高二关于求阿基米德三角形面积最小值的解法

抛物线阿基米德三角形问题是一个数学领域的经典问题，在本文中，我们将结合相关数学理论和实际运用进行深入探讨、分析及推广。

一、抛物线阿基米德三角形概念及原理抛物线阿基米德三角形是通过将一个抛物线分成若干小等分，然后将每个小等分的顶点与该小等分所在的位置上的斜率相连，将所有这些相连的线段所形成的图形，称为抛物线的阿基米德三角形。

该问题的提出是为了研究曲线上的直线与曲线的交点及其有关性质。

二、抛物线阿基米德三角形的基本性质及特点1. 抛物线的阿基米德三角形具有三条相交于一个点的特点，该点即为抛物线的焦点。

2. 抛物线的阿基米德三角形形状具有一定的规律性，不同抛物线的阿基米德三角形形状可能有所不同，但都具备三条相交于一个点的共同特点。

3. 抛物线的阿基米德三角形结构清晰简洁，可以通过数学方法进行精确的构造。

三、抛物线阿基米德三角形的实际应用1. 数学教育领域：抛物线阿基米德三角形可以作为数学教学中的经典案例，通过该案例的讲解和分析，可以帮助学生更深入地理解曲线与直线的交点问题，增强他们的数学思维和分析能力。

2. 工程设计领域：在工程设计中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以应用于某些特定的曲线结构问题的求解和设计，为工程设计师提供一种新的思路和方法。

3. 计算机图形学领域：在计算机图形学中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以帮助程序设计师更好地理解和处理曲线与直线的交点问题，提高程序设计的精确度和效率。

四、抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广1. 根据抛物线阿基米德三角形的相关理论，可以进行进一步的推广和拓展，将抛物线阿基米德三角形的概念和原理应用于更加复杂和多样化的曲线和图形结构中，发现新的数学规律和特点。

2. 抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广可以帮助人们更深入地理解曲线与直线的交点问题，并在实际问题的解决中更加灵活地运用相关数学理论和方法。

五、结语通过对抛物线阿基米德三角形问题的深入探讨、分析及推广，我们可以更好地理解曲线与直线的交点问题，并将相关数学理论和方法应用于实际问题的解决中，为促进数学理论和实际应用的结合做出更大的贡献。

抛物线阿基米德三角形面积在几何学中，抛物线阿基米德三角形是一个有趣的形状，它与抛物线的性质密切相关。

本文将探讨如何计算抛物线阿基米德三角形的面积，以及这个形状的一些特点。

首先，让我们来了解一下什么是抛物线阿基米德三角形。

它由一条抛物线和两条直线组成，具有以下特征：抛物线的焦点位于椭圆的中心，两条直线从焦点出发，分别与抛物线相交于两个不同的点，然后再相交于一个顶点。

这个顶点就是抛物线阿基米德三角形的顶点。

要计算抛物线阿基米德三角形的面积，我们可以使用以下公式：面积=底边长度×高÷2。

底边长度可以通过计算两条直线的交点之间的距离获得，而高则可以通过计算顶点到底边的垂直距离来确定。

为了更好地理解这个公式，让我们通过一个具体的例子来计算抛物线阿基米德三角形的面积。

假设我们有一个抛物线阿基米德三角形，其底边长度为10个单位，高为6个单位。

那么根据公式，面积=10×6÷2=30个单位。

除了计算面积，抛物线阿基米德三角形还具有其他一些有趣的性质。

例如，它的底边和顶点之间的距离是一个常数，这意味着无论抛物线的形状如何变化，这个距离始终保持不变。

此外，抛物线阿基米德三角形也满足相似三角形的性质，即其两个底角之和等于顶角。

总结一下，抛物线阿基米德三角形是一个由抛物线和两条直线组成的形状。

要计算其面积，我们可以使用底边长度乘以高再除以2的公式。

除了面积，抛物线阿基米德三角形还具有其他一些有趣的性质，如底边和顶点之间的距离恒定以及满足相似三角形的性质。

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抛物线中的阿基米德三角形最值问题抛物线中的阿基米德三角形最值问题，说实话，这听起来像是个超级复杂的数学题，简直让人头大。

不过别急，听我慢慢讲，咱们一个个搞懂它！阿基米德三角形是什么玩意儿？别看名字那么高大上，其实它只是一个从抛物线中截取出来的三角形。

你想，抛物线就像个大嘴巴，吃东西的速度快慢不一，三角形就是我们从它的嘴巴里拿到的一块“菜”，它的面积、形状、大小等等这些，就成了我们关注的重点。

你可能会好奇，抛物线和阿基米德三角形有什么神奇的联系？好吧，抛物线，大家应该不陌生吧！想象一下，抛物线就像是一个神奇的抛石头轨迹，飞起来的物体刚好落下来，形成了一个弯弯的形状。

那阿基米德三角形呢？其实就是抛物线上的某一点、某一段截成的一个三角形，而我们要做的事，就是研究这个三角形的面积，看看它怎么变化，什么时候达到最大或者最小值。

简单来说，我们就在问：“在哪个点，三角形的面积最合适，最‘美’？”我们做题就像是在寻宝，翻来覆去找那颗闪闪发光的宝石。

比如说，咱们得找出这个三角形的最值问题，搞清楚当三角形的面积达到最大或最小时，它的“姿态”是什么样的。

有人可能会说，啥叫“最值”？这不就意味着最大值和最小值嘛！对呀，没错，最值问题其实就是在讲，这个三角形在抛物线的影响下，最可能“优雅地站在舞台”的时刻——既不太小，也不太大，而是恰到好处。

再说说怎么解决这个问题。

哦，这里其实有点像我们生活中的那些小技巧。

比如你做饭的时候，总是希望菜做得刚好——不焦不生。

做数学题也一样，关键就在于“平衡”。

你要通过一些公式，找出这个三角形的面积表达式，然后让它“去最大化”或者“去最小化”，就像一场数学界的拔河比赛。

最终，你会发现，某个特定的位置上，三角形的面积会达到顶峰或者谷底，而这一点，正是我们要寻找的“宝贵时刻”。

我们可以从几何图形入手，也可以通过代数手段来求解。

别担心，虽然听上去复杂，其实一步一步来，仔细琢磨，就能慢慢找出规律。

很多时候，做题就像解谜一样，不是一下子就能知道答案，而是要一步步摸索、推理，直到那个“Ahha!”的时刻出现。

阿基米德三角形常用结论及证明导言：阿基米德三角形是指在一个等边三角形内分别连接三个顶点到相对边的中点，形成的小三角形和原大三角形的比例。

这个特殊的几何形态在数学和物理学中有许多重要的应用，因此我们有必要深入研究它的性质和结论。

本文将通过多个结论的简单证明，来展示阿基米德三角形在实践中的重要性和丰富的数学内涵。

一、阿基米德三角形的定义及性质阿基米德三角形是在一个等边三角形的内部，连接三个顶点到相对边的中点，得到的三个边长相等的小三角形。

它是以古希腊数学家阿基米德的名字命名，是一种特殊的三角形形态。

阿基米德三角形有许多重要的性质，其中最重要的包括：1）它是一个等边三角形；2）它内部的三个小三角形形成的比例是1：2。

二、阿基米德三角形的常用结论1、三个小三角形的面积比例阿基米德三角形内部的三个小三角形的面积比例是1：2。

证明：设等边三角形的边长为a，那么每个小三角形的底边长为a/2，高为a乘以sin(60°)，即a*√3/2。

设三角形的底边为a，那么三个小三角形的面积可以表示为：S1 = 1/2 * (a/2) * (a*√3/2) = a^2√3/8S2 = S1 = a^2√3/8S3 = S1 = a^2√3/8所以三个小三角形的面积比例是1：1：1，即1：2：1。

