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2024年高考数学第一轮复习重点总结一、函数与方程1. 函数的概念与性质：- 函数定义域、值域、对应关系、图像等基本概念。
- 奇偶性、周期性的判定与性质。
- 函数与方程的关系。
2. 一次函数与二次函数：- 一次函数的定义与性质。
- 二次函数的定义、图像、顶点坐标、单调性等。
- 利用一次函数和二次函数解决实际问题。
3. 一元二次方程与不等式：- 解一元二次方程的方法（配方法、因式分解法、求根公式等）。
- 一元二次方程的根与系数之间的关系。
- 一元二次不等式的解法和解集表示。
4. 一次不等式与绝对值不等式：- 一次不等式的解法和解集表示。
- 绝对值不等式的解法和解集表示。
- 利用一次不等式和绝对值不等式解决实际问题。
5. 分式与分式方程：- 分式的定义与性质。
- 分式方程的解的概念与解法。
二、数列与数学归纳法1. 数列的定义与性质：- 等差数列、等比数列等常见数列的概念与性质。
- 通项公式、前n项和公式的推导和应用。
- 数列的递推公式与特殊项。
2. 数列的求和与数学归纳法：- 等差数列、等比数列的求和公式。
- 数学归纳法的基本思想和应用。
- 利用数学归纳法证明一些数学命题。
三、平面几何与空间几何1. 平面几何的基本概念：- 直线、线段、射线、角的概念与性质。
- 平行线、垂直线的判定条件。
- 同位角、内错角、同旁内角等角度关系。
2. 三角形的性质和判定：- 三角形的内角和、外角和的性质与推论。
- 三角形形状的判定条件（全等、相似等）。
- 利用三角形的性质解决实际问题。
3. 直线与圆的位置关系：- 直线与平面的位置关系（相交、平行等）。
- 直线与圆的位置关系（相切、相交等）。
- 利用直线与圆的位置关系解决实际问题。
4. 空间几何的基本概念：- 点、线、面、体的概念与性质。
- 平行面、垂直面的判定条件。
- 点、线、面的投影、平移、旋转等基本变换。
四、概率与统计1. 随机事件与概率：- 随机事件的概念与性质。
2024年高考数学第一轮复习知识点总结一、函数与方程（约占25%）1. 函数的概念与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
2. 一次函数与二次函数：斜率、截距、图像特征、解析式、三要素表示法。
3. 指数函数与对数函数：性质、特征、解析式。
4. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的性质、图像、周期与频率等。
5. 幂函数与反比例函数：性质、图像、变化规律。
6. 组合与复合函数：定义、性质、计算方法。
7. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程的解法、根的判别、关系式、二次函数与方程。
二、空间与向量（约占15%）1. 点、直线与平面：空间几何图形的基本概念、关系与性质。
2. 空间向量：向量的表示、运算、模与单位向量、数量积与向量积的意义与计算。
3. 空间直线与平面的方程：点线面关系、夹角与距离、平面投影问题。
4. 空间几何证明：基本证明方法与技巧。
三、导数与微分（约占15%）1. 函数的导数：导数的定义与性质、基本导数公式、导数的几何意义、高阶导数。
2. 导数的计算：四则运算法则、链式法则、乘法法则、常见函数的导数。
3. 函数的微分：微分的定义与计算、微分与导数的关系、微分中值定理。
4. 导数应用：切线、法线、函数的极值与最值、函数的单调性、函数的凹凸性与拐点、不定积分、定积分等。
四、概率与统计（约占15%）1. 随机事件与概率：事件的概念、样本空间、事件的运算、概率的定义与性质、基本事件、条件概率与乘法定理。
2. 随机变量：离散型与连续型随机变量、分布函数、概率分布列、概率密度函数、期望与方差。
3. 概率分布：离散型随机变量的分布、二项分布、泊松分布、连续型随机变量的分布、均匀分布、正态分布。
4. 统计与抽样：参数与统计量、抽样方法与数据处理、样本均值与总体均值的关系、抽样分布与中心极限定理。
五、数列与数列极限（约占13%）1. 数列与数列极限：数列的概念与性质、数列极限的定义与性质、等差数列、等比数列、收敛性判定、数列极限的性质。
第8讲函数与方程一、知识梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0)无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、教材衍化1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 123456y 124.433－7424.5－36.7－123.6 则函数yA．2个B．3个C．4个D．5个解析：选B．依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3，4)D ．(4，＋∞)解析：选B ．易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B ．3．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是________．解析；由已知得f ′(x )＝e x ＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值． ( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点． ( )(5)若函数f (x )在(a ，b )上连续单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 二、易错纠偏 常见误区| (1)忽略限制条件致误；(2)错用零点存在性定理致误．1．函数f (x )＝(x －1)ln(x －2)的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B ．由x －2>0，得x >2，所以函数f (x )的定义域为(2，＋∞)，所以当f (x )＝0，即(x －1)ln(x －2)＝0时，解得x ＝1(舍去)或x ＝3.2．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1，1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)考点一函数的零点(基础型)复习指导|结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．核心素养：数学运算、直观想象角度一函数零点所在区间的判断(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【解析】法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B．【答案】 B判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象1．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：选A ．因为a ＜b ＜c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A ．2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( ) A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[－2，－1]D ．[－1，0]解析：选D ．