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高中学生学科素质训练—对数与对数函数一、选择题： 1．3log 9log 28的值是 （ ）A ．32 B ．1 C ．23 D ．22．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x 3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23 B.45 C.0D.214．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．ba ba +++12B ．ba ba +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+125．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．4 或 6.函数y =)12(log 21-x 的定义域为（ ）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞)C ．(21，1] D ．(－∞，1)7．已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．a ＞ 1B ．0≤a ＜ 1C ．0＜a ＜1D ．0≤a ≤18.已知f (e x)=x ，则f (5)等于 （ ）A ．e 5B ．5eC ．ln5D ．log 5e9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是 （ ）A B C D10．若22log ()y x ax a =---在区间(,1-∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[2-B ．)22⎡-⎣C ．(22⎤-⎦D ．()22-11．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于 （ ）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或12．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xx C ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 二、填空题：13．计算：log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= ． 14．函数y =log 4(x －1)2(x ＜1＝的反函数为___ _______． 15．已知m ＞1，试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小 ． 16．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为_____ _ ．三、解答题：17．已知y =log a (2－ax )在区间{0，1}上是x 的减函数，求a 的取值范围．18．已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．19．已知f(x)=x2＋(lg a＋2)x＋lg b，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小．21．已知函数f(x)=log a(a－a x)且a＞1，（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；（3）证明函数图象关于y=x对称．22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题： ADBCB CDCBA AB 二、填空题：13.213，14.y =1－2x (x ∈R )， 15. (lg m )0.9≤(lg m )0.8，16.8425≤≤y 三、解答题：17.解析：先求函数定义域：由2－ax ＞0，得ax ＜2又a 是对数的底数，∴a ＞0且a ≠1，∴x ＜a2 由递减区间[0，1]应在定义域内可得a2＞1，∴a ＜2 又2－ax 在x ∈[0，1]是减函数∴y =log a (2－ax )在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a ＞1 ∴1＜a ＜218、解：依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时，其充要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-0)1(4)1(01222a a a 解得a ＜－1或a ＞35 又a =－1，f (x )=0满足题意，a =1，不合题意． 所以a 的取值范围是：(－∞，－1]∪(35，＋∞) 19、解析：由f (－1)=－2 ，得：f (－1)=1－(lg a ＋2)＋lg b =－2，解之lg a －lg b =1，∴ba=10，a =10b ． 又由x ∈R ，f (x )≥2x 恒成立．知：x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ≥2x ，即x 2＋x lg a ＋lg b ≥0，对x ∈R 恒成立，由Δ=lg 2a －4lg b ≤0，整理得(1＋lg b )2－4lg b ≤0 即(lg b －1)2≤0，只有lg b =1，不等式成立． 即b =10，∴a =100．∴f (x )=x 2＋4x ＋1=(2＋x )2－3 当x =－2时，f (x ) min =－3． 20.解法一：作差法|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|a x lg )1lg(- |－|a x lg )1lg(+|=|lg |1a (|lg(1－x )|－|lg(1＋x )|) ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＜1＋x ∴上式=－|lg |1a [(lg(1－x )＋lg(1＋x )]=－|lg |1a ·lg(1－x 2)由0＜x ＜1，得，lg(1－x 2)＜0，∴－|lg |1a ·lg(1－x 2)＞0， ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法二：作商法|)1(log ||)1(log |x x a a -+=|log (1－x )(1＋x )|∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＋x ，∴|log (1－x )(1＋x )|=－log (1－x )(1＋x )=log (1－x )x+11 由0＜x ＜1，∴1＋x ＞1，0＜1－x 2＜1 ∴0＜(1－x )(1＋x )＜1，∴x+11＞1－x ＞0 ∴0＜log (1－x )x+11＜log (1－x )(1－x )=1 ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法三：平方后比较大小∵log a 2(1－x )－log a 2(1＋x )=[log a (1－x )＋log a (1＋x )][log a (1－x )－log a (1＋x )] =log a (1－x 2)·log ax x +-11=|lg |12a ·lg(1－x 2)·lg x x +-11 ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x 2＜1，0＜xx +-11＜1 ∴lg(1－x 2)＜0，lgxx+-11＜0 ∴log a 2(1－x )＞log a 2(1＋x )，即|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法四：分类讨论去掉绝对值当a ＞1时，|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=－log a (1－x )－log a (1＋x )=－log a (1－x 2) ∵0＜1－x ＜1＜1＋x ，∴0＜1－x 2＜1 ∴log a (1－x 2)＜0，∴－log a (1－x 2)＞0当0＜a ＜1时，由0＜x ＜1，则有log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0 ∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|log a (1－x )＋log a (1＋x )|=log a (1－x 2)＞0 ∴当a ＞0且a ≠1时，总有|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)(2)设1＞x 2＞x 1∵a ＞1，∴12x x a a>，于是a －2x a ＜a －1x a则log a (a －a 2x a )＜log a (a －1xa ) 即f (x 2)＜f (x 1)∴f (x )在定义域(－∞，1)上是减函数(3)证明：令y =log a (a －a x )(x ＜1)，则a －a x =a y ，x =log a (a －a y ) ∴f －1(x )=log a (a －a x )(x ＜1)故f (x )的反函数是其自身，得函数f (x )=log a (a －a x )(x ＜1＝图象关于y =x 对称． 22.解析：根据已知条件，A 、B 、C 三点坐标分别为(a ，log 2a )，(a ＋1，log 2(a ＋1))，(a ＋2，log 2(a ＋2))，则△ABC 的面积S=)]2(log [log 2)]2(log )1([log 2)]1(log [log 222222++-++++++a a a a a a222)]2([)1)(2(log 21+++=a a a a a )2()1(log 2122++=a a a aa a a 212log 21222+++=)211(log 2122a a ++= 因为1≥a ,所以34log 21)311(log 2122max =+=S友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。
高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点7指数与对数指数根式-------- n 次方根，根式1．a 的n 次方根的定义一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫作a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. 2．a 的n 次方根的表示3.(1)负数没有偶次方根．(2)0的n 次方根等于0，记作n0＝0.(3)(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)．(4)na n ＝a (n 为大于1的奇数)．(5)na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0(n 为大于1的偶数)．4.指数幂的运算对有理数指数幂的运算性质的三点说明：(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：∈同底数幂相乘，底数不变，指数相加；∈幂的幂，底数不变，指数相乘；∈积的幂等于幂的积．(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．(3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．对数1.对数的定义：一般地，如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．如图所示：2.对数式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．(2)基本方法∈将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．∈利用幂的运算性质和指数的性质计算．3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法∈“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；∈“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．4.对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．解决对数应用题的一般步骤一、由根式化简求值例题1若=，则实数a 的取值范围是()A ．a ∈RB ．a ＝12C ．a ＞12D ．a ≤12例题2下列说法正确的个数是（ ）∈16的4次方根是2；的运算结果是±2；∈当n 为大于1a ∈R 都有意义；∈当n 为大于1a ≥0时才有意义. A ．1B ．2C ．3D ．4训练1则实数a 的取值范围是A ．(),3-∞B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭训练2=a 的取值范围是（ ）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．11[,]22-D ．R二、根式与分数指数幂的互化例题1化简43]的结果为（）A ．5 BC．D ．5-例题2的结果是（ ） A ．132- B ．122-C ．232-D ．322-训练10a >）的分数指数幂形式为（ ） A ．34a-B ．34aC ．43a-D ．43a训练2设0a >2表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）A ．12aB ．56a C ．76aD ．32a三、指数式与对数式的互化例题1log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是（ ） A ．a b ＝N B ．b a ＝N C ．a N ＝b D ．b N ＝a例题2把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ∈，空气的温度是0θ∈，经过t 分钟后物体的温度θ∈可由公式010()ektθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80∈的物体，放在20∈的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40∈，则k 约等于（参考数据：ln 3 1.099≈）（ ） A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4D ．