方阵的特征值和特征向量

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4-2 方阵的特征值与特征向量

1 2 2 2
4 5E A 2 2
0 1 0
1 1 0
同解方程组为
x1 x3 x2 x3
令 x 3 k3 (k3任意实数）
1 p3 1 , 1
1
2
令 x 3 k1
(k1任意实数）
当 1 2 时的基础解系为
1 k1 p1 k1 2 1 k1 0
1 p1 2 , 1
全部特征向量为
13
当 2 1 时,
0 E A 1 1 1 2 1
则 P , P2 ,, Pr1 , Q1 , Q2 ,, Qr 2 线性无关。 1
22
性质4 则推论1
A aij
n
nn
, n 个特征值为 1 , 2 , , n ,
例3 求
1 A 1 1
0 2 3
2 1 0
的特征值与特征向量。
3 1
解方程 ( E A) X ,
3 3 1 的基础解系为 1 . 0 3 得全部特征向量为 k 2 1 , k 2 0 . 0
20
三、特征值与特征向量的基本性质
性质1 n阶方阵A与它的转置方阵AT有相同的特征值。
证明则
(E A) E A

E A E A

E A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式，
则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交。

4
当 2 时, 解 2E A X

方阵的特征值与特征向量

解由A 的特征值全不为0知，A 可逆，故 A A A1 。又由 A 123 2 ，所以
A 3A 2E 2A1 3A 2E
把上式记作 A
，有
2 3 2
。
A 的特征值为 1 1 2
定理1 设1,2, ,m 是方阵A 的m 个特征值，p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量。如果 1,2, ,m 各不相
x1 p1 x2 p2 xk1 pk1 xk pk 0
(1.2)
用A 左乘上式，得 x1Ap1 x2 Ap2 xk1Apk1 xk Apk 0
即
4 1 1 4 1 1
A
2E
0 4
0 1
0 1
r
0 0
0 0
0 0
得方程组的基础解系为
0 1
p2
1
,
p3
0
1
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 k2 p2 k3 p3，其中k2, k3
为任意常数且 k2, k3不同时为0。
例4 设λ 是方阵A 的特征值，证明:
A 的二重特征值。
当 1 2 1 时，解特征方程组 A E x 0 。由于
3 2 3 1 0 1
A
E
2 1
0 2
21
r
0 0
1 0
0 0
得同解方程组为
x1 x2
x3 0
取 x3 1，得方程组的基础解系，即A 的对应于 1 2 1 的特
征向量为
1
p1
0
1
5
p2
2 3
所以A 的对应于3 3的全部特征向量为k2 p2，其中k2 为任意非零常数。
2 1 1

方阵的特征值与特征向量

证明则
∵ (λE − A)Τ = λE − AΤ
λE − A = (λE − A)
Τ Τ
= λE− A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式，则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同不同特征值的特征向量相互正交正交。不同正交
P 即设 λ1, λ2 是实对称矩阵A的两个不同的特征值， 1, P2
( 2)
x1, x2 ,⋯, xn 是齐次方程（3）的非零解。
因为X为非零向量，则（3）有非零解
⇔ λE − A = 0
(4)
6
设 p1, p2 ,⋯, ps 是方阵 A的对应于特征值 λ 定理1 定理1 的线性无关的特征向量,则
k1 p1 + k2 p2 +⋯+ ks ps (k1, k2 ,⋯, ks 是不全为零的常数.)
列向量 X , 使方程 AX = λX
(1)
λX − AX =θ 即 (λE − A) X =θ ( 2) , （2）式说明特征向量 X 的坐标 x1, x2 ,⋯ xn 是齐次特征向量
非零解。方程（2）的非零解非零解
5
（1）式也可写成即
λX − AX =θ
(λE − A) X =θ
(λ − a11)x1 − a12x2 +⋯− a1n xn = 0 − a x + (λ − a )x +⋯− a x = 0 21 1 22 2 2n n (3) ⋯ ⋯ ⋯ − an1x1 − an2 x2 +⋯+ (λ − ann )xn = 0
−1 k2 p2 = k2 −1 1
x3 = k2
(k2任意实数）