2、外接圆半径与等边三角形边长的比阿基米德三角形内切于一个圆，该圆即等边三角形的外接圆。

它的半径r与等边三角形的边长a之间的比例是，r = a/√3。

证明：由于外接圆于三角形的三个顶点相切，所以三角形的高等于外接圆的半径。

因此阿基米德三角形中小三角形的高也等于外接圆的半径。

在三角形中，高等于底边长度乘以sin(60°)，即a*√3/2。

所以外接圆的半径r等于a*√3/2，即r = a/√3。

三、阿基米德三角形的应用阿基米德三角形在实际中有许多重要的应用。

其中包括：1、物体的密度计算在物理学中，我们可以利用阿基米德三角形的性质来计算物体的密度。

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形。

阿基米德三角形有一些有趣的性质，如若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上。

设抛物线y 2=2px （p>0），弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为______。

解：抛物线y 2＝2px （p>0）的焦点F （p2，0），可设直线AB 的方程为x ＝ty ＋p2， 代入y 2＝2px 得y 2－2pty －p 2＝０ 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（y 1>0，y 2<0）则y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－p 2，x 1＝y 122p ，x 2＝y 222p ，|AB|＝|FA|+|FB|＝（x 1＋p2）＋（x 2＋p2）=x 1＋x 2＋p＝y 122p＋y 222p＋p ＝（y 1+y 2）2−2y 1y 22p ＋p ＝（2pt ）2＋2p 22p＋p ＝2p （1＋t 2）设切线AQ ：y ＝k 1（x －y 122p）＋y 1＝k 1x ＋2py 1−k 1y 122p，代入y 2＝2px 得，（k 1x ＋2py 1−k 1y 122p）2＝2px ，整理得k 12x 2＋2p k 1y 1−k 12k 12−2p 2px ＋（2p y 1−k 1y 12）24p ＝０△=（2p k 1y 1−k 12k 12−2p 2）2p －k 12（2p y 1−k 1y 12）2p ＝0，整理（两同乘p 2，再用平方差公式）（4p k 1y 1−2k 12k 12−2p 2）（−2p 2）＝０−4p k 1y 1＋2k 12k 12＋2p 2＝０，（k 1y 1－p ）2＝0，k 1＝py 1，从而切线AQ 的方程：y ＝p y 1x ＋y12①设切线BQ ：y ＝k 2（x －x 2）＋y 2＝k 2（x －y222p ）＋y 2，同理可得，k 2＝py2切线BQ 的方程：y ＝py 2x ＋y22②联立①②，解得 x =y 1y 22p=−p2y =y 1＋y 22＝pt于是点Q （−p2，pt ），其到直线AB 的距离d=｜pt ２＋p2＋p 2｜1＋t 2＝p 1＋t 2从而Ｓ△ABQ ＝12·|AB|·d ＝p 2（1＋t 2）3≥p 2可见t=0（即直线AB ：x ＝p2与x 轴垂直）时取等号，△ABQ 的面积最小值为p 2延伸：点Q 坐标：（−p2，pt ）表明点Q 在抛物线准线上，从k 1K 2＝p y１py 2＝p ２y１y 2＝p ２−p ２＝−1，可知切线AQ 、BQ 互相垂直。

【题目】探索抛物线阿基米德三角形常用结论一、引言抛物线阿基米德三角形是数学中一个经典且重要的概念，其常用结论在数学和物理学中都有广泛的应用。

本文将从简到繁，由浅入深地探讨抛物线阿基米德三角形的常用结论，旨在帮助读者更深入地理解这一概念。

二、抛物线阿基米德三角形的定义和性质回顾抛物线阿基米德三角形是由一条抛物线和两条其切线所构成的三角形。

其性质包括边长关系、角度关系、面积计算等内容。

在具体的问题中，我们经常会用到抛物线阿基米德三角形的各种性质来解决实际问题。

三、抛物线阿基米德三角形的常用结论1. **关于边长的结论**针对抛物线阿基米德三角形，我们可以得出与边长相关的重要结论，例如三边关系、高度计算公式等。

这些结论在解题过程中起到至关重要的作用。

2. **关于角度的结论**抛物线阿基米德三角形中角度的关系也是我们经常需要用到的，例如两个对应角相等的性质等。

这些结论在解题过程中能够帮助我们更加深入地理解问题的本质。

3. **关于面积的结论**面积是解决问题中不可或缺的要素，抛物线阿基米德三角形的面积计算公式以及相关的性质是我们解题过程中的利器，通过这些结论我们可以更加方便地求解各种问题。

四、个人观点和理解抛物线阿基米德三角形的常用结论在数学和物理学中具有重要的地位，它们不仅能够帮助我们解决具体问题，还能够拓展我们的数学思维和逻辑推理能力。

在实际解题过程中，对于这些常用结论的灵活运用往往能够事半功倍。

五、总结通过本文的全面探讨，相信读者对抛物线阿基米德三角形的常用结论有了更深入的理解和认识。

在今后的学习和应用中，希望读者能够灵活运用这些结论，不断拓展自己的数学视野。

【结语】抛物线阿基米德三角形的常用结论是数学学习中的重要内容，希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。