0.3训练1下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）A ．01e =与ln10=B ．13182-=与811log 23=-C ．3log 92=与1293=D ．7log 71=与177=训练2指数式 x 3=15的对数形式为:A ．log 3 15=xB ．log 15 x=3C ．log x 3= 15D ．log x 15= 3 四、对数的概念判断与求值例题1下列指数式与对数式的互化不正确的一组是A ．100=1与lg1=0B ．131273-=与271log 33=-C ．log 39=2与32=9D ．log 55=1与51=5例题2下列语句正确的是∈对数式log a N=b 与指数式a b =N 是同一关系的两种不同表示方法． ∈若a b =N （a>0且a≠1，N>0），则log a N a N =一定成立． ∈对数的底数可以为任意正实数． ∈log a a b =b 对一切a>0且a≠1恒成立． A ．∈∈∈∈ B ．∈∈∈ C ．∈∈∈D ．∈∈∈训练1下列函数是对数函数的是 A ．3log (1)y x =+B ．()y log 2a x = (a 0,a 1)>≠C ．ln y x =D ．2y log a x = (a 0,a 1)>≠训练2 有下列说法： ∈零和负数没有对数；∈任何一个指数式都可以化成对数式； ∈以10为底的对数叫做常用对数； ∈以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4综合式测试一、单选题1．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ C ．1(0,][10,)10+∞ D ．1[,10]102．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3．计算log 916·log 881的值为（ ） A ．18B ．118C ．83D ．384．已知log 45m =，log 98n =，0.8log 0.5p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>5．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．26．某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知lg 20.3010=，lg30.4771=）.（ ） A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年7．已知某抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.2%，则至少要抽的次数是（参考数据：lg20.301=） A ．6B ．7C ．8D ．98．函数()51f x ax bx =-+，若()()5lg log 105f =，则()()lg lg5f 的值为（ ） A ．3- B ．5 C ．5- D ．9-二、填空题92log 3125(log 10)4-++10．若,a b 是方程242(lg )lg 10x x -+=的两个实根，则 lg()(log log )a b ab b a +的值为______．11．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C分别在函数y x=，12y x =，xy =⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.12．已知()232log 3x f x =⋅，则()10072f 等于__________.三、解答题13．（1）计算：5log 3333322log 2log log 8259-+-； （2）1222301322(7.8)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭-⎭.14．（1）证明对数换底公式：log log log a b a NN b=（其中0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，0N >） （2）已知3log 2m =，试用m 表示32log 18.15．已知函数xy a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，记()2xx a f x a =+.（1）求a 的值；（2）证明：()()11f x f x +-=；（3）求12320142015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.。
对数的概念【教学目标】1.使学生理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化。
2.培养学生应用数学的意识.【教学重点】对数的概念【教学难点】对数与指数的互化【教学过程】一.复习引入：某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,这种物质剩留的的质量是原来的84%,经过多少年这种物质的剩留量为原来的一半?二.新课讲解1. 定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 即 N a b =，那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
N a b = b N a =log【注】（1） 在指数式中 N > 0 （负数与零没有对数）；（2） 01log =a 1log =a a（3）对数恒等式： N a N a =log ；b a b a =log（4）常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N 的常用对数log 10 N 简记作lg N例如：log 105简记作lg 5 log 103.5简记作lg3.5.（5）自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e ＝2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数log e N 简记作ln N 。
例如：log e 3简记作ln3 log e 10简记作ln102. 例题例1 将下列指数式改写成对数式：（1）54＝625 （2）2-6＝164 （3）3a ＝27 (4) （13 ）m ＝5.73 解：（1）log 5625＝4；（2）log 2 164 ＝－6；（3）log 327＝a ；（4）log 315.73＝m例2 将下列对数式写成指数式：（1）log 2116＝－4；（2）log 2128＝－7；（3）lg0.01＝－2；（4）ln10＝2.303解：（1）（12 ）－4＝16；（2）27＝128；（3）10－2＝0.01；（4）e 2.303＝10例3 求下列各式的值：（1） 64log 2 ；271log 3（2） 27log 9； 81log 34解：设 =x 27log 9 则 ,27=x a 3233=x , ∴23=x （3） ()[]81log log log 346（4） ()()32log 32-+（5） 5log 23log 14242-+-+例4 求 x 的值：（1） 43log 3-=x （2） ()()1123log 2122=-+-x x x （3） ()[]0log log log 432=x （4） 872log =x （5） 416log =x解：（1）2713443==-x （2）2,00212123222-==⇒=+⇒-=-+x x x x x x x但必须：⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠->-0123112012222x x x x ∴0=x 舍去 2-=x（3） ()1log log 43=x , ∴3log 4=x , 6443==x（4） 787878878722)(2=∴==x x x （5） )(22164舍去或-=∴=x x【课堂小结】（1）定义 （2）互换 （3）求值大家要在理解对数概念的基础上，掌握对数式与指数式的互化，会计算一些特殊对数值。
