一个正态总体的假设检验课件

上一段中， H0:μ=μ0 ; H1: μ≠μ0 的对立假设为H1:μ≠μ0 ,该假设称为双边对立假设。

2. 单边检验 H0: μ=μ0; H1: μ>μ0而现在要处理的对立假设为 H1: μ>μ0, 称为右边对立假设。

类似地，H0: μ=μ0; H1: μ<μ0 中的对立假设H1: μ<μ0，假设称为左边对立假设。

右边对立假设和左边对立假设统称为单边对立假设，其检验为单边检验。

例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为μ0 ；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为µ。

我们想了解“µ是否显著地大于μ”,即产品的质量指标是否显著地增加了。

8.2.2 两个正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)均值的比较在应用上，经常会遇到两个正态总体均值的比较问题。

例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量。

将两厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)。

比较它们的产品质量指标的问题，就变为比较这两个正态总体的均值µ1和µ2的的问题。

上面，我们假定 σ12=σ22。

当然，这是个不得已而强加上去的条件，因为如果不加此条件，就无法使用简单易行的 t 检验。

在实用中，只要我们有理由认为σ12和σ22相差不是太大，往往就可使用上述方法。

通常是：如果方差比检验未被拒绝(见下节), 就认为σ12和σ22相差不是太大。

J 说明小结本讲首先介绍假设检验的基本概念；然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题，给出了检验的拒绝域及相关例题。

