y x （D ）121425422=-y x 10、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1D 1和DD 1的中点，过平行线MN 和B 1C 作截面MB 1CN ，令二面角M-B 1C-C 1的大小为θ，则cos θ等于 （D ） （A ）0 （B ）21 （C ）23 （D ）3111、从点P （3，-2）发出的光线，被直线x+y-2=0反射，若反射线所在的直线恰好过Q （5，1），则入射线的方程是 x-2y-7=0 . 12、函数y=2sinx-2cos 2x+1 x ∈]32,4[ππ的值域是 ]3,2[ . 13、如图2-4-2，圆锥V-AB ，母线长为6，母线与底面所成角θ的正切值为35，一个质点在侧面上从B 运动到VA 的最短距离是 3 .14、方程1145222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则椭圆离心率的范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛51,0 . .15、( 2006湖南）已知1,10,220xx yx y≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y+的最小值是 5 .16、已知正三棱锥S—ABC的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为300，过底面顶点A作截面△AMN交侧棱SB 、SC 分别于M 、N ，则△AMN 周长的最小值为 22 。

高三数学复习资料（化归与转化的思想在解题中的应用）【考纲要求】考察考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平。

综合运用分类讨论、数形结合、转化与化归思想方法、以及待定系数法、配方法解决函数综合问题。

【考点分析】近几年高考函数部分重点考查基本初等函数的图像和性质，导数的几何意义和导数的应用，以及数学的思想方法。

在150分的试卷中占19－24分。

【重点与难点】本节结合函数与导数的知识，讲述在解决数学问题时转化与化归思想方法。

重点是“化归与转化的策略”，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、特殊与一般问题之间的互相转化等。

把转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程，难点如何保证转化的等价性。

【归纳】化归与转化应遵循的基本原则：(1)熟悉化原则，(2)简单化原则，(3)直观化原则，(4)正难则反原则，(5)和谐化原则。

策略一：化繁为简，化特殊为一般【例1】（2011辽宁理21）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f .(1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)设,1-<a 如果对任意),,0(,21+∞∈x x |,|4|)()(|2121x x x f x f -≥-求a 的取值范围.归纳：_________________________________________________________________________变式1：（2007年陕西）)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足)()('x f x xf +,0≤对任意正数a 、b ，若,b a <则必有( )A ．)()(a bf b af ≤B ．)()(b af a bf ≤C ．)()(b f a af ≤D ．)()(a f b bf ≤策略二：等价命题的转化【例2】（2012广州一模调研改编）已知函数||ln )(b x x ax x f ++=是奇函数，且图像在点))(,(g f e 处的切线斜率为3（e 为自然对数的底数）．(1)求实数a 、b 的值；(2)当),(1Z n m n m ∈>>时，证明：m n n m mn nm )()(>.变式2：已知三次函数)()(23R d c b a d cx bx ax x f ∈+++=、、、为奇函数，且在点))1(,1(f 的切线方程为.22-=x y(1)求函数)(x f 的表达式；(2)如果过点),2(t 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数t 的取值范围.归纳：_________________________________________________________________________策略三：函数与方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程，不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围. 基础练习:(1)0142>+-x x 解集为__________. (2)0312≤-+xx 解集为__________. (3)若不等式012>++x ax 的解集为},21|{t x x <<-则=a __________，=t __________. (4)不等式02>++c bx ax 的解集为},32|{<<x x 则不等式02>+-c bx ax 的解集为____.总结：_________________________________________________________________________【例3】若关于x 的方程05425|1||1|=-⋅-+-+-m x x 有实根，求m 的取值范围．归纳：________________________________________________________________________变式3：已知)(x f 为定义在实数集R 上的奇函数，且)(x f 在),0[+∞上是增函数．当θ≤02π≤时，是否存在这样的实数m ，使)cos 24()32(cos θθm m f f -+-)0(f >对所有的]2,0[πθ∈均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由．归纳：________________________________________________________________________【巩固提高】1、若不等式342-+>+p x px x 对一切40≤≤p 均成立，试求实数x 的取值范围.已知函数的单调性求取值范围问题2、（2010开封模拟）已知函数.ln 2)(2x a x x x f ++=若函数)(x f 在区间]1,0(上为单调增函数，求实数a 的取值范围．归纳：________________________________________________________________________ 总结：________________________________________________________________________3、若存在正数x 使1)(2<-a x x 成立，则a 的取值范围是( )A ．),(+∞-∞B ．),2(+∞-C ．),0(+∞D ．),1(+∞-(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.参考答案例1、解：(1))(x f 的定义域为),,0(+∞⋅++=++=xa ax ax x a x f 1221)('2 当0≥a 时，,0)('>x f 故)(x f 在),0(+∞单调增加当1-≤a 时，,0)('<x f 故)(x f 在),0(+∞单调减少当01<<-a 时，令,0)('=x f 解得aa x 21+-= 则当)21,0(a a x +-∈时，.0)('>x f ),21(+∞+-∈aa x 时，.0)('<x f 故)(x f 在)21,0(a a +-单调增加，在),21(+∞+-a a 单调减少. (2)不妨假设,21x x ≥ 而,1-<a 由(1)知在),0(+∞单调减少，从而),,0(,21+∞∈∀x x ||4|)()(|2121x x x f x f -≥-等价于),,0(,21+∞∈∀x x 11224)(4)(x x f x x f +≥+ ①令,4)()(x x f x g += 则421)('+++=ax xa x g ①等价于)(x g 在),0(+∞单调减少，即0421≤+++ax x a 从而212)12(1224)12(1214222222-+-=+---=+--≤x x x x x x x a 故a 的取值范围为].2,(--∞ 归纳：通过确定21,x x 的大小关系化繁为简；通过构造函数化特殊为一般；通过分离参数避免讨论。