3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则： 对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=a b log 1，mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？ 探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析 这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析 把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式 对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记： 积的对数变为加， 商的对数变为减，幂的乘方取对数， 要把指数提到前. 典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道 解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道 有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道 因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式 已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱 如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。
对数运算是高中数学必修一中的一个重要内容，掌握其性质和运算方法对于数学学习和实际应用都具有很大的帮助。
本文将探究对数运算的性质，分别从定义、性质、运算法则、解题方法等多个角度进行讲解，以期给读者带来全面的了解和帮助。
一、定义我们先来回顾一下对数的定义。
对于正实数a和大于0的正整数n，如果一个数x满足a的n次方等于x，则称x为以a为底，n为指数的对数，记为loga x = n。
其中，a叫做对数的底数，x叫做真数，n叫做指数。
例如，对于8、2、3来说，log2 8 = 3，log3 2 =0.63093，log2 3 ≈ 1.58496。
从定义可以看出，对数运算实质上是以幂运算为基础的一种运算。
同时，对数的底数必须为正实数且不等于1，而真数必须为正实数。
对于loga a的值，我有loga a = 1，即底数为a的对数中，以a 为真数的对数值为1。
而对于loga 1的值，我们有loga 1 = 0，即底数为a的对数中，以1为真数的对数值为0。
二、性质对数运算有很多重要的性质，包括对数的性质、对数运算的性质等。
在这里我们将重点介绍对数的性质。
1.对数的唯一性：同一底数的对数只有唯一一个数与之对应。
因为根据定义，一个实数只能有一个幂次与之对应，相同底数的对数也只能有唯一一个。
2.对数的存在性：对于任何正实数x和底数a，必然存在一个实数n，使得a的n次方等于x。
因为a的n次方是一个连续的函数，并且可以取到任何大于0的正实数，存在一个实数n，使得a的n次方和x相等。
3.对数的有序性：底数相同的对数，指数越大，对应的数越大；指数越小，对应的数越小。
由于一个底数的幂次函数是一个单调递增或递减的函数，同底数的对数也满足单调性。
4.底数的变化：对数的底数变为a的p次方，相当于对数的指数乘以p，即loga xp = ploga x。
这是对数运算一个非常有用的性质，可以用来化简对数式子。
5.对数的互换：即loga b = 1/logb a。
必修一第一章集合1.1集合的含义及其表示1。
2子集、全集、补集1。
3交集、并集第二章函数2。
1函数的概念和图象2.2指数函数2.3对数函数2.4幂函数2。
5函数与方程2。
6函数模型及其应用必修二第一章立体几何初步1。
1空间几何体1。
2点、线、面之间的位置关系1。
3空间几何体的表面积和体积第二章平面解析几何初步2.1直线与方程2。
2圆与方程2.3空间直角坐标系必修三第一章算法初步1.1算法的含义1.2流程图1.3基本算法语句1。
4算法案例第二章统计2。
1抽样方法2。
2总体分布的估计2。
3总体特征数的估计2。
4线性回归方程第三章概率3.1随机事件及其概率3。
2古典概型3。
3几何概型3.4互斥事件必修四第一章三角函数1。
1任意角、弧度1。
2任意角的三角函数1.3三角函数的图象与性质第二章平面向量2.1向量的概念与表示2。
2向量的线性运算2.3向量的坐标表示2。
4向量的数量积2.5向量的应用第三章三角恒等变换3。
1两角和与差的三角函数3.2二倍角的三角函数3。
3几个三角恒等式必修五第一章解三角形1.1正弦定理1。
2余弦定理1.3正弦定理、余弦定理的应用第二章2.1数列2。
2等差数列2.3等比数列第三章3.1不等关系3.2一元二次不等式3。
3二元一次不等式组与简单线性规划3.4《基本不等式》选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1。
2充分条件与必要条件1。
3简单的逻辑联结词1。
4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2。
1椭圆2。
2双曲线2。
3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3。
2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1—2第一章统计案例1。
1回归分析的基本思想及其初步应用1。
2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2。
1合情推理与演绎推理2。
2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3。
2复数代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图4.2结构图选修2—1第一章常用逻辑用语1。