也希望读者在学习过程中保持好奇心和求知欲，不断探索数学的奥秘。

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阿基米德三角形【方法技巧与总结】如图所示，AB 为抛物线x 2=2py (p >0)的弦，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，分别过A ,B 作的抛物线的切线交于点P ，称△PAB 为阿基米德三角形，弦AB 为阿基米德三角形的底边．1.阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2.若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C x 0，y 0 ，则另一顶点P 的轨迹为一条直线．3.若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4.底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为a 38p．5.若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p 2．6.点P 的坐标为x 1+x 22,x 1x 22p；7.底边AB 所在的直线方程为x 1+x 2 x -2py -x 1x 2=0;8.△PAB 的面积为S △PAB =x 1-x 238p．9.若点P 的坐标为x 0,y 0 ，则底边AB 的直线方程为x 0x -p y +y 0 =0．10.如图，若E 为抛物线弧AB 上的动点，点E 处的切线与PA ，PB 分别交于点C ，D ，则|AC ||CP |=|CE ||ED |=|PD ||DB |.11.若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在点E 处的切线与阿基米德三角形△PAB 的边PA ，PB 分别交于点C ，D ，则S△EAB S △PCD =2．12.抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23．【题型归纳目录】题型一：定点问题题型二：交点的轨迹问题题型三：切线垂直问题题型四：面积问题题型五：外接圆问题题型六：最值问题题型七：角度相等问题【典例例题】题型一：定点问题例1.已知点A (0,-1)，B (0,1)，动点P 满足|PB ||AB |=PA ⋅BA ．记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)设D 为直线y =-2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．【解析】解：(1)设P (x ,y )，则PA =(-x ,-1-y )，PB=(-x ,1-y )AB =(0,2)，BA =(0,-2)，所以|PB ||AB|=PA ⋅BA ，所以(-x )2+(1-y )2=1+y 化简得x 2=4y ，所以C 的方程为x 2=4y ．(2)由题意可设D (t ,-2)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由题意知切线DE ，DF 的斜率都存在，由x 2=4y ，得y =x 24，则y ′=x 2，所以k DE =x 12，直线DE 的方程为y -y 1=x 12(x -x 1)，即y -y 1=x 12x -x 122，①因为E (x 1，y 1)在x 2=4y 上，所以x 12=4y 1，即x 122=2y 1，②将②代入①得x 1x -2y 1-2y =0，所以直线DE 的方程为x 1x -2y 1-2y =0，同理可得直线DF 的方程为x 2x -2y 2-2y =0，因为D (t ,-2)在直线DE 上，所以tx 1-2y 1+4=0，又D (t ,-2)在直线DF 上，所以tx 2-2y 2+4=0，所以直线EF 的方程为tx -2y +4=0，故直线EF 过定点(0,2)．例2.已知曲线C :y =x 22，D 为直线y =-12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点．(2)若以E 0,52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【解析】(1)证明：设D t ,-12，A (x 1，y 1)，则x 12=2y 1，由于y ′=x ，∴切线DA 的斜率为x 1，故y 1+12x 1-t=x 1，整理得：2tx 1-2y 1+1=0．设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2-2y 2+1=0．故直线AB 的方程为2tx -2y +1=0．∴直线AB 过定点0,12 ；(2)解：由(1)得直线AB 的方程y =tx +12．由y =tx +12y =x22，可得x 2-2tx -1=0．于是x 1+x 2=2t ,y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1．设M 为线段AB 的中点，则M t ,t 2+12，由于EM ⊥AB ，而EM =(t ,t 2-2)，AB 与向量(1,t )平行，∴t +(t 2-2)t =0，解得t =0或t =±1．当t =0时，|EM |=2，所求圆的方程为x 2+y -522=4；当t =±1时，|EM |=2，所求圆的方程为x 2+y -522=2．例3.在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线y =x -2上一动点，过点M 作抛物线C :x 2=y 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点．(1)证明：MN ⊥x 轴；(2)直线AB 是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】解：(1)设切点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 2)，因为y =2x ，所以切线MA 的斜率为2x 1，直线MA 的方程为：y =2x 1(x -x 1)+x 21=2x 1x -x 21，设M 的坐标为：(t ,t -2)所以x 21-2tx 1+t -2=0，直线MB 的斜率为2x 2，切线MB 的方程为y =2x 2x -x 22，所以M 点是方程x 22-2tx 2+t -2=0，所以x 1，x 2是方程x 2-2tx +t -2=0的两根，x 1+x 2=2t ，因为N 为AB 的中点．所以x N =x 1+x 22=t ，所以M ，N 的横坐标相同，即证MN ⊥x 轴．(2)由(1)得y N =12(x 21+x 22)=(x 1+x 2)2-2x 1x 22=2t 2-t +2，又因为k AB =x 12-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2t ，所以直线AB 的方程为：y -(2t 2-t +2)=2t (x -t )，即y -2=2t x -12，所以直线AB 恒过一定点12，2．变式1.在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线y =x -3上的动点，过点M 作抛物线C :x 2=2y 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点．(1)证明：MN ⊥x 轴；(2)直线AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】解：(1)证明：设切点为A x 1，x 122 ，B x 2，x 222，x 2=2y 即y =12x 2的导数为y ′=x ，所以切线MA 的斜率为x 1，切线的方程为y -x 122=x 1(x -x 1)，设M (t ,t -3)，则有t -3-x 122=x 1(t -x 1)，化简可得x 21-2tx 1+2t -6=0，同理可得x 22-2tx 2+2t -6=0，所以x 1，x 2是方程x 2-2tx +2t -6=0的两根，所以x 1+x 2=2t ，x 1x 2=2t -6，x N =x 1+x 22=t =x M ，所以MN ⊥x 轴；(2)因为y N =14(x 21+x 22)=14(x 1+x 2)2-12x 1x 2=t 2-t +3，所以N (t ,t 2-t +3)，因为k AB =12⋅x 12-x 22x 1-x 2=x 1+x 22=t ，所以直线AB 的方程为y -(t 2-t +3)=t (x -t )，即y -3=t (x -1)，所以直线AB 恒过定点(1,3)．题型二：交点的轨迹问题例4.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)设点P (x 0，y 0)为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(Ⅲ)过(Ⅱ)中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，求l 1，l 2交点M 满足的轨迹方程．