现代控制理论状态空间表达式的建立

现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。

２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。

②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。

④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。

３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。

② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。

通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。

利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。

现代控制理论知识结构（研究的顺序符合控制理论的一般步骤：系统建模、模型求解、提出性能指标、系统设计校正。

）一、系统的状态空间建模1、从2个角度4种方法建立状态空间表达式。

2、状态空间表达式的线性变换3、由状态空间表达式反推传递函数4、建立离散系统的状态空间表达式5、需要注意的地方6、公式集锦二、状态空间表达式的求解1、无输入的情况下状态变量求解（齐次方程求解）2、对于有输入的系统的状态变量求解（非齐次方程）3、、状态转移矩阵的性质及判别4、对于系统的状态转移矩阵的唯一性研究5、几点注意6、公式集锦三、提出性能指标：能控性和能观性。

及其判断方法1、提出能控性和能观性的原因。

2、判断能控性和能观性的方法：直观分析和四大判据3、得到能观能控标准型的两种方法4、几点注意5、系统的结构分解6、公式集锦四、系统设计校正：状态反馈1、状态反馈改变系统性能的原理2、状态反馈的特点3、两种计算K阵的方法4、公式集锦一、系统的状态空间建模1、从2个角度4种方法建立状态空间表达式。

已知一个物理系统，我们给它建立了一个微分方程模型，我们想用经典理论和现代理论对其进行研究，即建立传递函数模型和状态空间表达式。

经典的传递函数模型太好建了呀，直接变换，一比就出来了。

可是状态空间模型呢，我们有两个角度①我们当然可以根据模型的定义，利用系统的性能进行建模，这也是建立状态空间表达式的第一种方法。

②从经典控制模型的角度，首先1、运用将传递函数或结构图降阶，化成状态空间特有的结构图（不同于传递函数结构图，它只有积分器、加法器、减法器、系数器）这是第二种方法。

2、从经典控制理论的微分方程来建立。

（分成了单入单出、单入单出输入有导数项、多路多出）微分方程就是一串积分器，再加系数反馈就好了。

这是第三种方法3、传递函数（有三种方法、直接程序法、串联程序法、并联程序法）。

这是第四种方法这样说来，其实状态空间表达式所对应的结构图是从经典控制理论角度（三种方法）建立其模型的中介。

第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。

1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。

•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。

状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。

例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。

试确定其状态变量和状态方程。

解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt m y t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t fk x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t = (C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。

现代控制理论实验一、线性系统状态空间表达式的建立以及线性变换河南工业大学河南工业大学《现代控制理论》实验报告专业: 自动化班级: F1203 姓名: 蔡申申学号:201223910625完成日期：2015年1月9日成绩评定:一、实验题目：线性系统状态空间表达式的建立以及线性变换二、实验目的1. 掌握线性定常系统的状态空间表达式。

学会在MATLAB 中建立状态空间模型的方法。

2. 掌握传递函数与状态空间表达式之间相互转换的方法。

学会用MATLAB 实现不同模型之间的相互转换。

3. 熟悉系统的连接。

学会用MATLAB 确定整个系统的状态空间表达式和传递函数。

4. 掌握状态空间表达式的相似变换。

掌握将状态空间表达式转换为对角标准型、约当标准型、能控标准型和能观测标准型的方法。

学会用MATLAB 进行线性变换。

三、实验过程及结果1. 已知系统的传递函数 (a) )3()1(4)(2++=s s s s G 1.建立系统的TF 模型。

num=4;den=[1 5 7 3 0];G=tf(num,den)G =4-------------------------s^4 + 5 s^3 + 7 s^2 + 3 sContinuous-time transfer function.2.将给定传递函数用函数ss( )转换为状态空间表达式。

再将得到的状态空间表达式用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。

2.1转换成状态空间表达式。

Gss=ss(G)Gss =a =x1 x2 x3 x4x1 -5 -1.75 -0.75 0x2 4 0 0 0x3 0 1 0 0x4 0 0 1 0b =u1x1 1x2 0x3 0x4 0c =x1 x2 x3 x4y1 0 0 0 1d =u1y1 0Continuous-time state-space model.2.2将状态空间表达式转换成传递函数并计较。

G1=tf(Gss)G1 =4-------------------------s^4 + 5 s^3 + 7 s^2 + 3 sContinuous-time transfer function.由之前的实验结果可得实验中的传递函数相同，因为线性变换不改变系统的传递函数。

自动控制原理现代控制理论知识点一、 状态空间表达式的建立1、由系统微分方程建立状态空间表达式()()()u y a y a y a y a y n n n n n 0012211β=+++++----&Λ可选取n 个状态变量为()1211,,-===n n y x yx y x Λ& ()00110000100001,000,,1210121ΛΛΛM M M M M ΛΛM M &=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+=--c a a a a A b x x x x x cx y bu Ax xn n n β2、由系统传递函数建立状态空间表达式()()()()u b u b u y a y a y a y a y n n n n n n n 0111012211b ++=+++++------&Λ&Λ对应系统传递函数()()()012211012211a s a s a s a s b s b s b s b s U s Y s G n n n n n n n n n ++++++++==--------ΛΛ ()110121121100001000010,1000,,---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+=n n n n b b b c a a a a A b x x x x x cx y bu Ax xΛΛΛM M M M M ΛΛMM &3、由方框图建立状态空间表达式：将方框图变形，取x 1,x 2,x 3如图所示()()()()02103132,31-003203,313132323)(3323121321332311213211323=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==+=∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+-=+--=⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+==++=+-=-c b a k k A cx y bu Ax xxx y ax kx kx x u x x u x x x x x y x a s k x x x s x u x s x u 其中由方程组可得&&&&二、松弛性定义：若系统输出y[t 0,∞)由输入u[t 0,∞)唯一确定，则称系统在t 0时刻是松弛的。

现代控制理论刘豹主编刘贺平1 状态空间表达式1．1状态变量及状态方程（1）状态变量：完全表达系统运动状态的最小个数的一组变量.例如，n 阶微分方程描述的系统有n 个变量)(,,n y y。

变量的选取不唯一，但要相互独立. （2）状态向量：若n i t x i ~1),(=，为状态向量，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)()(1t x t x x n 称为状态向量，[])()()(1t x t x t x n T =。

（3）状态空间:以x(t)各分量为坐标轴所构成的n 维空间。

x(t) 在状态空间中是一条轨迹，称为状态轨迹。

（4）状态方程： 形式为 Bu Ax x+= ，其中，n R x ∈，r R u ∈，A ，B 为矩阵，当u 为标量时B →b 为n ⨯1矩阵.（5）输出方程：y=Cx+Du, y ∈mR y ∈，nm RC ⨯∈, rm R D ⨯∈,（6）状态空间表达式：将输出方程合并一起表示一个系统.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡r nr n n rr n nn n nn n n n u u u b b b b b b b b b x x x a a a a a a a a a xx x21212222111211212222211121121⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡r mr m m r r n mn m m n n m u u u d d d d d d d d d x x x c c c c c c c c c y y y 212122221112112121222211121121（7）方块图：1.2模拟结构图。

见P13 图1-3，1-4，1-5，1-6.1.3 状态方程的建立(1)由框图→状态方程 例P15, 图1-7，（a ）,⊗y变换方法：例如第一个环节，r STKC111+=→CTrTKSC1111-=→rTKCTC1111+-=→由此可得P15的图1-7 - b)。