4.2 方阵的特征值与特征向量

特征向量的求法齐次线性方程组(A i E)x0的非零解，
就是方阵A的对应于特征值i 的特征向量
单选题 10分
1 3 3
已知矩阵
A
3 6
a 6
3 b
有特征值为2 和 4，
3 3 3 3
3
3
则a=
,b=
A+2E 3 a 2 3 0 a 5 0
6 6 b 2 0 0 b 4
3 3 3
所以A的特征值为1－2 21, 34
2 2
例2.3
求矩阵
A
2
1
0 2
解 A的特征多项式为
0
2
的特征值和特征向量
0
2 2 0
E A 2 1 2 3 3 2 6 8
0 2
所以A的特征值为1－2 21, 34
对于12 解方程组(A2E)x0 得基础解系p1(1 2 2)T
所以对应于12的全部特征向量为k1 p1(k10)
自然有相同的特征值. 证 |AT E|= |AT (E)T|= | ( A E)T|= |A E|.
性质2.2 设n阶矩阵A(aij)的特征值为1 2 n 则 (1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|
单选题 10分
(数学2，2008 )
设3阶矩阵A的特征值为 , 2 , 3, 若|2A|= 48，则 =___.
2
4
的特征值和特征向量
2 4 2
特征值为17 232
2 2 0
例2.3
求矩阵 A 02
1 2
02 的特征值和特征向量
特征值为1－2 21, 34
2 0 0
例2.4
求矩阵
A
0

4_1方阵的特征值与特征向量

《线性代数》返回
(l+2)2(l-4)0，矩阵A的特征值为 l1l2-2, l34 .
对于特征值l1l2-2, 解线性方程组(-2E-A)Xo, 1 -1 得其基础解系 1 及 0 ， 0 1 于是，A的对应于l1l2-2 的全部特征向量为 1 -1 c1 1 +c2 0 (c1,c2不全为0) . 0 1
A 2Ｘ＝ l A Ｘ ,
把AＸ＝lＸ代入上式得
A2Ｘ＝l(lＸ) l2Ｘ，
依次类推可得
AmＸ＝lmＸ，
即lm是Am一个特征值，Ｘ为对应的特征向量．
《线性代数》
返回
下页
结束
性质4 设l是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是
一个正整数，则lm是Am的一个特征值，X为对应的特征向量．
推论设l是方阵A的一个特征值，则

1 c1 1
矩阵A的特征值为 l14，l2-2 .
《线性代数》返回
(c1不为0) .
下页
结束
方程 |lE-A|0 的每个根都是矩阵A的特征值. 方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.
例1．求矩阵A 3 1 5 -1 的特征值与特征向量.

| lE-AT | | (lE-A)T | | (lE-A) |，所以它们的特征值相同．即A与AT 有相同的特征多项式，
《线性代数》
返回
下页
结束
例6. 设n阶矩阵A满足A2=A，证明A有特征值为0或1.
证明: 因为A2=A ，所以A2-A=o, 设A的特征值为l ，则由性质
4之推论可得l 2- l =0，解得，l 1＝0， l 2＝1. 证毕.
《线性代数》返回下页结束