3．2对数函数3．2.1对数的概念第1课时对数的概念学习目标 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质(重、难点)；2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重、难点)．预习教材P72－74，完成下面问题：知识点一对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．【预习评价】思考解指数方程3x＝3时，可化为3x＝，所以x＝12.请思考怎样解3x＝2?提示因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．知识点二对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a1＝0(a＞0，且a≠1)．(3)log a a＝1(a＞0，且a≠1)．知识点三对数与指数的关系当a＞0，且a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.知识点四常用对数和自然对数通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N 可简记为lg_N，log e N简记为ln_N.【预习评价】1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是________．(填序号)(1)e0＝1与ln 1＝0；(2)＝12与log812＝－13；(3)log39＝2与＝3；(4)log77＝1与71＝7.解析根据a b＝N⇔b＝log a N可知，(1)，(2)，(4)均正确，(3)不正确应是32＝9. ★★答案★★(3)2．若lg(ln x)＝0，则x＝________.解析ln x＝1，x＝e.★★答案★★ e3．若lg(log3x)＝1，则x的值为________．解析∵lg(log3x)＝1，∴log3x＝101＝10，∴x＝310.★★答案★★310题型一对数式与指数式的互化【例1】(1)将下列指数式写成对数式：①54＝625；②2－6＝164；③3a＝27；④⎝⎛⎭⎪⎫13m＝5.73.(2)求下列各式中的x的值：①log64x＝－23；②log x8＝6；③lg 100＝x；④－ln e2＝x.解(1)①log5625＝4；②log2164＝－6；③log327＝a；④ 5.73＝m.(2)①＝4－2＝116.②x6＝8，所以＝ 2.③10x＝100＝102，于是x＝2.④由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.所以x＝－2.规律方法要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．【训练1】计算：(1)log927；(2)；(3).解(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝3 2.题型二应用对数的基本性质求值【例2】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；解(1)∵log2(log5x)＝0.∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.(3)∵log(2－1)13＋22＝x，∴(2－1)x＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1，∴x＝1.(4)∵＝27x＝2，∴x＝2 27.规律方法(1)对数式与指数式关系图：对数式log a N＝b是由指数式a b＝N变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数．(2)并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有a x＝N⇔x＝log a N.【训练2】(1)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为________．解析∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1，∴x＝3，同理y＝4，z＝2，∴x＋y＋z＝9.★★答案★★9(2)求的值(a，b，c∈R＋且不等于1，N＞0)．解考查题型三利用对数基本性质解方程方向方向1【例3－1】解方程lg(－2x－1)＝lg(x2－9)．解由已知得－2x－1＝x2－9，即x2＋2x－8＝0，解得x＝－4或x＝2.经检验，x＝2时，－2x－1<0，x2－9<0，与对数真数大于0矛盾，故x＝2舍去．所以原方程的根为x＝－4.方向2：同底对数方程转化为无理方程【例3－2】解方程log3(x－1)＝log3x＋5.解由题意得x－1＝x＋5，∴(x－1)2＝x＋5，即x2－3x－4＝0.解得x＝－1或x＝4.经检验，x＝－1不合题意，故舍去；x＝4是原方程的解．∴原方程的解是x＝4.方向3：整体代换转化为有理方程【例3－3】方程9x－6·3x－7＝0的解是________．解析设3x＝t(t＞0)，则原方程可化为t2－6t－7＝0，解得t＝7或t＝－1(舍去)，∴t＝7，即3x＝7.∴x＝log37.★★答案★★log37方向4：指、对数互化转化为有理方程【例3－4】若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.解析由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0，或x＝－3.验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，当x＝0不合题意，应舍去，所以x＝－3.★★答案★★－3规律方法应熟练进行指数与对数间的相互转化，在解题过程中，看到对数就应想到它的指数形式，看到指数就应想到它的对数形式．(1)对数运算时的常用性质：log a a＝1，log a1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.课堂达标1．2x＝3化为对数式是________．解析∵2x＝3，∴x＝log23.★★答案★★x＝log232．若log3x＝3，则x＝________.解析∵log3x＝3，∴x＝33＝27.★★答案★★273．ln 1＋log(2－1)(2－1)＝________.解析ln 1＋log(2－1)(2－1)＝0＋1＝1.★★答案★★ 14．设10lg x＝100，则x的值为________．★★答案★★1005．求下列各式的值：(1)log(2－3)(2＋3)－1；(2)log327；(3)32＋log35.解(1)设x＝log(2－3)(2＋3)－1，则(2－3)x＝(2＋3)－1＝12＋3＝2－3，∴x＝1.即log(2＋3)－1＝1.(2－3)(2)∵33＝37，∴log327＝3.∴原式＝9×5＝45.课堂小结1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N⇔log a N＝b(a ＞0，且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：2．在关系式a x＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.。
