特征值与特征向量优秀教学设计.docx

《3.1.2 特征值与特征向量的求法》教案3教学目标1. 让学生能够熟练的运用特征值和特征向量的求法2. 认真分析问题的方法，可以独立解决问题教学重难点掌握并且运用特征值和特征向量的求法教学过程1 特征值与特征向量的定义及性质定义1：设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE -A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。

若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE -A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。

定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。

性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。

证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n)设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =⋅A 则λ1-Aξ=ξ即有1-A ξ=1-λξ∴1-λ为1-A的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1-λ为1-Aξ的特征值性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =n n a χ+101111x a x a xa n n +++--证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则Aξ=λξ ∴ ()A f ξ=(n n A a +E a A a A a n n 0111+++-- )ξ = n n A a ξ+ 11--n n Aa ξ+… +E a 0 ξ=nn a λξ+11--n n a λ+…+E 0a ξ =()λf ξ 又ξ≠0∴ ()λf 是()A f 的特征值性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值证明：设 A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 则由题设条件知：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a =a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111∴a 是A 的特征值2.1 矩阵特征值与特征向量的求法 ① 基本计算法（ⅰ）求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=A λλ （ⅱ）求出A E -λ的全部根（ⅲ）把特征值i λ 逐个代入齐次线性方程组()0=A -E χλi 并求它的基础解系，即为A 的属于特征根i λ的线性无关的特征向量。

《3.1.1 特征值与特征向量》教案1教学目标1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义． 2．会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)． 3．利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α的简单表示，并能用它来解决问题.知识梳理1．特征值与特征向量的定义设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．2．特征多项式的定义 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式．3．特征值与特征向量的计算 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：第一步：令矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0，求出λ的值．第二步：将λ的值代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋ λ－d y ＝0，得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．4．A n α(n ∈N *)的简单表示 (1)设二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则A n α＝λn α(n ∈N *)．(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，α，β是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t 1α＋t 2β(其中t 1，t 2为实数)，则A n γ＝t 1λn 1α＋t 2λn 2β(n ∈N *)．教学过程1．特征值与特征向量的几何意义如何？【提示】 从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量．2．特征值与特征向量有怎样的对应关系？【提示】 如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量α共线，故t α也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．3．如何求矩阵A 幂的作用结果？【提示】 由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果.课堂互动例一 (1)求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002的特征值和特征向量；(2)已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A . 【思路探究】 (1)f (λ)→f (λ)＝0→特征值→特征向量 (2)利用Aα＝λα构建方程组求解．【自主解答】 (1)矩阵A 的特征多项式为：f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 00 λ－2＝(λ－1)(λ－2)．令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝2. 将λ1＝1代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－1 x ＋0·y ＝0，0·x ＋ λ－2 y ＝0， 解得y ＝0，x 可以为任何非零实数， 不妨记x ＝k ，k ∈R ，且k ≠0.于是矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.将λ2＝2代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－1 x ＋0·y ＝0，0·x ＋ λ－2 y ＝0，解得x ＝0，y 可以为任何非零实数，不妨记y ＝m ，m ∈R ，且m ≠0.于是矩阵A 的属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01. 因此，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002的特征值为1和2，分别对应的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.(2)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a －3b ＝－1，c －3d ＝3，a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，d ＝0.∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2130.变式训练(1)若将本例(1)中A 变为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 652，则其特征值与特征向量如何求？(2)已知矩阵A 有特征值λ1＝8及对应的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并有特征值λ2＝2及对应的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，试确定矩阵A . 【解】 (1)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －6－5 λ－2.令f (λ)＝0，即λ2－5λ－24＝0.由此得到的两个根分别为λ1＝8，λ2＝－3，即λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A 的两个不相等的特征值．将λ1＝8代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－3 x ＋ －6 y ＝0， －5 x ＋ λ－2 y ＝0，① 即⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，得5x ＝6y . 它有无穷多个非零解⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 56x ，其中x ≠0，我们任取一个，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，它是属于特征值λ＝8的一个特征向量．类似地，对于λ2＝－3，代入二元一次方程组①，则有⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋ －6 y ＝0，－5x －5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0. 它有无穷多个非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －x ，其中x ≠0，我们任取一个，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，它是属于特征值λ＝－3的一个特征向量．(2)不妨设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d 均为实数．由题意则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－a －b －c 8－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00及⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－a －b －c 2－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，从而⎩⎪⎨⎪⎧8－a －b ＝0，－c ＋8－d ＝0，2－a ＋2b ＝0，－c ＋2d －4＝0.解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.例二 给定的矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A 4B .【思路探究】 用特征多项式求出λ，然后求出与λ对应的特征向量，再利用性质A 4B＝sλ41α1＋tλ42α2求A 4B .【自主解答】 (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，∴λ1＝2，λ2＝3. 当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21； 当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2，故A 4B ＝A 4(α1＋α2) ＝24α1＋34α2 ＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11397.变式训练 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β.【解】 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.令β＝m α1＋n α2， 所以求得m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4·35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.课堂练习1．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221的一个特征值是________，相应的一个特征向量为________．【解析】 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， ∴它的一个特征值为3，特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 【答案】 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤112．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112，则矩阵A 的特征多项式为________．【解析】 特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋4－1＝λ2－4λ＋3.【答案】 λ2－4λ＋3 3．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001的属于特征值λ1＝1的特征向量是________，属于特征值λ2＝2的特征向量是________，它们________(填“共线”“不共线”)．【解析】 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， ∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.又⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， ∴α1与α2不共线．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 不共线4．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，则A 20α＝________.【解析】 矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12的属于特征值λ1＝1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值λ2＝12的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.由α＝s α1＋t α2，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，s ＝1，t ＝3，∴A 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝1×120×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3×1220×⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 3220＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 3220. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 3220课后练习1．求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值和特征向量．2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24.(1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象；(2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵M 的特征向量吗？为什么？。

