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1第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。
用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1s 和2s 。
忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。
试证明：Rr =21s s。
证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以的导体球上产生的电势忽略不计，所以半径为R 的导体球的电势为的导体球的电势为R R V 0211π4e p s =014e s R =半径为r 的导体球的电势为的导体球的电势为r r V 0222π4e p s =024e s r = 用细导线连接两球，有21V V =，所以，所以Rr=21s s 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)(1)(1)相向的两面上，电荷的面密度总是相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；大小相等而符号相反；(2)(2)(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1s ，2s ，3s ，4s （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得S S d E SD +==×ò)(10320s s e故+2s 03=s上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。
上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。
（2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201=---e s e s e s e s又+2s 03=s 故 1s 4s =3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。
第十章 静电场中的导体和电介质一选择题 1.半径为R 的导体球原不带电, 则导体球的电势为 （） q B.羊 4 n o a 今在距球心为 a 处放一点电荷q （ a >R 。
设无限远处的电势为零, qa D . 4 n o （a R ）解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷 C.4 n o (a R) q 分布在导体球表面上，且 q （ q ） 0 ,它们在球心处的电势 1 V 乩q 4 n o R点电荷q 在球心处的电势为 47^ q dq V J 据电势叠加原理，球心处的电势 4 n o aV o V Vq 。
4 n o a 所以选（A ） 2.已知厚度为d 的无限大带电导体平板, 则板外两侧的电场强度的大小为 （ 2 A. E B. E 2 o o两表面上电荷均匀分布, 电荷面密度均为 ，如图所示,d C. E 二一 D. E=—— ⑰ 2匂解：在导体平板两表面外侧取两对称平面， 做侧面垂直平板 的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为2 S ，可得E —。
0选择题2图 所以选（C ） 3.如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为 量为+q 的点电荷。
（） R,在腔内离球心的距离为 用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心 d 处（d<R ，固定一电o 处的电势为A. C.B. 4 n o d q 1 D. (—4 n 0 d 解：球壳内表面上的感应电荷为 q _q 4n o d 4n o R 选择题3图 1R ） -q,球壳外表面上的电 (+q . j 荷为零，所以有V o 所以选（D ） 4.半径分别为 在忽略导线的影响下，A . R/r B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为 分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则 QR 和r 的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电， 两球表面的电荷面密度之比 R / r 为（） B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 2 D. r / R Q q ,因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀 所以选（D ）R Q/4 R 2r q /4 r 2「的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为 E,则导体球面的自由电荷面密度 为（） 上D S S ，即 所以选（B ）6. 一空气平行板电容器，充电后测得板间电场强度为 煤油，待稳定后，煤油中的极化强度的大小应是（£ A . —E g £ £（£ 1 ）匸 B . E 0£不管是否注入电介（£ 1） C. E 。
《大学物理AI 》作业No.08静电场中的导体和电介质班级________学号________姓名_________成绩______--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求****************************1、理解静电平衡的条件，理解静电感应、静电屏蔽的原理；2、掌握静电平衡时导体表面感应电荷的分布和电场、电势的计算；3、了解电介质的极化现象和微观解释，理解电位移矢量D的定义，确切理解电介质中的高斯定理，并能利用它求解有电介质存在时具有一定对称性的电场问题；4、理解电容的定义，掌握电容器电容的计算方法；5、掌握电容器的储能公式，理解电场能量密度的概念，并能计算电荷系的静电能；6、理解电流强度和电流密度的概念，理解恒定电场的特点及电源电动势的概念。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、选择题:1．把A ，B 两块不带电的导体放在一带正电导体的电场中，如图所示。