章末知识整合一 指数、对数的基本运算[例1] 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－13＋ 4（3－π）4＝________.(2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________．解析：(1)原式＝1＋813＋|3－π|＝1＋2＋π－3＝π. (2)因为f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg a 2b 2， 又f (ab )＝lg ab ＝1，所以lg a 2b 2＝2lg ab ＝2. 答案：(1)π (2)2 规律方法1．指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是考查的重要问题类型，也是高考的常考内容．主要考查指数和对数的运算性质，以客观题为主．2．(1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算．(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式进行对数计算、化简．[即时演练] 1.计算：(1)(2014·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．(2)(2015·浙江卷)2log 23＋log 43＝________． 解析：(1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋0＝278.(2)原式＝2log 23＋log 23＝2log 2(33)＝3 3. 答案：(1)278 (2)3 3二 幂函数的图象与性质[例2] 已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随着x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m2<(3－2a )－m2的a 的取值范围．解：因为函数f (x )在(0，＋∞)上的函数值随着x 的增大而减小， 所以m 2－2m －3<0.利用二次函数的图象可得－1<m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1，2. 又函数图象关于y 轴对称， 所以m 2－2m －3为偶数，故m ＝1. 所以所以有(a ＋1)－12<(3－2a )－12.又因为y ＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23<a <32.故实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪23<a <32. 规律方法1．幂函数y ＝x n 的图象，关键是根据n 的取值，确定第一象限的情况，然后再由定义域及奇偶性进一步确定幂函数在其他象限的图象．2．幂函数中的参数问题，要依据题设条件列出指数中参数所含的方程或不等式，求出参数，然后再利用幂函数的图象和相关的性质进行计算检验．[即时演练] 2.已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)． (1)试确定函数的定义域，并指明该函数的单调性； (2)若该函数的图象经过点(2，2)，求函数的解析式． 解：(1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， 所以m (m ＋1)为偶数．所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)因为函数f (x )经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1. 所以m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1.因此函数f (x )＝x 12.三 指数函数与对数函数的图象与性质 [例3] 已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)． (1)若常数a ＜2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2，4)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，ax －2x －1＞0，即(x －1)(ax －2)＞0.当0＜a ＜2时，2a ＞1.解不等式得x ＜1或x ＞2a .当a ＜0时，解得2a＜x ＜1.故当a ＜0时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜1；当0＜a ＜2时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1或x ＞2a .(2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数，故要使f (x )在(2，4)上是减函数，只需函数u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1， 在(2，4)上单调递增且为正．故由⎩⎨⎧a－2＜0，u（2）＝2a－22－1≥0，解得1≤a＜2.所以实数a的取值范围为[1，2)．规律方法1．求解f(x)的定义域，注意a的取值影响，要进行分类讨论．2．第(2)问中，逆用“对数型”复合函数的性质，在脱去对数符号时，其真数一定要大于0，从而u(2)≥0得到关于a的不等式组．[即时演练] 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x.(1)画出函数f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．解：(1)先作出当x≥0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．四 函数模型的实际应用[例4] 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图甲和图乙所示．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明．图甲 图乙(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由．解：(1)由题图可知，直线y 甲＝kx ＋b ，经过(1，1)和(6，2)．可求得k ＝0.2，b ＝0.8.所以y 甲＝0.2(x ＋4)．故第二年甲鱼池的产量为1.2万只．同理可得y 乙＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋172.故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋172＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．当x ＝－ 3.62×（－0.8）＝214≈2时，y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只)最大． 即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只．[即时演练] 4.某汽车公司曾在2014年初公告：2014年销量目标为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．已知2011年，某汽车年销量8万辆；2012年，某汽车年销量18万辆；2013年，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将2011，2012，2013，2014年定义为第一、第二、第三、第四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ≠1，b ＞0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与第x 年的关系？