特征值与特征向量【教学目标】1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。

2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。

3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。

【教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。

难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。

【教学过程】一、新课引入教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。

二、讲授新课教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。

教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。

例1：对于相关x 轴的反射变换σ：，从几何直观上可以发现，只有x 1001x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。

因此，反射变换σ只把形如和的向量（其中，是任意常数），分别变成与自身共10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭1k 2k 线的向量。

可以发现，反射变换σ分别把向量，变成，。

10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫-= ⎪-⎝⎭特别的，反射变换σ把向量变成，把向量变成。

用矩形的形式可110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭201ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭01⎛⎫⎪-⎝⎭表示为，。

101110100⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100010111⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭例2：对于伸缩变换ρ：，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 1002x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭轴的直线在伸缩变换ρ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。

第二节特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．(2)逆矩阵：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 2，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵．(3)逆矩阵的性质性质①：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．性质②：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (4)定理：二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0.2．逆矩阵与二元一次方程组(1)定理：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组(线性方程组)⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .(2)推论：关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0，cx ＋dy ＝0.其中a ，b ，c ，d 是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝0.3．特征值和特征向量 设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．4．特征向量的性质设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A n α＝t 1λn 1ξ1＋t 2λn2ξ2.1．并不是每一个二阶矩阵都是可逆的：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆的充分必要条件是它对应的行列式|A |满足|A |＝ad －bc ≠0，且A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |. 2．不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 有特征值λ的充分必要条件是方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0有解．3．属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线． 『试一试』1．若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2300 12，求矩阵MN 的逆矩阵． 『解』法一 ∵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002为一伸缩变换对应的矩阵，∴M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1300 12.又∵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2300 12也为一伸缩变换对应的矩阵，∴N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32002. 由矩阵的性质知(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 1. 法二：由已知，得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001∴MN 的逆矩阵是(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 0 1 2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求其另一个特征值．