设无限远处为电势零点，A 的电势为U A ，B 的电势为U B ，则[D ](A)U B >U A ≠0(B)U B >U A =0(C)U B ＝U A (D)U B <U A解：电力线如图所示，电力线指向电势降低的方向，所以U B <U A 。
2．半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远。
用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电。
在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比为[D ](A)R/r (B)R 2/r 2(C)r 2/R 2(D)r/R解：两个金属球用导线相接意味着它们的电势相等，设它们各自带电为21q q 、，选无穷远处为电势0点，那么有：rq Rq 020144，我们对这个等式变下形r R rr r q R R R q 21020144 ，即面电荷密度与半径成反比。
习题二一、选择题1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r 和2r 的金属球壳。
设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为［ ］ （A ）200, 44Q QE U r rεε==ππ； （B ）010, 4QE U r ε==π；（C ）00, 4QE U rε==π；（D ）020, 4QE U r ε==π。
答案：D解：由静电平衡条件得金属壳内0=E ；外球壳内、外表面分别带电为Q -和Q +，根据电势叠加原理得000202Q Q Q QU r r r r εεεε-=++=4π4π4π4π2．半径为R 的金属球与地连接，在与球心O 相距2d R =处有一电量为q 的点电荷，如图所示。
设地的电势为零，则球上的感应电荷q '为［ ］（A ）0； （B ）2q ； （C ）2q-； （D ）q -。
答案：C解：导体球接地，球心处电势为零，即000044q q U dRπεπε'=+=（球面上所有感应电荷到球心的距离相等，均为R ），由此解得2R qq q d '=-=-。
3．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ （A ）2200,44r Q Q E D rr εεε==ππ； （B ）22,44r Q QE D r r ε==ππ； （C ）220,44Q Q E D r r ε==ππ； （D ）2200,44Q QE D r r εε==ππ。
答案：C解：由高斯定理得电位移 24QD r =π，而 2004D QE r εε==π。
4．一大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图所示。
当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m 、带电量为+q 的质点，在极板间的空气区域中处于平衡。
13静电场中的导体与电介质 13.1静电平衡1. 当一个带电导体达到静电平衡时： (A) 表面上电荷密度较大处电势较高． (B) 表面曲率较大处电势较高． (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高． (D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零． 答案：(D) 参考解答：静电平衡时的导体电荷、场强和电势分布的特点： (1) 电荷仅分布在导体的表面,体内静电荷为零.(2) 导体表面附近的场强方向与导体表面垂直,大小与导体表面面电荷密度成正比;(3) 导体为等势体,表面为等势面.答案(D)正确，而(A)(B)(C)均需考虑电势是一个相对量，在场电荷的电量以及分布确定的同时,还必须选定一个电势零点,在这样的情况下,场中各点电势才能确定。
给出参考解答，进入下一题：2. 设一带电导体表面上某点附近电荷面密度为σ，则紧靠该表面外侧的场强为0/εσ=E . 若将另一带电体移近，(1) 该处场强改变，公式0/εσ=E 仍能用。
(2) 该处场强改变，公式0/εσ=E 不能用。
上述两种表述中正确的是(A) (1) . (B) (2).答案：(A) 参考解答：处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷密度与相应表面外侧紧邻处的电场强度的大小成正比，即0εσ=E . 将另一带电体移近带电导体，紧表面外侧的场强会发生改变，电荷面密度为σ也会改变，但公式0εσ=E 仍能用。
给出参考解答，进入下一题：3. 无限大均匀带电平面（面电荷密度为σ）两侧场强为)2/(0εσ=E ，而在静电平衡状态下，导体表面（该处表面面电荷密度为σ）附近场强为0/εσ=E ，为什么前者比后者小一半？参考解答：关键是题目中两个式中的σ不是一回事。
下面为了讨论方便，我们把导体表面的面电荷密度改为σ′，其附近的场强则写为./0εσ'=E对于无限大均匀带电平面(面电荷密度为σ)，两侧场强为)2/(0εσ=E .这里的 σ 是指带电平面单位面积上所带的电荷。
静电场中的导体和电解质习题、答案及解法一．选择题1.一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。
在腔内离球心的距离为a 处放一点电荷q +，如图1所示。
用导线把球壳接地后，再把地线撤去。