【解析】解：(Ⅰ)∵抛物线C 的焦点F (0，c )(c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322，∴|0-c -2|2=322，解得c =1或c =-5，(舍)，∴抛物线C 的方程为x 2=4y ．(Ⅱ)设P (x 0，x 0-2)，设切点为x ,x 24 ，曲线C :y =x 24，y ′=x 2，则切线的斜率为x 24-(x 0-2)x -x 0=y ′=x 2，化简，得x 2-2x 0x +4x 0-8=0，设A x 1，x 124 ，B x 2,x 224，则x 1，x 2是以上方程的两根，∴x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4x 0-8，k AB =x 124-x 224x 1-x 2=x 1+x 24=x 02，直线AB 为：y -x 124=x 1+x 24(x -x 1)，化简，得：x 0x -2y -2y 0=0，定点Q (2,2)．(Ⅲ)设A x 1，x 124 ，B x 2,x 224，过A 的切线y =x 12(x -x 1)+x 124，过B 的切线y =x 22(x -x 2)+x 224，交点M x 1+x 22，x 1x 24设过Q 点的直线为y =k (x -2)+2联立y =k (x -2)+2x 2=4y，得x 2-4kx +8k -8=0，∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=8k -2，∴M (2k ,2k -2)，∴y =x -2．∴点M 满足的轨迹方程为x -y -2=0．例5.已知动点Q 在x 轴上方，且到定点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1，(Ⅰ)求动点Q 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点P (1,1)的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为l 1，l 2且l 1，l 2交于点M ，求证：M 在定直线上．【解析】解：(Ⅰ)动点P (x ,y )(其中y >0)到x 轴的距离为y ，到x 轴的距离为y +1．∴|PM |=y +1，又M (0,1)，∴x 2+(y -1)2=y +1．得轨迹C 的方程：x 2=4y ，y ≠0．(Ⅱ)证明：由题意，直线l 的斜率为存在并且不为1，设直线l 的方程为：y =k (x -1)+1，k ≠1，与x 2=4y 联立，可得x 2-4kx +4k -4=0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4k -4，①又y =x 24，所以y ′=x2，所以切线l 1的方程为：y =x12(x -x 1)+y 1，即y =x 12x -x 124，同理，切线l 2:y =x 22x -x 224，联立可得：x =x 1+x 22=2k ，y =x 1x24=k -1，两式相消k 可得：x -2y -2=0，当k =1时，x =2，y =0，所以解得M 的轨迹方程为：x -2y -2=0，去掉(2,0)．交点M 在定直线上．例6.已知抛物线C ．y =ax 2(a >0)的焦点为F ，直线x =2与x 轴相交于点M ，与曲线C 相交于点N ，且|MN |=45|FN |．(1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，求证点A 的纵坐标为定值．【解析】解：(1)由已知抛物线C :x 2=1a y (a >0)的焦点F 0,14a，由|MN |=45|FN |，得|FN |=54|MN |=|MN |+14a ，即|MN |=1a，点N (2,4a )，所以1a =4a (a >0)a =12，所以抛物线方程：x 2=2y ．(2)∵抛物线x 2=2y 的焦点为F 0,12，∴设过抛物线x 2=2y 的焦点的直线为y =kx +12．设直线与抛物线的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x 2=2yy =kx +12，消去y 得：x 2-2kx -1=0，根据韦达定理，得x 1x 2=-1，抛物线x 2=2y ，即二次函数y =12x 2，对函数求导数，得y =x ，所以抛物线在点P 处的切线斜率为k 1=x 1，可得切线方程为y -y 1=x 1(x -x 1)，化简得y =x 1x -12x 21，同理，得到抛物线在点Q 处切线方程为y =x 2x -12x 22，两方程消去x ，得两切线交点A 纵坐标满足y A =x 1x22，∵x 1x 2=-1，∴y A=-12，即点A 的纵坐标是定值-12．变式2.已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(Ⅰ)若以A ，B 为直径的圆的方程为(x -2)2+(y -3)2=16，求抛物线C 的标准方程；(Ⅱ)过A ，B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，证明：l 1，l 2的交点在定直线上．【解析】解：(1)由抛物线的定义可得p2+3=4，得p =2，故抛物线C 的标准方程为x 2=4y ，(2)由抛物线x 2=2py 得其焦点坐标为F 0,p2．设A x 1，x 212p ，B x 2，x 222p，直线AB :y =kx +p2，代入抛物线方程，得：x 2-2kpx -p 2=0．∴x 1x 2=-p 2⋯①．又抛物线方程求导得y ′=xp，∴抛物线过点A 的切线的斜率为x 1p ，切线方程为y -x 212p =x1p(x -x 1)⋯②抛物线过点B 的切线的斜率为x 2p ，切线方程为y -x 222p =x2p(x -x 2)⋯③由①②③得：y =-p2．∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y=-p 2．变式3.抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，抛物线过点P(p,1)．(Ⅰ)求抛物线C的标准方程与其准线l的方程；(Ⅱ)过F点作直线与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C的准线l上．【解析】解：(Ⅰ)由p2=2p×1，得p=2，所以抛物线的标准方程为x2=4y，准线l的方程为y=-1；(Ⅱ)证明：根据题意直线AB的斜率一定存在，又焦点F(0,1)，设过F点的直线方程为y=kx+1，联立抛物线方程得x2-4kx-4=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=4k，x1x2=-4．∴x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16k2+8．由y=14x2得，y =12x，过A，B分别的抛物线的切线方程为y-y1=12x1(x-x1)y-y2=12x2(x-x2)，即y=12x1x-14x12 y=12x2x-14x22 ，两式相加，得y=14(x1+x2)x-18(x21+x22)，化简，得y=kx-(2k2+1)，即y=k(x-2k)-1，所以，两条切线交于点(2k,-1)，该点显然在抛物线C的准线l:y=-1上．题型三：切线垂直问题例7.已知抛物线C的方程为x2=4y，点P是抛物线C的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，点M是AB的中点．(1)求证：切线PA和PB互相垂直；(2)求证：直线PM与y轴平行；(3)求ΔPAB面积的最小值．【解析】(1)证明：由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在．设点P坐标为(t,-1)，切线斜率为k，过点P的切线方程为y=k(x-t)-1，联立方程，x2=4yy=k(x-t)-1，消去y，得x2-4kx+4(kt+1)=0，由△=16k2-16(kt+1)=0，得k2-tk-1=0，记关于k的一元二次方程k2-tk-1=0的两根为k1，k2，则k1，k2分别为切线PA，PB的斜率，由根与系数的关系知k1k2=-1，所以切线PA和PB互相垂直．(2)证明：设点A x1x21 4,B x2,x224，由x2=4y，知y=14x2，则y =12x，所以过点A的切线方程为y=x12(x-x1)=x214，将点(t,-1)代入，化简得x21-2tx1-4=0，同理可得x22-2tx2-4=0，所以x1，x2是关于x的方程x2-2tx-4=0的两个根，由根与系数的关系知x1+x2=2t，所以x1+x22=t，即AB中点M的横坐标为t，而点P的横坐标也为t，所以直线PM与y轴平行．(3)解：点M t,x21+x22 8，则|PM|=x21+x228+1，则SΔPAB=12|PM|⋅|x1-x2|=12×x21+x228+1×|x1-x2|，由(2)知，x1+x2=2t，x1x2=-4，则x21+x22=4t2+8，|x1-x2|=4t2+16，SΔPAB=12×x21+x228+1×|x1-x2|=12(t2+4)t2+4=12(t2+4)3，当t=0时，ΔPAB面积的最小值为4．例8.已知抛物线C的方程为x2=4y，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．