『解』矩阵M 的特征矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ，其特征多项式为(λ－1)(λ－x )－(－2)×(－2)． 由题意：(3－1)(3－x )－4＝0， ∴x ＝1， ∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221.由(λ－1)(λ－1)－(－2)×(－2)＝0，解得λ＝3或λ＝－1. 矩阵M 的另一个特征值为－1.1．求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，AB ＝BA ＝E 2；(2)公式法： |A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |，当且仅当|A |≠0；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵； (4)利用逆矩阵的性质(AB )－1＝B －1A －1. 2．求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . (2)求特征向量和特征值的步骤： ①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值；②解⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋λ－dy ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．『练一练』 1．给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，求A 4B .『解』设A的一个特征值为λ，由题知⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－4＝0，得(λ－2)(λ－3)＝0，λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy，得A的属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.当λ1＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy，得A的属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由于B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2α1＋α2，故A4B＝A4(2α1＋α2)＝2(24α1)＋(34α2)＝32α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6432＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤145113.2．已知矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，求矩阵A.『解』由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＝3，c＋d＝3；由矩阵A属于特征值－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a－b＝－1，c－d＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，即矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.考点一逆矩阵的求法『典例』(2013·江苏高考)已知矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100 2，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A－1B.『解』设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a－b2c 2d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3. 『备课札记』 『类题通法』1．逆矩阵的求法常用待定系数法．2．若A ，B 两个矩阵均存在可逆矩阵，则有(AB )－1＝B －1A －1，若A ，B ，C 为二阶矩阵且A 可逆，则当AB ＝AC 时，有B ＝C ，即此时矩阵乘法的消去律成立． 『针对训练』(2014·宿迁模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－13将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l ′. (1)求直线l ′的方程；(2)判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1；若不可逆，请说明理由． 『解』(1)在直线l 上任取一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－1 3对应的变换作用下变为Q (x ，y )． ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0＋y 0，y ＝－x 0＋3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝3x －y7y 0＝x ＋2y7，又∵点P (x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －1＝0上， ∴3x －y 7＋x ＋2y7－1＝0，即直线l ′的方程为4x ＋y －7＝0.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2 1－13≠0，∴矩阵A 可逆．设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，∴AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝0，－a ＋3c ＝0，－b ＋3d ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝37，b ＝－17，c ＝17，d ＝27，∴A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤37 －1717 27.