选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 [ D ] （A ）aq 02πε； （B ）0 ；（C ）Rq 04πε-； （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-R a q 1140πε。
参考答案：)11(4)11(440020Ra q a R q dl Rq Edl V RaRa-=--===⎰⎰πεπεπε 2.三块互相平行的导体板之间的距离21d d 和比板面积线度小得多，如果122d d =外面二板用导线连接，中间板上带电。
设左右两面上电荷面密度分别为21σσ和，如图2所示，则21σσ为（A ）1 ； （B ）2 ； （C ）3 ；（D ）4 。
[ B ]解：相连的两个导体板电势相等2211d E d E =，所以202101d d εσεσ= 1221d d =σσ 3.一均匀带电球体如图所示，总电荷为Q +，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r ,2r 的金属球壳。
设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势分别为[ B ] （A ）204r q πε，0 ； （B ）0，204r q πε ；（C ）0，rq 04πε ； （D ）0，0 。
1r 2r OPQ+q+aOR 1d 2σ2d 1σ参考答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-==∙+∙=∙=⎰⎰⎰⎰∞∞∞2020201411441222r Q rQdr r Q ld E l d E ld E U r r r rpp πεπεπε4.带电导体达到静电平衡时，其正确结论是 [ D ] （A ） 导体表面上曲率半径小处电荷密度较小; （B ） 表面曲率较小处电势较高; （C ） 导体内部任一点电势都为零;（D ） 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。
参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势面。
5.两个同心薄金属球壳，半径分别为）（和2121R R R R <，若内球壳带上电荷Q ，则两者的电势分别为22114R 4R Q V Q V πεπε==和，（选无穷远处为电势零点）。
现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为 [ D ]（A ）1V （B ）()2121V V + （C ）21V V + （D ）2V参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势面。
6.当平行板电容器充电后，去掉电源，在两极板间充满电介质，其正确的结果是[ C ]（A ） 极板上自由电荷减少 （B ） 两极板间电势差变大 （C ） 两极板间电场强度变小 （D ） 两极板间电场强度不变参考答案：UQC =d S C r εε0= S Q E r εε0= S Qd Ed U r εε0==7.一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图4所示。
当两极板带上恒定的等量异号电荷时，其正确的结果是 [ A ] （A ） 极板左半边电荷面密度大 （B ） 左半边电介质内电场强度大 （C ） 极板右半边电荷面密度大 （D ） 左半边电介质内电场强度小 参考答案：dSC r 20εε=左 dSC 20ε=右dU r 00εεσ=左 dU 00εσ=右 d U E 0=左 dUE 0=右 8.一个平行板电容器，充电后断开电源，使电容器两极板间距离变小，则两极板间的电势差12U ，电场强度的大小E ，电场能量W 将发生如下变化 [ D ] (A) U 12 减小， E 减小，W 减小 ； (B)U 12 增大， E 增大，W 增大 ； (C) U 12 增大， E 不变，W 增大 ； (D)U 12 减小， E 不变，W 减小 。
参考答案：UQC =d S C r εε0= Ed Q d S r =εε0d S QEd U r εε0== S QE r εε0= d SE C Q CU W r 2022212121εε=== 9、两空气电容器1C 和2C ，串联起来接上电源充电。
充满后将电源断开，再把一电介质板插入1C 中，如图5所示，则 [ D ](A)1C 极板上电荷增加，2C 极板上电荷减少 (B)1C 极板上电荷减少，2C 极板上电荷增加(C)1C 极板上电荷增加，2C 极板上电荷增加Q-Q +1C 2CE(D)1C 极板上电荷不变，2C 极板上电荷不变 参考答案：111U Q C =充满后将电源断开，电量不变 10. 1C 和2C 两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持连接的情况下，在1C 中插入一电介质板，如图6所示，则(A)1C 极板上电荷不变，2C 极板上电荷减少 (B)1C 极板上电荷不变，2C 极板上电荷增加 (C)1C 极板上电荷增加，2C 极板上电荷不变 (D)1C 极板上电荷减少，2C 极板上电荷不变 [ C ] 参考答案：U Q C 11=dS C r εε0= 11，有两只电容器，F C F C μμ2,821==，分别把它们充电到2000V ，然后将它们反接（如图所示），此时1C 两极板间的电势差为 [ D ]（A ）600V ; （B ）200V ; （C ）0V ; （D ）1200V 。