因为f (x )＝3x －x 2，所以f (－1)＝3－1－1＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0，所以f (－1)·f (0)<0.角度二 函数零点个数的判断(一题多解)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 法一(方程法)：由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二(图形法)：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点． 【答案】 B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ．当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C ．2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0.则e x ＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3. 考点二 函数零点的应用(综合型)复习指导| 求与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，解决此类问题的一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数．(1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．⎣⎡⎭⎫2，52 D ．⎣⎡⎭⎫2，103(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是______．【解析】 (1)由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. (2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.【答案】 (1)D (2)[－1，＋∞)1．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)解析：选C ．由题意，知函数f (x )在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0， 解得0<a <3，故选C ．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图所示．由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0<m <1，即m ∈(0，1)． 答案：(0，1)3．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，所以方程4x －2x －a ＝0在[－1，1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1，1]上有解．方程a ＝4x－2x可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， 因为x ∈[－1，1]，所以2x∈⎣⎡⎦⎤12，2，所以⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，2[基础题组练]1．(2020·河南商丘九校联考)函数f (x )＝(x 2－1)·x 2－4的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ．要使函数有意义，则x 2－4≥0，解得x ≥2或x ≤－2.由f (x )＝0得x 2－4＝0或x 2－1＝0(不成立舍去)，即x ＝2或x ＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B ．2．函数y ＝x －4·⎝⎛⎭⎫12x的零点所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B ．因为y ＝f (x )＝x －4⎝⎛⎭⎫12x＝x －⎝⎛⎭⎫12x －2是R 上的连续递增的函数，且f (1)＝1－2<0，f (2)＝2－1>0，所以f (1)·f (2)<0，故函数y ＝x －4·⎝⎛⎭⎫12x的零点所在的区间为(1，2)．故选B ．3．(一题多解)函数f (x )＝2x －1x 零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ．法一：当x <0时，f (x )＝2x －1x >0恒成立，无零点；又易知f (x )＝2x －1x在(0，＋∞)上单调递增，最多有一个零点．又f ⎝⎛⎭⎫12＝2－2<0，f (1)＝2－1>0，所以有一个零点．故选B ．法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝2x 和y ＝1x的图象，如图所示．函数f (x )＝2x －1x 的零点等价于2x ＝1x 的根等价于函数y ＝2x 和y ＝1x 的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B ．4．(2020·内蒙古月考)已知函数f (x )＝x 2－2|x |－m 的零点有两个，则实数m 的取值范围为( )A ．(－1，0)B ．{－1}∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．(0，1)解析：选B ．在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝x 2－2|x |的图象和直线y ＝m ，可知当m >0或m ＝－1时，直线y ＝m 与函数y ＝x 2－2|x |的图象有两个交点，即函数f (x )＝x 2－2|x |－m 有两个零点．故选B ．5．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( ) A ．ln x ＝1－x B ．e x ＝1xC ．2－x 2＝lg |x |D ．cos x ＝|x |＋1解析：选ABD ．对于A ，设f (x )＝ln x ＋x －1，易知y ＝f (x )为增函数，又f (1)＝0，故ln x ＝1－x 有唯一解，符合题意；对于B ，设g (x )＝e x －1x ，易知y ＝g (x )为增函数，又g ⎝⎛⎭⎫12＝e －2＜0，g (1)＝e －1＞0，由函数零点存在定理可得e x ＝1x 有唯一解，符合题意；对于C ，设h (x )＝x 2＋lg x －2，易知y ＝h (x )为增函数，由h (1)＝1－2＜0，h (2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h (x )＝x 2＋lg x －2有唯一零点，又h (x )＝2－x 2－lg|x |为偶函数，则2－x 2＝lg|x |有两个解，不符合题意；对于D ，因为cos x ∈[－1，1]，|x |＋1≥1，当且仅当x ＝0时，cos x ＝x ＋1，即cos x ＝|x |＋1有唯一解，符合题意．6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－127．(2020·新疆第一次适应性检测)设a ∈Z ，函数f (x )＝e x ＋x －a ，若x ∈(－1，1)时，函数有零点，则a 的取值个数为________．解析：根据函数解析式得到函数f (x )是单调递增的．