《新课标》高三数学（人教版）第二轮专题讲座第三讲 转化与化归思想一．知识探究：等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

1．转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

2．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。

3．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

高考数学专题复习转化与化归思想教案第一章：转化与化归思想概述1.1 转化与化归思想的定义与意义引导学生理解转化与化归思想的含义，认识到它在数学解题中的重要性。

举例说明转化与化归在解决数学问题中的应用。

1.2 转化与化归的方法与技巧介绍常用的转化与化归方法，如代数化、几何化、图像化等。

通过具体例题，引导学生掌握这些方法在解题中的应用。

第二章：代数问题的转化与化归2.1 代数方程的转化与化归讲解如何将代数方程转化为更容易解决的形式，如一次方程、二次方程等。

引导学生运用转化与化归思想解决实际问题。

2.2 不等式的转化与化归介绍如何将不等式转化为标准形式，以及如何利用转化与化归思想解决不等式问题。

通过例题，让学生学会应用这些方法解决实际问题。

第三章：几何问题的转化与化归3.1 几何图形的转化与化归讲解如何将几何图形转化为标准形式，如三角形、四边形等。

引导学生运用转化与化归思想解决几何问题。

3.2 几何关系的转化与化归介绍如何将几何关系转化为更简单的形式，如相似、全等、平行等。

通过例题，让学生学会应用这些方法解决几何问题。

第四章：函数问题的转化与化归4.1 函数方程的转化与化归讲解如何将函数方程转化为更容易解决的形式，如线性函数、二次函数等。

引导学生运用转化与化归思想解决函数问题。

4.2 函数图像的转化与化归介绍如何将函数图像转化为更容易分析的形式，如直线、曲线等。

通过例题，让学生学会应用这些方法解决函数问题。

第五章：应用题的转化与化归5.1 实际问题的转化与化归引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用转化与化归思想解决。

通过例题，让学生学会应用转化与化归思想解决实际问题。

5.2 数学竞赛题的转化与化归讲解如何将数学竞赛题转化为标准形式，并运用转化与化归思想解决。

通过例题，让学生学会应用这些方法解决数学竞赛题。

第六章：数列问题的转化与化归6.1 数列求和的转化与化归讲解如何将数列求和问题转化为等差数列、等比数列等简单形式。

专题13 化归与转化思想一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。

化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。

转化有等价转化与不等价转化。

等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。

常见的转化有：1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。

2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。

3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。

4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。

5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。

6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。

7、函数与方程的转化二、 经典例题剖析例1、（2007安徽卷 理）设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>． （Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；（Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。