第二节方阵的特征值和特征向量

3 4 1
1 1 0
000
~
1 0 0
0 1 0
0 00,
0
得基础解系
p1
10.
故对应特征值1=2的所有特征向量为 kp1 (k0).
当2=3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由
A
E
2 4 1
1 2 0
001
~
1 0 0
0 1 0
1 2 0
,
1
得基础解系
p2
21.
故对应特征值2=3=1的所有特征向量为kp2(k0).
§5.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
定义: 设A是n阶方阵, 如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax = x 成立, 那末这样的数称为方阵A的特征值, 非零向量x 称为A的对应于特征值的特征向量.
说明1: 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的; 说明2: n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
例3:
求矩阵A
=
2 0 4
1 2 1
301 的特征值和特征向量.
解: 矩阵A的特征多项式为:
2 1 1
| A–E | = 0 2 0 = –(1+)(2–)2,
4 1 3
所以A的特征值为: 1=–1, 2=3=2.
当1=–1时, 解方程组( A+E )x = 0. 由
A
E
1 0 4
1 3 1
x = A-1(Ax) = A-1(x) = (A-1x).
所以,
A-1x = -1x
由此我们还证明了: 若x是A的属于特征值的特
征向量, 则x也是矩阵A-1的属于特征值-1的特征向量.

方阵的特征值和特征向量

A 的三特征值： 1 , 2 3 1
1
当 k1 1
1 1 1 1
1 4
是 1
1 的特征向量 4
当 k2 2
1 1 2 是 2 3 1 的特征向量 1
10
2 矩阵的相似对角化
k （ k2 0 ， 2 为常数）
6
1.3 特征值和特征向量
性质1 一个特征向量对应唯一的一个特征值，一个特征值可以对应无穷多个特征向量性质2 设 1 , 2 都是方阵A 对应于特征值 0 的特征向量，则 k11 k2 2 也是A 对应于 0 的特征向量（ k1 , k 2 为任意数，且 k11 k2 2 0 ）性质3 若是方阵A 的特征值，x 是A 对应于的特征向量，则 1) m 是 A m 的特征值（m为正整数），x 仍为 A m 关于m 的特征向量 2) 当A 可逆时，特征值 0
AB
性质3 若 A ~ B 则 A，B 的特征多项式同 I A I B 因而 A，B 具有相同的特征值证：∵ A ~ B 则存在可逆阵 P 使 P 1 AP B P1 (I A) P P1P P1 AP I B 两边取行列式
P 1 (I A) P I B
16
1 2 P 1 AP n
注：什么样的方阵存在 n 个线性无关的特征向量呢？
定理：若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值 1 , 2 ,, n ，则
A 可对角化这时，对每个特征值 i ，求得一个特征向量 i ，
即 Ai ii i 1, 2,, n
1 3 3 4 2 3 1 1 令 P 1 AP B 1 2 1 1 1 1 0 1

4方阵的特征值和特征向量的计算

3
4 5
8.168
8.157 8.157
19.60
19.57 19.57
43.92
43.88 43.88 10
0.1860
0.1859 0.1859
0.4463
0.4460 0.4460
1
1 1
三、反幂法反幂法用来求矩阵A的按模最小特征值及其相应的特征向量。设A是非奇异矩阵，其特征值的次序为
6
注3 当|λ 1|>1时，迭代向量{vk}的各个分量将随着|λ 1|k变得很大而使计算机“上溢”。当|λ 1|<1时，迭代向量{vk}的各个分量将随着|λ 1|k变得很小vk 成为零向量。
为克服这两个弊端，常将向量序列规范化处理，就得到了改进的乘幂法。二、改进的乘幂法
设 v 为非零向量，将其规范化得到向量
| 1 || 2 |
| n1 || n |
相应的特征向量为
则A-1的特征值满足
x1 , x2 ,
1 | n | 1 | n1 |
, xn
1 | 1 |
只要求出A-1的按模最大的特征值，也就求出了A的按模最小的特征值，及其相应的特征向量。任取初始非零向量向量v0，构造向量序列
6 2 4 例4.2 求矩阵 A 3 9 15 4 16 36 按模最大的特征值和相应的特征向量解计算结果见下表
k 0
1 2
vk
1 12.00 8.357 1 27.00 19.98 1 56.00 44.57 1 0.2143 0.1875
uk
1 0.4821 0.4483 1 1 1
vk Avk 1 =
=A v0
3
产生的向量序列