(1)若点P坐标为(0,-1)，求切线PA，PB的方程；(2)若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线PA和PB互相垂直．【解析】(1)解：由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为k，点P坐标为(0,-1)，过点P的切线方程为y=kx-1，联立x2=4yy=kx-1，消去y，得x2-4kx+4=0，由△=16k2-16=0，解得k=±1，所以切线PA，PB的方程分别为y=x-1和y=-x-1，即切线方程分别为x-y-1=0和x+y+1=0；(2)证明：设点P坐标为(t,-1)，切线斜率为k，过点P的切线方程为y=k(x-t)-1，联立x2=4yy=k(x-t)-1，消去y，得x2-4kx+4(kt+1)=0，由△=16k2-16(kt+1)=0，得k2-tk-1=0，记关于k的一元二次方程k2-tk-1=0的两根为k1，k2，则k1，k2分别为切线PA，PB的斜率，由根与系数的关系知k1k2=-1，所以切线PA和PB互相垂直．例9.已知中心在原点的椭圆Γ1和抛物线Γ2有相同的焦点(1,0)，椭圆Γ1的离心率为12，抛物线Γ2的顶点为原点．(Ⅰ)求椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程；(Ⅱ)设点P为抛物线Γ2准线上的任意一点，过点P作抛物线Γ2的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．【解析】解：(Ⅰ)设椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程分别为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，y2=2px，(p>0)，∵椭圆Γ1和抛物线Γ2有相同的焦点(1,0)，椭圆Γ1的离心率为12，∴ca=12c=1p2=1，解得a=2，c=1，p=2，∴b=4-1=3，∴椭圆Γ1的方程为x24+y23=1，抛物线Γ2的方程为y2=4x．(Ⅱ)证明：设P(-1,t)，过点P与抛物线y2=4x相切的直线方程为y-t=k(x+1)，由y-t=k(x+1)y2=4x，得y2-4k y+4tk+4=0，由△=-4 k2-44t k+4=0，得k2+tk-1=0，∵直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，∴k1k2=-1．∴k1k2为定值．变式4.抛物级x2=2py(p>0)的焦点F到直线y=-p2的距离为2．(1)求抛物线的方程；(2)设直线y=kx+1交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，分别过A，B两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P，求证：PF⊥AB．【解析】解：(1)因为抛物级x2=2py(p>0)的焦点F到直线y=-p2的距离为2．所以p=2，所以x2=4y；(2)证明：联立直线y=kx+1与x2=4y，得x2-4kx-4=0，所以x1+x2=--4k1=4k，x1x2=-4，y=14x2，求导数得y′=12x，所以过点A的抛物线切线为：y-y1=12x1(x-x1)，①过点B的抛物线切线为：y-y2=12x2(x-x2)，②①-②得y2-y1=12x(x1-x2)-12(x21-x22)，所以x=(y2-y1)+12(x12-x22)12(x1-x2)=14x22-14x12+12(x12-x22)12(x1-x2)=x1+x22=4k2=2k，①×x2-②×x1，得x2(y-y1)-x1(y-y2)=-12x12x2+12x1x22，∴(x2-x1)y=-12x12x2+12x1x22-x1y2+x2y1∴(x2-x1)y=-12x12x2+12x1x22-x1∙14x22+x2∙14x21∴(x2-x1)y=14x1x22-14x12x2∴(x2-x1)y=14x1x2(x2-x1)，∴y=14x1x2=-1，所以P(2k,-1)，F(0,1)，所以k PF ∙k AB =1-(-1)0-2k∙k =-1，所以PF ⊥AB ．题型四：面积问题例10.已知抛物线C 的方程为x 2=2py (p >0)，点A x ,32是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．(1)求抛物线的方程；(2)点Q 为直线y =-12上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求ΔQDE 面积的最小值．【解析】解：(1)设抛物线焦点为F ，由题意可得|AF |=32+p 2=2，故p =1，抛物线的方程为x =2y ．(2)设Q m ,-12．由题可知切线的斜率存在且不为0，故可设切线方程为y +12=k (x -m )，k ≠0．联立y +12=k (x -m )x 2=2y，消去y 得．x 2-2kx +2km +1=0．由直线与抛物线相切可得△=0，∴k 2-2km -1=0，即k 2=2km +1．∴x 2-2kx +k 2=0，解得x =k ，可得切点坐标为k ,k 22，故可设D k 1，k 122 ，E k 2，k 222，由k 2-2km -1=0，可得k 1+k 2=2m ，k 1⋅k 2=-1，∴QD ⊥QE ，∴ΔQDE 为直角三角形，∴QDE 的面积S =12|QD |⋅|QE |．令切点k ,k22到点Q 的距离为d ，则d 2=(k -m )2+k 2+12 2=4k 2-8km +4m 2+(2km +2)24=k 2+m 2+k 2m 2+1=(k 2+1)(m 2+1)，∴|QD |=(k 12+1)(m 2+1)，|QE |=(k 22+1)(m 2+1)，∴S =12(m 2+1)k 12+k 22+k 12k 22+1=12(m 2+1)(k 1+k 2)2-2k 1k 2+2=12(m 2+1)4m 2+4=(m 2+1)32，当m =0时，即点Q 的坐标为0,-12时，ΔQDE 的面积S 取得最小值1．例11.已知点A (0,2)，动点M 到点A 的距离比动点M 到直线y =-1的距离大1，动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)Q 为直线y =-1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求ΔQDE 的面积S 的最小值【解析】解：(1)设动点M (x ,y )，由题意得，动点M 到点A 的距离与动点M 到直线y =-2的距离相等，∴动点M 的轨迹为抛物线，且焦点为A ，准线为y =-2，∴曲线C 的方程为：x 2=8y ；(2)设Q (m ,-1)，设切线的斜率为k ，则切线方程为：y +1=k (x -m )，代入抛物线整理：x 2-8kx +8km +8=0，由△=0得：64k 2=32(km +1)，∴km =2k 2-1，∴x 2-8kx +16k 2=0，解得：x =4k ，∴切点坐标为(4k ,2k 2)，由2k 2-km -1=0，得k 1+k 2=m 2，k 1k 2=-12，设直线QD 与QE 的夹角为θ，则tan θ=k 2-k 11+k 1k 2，则sin 2∠QDE =1-cos 2∠QDE =1-11+tan 2∠QDE=1-11+(k 2-k 1)2(1+k 1k 2)2=1-11+(k 1+k 2)2-4k 1k 214=1-11+4m 24+2 =1-1m 2+9=m 2-8m 2-9．令切点(4k ,2k 2)到Q 的距离为d ，则d 2=(4k -m )2+(2k 2+1)2=16k 2-8km +m 2+(km +2)2=16k 2-8km +m 2+k 2m 2+4km +4=(8+m 2)(k 2+1)，∴|QD |=(m 2+8)(k 12+1)，|QE |=(m 2+8)(k 22+1)，∴S =12(8+m 2)⋅(k 1+k 2)2-2k 1k 2+54⋅m 2-8m 2-9=12(8+m 2)⋅m 24+94⋅m 2-8m 2-9=14(8+m 2)⋅9+m 2⋅1-19-m 2≥42，∴当m =0，即Q (0,-1)时，ΔQDE 的面积S 取得最小值42．例12.已知点A (-4,4)、B (4,4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为-2，点M 的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)求曲线C 的轨迹方程；(Ⅱ)Q 为直线y =-1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求ΔQDE 的面积S 的最小值．【解析】解：(I )设M (x ,y )，由题意可得：y -4x +4-y -4x -4=-2，化为x 2=4y ．∴曲线C 的轨迹方程为x 2=4y 且(x ≠±4)．(II )设Q (m ,-1)，切线方程为y +1=k (x -m )，联立y +1=k (x -m )x 2=4y，化为x 2-4kx +4(km +1)=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k 2-km -1=0．∴x 2-4kx +4k 2=0，解得x =2k ．