第二节 单个正态总体的假设检验1.单个正态总体数学期望的假设检验（1） σ2已知关于μ的假设检验（Z 检验法(Z -test)） 设总体X ~N （μ，σ2），方差σ2已知，检验假设H 0：μ=μ0；H 1：μ≠μ(μ0为已知常数）由X ~N （μ，nσ）X N （0，1），我们选取ZX （8.2）作为此假设检验的统计量，显然当假设H 0为真（即μ=μ0正确）时，Z ~N （0，1），所以对于给定的显著性水平α，可求z α/2使P {｜Z ｜＞z α/2}=α，见图8-1，即P {Z ＜-z α/2}+P {Z ＞z α/2}=α.从而有P {Z ＞z α/2}=α/2， P {Z ≤z α/2}=1-α/2.图8-1利用概率1-α/2，反查标准正态分布函数表，得双侧α分位点（即临界值）z α/2. 另一方面，利用样本观察值x 1，x 2，…，x n 计算统计量Z 的观察值z 0x （8.3）如果：（a ）｜z 0｜＞z α/2，则在显著性水平α下，拒绝原假设H 0（接受备择假设H 1），所以｜z 0｜＞z α/2便是H0的拒绝域.（b ） ｜z 0｜≤z α/2，则在显著性水平α下，接受原假设H 0，认为H 0正确.这里我们是利用H0为真时服从N （0，1）分布的统计量Z 来确定拒绝域的，这种检验法称为Z 检验法（或称U 检验法）.例8.1中所用的方法就是Z 检验法.为了熟悉这类假设检验的具体作法，现在我们再举一例.例8.2 根据长期经验和资料的分析，某砖厂生产的砖的“抗断强度”X 服从正态分布，方差σ2=1.21.从该厂产品中随机抽取6块，测得抗断强度如下（单位：kg ²cm -2）： 32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg ²cm -2是否成立（取α=0.05，并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化）？解 ① 提出假设H 0：μ=μ0=32.50；H 1：μ≠μ0. ② 选取统计量Z =X ，若H 0为真，则Z ~N （0，1）.③ 对给定的显著性水平α=0.05，求z α/2使P {｜Z ｜＞z α/2}=α，这里z σ/2=z 0.025=1.96.④ 计算统计量Z 的观察值：｜z 0｜ ≈3.05.⑤ 判断：由于｜z 0｜=3.05＞z 0.025=1.96，所以在显著性水平α=0.05下否定H 0，即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50 kg ²cm -2.把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期望值μ的检验步骤： （a ） 提出待检验的假设H 0：μ=μ0；H 1：μ≠μ0. （b ） 构造统计量Z ，并计算其观察值z 0：ZX ，z 0x .（c ） 对给定的显著性水平α，根据P {｜Z ｜＞z α/2}=α，P {Z ＞z α/2}=α/2，P {Z ≤z α/2}=1-α/2 查标准正态分布表，得双侧α分位点z α/2. （d ） 作出判断：根据H 0的拒绝域 若｜z 0｜＞z α/2，则拒绝H 0，接受H 1； 若｜z 0｜≤z α/2，则接受H 0.（2） 方差σ2未知，检验μ（t 检验法(t -test)） 设总体X ~N （μ，σ2），方差σ2未知，检验H 0：μ=μ0；H 1：μ≠μ0.由于σ2X 便不是统计量，这时我们自然想到用σ2的无偏估计量——样本方差S 2代替σ2，由于X t （n -1），故选取样本的函数tX （8.4）图8-2作为统计量，当H 0为真（μ=μ0）时t ~t （n -1），对给定的检验显著性水平α，由 P {｜t ｜＞t α/2（n -1）}=α，P {t ＞t α/2（n -1）}=α/2，见图8-2，直接查t 分布表，得t 分布分位点t α/2（n -1）.利用样本观察值，计算统计量t 的观察值t 0x 因而原假设H0的拒绝域为｜t 0｜＞t α/2（n -1）. （8.5）所以，若｜t 0｜＞t α/2（n -1），则拒绝H 0，接受H 1；若｜t 0｜≤t α/2（n -1），则接受原假设H 0.上述利用t 统计量得出的检验法称为t 检验法.在实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用t 检验法来检验关于正态总体均值的问题.例8.3 用某仪器间接测量温度，重复5次，所得的数据是1250°,1265°，1245°，1260°，1275°，而用别的精确办法测得温度为1277°(可看作温度的真值），试问此仪器间接测量有无系统偏差？这里假设测量值X 服从N （μ，σ2）分布.解 问题是要检验H 0：μ=μ0=1277；H 1：μ≠μ0.由于σ2未知（即仪器的精度不知道），我们选取统计量tX .当H 0为真时，t ~t （n -1），t 的观察值为｜t 0｜185.399-==＞3. 对于给定的检验水平α=0.05，由P {｜t ｜＞t α/2（n -1）}=α，P {t ＞t α/2（n -1）}=α/2， P {t ＞t 0.025(4)}=0.025，查t 分布表得双侧α分位点t α/2（n -1）=t 0.025(4)=2.776.因为｜t 0｜＞3＞t 0.025(4)=2.776，故应拒绝H 0，认为该仪器间接测量有系统偏差.（3） 双边检验与单边检验上面讨论的假设检验中，H 0为μ=μ0，而备择假设H 1：μ≠μ0意思是μ可能大于μ0，也可能小于μ0，称为双边备择假设，而称形如H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0的假设检验为双边检验.有时我们只关心总体均值是否增大，例如，试验新工艺以提高材料的强度，这时所考虑的总体的均值应该越大越好，如果我们能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的大，则可考虑采用新工艺.此时，我们需要检验假设H 0：μ=μ0；H 1：μ＞μ0. （8.6）（我们在这里作了不言而喻的假定，即新工艺不可能比旧的更差），形如（8.6）的假设检验，称为右边检验，类似地，有时我们需要检验假设H 0：μ=μ0；H 1：μ＜μ0. （8.7）形如（8.7）的假设检验，称为左边检验，右边检验与左边检验统称为单边检验.