方阵的特征值和特征向量

9
2 1 2 例 8 A 5 3 3 , 求 A 的特征值与特征向量. 1 0 2
解 A 的特征多项式为
2 A E 5 1 1 3 0 2 3 2
( 1)3 ,
所以，A 的特征值为
1 2 3 1.
故 A* = | A | A1 . 而 | A | = 123 = 2，所以
( A) B A* 3 A 2 E 2 A1 3 A 2 E .
( ) 2 / 3 2 ,
可得 B 的特征值为 (1) 1, ( 1) 3, ( 2) 3.
16
例 11 设 A 为可逆矩阵, 为 A 的特征值,
p 为对应的特征向量, 证明:
1 与 A
p 分别为 A1 与 A* 对应的特征向量.
分别为 A1 与 A* 的特征值,
证明 P.征值.
(1) 证明 k 是 Ak 的特征值(k 为正整数); (2) 设 = a0 + a1 + … + amm ,
10
当 1 2 3 1 时, 解方程组 ( A E ) x 0 ,
2 1 2 3 1 2 x1 5 2 3 x2 0, A 5 3 3 1 0 2 1 0 1 x 3 1 解之得基础解系为 p1 1 , 1
0 1 1 A 1 0 1 1 1 0
1 1 解之得基础解系为 p2 1 , p3 0 , 0 1 所以 k2 p2 k3 p3 是对应于 2 3 1 的全部特征向量.

方阵的特征值与特征向量

例2 若λ是矩阵A的特征值，证明
证因λ是A的特征值，故有p≠0使Ap= λp，于是
1) A2 p = A( Ap ) = A(λ p ) = λ ( Ap) = λ 2 p， ( 故 λ 2 是矩阵A2的特征值，且 p 是 A2 对应于λ 2的特征向量。
§2
方阵的特征值与特征向量
2 ) 当A可逆时，由Ap = λ p，有p = λ A−1 p， ( 因p ≠ 0，知λ ≠ 0，故A−1 p = λ −1 p 所以λ −1是矩阵A−1的特征值，且p是A−1对应于λ −1的特征向量。
2.若pi是方阵A的对应于特征值λi的特征向量，则kpi (k ≠ 0)也是对应于λi的特征向量。
§2
方阵的特征值与特征向量
求方阵特征值与特征向量的步骤：求方阵特征值与特征向量的步骤
1. 计算A的特征多项式 A − λ E ；
2. 求特征方程 A − λ E = 0的全部根λ1 , λ2 , L , λn，就是A的全部特征值；
§2
一般情况: 一般情况:
方阵的特征值与特征向量
(1)若λ是A的特征值，则λ k 是Ak的特征值； (2)若λ是A的特征值，则ϕ (λ )是ϕ ( A)的特征值。 (其中ϕ (λ ) = a0 + a1λ + L + amλ m是λ的多项式，
ϕ ( A) = a0 E + a1 A + L + am Am是A的多项式)
§2
方阵的特征值与特征向量
当λ2 = 4时，由 3 − 4 −1 x1 0 x = ， −1 3 − 4 2 0 −1 −1 x1 0 即 x = ， −1 −1 2 0 解得x1 = − x2， −1 所以对应的特征向量可取为 p2 = 。 1

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的特征向量, 即有
则 l1 p l2 p 即 (l1 l2 ) p 0 由于 l1 l2 0, 则 p 0, 而这是不可能的.
4. 矩阵 A 和 AT 的特征值相同.
证明: 因为 AT l E AT (l E)T ( A l E)T
所以 AT lE ( A lE)T A lE
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ．当 l2 = 4 时，对应的特征向量应满足方程组( A 4E)x 0
34

1
1 34

x1 x2

0 0

1 1
1 1

x1 x2
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
特征方程
特
a11 l a12 L
征多
|
A l E |
项
a21 M
a22 l L
M
式
an1
an2 L
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组．
若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
线性无关.
例如书上P119，例7中的：
1
l1