可得切点(2k ,k 2)，由k 2-km -1=0．∴k 1+k 2=m ，k 1⋅k 2=-1．∴切线QD ⊥QE ．∴ΔQDE 为直角三角形，S =12|QD |⋅|QE |．令切点(2k ,k 2)到Q 的距离为d ，则d 2=(2k -m )2+(k 2+1)2=4(k 2-km )+m 2+(km +2)2=4(k 2-km )+m 2+k 2m 2+4km +4=(4+m 2)(k 2+1)，∴|QD |=(4+m 2)(k 21+1)，|QE |=(4+m 2)(k 22+1)，∴S =12(4+m 2)(k 1+k 2)2-2k 1k 2+2=12(4+m 2)4+m 2≥4，当m =0时，即Q (0,-1)时，ΔQDE 的面积S 取得最小值4．变式5.如图，已知抛物线C :y 2=2px (p >0)上的点R 的横坐标为1，焦点为F ，且|RF |=2，过点P (-4,0)作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，D 为线段PA 上的动点，过D 作抛物线的切线，切点为E (异于点A ，B )，且直线DE 交线段PB 于点H ．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)(ⅰ)求证：|AD |+|BH |为定值；(ⅱ)设ΔEAD ，ΔEBH 的面积分别为S 1，S 2，求S =3S 1+13S 2的最小值．【解析】解：(Ⅰ)∵抛物线C :y 2=2px (p >0)上的点R 的横坐标为1，焦点为F ，且|RF |=2，∴由抛物线定义得1+p 2=2，解得p =2，∴抛物线C 的方程为C :y 2=4x ．(Ⅱ)(i )证明：设直线AP :y =k (x +4)，由y =k (x +4)y 2=4x，得k 2x 2+(8k 2-4)x +16k 2=0，△=(8k 2-4)2-64k 4=0，解得k =±12，代入方程k 2x 2+(8k 2-4)x +16k 2=0，得x =4，设AP :y =12(x +4)，BP :y =-12(x +4)，则A (4,4)，B (4,-4)，设D (2t ,t +2)，t ∈(-2,2)，设直线DH :x =m (y -t -2)+2t ，则由x =m (y -t -2)+2t y 2=4x，得y 2-4my +4mt +8m -8t =0，由△=16m 2-16mt -32m +32t =0，可得m 2-(t +2)m +2t =0，解得m =t ，或m =2(舍)，∴E (t 2，2t )，DH :x =ty -t 2，由x =ty -t 2y =-12(x +4)，得H (-2t ,t -2)，∴|AD |+|BH |=1+14(|x A -x D |+|x B -x H |)=52(4-2t +4+2t )=45为定值．(ii )由(i )得d E -AD =|t 2-4t +4|5=15(t -2)2，|AD |=5|4-2t |2，d E -BH =|t 2+4t +4|5=15(t +2)2，|BH |=5|4+2t |2，∴S 1=12×|AD |×d E -AD =12(2-t )3，S 2=12×|BH |×d E -BH =12(2+t )3，∴S =3S 1+13S 2=32(2-t )3+16(2+t )3=f (t )，f (t )=12(t +2)2-92(2-t )2=12(t +2+6-3t )(t +2-6+3t )=-4(t -1)(t -4)，当t ∈(-2,1)时，f ′(t )<0，当t ∈(1,2)时，f ′(t )>0，∴f (t )在(-2,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，∴S min =f (1)=6，∴S =3S 1+13S 2的最小值为6．变式6.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴的正半轴上，直线l :mx +y -32=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线，两条切线相交于点P ，求ΔABP 面积的最小值．【解析】解：(1)设抛物线C 的方程为x 2=2py ，∵直线l :mx +y -32=0经过抛物线C 的焦点0,p 2 ，∴p 2-32=0，得p =3，∴抛物线C 的方程为x 2=6y ，(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)，由x 2=6ymx +y -32=0 得x 2+6mx -9=0，则△=36m 2+36>0，x 1+x 2=-6m ，x 1x 2=-9，∴|AB |=1+m 2⋅36m 2+36=6(1+m 2)，由x 2=6y ，得y =16x 2，则y ′-13x ，∴抛物线经过A 点的切线方程是y -y 1=13x 1(x -x 1)=13xx 1-x 216，同理抛物线经过B 点的切线方程是y -y 2=13x 2(x -x 2)=13xx 2-x 226，解方程组y =13x 1x -x 216y =13x 2x -x 226，得x =x 1+x 22y =x 1x 26 ，∴x =-3m y =-32．∴P -3m ,-32 到直线mx +y -32=0的距离d =m (-3m )-32-32 1+m2=31+m 2，∴ΔABP 面积S =12×6×(1+m 2)×31+m 2=9(1+m 2)32，∵1+m 2≥1，∴S ≥9，即当m =0时，S =9，∴ΔABP 面积的最小值是9．题型五：外接圆问题例13.已知P 是抛物线C :y =14x 2-3的顶点，A 、B 是C 上的两个动点，且PA ⋅PB =-4．(1)试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；(2)设点M 是ΔPAB 的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．【解析】解：(1)因为点P 是抛物线C :y =14x 2-3的顶点，故点P 的坐标为(0,-3)，根据题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y =kx +b ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故PA =(x 1,y 1+3),PB =(x 2,y 2+3)，因为PA ⋅PB =-4，则x 1x 2+(y 1+3)(y 2+3)=-4，因为A 、B 是C 上的两个动点，则有y 1=14x 12-3，y 2=14x 22-3，故x 1x 2+116x 1x 22=-4，整理可得x 12x 22+16x 1x 2+64=0，解得x 1x 2=-8，由y =kx +b y =14x 2-3，消去y 可得x 2-4kx -12-4b =0，则有x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-12-4b ，所以-12-4b =-8，解得b =-1，故直线AB 的方程为y =kx -1，所以直线经过一个定点(0,-1)．(2)线段PA 的中点坐标为x 12,x 128-3 ，又直线PA 的斜率为k PA =14x 12x 1=x 14，所以线段PA 的垂直平分线的方程为y -x 128+3=-4x 1x -x 12，①同理，线段PB 的垂直平分线的方程为y -x 228+3=-4x 2x -x 22，②由①②解得x =x 1+x 22,y =(x 1+x 2)28，设点M (x ,y )，则有x =x 1+x 22y =(x 1+x 2)28，消去x 1+x 2，得到x 2=12y ，所以点M 的轨迹方程为x 2=12y ．例14.已知点P 是抛物线C :y =14x 2-3的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且PA ⋅PB =-4．(1)判断点D (0,-1)是否在直线AB 上？说明理由；(2)设点M 是ΔPAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程．【解析】解：(1)由抛物线的方程可得顶点P (0,-3)，由题意可得直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y =kx +4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立直线与抛物线的方程：y =kx +b y =14x 2-3，整理可得：x 2-4kx -4(b +3)=0，△=16k 2+16(3+b )>0，即k 2+3+b >0，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4(b +3)，y 1y 2=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=-4k 2(b +3)+4k 2b +b 2=b 2-12k 2，y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2b =4k 2+2b ，因为PA ⋅PB =(x 1，y 1+3)(x 2，y 2+3)=x 1x 2+y 1y 2+3(y 1+y 2)+9=-4(b +3)+b 2-12k 2+3(4k 2+2b )+9=b 2+2b -3，而PA ⋅PB =-4，所以b 2+2b -3=-4，解得b =-1，m 满足判别式大于0，即直线方程为y =kx -1，所以恒过(0,-1)可得点D (0,-1)在直线AB 上．