考点二二元一次方程组的矩阵解法『典例』 用矩阵方法求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝4，3x ＋y ＝6的解．『解』 已知方程组可以写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46，令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1，其系数行列式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －53 1＝2×1－3×(－5)＝17≠0，所以M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤117 517－317 217，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.『备课札记』 『类题通法』1．用矩阵方法求解二元一次方程组的关键是求解系数所对应的矩阵的逆矩阵． 2．若系数矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则方程组的解可以表达成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .『针对训练』利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.『解』方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 14 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，因为系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，所以方程组有唯一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 142－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －12－2 32，因此原方程组的解为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －12－232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1212，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12.考点三二阶矩阵的特征值及特征向量『典例』 (2014·福州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －32 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤75.(1)求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； (2)求M 3α.『解』 (1)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－4 3－2 λ＋1＝λ2－3λ＋2，令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.当λ1＝1时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，矩阵M 属于特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，同理可得矩阵M 属于特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32. (2)设α＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3n ＝7，m ＋2n ＝5，解得m ＝1，n ＝2.所以M 3α＝M 3(α1＋2α2)＝M 3α1＋2M 3α2＝λ31α1＋2λ32α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋2×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933. 『备课札记』 『类题通法』1．关于特征值问题的一般解法如下：给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，若有特征值λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0.2．求M n α，一般都是先求出矩阵M 的特征值与特征向量，将α写成t 1α1＋t 2α2.利用性质M n α＝t 1λn 1α1＋t 2λn2α2求解．『针对训练』(2014·扬州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101，向量b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102.求向量a ，使得A 2a ＝b .『解』A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 301，设a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2a ＝b 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，y ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.『课堂练通考点』1．(2014·厦门质检)已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 m 0 1变换下得到的向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1. (1)求m 的值；(2)求曲线y 2－x ＋y ＝0在矩阵M －1所对应的线性变换作用下得到的曲线方程．『解』(1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 m 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－m －1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－m －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1，得m ＝1.