转化与化归思想转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．特殊与一般的转化考点讲解：一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．（2022全国乙理）1．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）A．B．C．D．2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则等于（ ）A．B．C．D．（2023福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学期中）3．已知，则______.（2023四川省达州市普通高中第一次诊断性测试）4．函数满足，令，对任意的，都有，若，则（ ）A．B．3C．1D．一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.命题的等价转化考点讲解：将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．（2022新高考全国2）5．已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．6．若对于任意 ，函数在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．7．命题 “ ” 是假命题，则实数的取值范围为___________.（2023安徽省皖南八校第二次大联考）8．已知，则__________.根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.考点03函数、方程、不等式之间的转化考点讲解：函数与方程、不等式紧密联系，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．（2022高考甲卷理）9．已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．（2022新高考全国2）10．已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．（2022新高考全国1）11．设，则（ ）A．B．C．D．借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.12．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．（2023安徽省皖南八校第二次大联考）13．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）A．B．C．D．二、多选题14．随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数为周期函数，且最小正周期为D．函数的导函数的最大值为415．已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（ ）A．B．函数的图象关于点对称C．D．若，则16．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）A．B．C．D．三、填空题17．若命题“关于x的不等式对一切实数x恒成立”是假命题，则实数m的取值范围是____________．18．已知定义在R上的函数，则___________.（2023四川省达州市普通高中第一次诊断性测试）19．已知正方形边长为两点分别为边上动点，，则的周长为__________.20．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______．四、解答题（2022高考乙卷理）21．记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．参考答案：1．D【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.【详解】[方法一]:常规解法因为，所以，，得到，同理，可得，又因为，故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.[方法二]：特值法不妨设则故D正确.2．A【分析】方法一：因a，b，c成等差数列，则，再由余弦定理得表达式，代入所求可得答案；方法二：因题目条件对限制不多，可令，得为等边三角形.后可得答案.【详解】方法一：因a，b，c成等差数列，则，又由余弦定理可得：，.则方法二：令a＝b＝c，则为等边三角形，且，代入所求式子，得＝故选：A.3．4042【分析】先判断函数的对称性，然后用倒序相加法求和..【详解】由，令可得，，且，则，所以，函数关于点对称，即由已知，，又两式相加可得，所以，.故答案为：4042.4．A【分析】根据变形得到，即，再根据，，计算得到，，从而得到，由求出答案.【详解】因为，所以，即，，故，所以是奇函数，令，解得：，故，解得：，则，令，解得：，故，解得：，则，依次可得：，解得：，则，则，故，中，令得：，所以,故选：A【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：若，则函数关于对称；若，则函数关于中心对称；若，则是的一个周期5．##．【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为，所以，因此．故答案为：．6．【分析】求导，先求解在区间上为单调函数，分单调递增和单调递减两种情况讨论，然后转化成恒成立问题，分离参数求解最值，进而可得不单调时m的取值范围.【详解】 ，若存在，在区间上为单调函数，则①在上恒成立，或②在上恒成立．由①得在上恒成立，由于，所以即在上恒成立，由于函数均为上的单调递减函数，所以单调递减，当时，取最大值，则 ，又存在，所以，当时，取到最小值-5，所以即；由②得在上恒成立，则，即，所以存在，函数g(x)在区间(t,3)上为单调函数的m的取值范围为或，因此使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为故答案为：7．【分析】写出特称命题的否定，可得全称命题为真命题，所以问题转化为恒成立，利用基本不等式求得的取值范围.【详解】因为是假命题，则为真命题，所以，设函数，则函数，当且仅当，即时，等号成立.，即，所以的取值范围是.故答案为：8．##【分析】先变形得到，再分别求出所需要的角的三角函数值代入计算即可.【详解】因为，，，因为，所以，所以，故故答案为：.9．(1)(2)证明见的解析【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.【详解】（1）[方法一]：常规求导的定义域为，则令,得当单调递减当单调递增，若,则,即所以的取值范围为[方法二]：同构处理由得：令，则即令，则故在区间上是增函数故，即所以的取值范围为（2）[方法一]：构造函数由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设要证,即证因为,即证又因为,故只需证即证即证下面证明时，设，则设所以,而所以,所以所以在单调递增即,所以令所以在单调递减即,所以；综上, ,所以.[方法二]：对数平均不等式由题意得：令，则，所以在上单调递增，故只有1个解又因为有两个零点，故两边取对数得：，即又因为，故，即下证因为不妨设，则只需证构造，则故在上单调递减故，即得证【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式这个函数经常出现，需要掌握10．(1)的减区间为，增区间为.(2)(3)见解析【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【详解】（1）当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.（2）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有，所以在上为减函数，所以.综上，.（3）取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.11．C【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解： ， ， ，① ，令则 ，故 在 上单调递减，可得 ，即 ，所以 ；② ，令则 ，令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以故12．C【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：则，解得，即．故选：C．13．B【分析】根据 是偶函数，可将自变量都转到上，通过比较自变量的大小，以及判断的单调性，即可比较大小.【详解】， 是偶函数，又，记，则,所以单调递减，当时，，所以，故当时，单调递减，记当时，,所以在单调递减，故，即,记，当时，,所以单调递减，故，综上可知：当时，单调递减，故故选：B14．ABD【分析】由题可知，根据诱导公式可得可判断AC，根据奇偶性的概念可判断B，根据导数公式及三角函数的性质可判断D.【详解】因为函数，定义域为R，对于A，，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；对于B，，所以函数为奇函数，图象关于点对称，故B正确；对于，由题知，故C错误；对于，由题可知，故D正确.故选：.15．ABD【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断ABC，对于D，通过观察选项可以推断很可能为周期函数，结合，的特殊性以及一些已经证明的结论，想到当令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步可得出是周期函数，从而可得出的值.【详解】对于A，令，代入已知等式得，得，再令，，代入已知等式得，可得，结合得，故A正确；对于B，再令，代入已知等式得，将代入上式，得，∴函数为奇函数，∴函数关于点对称，故B正确；对于C，再令，代入已知等式，得，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，故C错误；对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，两式相加易得，所以有，即：，有：，即：，∴为周期函数，且周期为3，∵，∴，∴，，∴，∴，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于含有，，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有，双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 16．AC【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，， ，设，由即，则，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，， ，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率选C[方法二]：答案回代法特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支,，，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.17．或【分析】将问题转化为不等式恒成立是真命题求解，然后求其补集即可.【详解】若命题是真命题：当时，，可化为，成立；当时，，解得综合得当时，关于x的不等式对一切实数x恒成立是真命题，若命题“关于x的不等式对一切实数x恒成立”是假命题则或故答案为：或18．【分析】根据已知条件得，再利用倒序相加法即可求解.【详解】由，得，所以，设,,由，得即，于是有，解得，所以.故答案为：.19．4【分析】设，，用表示出，由勾股定理求出即可求出周长.【详解】如图所示，设，，所以，即，由题意可得，，所以，，所以，所以的周长为，故答案为：420．【分析】将不等式化简后，构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解【详解】，∴，构造函数，显然在上单调递增，故等价于，即任意的实数恒成立，．令，则，故在上单调递减，在上单调递增，，得．故答案为：21．(1)见解析(2)14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.【详解】（1）证明：因为，所以，所以，即，所以；（2）解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.。