解：建立年销量y (万辆)与第x 年的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．(1)构造二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝7，c ＝0.则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c ，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为5.1.由上可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y (万辆)与第x 年的关系．五 转化与数形结合思想[例5] 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0，1)上，另一个零点在区间(1，2)上？解：已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0， 函数的大致图象如图所示．根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0，1)上，另一个在(1，2)上，则：⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，所以－2＜a ＜－1或3＜a ＜4. 规律方法1．转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题．2．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．[即时演练] 5.(2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象(如图所示)． 由图象知，两图象有2个交点，则0＜b ＜2.答案：{b|0＜b＜2}。
高中数学新课标苏教版教材目录数学1第1章集合§1.1集合的含义及其表示§1.2子集、全集、补集§1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1函数的概念和图象§函数的概念和图象§函数的表示方法§函数的简单性质§映射的概念§2.2指数函数§分数指数幂§指数函数§2.3对数函数§对数§对数函数§2.4幂函数§2.5函数与方程§二次函数与一元二次方程§用二分法求方程的近似解§2.6函数模型及其应用数学2第3章立体几何初步§3.1空间几何体§棱柱、棱锥和棱台§圆柱、圆锥、圆台和球§中心投影和平行投影§直观图画法§空间图形的展开图§柱、锥、台、球的体积§3.2点、线、面之间的位置关系§平面的基本性质§空间两条直线的位置关系§直线与平面的位置关系§平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步§4.1直线与方程§直线的斜率§直线的方程§两条直线的平行与垂直§两条直线的交点§平面上两点间的距离§点到直线的距离§4.2圆与方程§圆的方程§直线与圆的位置关系§圆与圆的位置关系§4.3空间直角坐标系§空间直角坐标系§空间两点间的距离数学3第5章算法初步§5.1算法的意义§5.2流程图§5.3基本算法语句§5.4算法案例第6章统计§6.1抽样方法§6.2总体分布的估计§6.3总体特征数的估计§6.4线性回归方程第7章概率§7.1随机事件及其概率§7.2古典概型§7.3几何概型§7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数§8.1任意角、弧度§8.2任意角的三角函数§8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量§9.1向量的概念及表示§9.2向量的线性运算§9.3向量的坐标表示§9.4向量的数量积§9.5向量的应用第10章三角恒等变换§10.1两角和与差的三角函数§10.2二倍角的三角函数§10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形§11.1正弦定理§11.2余弦定理§11.3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列§12.1等差数列§12.2等比数列§12.3数列的进一步认识第13章不等式§13.1不等关系§13.2一元二次不等式§13.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题§13.4基本不等式选修系列11-1第1章常用逻辑用语§1.1命题及其关系§1.2简单的逻辑联结词§1.3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线§2.2椭圆§2.3双曲线§2.4抛物线§2.5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用§3.1导数的概念§3.2导数的运算§3.3导数在研究函数中的应用§3.4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例§1.1独立性检验§1.2线性回归分析第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充§3.2复数的四则运算§3.3复数的几何意义第4章框图§4.1流程图§4.2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语§1.1命题及其关系§1.2简单的逻辑连接词§1.3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线§2.2椭圆§2.3双曲线§2.4抛物线§2.5圆锥曲线的统一定义§2.6曲线与方程第3章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算§3.2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用§1.1导数的概念§1.2导数的运算§1.3导数在研究函数中的应用§1.4导数在实际生活中的应用§1.5定积分第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明§2.3数学归纳法第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充§3.2复数的四则运算§3.3复数的几何意义2-3第1章计数原理§1.1两个基本原理§1.2排列§1.3组合§1.4计数应用题§1.5二项式定理第2章概率§2.1随机变量及其概率分布§2.2超几何分布§2.3独立性§2.4二项分布§2.5离散型随机变量的均值与方差§2.6正态分布第3章统计案例§3.1独立性检验§3.2线性回归分析主要编写人员情况主编单墫副主编李善良陈永高主要编写人员数学与应用数学方面：单墫陈永高苏维宜蒋声丁德成洪再吉许道云孙智伟李跃文王晓谦尤建功秦厚荣唐忠明钱定边傅珏生葛福生夏建国孙智伟汪任观数学教育与数学史方面：李善良赵振威葛军徐稼红周焕山朱家生高中数学教师与教研员：仇炳生冯惠愚张乃达祁建新樊亚东石志群董林伟张松年陈光立陆云泉孙旭东于明寇恒清王红兵卫刚单墫 1943年生，南京师范大学数学系教授，博士生导师，享受政府特殊津贴。