(2)由(1)得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101，det M ＝1≠0，所以M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1.设曲线y 2－x ＋y ＝0上任意一点(x ，y )在矩阵M －1所对应的线性变换作用下的像是(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝x ′，y ＝y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋y ′，y ＝y ′，代入曲线y 2－x ＋y ＝0得y ′2＝x ′.由(x ，y )的任意性可知，曲线y 2－x ＋y ＝0在矩阵M －1所对应的线性变换作用下的曲线方程为y 2＝x .2．(2014·龙岩质检)已知向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b 的属于特征值λ1＝2的一个特征向量． (1)求矩阵M ；(2)若a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，求M 10a .『解』(1)依题意，Me 1＝λ1e 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，b ＝2，∴a ＝1，b ＝2. ∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 102.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－1)(λ－2)， ∴矩阵M 的另一个特征值为λ2＝1.设e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是矩阵M 属于特征值λ2＝1的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝x ，2y ＝y ，取x ＝1，得e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，∴a ＝e 1＋e 2，∴M 10a ＝M 10e 1＋M 10e 2＝λ101e 1＋λ102e 2＝210⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋110⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0251 024. 3．设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，求实数m ，n 的值． 『解』由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，化简得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，0·n ＝0，0·m ＝0，n ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.4．(2014·常州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．『解』由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4.即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12.。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １０线性代数中特征值与特征向量的教学设计线性代数中特征值与特征向量的教学设计Һ张林丽１㊀原乃冬２㊀张晶晶１㊀白忠玉２㊀（１．海南大学应用科技学院，海南㊀儋州㊀５７１７３７；２．海口经济学院网络学院，海南㊀海口㊀５７１１２７）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵的特征值与特征向量是线性代数中两个重要的概念．本文通过人口迁移问题的引入，采用问题驱动法和启发式教学构造出特征值与特征向量的概念，勉励学生努力践行社会主义核心价值观，培养学生严谨的科学态度和创造能力；利用研究式和启发式的教学方法推导特征值与特征向量的求法，引导学生树立崇高的学习志向，建立正确的人生观，培养学生提出问题㊁分析问题和解决问题的能力；采用启发式教学，将数学建模的思想渗透到教学之中，通过特征值与特征向量在人口迁移问题中的应用，培养学生应用知识解决实际问题的能力．本文将课程思政元素与线性代数相结合，在教学实践中落实立德树人的任务．ʌ关键词ɔ特征值；特征向量；课程思政元素ʌ基金项目ɔ海南大学应用科技学院教育教学改革研究项目（ＨＤＹＫＪＧ２０２００１，ＨＤＹＫＪＧ２０２００５），海南大学教育教学改革研究项目（ｈｄｊｙ２０７４）本文以线性代数中 矩阵的特征值与特征向量 这一节教学内容为例，从学情分析㊁教学目标㊁教学重难点和教学过程这四个方面设计教学模型，在教学实践中落实立德树人的任务．一㊁学情分析线性代数是高校理工类㊁经济管理类专业必学的一门公共课，它为学生今后的专业课学习提供必需的数学知识，同时培养学生的逻辑推理能力㊁抽象思维能力㊁空间想象能力以及用所学知识分析㊁解决实际问题的能力．方阵的特征值和特征向量是线性代数中一个重要的概念，它在方阵的对角化㊁微分方程组的求解和工程技术中的振动等问题中都有着重要的应用．本节课授课对象为大二年级理工类㊁经济管理类学生，他们已经学习了高等数学的相关知识．他们的优势是年轻㊁专注㊁有梦想，动手操作能力强，劣势是抽象思维能力㊁空间想象能力不足，数学应用能力弱，尤其对纯数学概念的学习缺乏兴趣．二㊁教学目标知识目标：让学生理解矩阵的特征值与特征向量的概念和性质；掌握方阵的特征值与特征向量的求法．能力目标：在特征值和特征向量的求法教学中，使学生的计算能力得到进一步提高．情感目标：在教学的过程中渗透变形法的数学思想，提高学生的应用意识以及 立体 的学习习惯．三㊁教学重难点教学重点：特征值与特征向量的概念㊁求法和应用．教学难点：特征值与特征向量的求法．四㊁教学过程（一）复习预备知识１．计算：Ａｘ１＝１１０２æèçöø÷１１æèçöø÷＝２２æèçöø÷＝２１１æèçöø÷＝２ｘ１．２．计算行列式：λ－３１２－２λ２－２１λ＋１＝λ（λ－１）２．３．求方程组－３ｘ１＋ｘ２＋２ｘ３＝０，－２ｘ１＋２ｘ３＝０，－２ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝０ìîíïïï的基础解系？基础解系：ξ１＝１１１æèççöø÷÷；全部非零解：ｋ１ξ１（ｋ１ʂ０）．