高考数学专题复习——转化与化归思想教案一、教学目标1. 理解转化与化归思想的本质，掌握其在数学解题中的应用方法。

2. 通过典型例题，体会转化与化归思想在解决数学问题中的重要性。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，为高考数学复习打下坚实基础。

二、教学内容1. 转化与化归思想的定义及意义2. 常见转化与化归方法a. 代数化归b. 几何化归c. 物理化归d. 数形结合化归3. 转化与化归思想在高考数学中的应用实例三、教学重点与难点1. 重点：理解转化与化归思想的本质，掌握各类转化与化归方法。

2. 难点：如何在实际问题中灵活运用转化与化归思想。

四、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何将问题转化为更易解决的形式，从而引出转化与化归思想。

2. 讲解：详细阐述转化与化归思想的定义、意义及各类方法。

3. 实例分析：分析高考数学中的典型题目，展示转化与化归思想在解决问题中的重要作用。

4. 练习：让学生尝试解决一些转化与化归问题，巩固所学方法。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调转化与化归思想在数学学习中的重要性。

五、课后作业1. 复习本节课所讲内容，总结转化与化归思想的方法。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 搜集一些高考数学中的转化与化归问题，进行自主研究。

六、教学策略与方法1. 案例分析：通过分析具体的数学问题，让学生感受转化与化归思想在解题中的重要性。

2. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己在解决问题时运用转化与化归思想的心得体会。

3. 练习巩固：布置针对性的课后练习，让学生在实践中运用所学知识，提高解题能力。

4. 反馈评价：及时给予学生反馈，评价他们在解决问题时运用转化与化归思想的准确性及效果。

七、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂讨论、提问等方面的积极性，评价他们对转化与化归思想的理解程度。

