0702多元正态总体的假设检验

n 1 n 本，且 X = ∑ X (α ) ， S = ∑ ( X ( a ) − X )( X ( a ) − X )′ 。 n α =1 a =1 （一） 协差阵 Σ 已知时均值向量的检验 H 0：μ = μ0 （ μ0 为已知向量） H1：μ ≠ μ0 假设 H 0 成立，检验统计量为 −1 2 ′ T = n( X − μ0 ) Σ ( X − μ0 ) ~ χ ( p ) 2 0
三、两个正态总体均值向量的检验
（一）当 协差阵相等时 ，两个正态总体均值向量的检验 设 X ( a ) = ( X a1 , X a 2 ,L , X ap )′ ， 为来自 p 维 a = 1,2, L , n ， 正 态 总 体 N p ( μ1 , Σ ) 的 容 量 为 n 的 样 本 ；
Z (i ) = X (i ) −
n Y( i ) + m
i = 1, 2, L , n 1 n Z = ∑ Z (i) = X − Y n i =1
1 n⋅m
1 m Y( i ) − ∑ Y( i ) ∑ m j =1 j =1
n
S = ∑ (Z ( i ) − Z)(Z (i ) − Z)′
i =1
检验统计量 是 单一变量检验情 况的推广 。
2．针对有共同的未知协差阵的情形 对假设
H 0：μ1 = μ 2
H1：μ1 ≠ μ 2
进行检验。 对此问题，假设 H 0 成立时，所构造的检验统计量为
( n + m − 2) − p + 1 2 F= T ~ F ( p, n + m − p − 1) (n + m − 2) p
这里我们需要解释的是，当两个 总体的协差阵未 知时 ，自然想到用每 个总 体的样本协差阵
n
1 1 Sx 和 S y 去代替，而 n −1 m −1
S x = ∑ ( X( a ) − X)( X ( a ) − X)′ ~ W p (n − 1, Σ)
a =1
S y = ∑ (Y( a ) − Y )(Y( a ) − Y)′ ~ W p ( m − 1, Σ)
第二章
多元正态分布的假设检验
引言 均值向量的检验 协差阵的检验
第一节 第二节 第三节
第一节 引言
• 在单一变量的统计分析中，已经给出了正态总体N（ µ， σ2） 的均值µ和方差σ2的各种检验。对于多变量的正态总体 Np（ µ， ∑ ） ，各种实际问题同样要求对µ和∑进行统计推 断。 – 例如，我们要考察全国各省、自治区和直辖市的社会经 济发展状况，与全国平均水平相比较有无显著性差异 等，就涉及到多元正态总体均值向量的检验问题等。 • 本章类似单一变量统计分析中的各种均值和方差的检验，相 应地给出多元统计分析中的各种均值向量和协差阵的检验。
n 和 m ，且两组样本相互独立， n > p, m > p ， Σ1 > 0 ， Σ2 > 0 。对假设 H0：μ1 = μ2 H1：μ1 ≠ μ2
进行检验。
1．针对 n = m 的情形 令 Z ( i ) = X (i ) − Y(i )
i = 1,2, L, n
1 n Z = ∑ Z(i ) = X − Y n i =1 S = ∑ ( Z ( i ) − Z)( Z (i ) − Z)′
H 0 : µ = µ 0 ; H1 : µ ≠ µ 0
当 σ 已 知时，用统计量
2
( X − µ0 ) （2.1） z= n σ 1 n 其中，X = ∑ X i 为样 本均值。 当假设成立时 ， 统计量 z 服 n i =1 从 正态分 布 z ~ N (0,1) ， 从而否定域为 | z |> zα / 2 ， zα / 2 为 N (0,1) 的上 α / 2 分位点。
i =1 n n
= ∑ ( X( i ) − Y(i ) − X + Y )( X ( i ) − Y(i ) − X + Y)′
i =1
假设 H 0 成立时，构造检验统计量为
(n − p) n F= Z′S -1Z ~ F ( p, n − p ) p
（ 2.9）
2．针 对 n ≠ m 的情形 在 此 ，我们不 妨假设 n < m ，令
再根据 Hotelling T 2 分布的性质，所以
( n − 1) − p + 1 2 T ~ F ( p, n − p ) (n − 1) p
在处理实际问题时，单一变量的检验和多变量检验可以联合使用，多元 的检验具有概括和全面考察的特点，而一元的检验容易发现各变量之间 的关系和差异，能给人们提供更多的统计分析信息。
则 X ′Σ −1 X ~ χ 2 ( p ) 。显然，
T02 = n( X − μ0 )′ Σ −1 ( X − μ0 ) = n ( X − μ0 )′ Σ −1 n ( X − μ0 )∆Y ′Σ −1Y
其中， Y =
n ( X − μ0 ) ~ N p (0, Σ ) ，因此，