教学设计：课前复习的作业是本节课要用到的知识，目的是减少课内简单计算所用的时间，充分突出重点；同时也是本着 笨鸟先飞 的原则，使计算能力较差的学生提前练习，达到复习的目的，保障课堂教学任务的完成；通过计算和观察增加对特征值和特征向量的感性认识，达到分散难点的目的．（二）课题引入引例（人口迁移模型）㊀假设一个省的总人口是固定的，人口的分布因居民在城市和农村之间迁徙而变化．假设每年有５％的城市人口迁移到农村（９５％仍留在城市），有１２％的农村人口迁移到城市（８８％仍留在农村），记ｒｉ，ｓｉ分别表示第ｉ年的城市与农村人口数，则ｒｉ＋１＝０．９５ｒｉ＋０．１２ｓｉ，ｓｉ＋１＝０．０５ｒｉ＋０．８８ｓｉ，{将该方程组写成矩阵方程的形式：ｘｉ＋１＝Ａｘｉ，其中迁移矩阵Ａ＝０．９５０．１２０．０５０．８８æèçöø÷，ｘｉ＝ｒｉｓｉæèçöø÷．设海南省２０１０年的人口分布为ｘ０＝５０００００７８００００æèçöø÷，计算海南省２０３０年的人口分布．解㊀ｘ２０＝Ａ２０ｘ０．难点：Ａ２０难计算．思想：Ａ２０转化ңＤ２０（Ｄ为对角矩阵）．教学设计：采用问题驱动法，由人口迁移问题，设想：（１）将迁移矩阵转化为对角矩阵？这个方法的实施感觉很渺茫；（２）能否将迁移矩阵线性化呢？继续寻求解决问题的思路，培养学生分析问题和解决问题的能力．在作业题第（１）题中：ＡＸ＝２Ｘ，左边是矩阵相乘的非线性运算，右边是数乘矩阵的线性运算，它启发我们可以将非线性运算简化成线性运算，由数２乘向量Ｘ等于矩阵Ａ乘向量Ｘ，也就是说，数２具备矩阵Ａ的特征，我们就把数２称为矩阵Ａ的特. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １０征值，非零向量Ｘ称为矩阵Ａ的属于特征值２的特征向量．从直观的例子出发，让学生理解了特征值和特征向量的概念．再从２阶推广到ｎ阶，引导学生构造出特征值和特征向量的一般概念．（三）特征值与特征向量的概念定义㊀设Ａ是ｎ阶方阵，如果数λ和ｎ维非零向量Ｘ，使ＡＸ＝λＸ成立，则称数λ为方阵Ａ的特征值，非零向量Ｘ称为Ａ的对应于特征值λ的特征向量（或称为Ａ的属于特征值λ的特征向量）．说明：（１）Ａ是方阵；（２）特征向量是非零向量；（３）特征向量与特征值是对应关系．教学设计：采用启发式教学，引导学生构建特征值与特征向量的概念，达到分散难点的目的，也培养了学生的创造力．通过三点补充说明，培养学生严谨的科学态度．特征值和特征向量在振动㊁经济学等领域有着重要作用．例如，用乐器演奏音乐时，需要对乐器进行调音，使得各种乐器的频率相匹配，才能演奏出动听和谐的音乐，这里的频率就是特征值．和谐的东西是美的，和谐的社会是稳定的，我们应勉励学生努力践行社会主义核心价值观，共同维护当今来之不易的和谐文明社会，提醒学生要审慎地看待自己与身边人的关系，与社会的关系，牢牢树立和谐的观念，促进学生全面和谐的发展．（四）特征值与特征向量的求法有了特征值和特征向量的概念之后，学生会产生疑问：（１）方阵Ａ的特征值是否唯一？（２）属于特征值λ的特征向量是否唯一？（３）如果不唯一，如何求方阵Ａ的所有特征值和特征向量？下面，我们来回答这些问题．由定义可知：ＡＸ＝λＸ⇔λＸ－ＡＸ＝０⇔λＥ－Ａ()Ｘ＝０有非零解⇔λＥ－Ａ＝０．按照上面的分析，我们得出求特征值和特征向量的思路．（１）求特征值：求解特征方程λＥ－Ａ＝０的根；ｎ阶方阵Ａ在复数范围内有ｎ个特征值．（２）求λｉ的特征向量：齐次线性方程组λｉＥ－Ａ()Ｘ＝０的每个非零解都是方阵Ａ的属于λｉ的特征向量；它的全部非零解即为方阵Ａ的属于特征值λｉ的全部特征向量．例１㊀求Ａ＝１１０２æèçöø÷的特征值和特征向量．对比我们求得的方阵Ａ的属于特征值λ２＝２的特征向量ξ２＝１１æèçöø÷和作业题第（１）题中找到的特征向量ｘ１＝１１æèçöø÷，可以验证我们的求法正确．由例１可以引导学生给出求ｎ阶方阵Ａ的特征值和特征向量的步骤：（１）计算特征多项式λＥ－Ａ，求特征方程λＥ－Ａ＝０的根，即为Ａ的全部特征值；（２）对每个不同特征值λｉ，求齐次线性方程组λｉＥ－Ａ()Ｘ＝０的基础解系ξ１，ξ２， ，ξｎ－ｒ（ｒ＝ｒ（λｉＥ－Ａ）），则ｋ１ξ１＋ｋ２ξ２＋ ＋ｋｎ－ｒξｎ－ｒ（ｋ１， ，ｋｎ－ｒ不全为０），即是方阵Ａ的属于特征值λｉ的全部特征向量．例２㊀求矩阵Ａ＝３－１－２２０－２２－１－１æèççöø÷÷的特征值和特征向量．教学设计：采用研究式和启发式教学法，引导学生给出求ｎ阶方阵Ａ的特征值和特征向量的步骤．求特征值的关键是计算行列式，而行列式的计算我们在第一章学过．求特征向量的关键是求齐次方程组的基础解系，而基础解系的求解我们在第三章学过，从而达到用旧知识解决新问题的目的，分散本节课的难点．例２中行列式的计算可利用作业第二题的结果，简化课堂黑板板书运算过程．由λＸ－ＡＸ＝０⇔（λＥ－Ａ）Ｘ＝０，可以看到单位矩阵Ｅ在矩阵运算中起着雷锋 的作用，可引导学生树立正确的人生观，我们要做单位矩阵式的人，低调做人，认真做事，做一个有思想有抱负的人，在祖国和人民需要的时候做出应有的贡献．（五）应用回归起点，解决开始提出的问题，让学生完整体会科学研究中提出问题㊁分析问题和解决问题的全过程．例３㊀（人口迁移模型）已知Ａ＝０．９５０．１２０．０５０．８８æèçöø÷，ｘ０＝５０００００７８００００æèçöø÷，求ｘ２０＝Ａ２０ｘ０．解㊀矩阵Ａ的特征值为λ１＝１，λ２＝０．８３，其对应的特征向量分别是ｐ１＝２．４１æèçöø÷，ｐ２＝１－１æèçöø÷，令ｐ＝（ｐ１，ｐ２）＝２．４１１－１æèçöø÷，Ｄ＝１０００．８３æèçöø÷，则Ａ＝ＰＤＰ－１，Ａ２０＝ＰＤＰ－１()ＰＤＰ－１() ＰＤＰ－１()＝ＰＤ２０Ｐ－１，ʑｘ２０＝Ａ２０ｘ０＝ＰＤＰ－１ｘ０ʈ８９３８１５３８６１８５æèçöø÷，即２０３０年海南省人口分部情况为：城市人口为８９３８１５人，农村人口为３８６１８５人．教师提问：随着时间的流逝，预测海南省人口分布是否会趋于稳定？教学设计：采用启发式教学，将数学建模的思想渗透到教学之中，继续深化知识，研究解的稳定性．再次提到稳定的社会也是和谐的社会，勉励学生努力践行社会主义核心价值观．（六）小结特征值可以取代特征向量，让我们的世界变得简单；特征向量并不因此产生 嫉恨 ，用它包容和博大的胸怀，协同特征值改变了世界，数学的美体现了人性的真善美．其实，它们的魅力不仅如此，在后面 相似矩阵 和 对角矩阵 中它们联手作战，将ｎ阶方阵推向一个又一个高潮．如果你对它们感兴趣，就努力从特征值和特征向量做起吧，从做那个对了的特征值开始，去储藏更大的能量，为对了的事业做出自己的贡献．ʌ参考文献ɔ［１］崇金凤，卓泽朋．方阵的特征值和特征向量［Ｊ］．洛阳师范学院学报，２０１５，３４（１１）：２４－２６．［２］刘素兵，曲娜，曹大志．关于特征值与特征向量教学的探讨［Ｊ］．高师理科学刊，２０１７，３７（１０）：６２－６５．［３］同济大学数学系．工程数学：线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．. All Rights Reserved.。