2. 课后练习：检查学生完成的课后练习题，评估他们在实际问题中运用转化与化归思想的准确性。

第四讲 转化与化归思想1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．2．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性．3．转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．(3)具体化原则：化归方向应由抽象到具体．(4)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．1． (2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.答案 1解析 设出等差数列的公差，列方程求解． 设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ，又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1.2． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.3． (2012·重庆)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c答案 B解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233， b ＝log 29－log 23＝log 233， ∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c .4． (2011·天津)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]答案 B解析 依题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2，作出其示意图如图所示．由数形结合知，实数c 需有1<c ≤2或－2<c ≤－1，故选B.5． (2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C.94D ．3答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.题型一 特殊与一般的转化例1 (1)e 416，e 525，e 636(其中e 为自然常数)的大小关系是( )A.e 416＜e 525＜e 636 B.e 636＜e 525＜e 416 C.e 525＜e 416＜e 636D.e 636＜e 416＜e 525(2)在定圆C ：x 2＋y 2＝4内过点P (－1,1)作两条互相垂直的直线与C 分别交于A ，B 和M ，N ，则|AB ||MN |＋|MN ||AB |的范围是________．审题破题 (1)观察几个数的共同特征，可以构造函数，利用函数的单调性比较数的大小；(2)由于题目条件中过点P (－1,1)可作无数对互相垂直的直线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题． 答案 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤2，322 解析 (1)由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636.而f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e xx 2′＝e x·x 2－e x·2x x 4＝e x(x 2－2x )x 4，令f ′(x )＞0得x ＜0或x ＞2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)＜f (5)＜f (6)，即e 416＜e 525＜e 636.(2)设|AB ||MN |＝t ，考虑特殊情况：当AB 垂直OP 时，MN 过点O ，|AB |最小，|MN |最大，所以t 最小＝22，t 最大＝ 2.所以t ∈⎣⎡⎦⎤22，2.又因为t ＋1t ≥2 t ·1t ＝2，所以t ＋1t ∈⎣⎡⎦⎤2，322.反思归纳 当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略．数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题．变式训练1 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．答案 1316解析 由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.题型二 正难则反转化例2 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________．审题破题 函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g (x )在区间(t,3)上为单调函数．答案 －373<m <－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.反思归纳 正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想．一般有两种情形：正面解决比较困难，正面出现多种情形，可考虑从反面解决，体现了对立统一，相互转化的思想． 变式训练2 (2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________． 答案 (－4,0)解析 将问题转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0的解集的子集求解． ∵g (x )＝2x －2<0，∴x <1. 又∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， ∴[1，＋∞)是f (x )<0的解集的子集．又由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0知m 不可能大于等于0，因此m <0. 当m <0时，f (x )<0，即(x －2m )(x ＋m ＋3)>0，若2m ＝－m －3，即m ＝－1，此时f (x )<0的解集为{x |x ≠－2}，满足题意；若2m >－m －3，即－1<m <0，此时f (x )<0的解集为{x |x >2m 或x <－m －3}，依题意2m <1，即－1<m <0；若2m <－m －3，即m <－1，此时f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，依题意－m －3<1，∴m >－4，∴－4<m <－1.综上可知，满足条件的m 的取值范围是－4<m <0. 题型三 函数、方程、不等式之间的转化例3 已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x1＋x.(1)求f (x )的极小值；(2)若a 、b >0，求证：ln a －ln b ≥1－ba.审题破题 (1)求函数的极值可通过求导、列表的方法；(2)证明不等式可以观察式子和题中函数的关系，借助函数的极值进行求证． (1)解 f ′(x )＝11＋x －1＋x －x (1＋x )2＝x(1＋x )2(x >－1)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0. 