1
p1

0

;
1
0 1
l2

l3

2

p2

1

,
p2

0

1
4
由上面的定理可知：p1, p2, p3 线性无关
例10：设 l1 和 l2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特
§2 方阵的特征值与特征向量
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
例1：

3 1
1 1 1
3

1

0

,
p3
0

．1

4
1
k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量．
定理: 若 p1和 p2都是A的属于特征值 l0 的特征向量, 则 c1 p1 c2 p2也是A的属于l0 的特征向量(其中c1, c2
是任意常数,但 c1 p1 c2 p2 0 )
j ( A) p (2A1 3A 2E) p 2( A1 p) 3( Ap) 2 p

2
l
p

3l
p
2p

2
l

3l

2

p
j(l) p
A 3A 2E的特征值是j (1) 1;j (1) 3;j (2) 3
练习：设三阶方阵A的特征值为 1， 2， 3，
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ．
当 l1 = 2 时，对应的特征向量应满足方程组 ( A 2E)x 0
32

1
1 32

x1 x2

0 0

1
即

1
1 1

x1 x2
A

0 4
2 1
0 3

的特征值和特征向量．
解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为
4 1 1 4 1 1
A 2E

0
0
0

r
~

0
0
0

4 1 1 0 0 0
解方程组 (A−2E) x = 0．
解得基础解系
p2
1
A* +3A−2E
的特征值．
解： A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = j (A)
其中|A| = 1×(−1) ×2 = −2 ，所以 A 是可逆矩阵.
设 l 是 A 的一个特征值， p 是对应的特征向量．令
j(l ) 2 3l 2 l
2. 若 n 阶矩阵的特征值都是实数，则它们不一定各不相同, 即矩阵的特征值可以是特征方程的重根. 在计算特征值的个数时，重根按重数计算. k重根叫做k重特征值。
3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的.
一个特征向量不能属于不同的特征值.
反证法：若p 同时是A的属于特征值l1, l2（l1 l2）
证：j ( A) p (a0 a1A L am Am ) p a0 p a1Ap L am Am p a0 p a1l p L aml m p (a0 a1l L aml m ) p j (l ) p
例 5 设 A 为可逆矩阵, l 为 A 的特征值,
是 p．
二、基本性质（续）
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
（2）Q Ap l p A1Ap l A1 p A1 p 1 p l
结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p ．推广：lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p ．当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值，对应的特征向量仍然

0 0

解得基础解系
p1

1

1

,
k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
例2：求矩阵
A

3 1
1
3

的特征值和特征向量．
解（续）：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)

0 0

解得基础解系
p2

11，
k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
2 1 1
例3：求矩阵A

0
2
0

的特征值和特征向量．
4 1 3
2 l 1 1
2 l 1
解： A l E 0
2 l 0 (2 l) 4 3 l
a1n a2n 0 M
ann l
特征方程特征多项式
| A−lE | = 0 | A−lE |
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann （称为矩阵A的迹,TrA） ✓ l1 l2 … ln = |A|
因此, A和AT有完全相同的特征值.
定理 2：设 l1 , l2 , … lm 是方阵 A 的 m 个各
不相等特征值, p1 , p2 , … , pm 依次是与之对应的特征向量. 则 p1 , p2 , … , pm 线性无关. 证用数学归纳法（课上不讲证明过程）
当 m = 1 时，A 的属于特征值 l1 的特征向量 p1 0，
证明：由于 p1, p2 是齐次线性方程组 ( A l0E ) x 0
的解. 因此 c1 p1 c2 p2 也是方程组的解。
故当 c1 p1 c2 p2 0 时,
c1 p1 c2 p2 是A的属于l0 的特征向量.
二、基本性质（续）
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）．
4 1 3 l
(2 l )(l 2 l 2) (l 1)(l 2)2

方阵的特征值和特征向量

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4-2 方阵的特征值与特征向量

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4.2 方阵的特征值与特征向量

4_1方阵的特征值与特征向量

第二节方阵的特征值和特征向量

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4方阵的特征值和特征向量的计算

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