高中数学备课教案线性代数中的特征值与特征向量本文将介绍高中数学备课教案线性代数中的特征值与特征向量，包括定义、求解方法和相关应用。

一、特征值与特征向量的定义在矩阵运算中，特征值与特征向量是非常重要的概念，下面将对其进行详细定义。

设$A$为$n$阶矩阵，如果存在数$\lambda$和$n$维非零向量$\boldsymbol{x}$，使得$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$，则称$\lambda$为矩阵$A$的特征值，$\boldsymbol{x}$为矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量。

二、特征值与特征向量的求解方法在实际应用中，特征值与特征向量的求解十分重要，下面将分别介绍求解的方法。

1. 求解特征值设$\boldsymbol{x}$是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量，根据定义可得：$$A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$$将两边同乘$\boldsymbol{x}^T$，即：$$\boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}$$由于$\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，所以$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x} \neq 0$，因此可以将上式两边同时除以$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}$，即：$$\frac{\boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x}} {\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}} = \lambda$$上式右侧的$\lambda$即为对应的特征值，左侧的式子可以通过变形，变为关于$\lambda$的一元高次方程，进一步求解。

2. 求解特征向量在已知$A$的特征值$\lambda$的情况下，要求对应的特征向量$\boldsymbol{x}$，也是十分关键的一步。

2019-2020年高三数学《第98课特征值与特征向量》基础教案一．课标解读掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义，会求二阶矩阵特征值与特征向量，并能解决简单的问题。

二．课前预习1.矩阵A = 的特征值和特征向量 .2.矩阵的特征值和特征向量 .3.设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．则矩阵的特征值及相应的特征向量为 ；逆矩阵 ；椭圆在的作用下的新曲线的方程 .4.已知 ，，则 .5. 已知方程AX=B ，其中A= ，B ＝，则X ＝____________6. 已知向量，在矩阵⎢⎢⎢⎢⎣⎡2321 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-2123作用下得到向量，则△OPP ’的面积____7.已知盒子A 中装有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，1只白色的，盒子B 中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的.假定A ，B 两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小球的概率有 。

8.A ，B ，C 三个城市的交通情况，小月想从其中某一个城市出发直达另一个城市，她可以有几种选择？如果他想从某一个城市出发，先经过一个城市，再到达另一个城市，她又可以有 种选择。

三 典型例题例1. 给定矩阵M ＝⎢⎢⎢⎣⎡-3132 ⎥⎥⎥⎦⎤-3231，N ＝ 及向量， （1）证明和同时是M 和N 的特征向量 （2）求出M 和N 的特征值。

例2.已知点列满足，且，求例3.在军事密码学中，密码发送的流程如图所示，它的数学原理是：发送方将要传送的信息数字化后用一个矩阵X 表示(不足的元素可以补上0，字与字之间的空格也以0记)，在矩阵的左边乘上一个双方约定好的可逆方阵A ，得到B=AX ，则B 即为传送出去的密码。

接受方收到密码后，只需左乘A 的逆矩阵，即可得到发送出去的明码X=B 。

不妨以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，让，先已知发送方传出的密码为7，13，39，67，双方约定的可逆矩阵为 ，试破解发送的密码.明发送方加密接受方解明例4.自然界生物种群的成长受到多种因素影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。