列表如下x (－1,0) 0 (0，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗由上表可知，x ＝0时f (x )取得极小值f (0)＝0.(2)证明 在x ＝0时，f (x )取得极小值，而且是最小值，于是f (x )≥f (0)＝0，从而ln(1＋x )≥x 1＋x在x >－1时恒成立，令1＋x ＝a b >0，则x 1＋x ＝1－1x ＋1＝1－ba ，∴ln a －ln b ＝ln a b ≥1－ba .因此ln a －ln b ≥1－ba 在a >0，b >0时成立．反思归纳 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．变式训练3 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x －1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)，取t ＝1n(n ∈N *)，则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n)＝ln(n ＋1).典例 (12分)已知函数f (x )＝13x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (a 是小于1的正实数，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围． 规范解答解 因为f ′(x )＝x 2＋⎝⎛⎭⎫a －83x ＋⎝⎛⎭⎫43－23a ＝⎝⎛⎭⎫x －23(x ＋a －2)，所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a .[2分] 由0<a <1，知1<2－a <2.[3分]所以令f ′(x )>0，得x <23，或x >2－a ；令f ′(x )<0，得23<x <2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增． [5分]所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .因为当0<a ≤25时，13－a 6≥23a ；当25<a <1时，23a >13－a 6， 由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，得2[f (x )]min >[f (x )]max (x ∈[1,2])．[7分]所以当0<a ≤25时，必有2×a 6(2－a )2>13－a 6，结合0<a ≤25可解得1－22<a ≤25；[9分]当25<a <1时，必有2×a 6(2－a )2>23a ，结合25<a <1可解得25<a <2－ 2.[11分] 综上，知所求实数a 的取值范围是1－22<a <2－ 2. [12分]评分细则 (1)求出f ′(x )给1分；(2)讨论时将a 的范围分为0<a <25和25≤a <1一样给分；讨论时a 的值有重、漏情况扣1分；(3)“综上……”结论不写扣1分．阅卷老师提醒 将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f (x )在[1,2]上的最大值和最小值问题是解决本题的一个突破口．此外，要注意函数f (x )在[1,2]上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f (1)与f (2)的大小关系．1． 设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 A解析 设P (x 0，y 0)，倾斜角为α，0≤tan α≤1，f (x )＝x 2＋2x ＋3，f ′(x )＝2x ＋2,0≤2x 0＋2≤1，－1≤x 0≤－12，故选A.2． 设a ＝22(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 A 解析 a ＝2×22sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°，∴c <a <b . 3． 方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是( )A ．－1≤k ≤54B ．－54≤k ≤0C ．0≤k ≤54D ．－54≤k ≤1答案 D解析 求k ＝－sin 2x －cos x 的值域．k ＝cos 2x －cos x －1＝(cos x －12)2－54.当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1，故选D.4． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________． 答案 (－13,13)解析 由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)．5． 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．答案 2105解析 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＋1，∴(2x ＋y )2≤85，(2x ＋y )max ＝2105.6． 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N ＋，若数列{c n }满足c n ＝b a n ，则c 2 013＝________. 答案 36 039解析 由已知a n ＝3n ，b n ＝3n ， ∴c 2 013＝b 3×2 013＝33×2 013＝36 039.专题限时规范训练一、选择题1． 在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C2的值为( )A.15B.14C.12D.23答案 C解析 取边长a ，b ，c 分别为4,3,5的直角三角形，易求tan A 2＝12，tan C2＝1，所以tanA 2·tan C 2＝12. 2． 等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n >0的最小正整数n 为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 ∵{a n }为等差数列，S 13＝0， ∴a 1＋a 13＝2a 7＝0，又a 1＝－12<0，∴显然{a n }为递增数列． a n >0的最小正整数n 为8.3． AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的纵坐标为 ( )A ．－1B ．－4C ．－14D ．－116答案 A解析 找特殊情况，当AB ⊥y 轴时，AB 的方程为y ＝1，则A (－2，1)，B (2,1)，过点A的切线方程为y －1＝－(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0.同理，过点B 的切线方程为x －y －1＝0，则l 1，l 2的交点为(0，－1)．4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6 答案 C解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3xy＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×2 3x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5.5． 棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A.a 33B.a 34C.a 36D.a 312答案 C解析 所得图形为一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为22a ，高为正方体边长的一半，∴V ＝2×13⎝⎛⎭⎫22a 2·a 2＝a 36.6． 