(2)因为点M是ΔPAB的外接圆的圆心，所以点M是三角形PAB三条边的中垂线的交点，设线段PA的中点为F，线段PB的中点为E，因为P(0,-3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)所以Fx12，y1-32，E x22，y2-32，k PA=y1+3x1，k PB=y2+3x2，所以线段PA的中垂线的方程为：y-y1-32=-x1y1+3x-x12，因为A在抛物线上，所以y1+3=14x12，PA的中垂线的方程为：y-x128+3=-4x1x-x12，即y=-4x1x+x128-1，同理可得线段PB的中垂线的方程为：y=-4x2x+x228-1，联立两个方程y=-4x1x+x128-1y=-4x2x+x228-1，解得x=-x1x2(x1+x2)32y M=x12+x22+x1x2-88，由(1)可得x1+x2=4k，x1x2=-4(b+3)=-8，所以x M=--8×4k32=k，y M=x12+x22+2x1x28=(x1+x2)28=2k2，即点M(k,2k2)，所以x2M=12y M，即点M的轨迹方程为：x2=12y．题型六：最值问题例15.如图，已知P(-2,t)是直线x=-2上的动点，过点P作抛物线y2=4x的两条切线，切点分别为A，B，与y轴分别交于C，D．(1)求证：直线AB过定点，并求出该定点；(2)设直线AB与x轴相交于点Q，记A，B两点到直线PQ的距离分别为d1，d2；求当|AB|d1+d2取最大值时ΔPCD的面积．【解析】解：(1)证明：设过点P与抛物线相切的直线方程为：x+2=m(y-t)，由x+2=m(y-t)y2=4x⇒y2-4my+4(mt+2)=0 ，因为相切，所以△=0⇒y1=y2=2m16m2=16(mt+2)⇒m2-tm-2=0 ，设m1，m2是该方程的两根，由韦达定理得：m1+m2=t m1m2=-2，m1，m2分别表示切线PA，PB斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，所以切点A(m21,2m1),B(m22,2m2)⇒k AB=2(m1-m2)m21-m22=2m1+m2所以直线AB为：y=2m1+m2(x-m21)+2m1⇒y=2m1+m2x+2m1m2m1+m2，直线AB方程为：y=2t(x-2)，所以AB过定点(2,0)．(2)方法一由(1)知|AB|=(m21-m22)2+4(m1-m2)2=|m1-m2|(m1+m2)2+4，由(1)知点Q坐标为(2,0)，P(-2,t)，所以直线PQ方程为：y=-t4(x-2)，即：tx+4y-2t=0⇒d1+d2=|tm21+8m1-2t|t2+16+|tm22+8m2-2t|t2+16，A，B分居直线两侧⇒d1+d2=|t(m21-m22)+8(m1-m2)|t2+16=|m1-m2||t(m1+m2)+8|t2+16，⇒|AB|d1+d2=(m1+m2)2+4t2+16|t(m1+m2)+8|=t2+4t2+16 t2+8=(t2+16)(t2+4)(t2+8)2=1+4t2t4+16t2+64，∴|AB|d1+d2=1+4t2+64t2+16≤1+432=342，∴当且仅当t2=8，又由x+2=m(y-t)，令x=0得：C0,2m1+t,D0,2m2+t⇒SΔPCD=12×2×2m1-2m2，⇒SΔPCD=2m1-m2m1m2=|m1-m2|=(m1+m2)2-4m1m2=t2+8=4；方法二：因为|AB|d1+d2=|AB|⋅|PQ|(d1+d2)|PQ|=|AB|⋅d P-AB⋅|PQ|2SΔPAB⋅d P-AB=2SΔPAB⋅|PQ|2SΔPAB⋅d P-AB=|PQ|d P-AB，由(1)知点Q坐标为(2,0)，P(-2,t)⇒|PQ|=t2+16，又由(1)知直线AB方程为：2x-ty-4=0⇒d P-AB=|-4-t2-4|t2+4=t2+8t2+4，|AB|d1+d2=|PQ|d P-AB=t2+16⋅t2+4t2+8=(t2+16)(t2+4)(t2+8)2=1+4t2t2+16t2+64，∴|AB|d1+d2=1+4t2+64t2+16≤1+432=342当且仅当t2=8取到等号，又由x+2=m(y-t)，令x=0得：C0,2m1+t,D0,2m2+t⇒SΔPCD=12×2×2m1-2m2，⇒SΔPCD=2m1-m2m1m2=|m1-m2|=(m1+m2)2-4m1m2=t2+8=4．题型七：角度相等问题例16.如图，设抛物线C:y=x2的焦点为F，动点P在直线l:x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．(1)求ΔAPB的重心G的轨迹方程；(2)证明∠PFA=∠PFB．【解析】解：(1)设切点A、B坐标分别为(x0，x20)和(x1，x21)、(x1≠x0)，∴切线AP的斜率为2x0，用点斜式求得它的方程为：2x0x-y-x20=0；同理求得切线BP的方程为：2x1x-y-x21=0．解得P点的坐标为：x P=x0+x12，y P=x0x1．所以ΔAPB的重心G的坐标为，y G=y0+y1+y P3=x20+x21+x0x13=(x0+x1)2-x0x13=4x P2-y p3，所以y p=-3y G+4x2G．由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：x-(-3y+4x2)-2=0，即y=13(4x2-x+2)．(2)方法1：因为FA =x 0，x 20-14 ，FP =x 0+x 12，x 0x 1-14 ，FB =x 1，x 21-14 ．由于P 点在抛物线外，则|FP |≠0．∴cos ∠AFP =FP ⋅FA |FP ||FA |=x 0+x 12⋅x 0+x 0x 1-14 x 02-14 |FP |x 02+x 02-14 2=x 0x 1+14|FP |，同理有cos ∠BFP =FP ⋅FB |FP ||FB |=x 0+x 12⋅x 1+x 0x 1-14 x 12-14 |FP |x 12+x 12-142=x 0x 1+14|FP |，∴∠AFP =∠PFB ．方法2：①当x 1x 0=0时，由于x 1≠x 0，不妨设x 0=0，则y 0=0，所以P 点坐标为x 12，0 ，则P 点到直线AF 的距离为：d 1=|x 1|2．而直线BF 的方程：y -14=x 21-14x 1x ，即x 21-14 x -x 1y +14x 1=0-0．所以P 点到直线BF 的距离为：d 2=x 21-14 x 12+x 14 x 21-142+(x 1)2=x 21+14 |x 1|2x 21+14=|x 1|2所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB ．②当x 1x 0≠0时，直线AF 的方程：y -14=x 20-14x 0-0(x -0)，即x 20-14 x -x 0y +14x 0=0，直线BF 的方程：y -14=x 21-14x 1-0(x -0)，即x 21-14 x -x 1y +14x 1=0，所以P 点到直线AF 的距离为：d 1=x 20-14 x 0+x 12 -x 02x 1+14x 0 x 20-142+x 02=x 0-x 12 x 02+14 x 02+14=|x 1-x 0|2，同理可得到P 点到直线BF 的距离d 2=|x 1-x 0|2，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠PFB ．例17.已知F ，F 分别是椭圆C 1:17x 2+16y 2=17的上、下焦点，直线l 1过点F 且垂直于椭圆长轴，动直线l 2垂直l 1于点G ，线段GF 的垂直平分线交l 2于点H ，点H 的轨迹为C 2．(Ⅰ)求轨迹C 2的方程；(Ⅱ)若动点P 在直线l :x -y -2=0上运动，且过点P 作轨迹C 2的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想∠PFA 与∠PFB 的大小关系，并证明你的结论的正确性．【解析】解：(Ⅰ)∵17x 2+16y 2=17，∴y 21716+x 2=1∴椭圆半焦距长为14，F ′0,-14 ，F 0,14，∵|HG |=|HF |∴动点H 到定直线l :y =-14与定点F 0,14 的距离相等∴动点H 的轨迹是以定直线l ；y =-14为准线，定点F 0,14为焦点的抛物线∴轨迹C 2的方程是x 2=y ；(Ⅱ)猜想∠PFA =∠PFB证明如下：由(Ⅰ)可设A (x 1,x 12)，B (x 2,x 22)(x 1≠x 2)∴切线AP 的方程为：2x 1x -y -x 12=0，切线BP 的方程为：2x 2x -y -x 22=0联立方程组可解得P 的坐标为x P =x 1+x 22，y P =x 1x 2∵P 在抛物线外，∴|FP |≠0∵FA =x 1,x 12-14 ，FP =x 1+x 22，x 1x 2-14 ，FB =x 2,x 22-14∴cos ∠AFP =FP ⋅FA |FP ||FA |=x 1x 2+14|FP |同理cos ∠BFP =FP ⋅FB |FP ||FB |=x 1x 2+14|FP |∴cos ∠AFP =cos ∠BFP∴∠PFA =∠PFB ．。