由零点存在性定理知若x ∈(－1，1)时，函数有零点，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）<0，f （1）>0⇒1e －1<a <e ＋1，因为a 是整数，故可得a 的可能取值为0，1，2，3.答案：48．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a 的取值范围是________．解析：法一：设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，所以x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0， 即a 2＋a －2<0，所以－2<a <1. 故实数a 的取值范围为(－2，1)． 法二：函数f (x )的图象大致如图，则有f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0，得a 2＋a －2<0，所以－2<a <1.故实数a 的取值范围是(－2，1)． 答案：(－2，1)9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2.(2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）>0，g （2）<0，g （4）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧5＋m >0，2－2m <0，10－4m >0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，52. [综合题组练]1．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1x的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c解析：选A ．在同一直角坐标系下分别画出函数y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝－1x的图象，如图，观察它们与y ＝－x 的交点可知a <b <c ，故选A ．2．(多选)(综合型)已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题，其中是真命题的是( )A ．若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数B ．存在a ∈R ，使得f (x )为偶函数C ．若f (0)＝f (2)，则f (x )的图象关于x ＝1对称D ．若a 2－b －2＞0，则函数h (x )＝f (x )－2有2个零点解析：选AB ．对于选项A ，若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2在区间[a ，＋∞)上是增函数，故A 正确；对于选项B ，当a ＝0时，f (x )＝|x 2＋b |显然是偶函数，故B 正确；对于选项C ，取a ＝0，b ＝－2，函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |化为f (x )＝|x 2－2|，满足f (0)＝f (2)，但f (x )的图象关于x ＝1不对称，故C 错误；对于选项D ，如图，a 2－b －2＞0，即为b －a 2＜－2，即a 2－b ＞2，则h (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|－2有4个零点，故D 错误．3．(2020·湖南娄底二模)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2等于________．解析：考虑到x 1，x 2是函数y ＝e x 、函数y ＝ln x 与函数y ＝1x 的图象的交点A ，B 的横坐标，而A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1. 答案：14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)若a ＝1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1，作出函数f (x )的图象如图所示．由图可得f (x )的最小值为－1.(2)当a ≥1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2；当a <1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1≤2a ，21－a >0，解得12≤a <1. 综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)．答案：(1)－1 (2)⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值； (3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x－1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2. (3)由(1)中函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．所以m 的取值范围是(0，1)．6．(综合型)已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54.。
高考数学第一轮复习知识点总结高考数学第一轮复习主要包括数与式、函数与方程、几何与测度三个部分内容。
下面将对每个部分的重要知识点进行总结说明。
一、数与式1. 整数与分数- 整数的概念及性质：包括整数的概念、绝对值及其性质，整数的比较和运算规则等。
- 分数的概念及性质：包括分数的概念、单位分数、真分数和假分数的关系，分数与整数的相互转化等。
- 整数与分数的四则运算：包括整数与分数的加减乘除运算，整数的乘方和分数的乘方等。
2. 百分数与比例- 百分数的概念及性质：包括百分数的概念、比例与百分数的关系，百分数的运算规则等。
- 百分数的应用：包括百分数在实际问题中的应用，如百分数的增长与减少、百分数的比较等。
- 比例的概念及应用：包括比例的概念、比例的性质与判断方法，比例在实际问题中的应用等。
3. 代数式与字母表达式- 代数式与项的概念：包括代数式的概念，项的概念与分类等。
- 字母表达式的概念及应用：包括字母表达式的概念与性质，代数式的运算法则，字母表达式在实际问题中的应用等。
4. 等式与方程- 等式的概念及性质：包括等式的概念、等式的性质和判断方法等。
- 方程的解与解方程：包括方程的解的概念及求解方法，一元一次方程与一元二次方程的解法，解方程在实际问题中的应用等。
二、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的概念与表达：包括函数的定义、自变量和因变量的关系，函数关系的表示方法等。
- 函数的分类与性质：包括函数的分类（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等），函数的性质（奇偶性、单调性、周期性等）等。
2. 一次函数与二次函数- 一次函数的性质与应用：包括一次函数的一般式与斜率截距式，一次函数图像的性质与图像的应用等。
- 二次函数的性质与应用：包括二次函数的一般式、根式与顶点式，二次函数图像的性质（开口方向、顶点、对称轴等）与图像的应用等。
3. 指数函数与对数函数- 指数函数的性质与应用：包括指数函数的定义与性质，指数函数的图像和性质（增减性、单调性、对称性等）等。