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，O 为坐标原点，且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.3＋12C.6＋ 2D.6＋22答案 A解析 如图，取F 2P 的中点M ，则OP →＋OF 2→＝2OM →.又由已知得OM →·F 2P →＝0， ∴OM →⊥F 2P →.又OM 为△F 2F 1P 的中位线， ∴F 1P →⊥PF 2→.在△PF 1F 2中，2a ＝|PF 1→|－|PF 2→|＝(3－1)|PF 2→|，2c ＝2|PF 2→|.∴e ＝23－1＝3＋1.7． 已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)等于 ( )A ．0.22B ．0.28C ．0.36D ．0.64答案 B 解析 ∵X ～N (1，σ2)，∴P (X ≤0)＝P (X ≥2)＝1－P (X ≤2)＝1－0.72＝0.28.8． 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0132 013，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 2 0132 013，设 F (x )＝f (x ＋4)·g (x －4)，且函数F (x )的零点在区间[a －1，a ]或[b －1，b ](a <b ，a ，b ∈Z )内，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 D解析 由F (x )＝f (x ＋4)·g (x －4)可知，函数F (x )的零点即为f (x ＋4)的零点或g (x －4)的零点，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2 012.当x ≠－1时，f ′(x )＝1＋x 2 0131＋x>0， x ＝－1时，f ′(x )＝2 013>0.∴f (x )在R 上单调递增．又f (0)＝1，f (－1)＝(1－1)＋⎝⎛⎭⎫－12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫－12 012－12 013<0，∴f (x )在[－1,0]内有唯一零点，故f (x ＋4)的唯一零点在[－5，－4]内．同理g (x －4)的唯一零点在[5,6]内，因此，b ＝6，a ＝－4，∴a ＋b ＝2.二、填空题9． 设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为__________．答案 x ≤－1或x ≥0解析 ∵f (x )在R 上是增函数，∴由f (1－ax －x 2)≤f (2－a )可得1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．∴a (x －1)＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则当且仅当g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0，解之，得x ≥0或x ≤－1.故实数x 的取值范围为x ≤－1或x ≥0.10．在Rt △ABC 中，C ＝π2，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，r ，S 分别表示它的内切圆半径和面积，则cr S的取值范围是__________． 答案 [22－2,1)解析 由题意，得S ＝12ab ＝12c 2sin A sin B ， r ＝12(a ＋b －c )＝12c (sin A ＋sin B －1)， 从而cr S ＝sin A ＋sin B －1sin A sin B，设sin A ＋sin B ＝t ， 则sin A sin B ＝12(t 2－1)，cr S ＝2(t －1)t 2－1＝2t ＋1， 因为A ＋B ＝π2， 所以t ＝sin A ＋sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4∈(1，2]． 所以cr S的取值范围是[22－2,1)． 11． 如果函数f (x )＝x 2－ax ＋2在区间[0,1]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是_______．答案 a ≥3解析 由题意，知关于x 的方程x 2－ax ＋2＝0在[0,1]上有实数解．又易知x ＝0不是方程x 2－ax ＋2＝0的解，所以根据0<x ≤1可将方程x 2－ax ＋2＝0变形 为a ＝x 2＋2x ＝x ＋2x .从而问题转化为求函数g (x )＝x ＋2x(0<x ≤1)的值域． 易知函数g (x )在(0,1]上单调递减．所以g (x )∈[3，＋∞)．故所求实数a 的取值范围是a ≥3.故填a ≥3.12．若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．答案 2解析 ∵关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，方程m (x －1)＝x 2－x 即x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0的两根为1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3m ＝1×2，解得m ＝2. 三、解答题13．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B 2cos B － sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得 [cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35， 即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35. 则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. (2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45， 由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4， 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22. 14．(2013·江西)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n－(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．∴a n ＝2n .(2)证明 由a n ＝2n 得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n＝n ＋14n 2(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2， T n ＝116⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564.。