T02 = n( X − µ0 )′ Σ −1 ( X − μ0 ) ~ χ 2 ( p ) 。
（二）协差阵 Σ 未知时均值向量的检验 H 0：μ = μ 0 （ μ 0 为已知向量） H1：μ ≠ μ 0 假设 H 0 成立，检验统计量为
(n − 1) − p + 1 2 T ~ F ( p, n − p ) ( n − 1) p −1 2 其中， T = (n − 1)[ n ( X − μ 0 )′S n ( X − μ 0 )]
1．针对有共同已知协差阵的情形 对假设
H 0：μ1 = μ 2
H1：μ1 ≠ μ 2
进行检验。 对此问题，假设 H 0 成立时，所构造的检验统计量为
n⋅m T = ( X − Y)′Σ −1 ( X − Y) ~ χ 2 ( p) （2.7） n+m 2 给出检验水平 α ，查 χ 2 ( p ) 分布表使 P {T02 > χα } = α ，可
（2.5）
2 给定检验水平 α ，查 χ 2 分布表使 P T02 > χα = α ，可确定
{
}
出临界值 χα ， 再用样本值计算出 T0 ， 若 T0 > χα ， 则否定 H 0 ，
2 2 2 2
否则接受 H 0 。
这里 要对统计量的 选取做 一 些 解释 ， 为 什么该 统计量 服从
χ 2 ( p ) 分布。根据二次型分布定理知道，若 X ~ N p (0, Σ ) ，
n
n 1 n = ∑ ( X( i ) − X) − (Y(i ) − ∑ Y( j ) ) m n j =1 i =1
• 其基本思想和步骤均可归纳为： 第一，提出待检验的假设H0和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界 值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定 域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 • 在检验的过程中，关键在于对不同的检验给出不同的统计 量，而有关统计量的给出大多用似然比方法得到。由于多变 量问题的复杂性，本章只侧重于解释选取统计量的合理性， 而不给出推导过程，最后给出几个实例。
这里我们应该注意到， （3.3）式可以表示为
2 n ( X − µ ) 2 −1 ′ t2 = = n ( X − µ ) ( S ) ( X − µ ) （2.4） 2 S 对于多元变量而言，可以将 t 分布推广为 Hotelling T 2 分布。
二、一个正态总体 均值向量的检验
设 X (1) , X (2) ,L , X ( n ) 是 来 自 p 维 正 态 总 体 N p ( μ , Σ ) 的 样
a =1
m
从而 S = S x + S y ~ W p (n + m − 2, Σ) 。又由 于
所以
n⋅m ( X − Y ) ~ N p (0, Σ) n+m (n + m − 2) − p + 1 2 T ~ F ( p, n + m − p − 1) ( n + m − 2) p
下述假设检验统计量的选取和前边统计量的 选取思路 是一样的，以下只提 出待检验的假设，然后给出统计量及 其分布 ，不 再做重复解释。
第二节 均值向量的检验
一 单一变量检验的回顾及Hotelபைடு நூலகம்ingT2分布 二 一个正态总体均值向量的检验 三 两个正态总体均值向量的检验 四 多个正态总体均值向量的检验
一、单一变量检验的回顾
在 单 一 变 量 的 检 验 问 题 中 ， 设 X 1 , X 2 ,L , X n 来 自 总 体
N ( µ , σ 2 ) 的样本，我们要检验假设
−1 −1
1 S 取代 n −1
S = ∑ ( X( a ) − X)( X ( a ) − X)′ ~ Wp (n − 1, Σ)
a =1
n
n ( X − μ 0 ) ~ N p (0, Σ)
由 Hotelling T 2 分布定义知
T 2 = (n − 1)[ n ( X − μ 0 )′S −1 n ( X − μ 0 )] ~ T 2 ( p, n − p)
（ 2.6）
n− p 2 给定检验水平 α ，查 F 分布表，使 P T > Fα = α ，可 (n − 1) p n− p 2 确定出临界值 Fα ，再用样 本值计算出 T 2 ，若 T > Fα ， (n − 1) p 则否定 H 0 ，否 则接受 H 0 。
这里需要解释的是，当 Σ 未知时，自然想到要用样本协差阵 替 Σ ，因 ( n − 1)S 是 Σ 的无偏估计量，而样本离差阵
（2.8） 其中，
′ n⋅m n⋅m 2 −1 T = (n + m − 2) ( X − Y) S ( X − Y) n+m n+m S = Sx + S y