下面来讨论单边检验的拒绝域.设总体X ~N （μ，σ2），σ2为已知，x 1，x 2，…，x n 是来自X 的样本观察值.给定显著性水平α，我们先求检验问题H 0：μ=μ0；H 1：μ＞μ0.的拒绝域.取检验统计量ZX ，当H 0为真时，Z 不应太大，而在H 1为真时，由于X 是μ的无偏估计，当μ偏大时，X 也偏大，从而Z 往往偏大，因此拒绝域的形式为ZX ≥k ，k 待定.因为当H 0X ~N （0，1），由P {拒绝H 0｜H 0为真}=PX k ⎫≥⎬⎭=α得k =z α，故拒绝域为ZX ≥z α. （8.8）类似地，左边检验问题H 0：μ=μ0；H 1：μ＜μ0.的拒绝域为ZX ≤-z α. 8.9）例8.4 从甲地发送一个信号到乙地，设发送的信号值为μ，由于信号传送时有噪声迭加到信号上，这个噪声是随机的，它服从正态分布N （0，22），从而乙地接到的信号值是一个服从正态分布N （μ，22）的随机变量.设甲地发送某信号5次，乙地收到的信号值为： 8.4 10.5 9.1 9.6 9.9由以往经验，信号值为8，于是乙方猜测甲地发送的信号值为8，能否接受这种猜测？取α=0.05.解 按题意需检验假设H 0：μ=8；H 1：μ＞8. 这是右边检验问题，其拒绝域如（8.8）式所示， 即 Z =X ≥z 0.05=1.645.而现在z 0=1.68＞1.645，所以拒绝H 0，认为发出的信号值μ＞8.2.单个正态总体方差的假设检验（2χ检验法(2χ-test)） （1） 双边检验设总体X ~N （μ，σ2），μ未知，检验假设H 0：σ2=σ02；H 1：σ2≠σ2.其中σ02为已知常数.由于样本方差S 2是σ2的无偏估计，当H 0为真时，比值22S σ一般来说应在1附近摆动，而不应过分大于1或过分小于1，由第六章知当H 0为真时2χ=22(1)n S σ-~2χ（n -1）. （8.10）所以对于给定的显著性水平α有（图8-3）图8-3P {21/2αχ-（n -1）≤2χ≤2/2αχ（n -1）}=1-α. （8.11）对于给定的α，查2χ分布表可求得2χ分布分位点21/2αχ-（n -1）与2/2αχ（n -1）.由（8.11）知，H 0的接受域是21/2αχ- (n -1)≤2χ≤2/2αχ (n -1)； (8.12)H 0的拒绝域为2χ＜21/2αχ-（n -1）或2χ＞2/2αχ（n -1）. （8.13）这种用服从2χ分布的统计量对个单正态总体方差进行假设检验的方法，称为2χ检验法. 例8.5 某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机抽取26只电池，测得其寿命的样本方差s 2=9200（小时2）.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化（取α=0.02)?解 本题要求在α=0.02下检验假设H 0：σ2=5000；H 1：σ2≠5000.现在n =26，2/2αχ（n -1）=20.01(25)χ=44.314， 21/2αχ- (n -1)= 20.99(25)χ=11.524,σ02=5000.由（8.13）拒绝域为22(1)n s σ-＞44.314或22(1)n s σ-＜11.524由观察值s 2=9200得220(1)n s σ-=46＞44.314,所以拒绝H 0，认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化.（2） 单边检验（右检验或左检验）设总体X ~N （μ，σ2），μ未知，检验假设H 0：σ2≤σ02；H 1：σ2＞σ02.（右检验）由于X ~N （μ，σ2），故随机变量*2χ=22(1)n S σ-~2χ（n -1）.当H 0为真时，统计量2χ=220(1)n S σ-≤*2χ.对于显著性水平α，有P {*2χ＞2αχ（n -1）}=α图8-4（图8-4）.于是有P {2χ＞2αχ（n -1）}≤P {*2χ＞2αχ（n -1）}=α.可见，当α很小时，{2χ＞2αχ（n -1）}是小概率事件，在一次的抽样中认为不可能发生，所以H 0的拒绝域是：2χ=220(1)n S σ-＞2αχ（n -1）（右检验）. （8.14）类似地，可得左检验假设H 0：σ2≥σ02，H 1：σ2＜σ02的拒绝域为2χ＜21αχ-（n -1）（左检验）. (8.15) 例8.6 今进行某项工艺革新，从革新后的产品中抽取25个零件，测量其直径，计算得样本方差为s 2=0.00066，已知革新前零件直径的方差σ2=0.0012，设零件直径服从正态分布，问革新后生产的零件直径的方差是否显著减小？（α=0.05)解 (1） 提出假设H 0：σ2≥σ02=0.0012；H 1：σ2<σ02.(2) 选取统计量2χ=220(1)n S σ-.*2χ=22(1)n S σ-~2χ（n -1），且当H 0为真时，*2χ≤2χ(3） 对于显著性水平α=0.05，查2χ分布表得21αχ-（n -1）=20.95(24)χ=13.848，当H 0为真时，P {2χ<21αχ- (n -1)}≤P 2212(1)(1)n S n αχσ-⎧⎫-<-⎨⎬⎩⎭=α. 故拒绝域为2χ<21αχ- (n -1)=13.848.(4) 根据样本观察值计算2χ的观察值2χ=220(1)240.000660.0012n s σ-⨯==13.2.(5) 作判断：由于2χ=13.2＜21αχ- (n -1)=13.848，即2χ落入拒绝域中，所以拒绝H 0：σ2≥σ02，即认为革新后生产的零件直径的方差小于革新前生产的零件直径的方差.最后我们指出，以上讨论的是在均值未知的情况下，对方差的假设检验，这种情况在实际问题中较多.至于均值已知的情况下，对方差的假设检验，其方法类似，只是所选的统计量为2χ=2120()nii Xμσ=-∑.当σ2=σ2为真时，2χ~2χ（n ）.关于单个正态总体的假设检验可列表8-2.总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。