参考答案：011U Q C =22U QC = ()21021Q Q U C C -=- ()()V 1200210211=+-='C C U C C U二、填空题1、如图8所示，两块很大的导体平板平行放置，面积都是S ，有一定厚度，带电荷分别为1Q ,2Q ,如不计边缘效应，则A ,B , C , D 4个表面上的电荷面密度分别为S q q A 221+=σ；S q q B 221-=σ；Sq q C 221--=σ； S q q D221+=σ1Q 2Q A B CD1C 2C E1C 2C ++--参考答案：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-==21Q S Q S D C B A CB D A σσσσσσσσ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+==∴S Q Q S Q Q C B D A 222121σσσσ2一金属球壳的内外半径分别为21,R R 带电荷为Q ，在球心处有一电荷为q 的点电荷。
则地壳外表面上的电荷面密度224qR Q πσ+=参考答案：2214R Qq Sqni iπσ+==∑= 3、如果地球表面附近的电场强度为1C N 200-⋅,把地球看做半径为m 104.66⨯的导体球，则地球表面的电荷Q= C 101.95⨯ （)/C m N 109412290∙⨯=πε参考答案：02041r r Q E πε=()592620101.9109104.62004⨯=⨯⨯⨯==地ER Q πε4、如图9所示，在静电场中有一立方形均匀导体，边长为a ，已知立方体中心O 处的电势为0V ,则立方体顶点A 的电势为0V参考答案：导体是一个等势体5、分子的正负电荷中心重合的电介质叫做 无极分子电介质。
在外电场作用下，分子的正负电荷中心发生相对位移，形成位移电极化 参考答案：无极分子；电偶极子6、在相对电容率为r ε的各向同性的电介质中，电位移矢量D 与场强E 之间的关系是E D r εε0=参考答案：E D rεε0=7、一平行电容器，充电后与电源保持连接，然后使两极板间充满相对电容率为rεOaA的各向同性均匀电介质，这时两极板上的电荷是原来的 r ε 倍，电场强度是原来是的 1 倍。
电场能量是原来的 r ε 倍参考答案：0C C r ε= 00Q CU Q r ε== S Q d U E 000ε==SQdEd U r εε0== 0200202121W U C CU W r r εε===8、一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质，已知相对电容率为r ε。
若极板上的自由电荷面密度为σ，则介质中电位移的大小D= σ ，电场强度的大小E=σσr S参考答案： ⎰∑==∙Sn i i q S d D 1 σ=D r r D E εεσεε00== 9、一平行板电容器充电后切断电源，若使两电极板距离增加。
则两极板间电势差将 增大，电容将减小（填增大或减小或不变）参考答案：d S Q Ed U 0ε== UQC = d S C 0ε= 三、计算题1、图10为一半径为a 、带有正电荷Q 的导体球，球外有一内半径为b ，外半径为c 的不带电的同心导体球壳。
设无限远处为电势零点，试求内球和外壳的电势。
解：球壳内表面将出现负的感生电荷－Q ，外表面为正的感生电荷Q ．按电势叠加原理(也可由高斯定理求场强，用场强的线积分计算)导体球的电势为abcO⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅+=∙+∙+∙=∙=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞c b a Q c Q b a Q dr r Qdr dr r Q ld E l d E l d E ld E U c c b ba cc bb aa1114141144104100020203211εεεπεπεπππ球壳电势 c Qdr r Q l d E U cc 0202441επεπ==∙=⎰⎰∞∞2、一空气平行板电容器，两极板面积均为S ，板间距离为d （d 远小于极板线度），在两极板间平行地插入一面积也是S ，厚度为t ()d t 〈的金属片，如图所示。
试求； （1）电容C 的值;（2）金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？解：设极板上分别带电荷+q 和-q ；金属片与A 板距离为d 1，与B 板距离为d 2；金属片与A 板间场强为 SqE 01ε=金属板与B 板间场强为 Sq E 02ε=金属片内部场强为 0='E 则两极板间的电势差为)()(02102211t d S qd d S q d E d E l d E U U ABB A -=+=+=⋅=-⎰εε由此得 td SU U q C B A -=-=0ε因C 值仅与d 、t 有关，与d 1、d 2无关，故金属片的安放位置对电容值无影响．tdS S S3、3个电容器如图所示，其实F 101061-⨯=C ， F 10562-⨯=C ,F 10463-⨯=C 当A ，B 间电压V 100=U 时，试求：（1）A ，B 之间的电容;（2）当3C 被击穿时，在电容3C 上的电荷和电压各变为多少？解：(1) ()F 1016.3)(6321321-⨯=+++=C C C C C C C(2) 1C 上电压升到V 100=U ，电荷增加到()C 101511-⨯==U C Q4、一平行板电容器，其极板面积为S ，两极的距离为d（d<<S ）,中间充有两种各向同性的均匀电介质，其界面与极板平行，相对电容率分别为21,r r εε厚度分别为1d 和2d ，且d d d =+21如图所示，设两极板上所带电荷分别为Q +和Q -，求 （1）电容器的电容; （2）电容器储存的能量.解：(1) 两极板间电位移的大小为 SQ D ==σ在介质中的场强大小分别为S QD E r r r 1010101εεεεσεε===S QDE r r r 2020202εεεεσεε===两板间电势差⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅=⎰22110221112r r Ld d S Q d E d E l d E U εεε 电容 122121012r r r r d d S U Q C εεεεε+== 1r ε2r εd1d 2d U1C 2C 3C AB(2) 电场能量 ()SQ d d CU W r r r r 21021221212221εεεεε+==。