阿基米德三角形证明
阿基米德三角形是欧几里德几何中一个经典的几何问题。

下面将给出阿基米德三角形的证明。

首先，我们将从一个等边三角形开始。

设三边长为a的等边三角形为ABC。

我们先将等边三角形ABC中的边BC延长为BD，使得线段BD的长度等于边AC的长度。

连接线段AD，并以D为中心，长度为AC的线段为半径作圆，如下图所示。

[画出等边三角形ABC，BD延长边BC，连接线段AD，并以D为中心，AC为半径作圆的图]
可以观察到，在这个构造中，等边三角形ABC可以被分成了四个小三角形：ABD、BCD、CDE和DAE。

我们接下来将证明这四个小三角形的面积之和等于等边三角形ABC的面积。

首先，小三角形ABD与小三角形BCD的面积之和等于三角形ABC 的面积。

这是因为小三角形ABD与小三角形BCD与等边三角形ABC有共顶点B，且对应边的长度相等（AB与BC的长度都为a），根据三角形的面积公式，可以得出它们的面积相等。

接下来，小三角形CDE与小三角形DAE的面积之和也等于三角形ABC的面积。

这是因为小三角形CDE与小三角形DAE与等边三角形ABC 有共顶点D，并且对应边的长度相等（CD与DA的长度都为a），根据三角形的面积公式，可以得出它们的面积相等。

因此，我们得出小三角形ABD、BCD、CDE和DAE的面积之和等于等边三角形ABC的面积。

而阿基米德三角形就是通过上述构造得到的四个小三角形的面积之和等于等边三角形ABC的面积，在这一构造中，每个小三角形的面积都是相等的。

至此，我们已经完成了阿基米德三角形的证明。

椭圆中的阿基米德三角形问题的解题策略概述在数学领域中，椭圆中的阿基米德三角形问题是一道经典而又富有挑战性的题目。

它不仅考验着我们对椭圆的理解，更需要运用数学知识和解题策略来解决。

本文将从椭圆的定义入手，逐步展开对阿基米德三角形问题的解题策略讨论，希望能够让读者对这个问题有一个更深入的理解。

1. 椭圆的基本概念椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

在直角坐标系中，椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

其中，$a$和$b$分别为椭圆在$x$轴和$y$轴上的半轴长度。

在了解了椭圆的基本概念后，我们接下来将分析如何在椭圆中构造阿基米德三角形。

2. 椭圆中的阿基米德三角形构造阿基米德三角形是指以椭圆某一焦点$F$为顶点，将椭圆与另一焦点$F'$连线的中点为顶点，椭圆上相邻两焦点为底边构造的三角形。

为了构造阿基米德三角形，我们首先需要确定椭圆的两个焦点的坐标，然后找出这两个焦点到某一点的距离之和等于常数的性质，从而确定三角形的顶点坐标。

通过这一过程，我们可以清晰地理解阿基米德三角形在椭圆中的构造原理。

3. 解题策略分析在解决椭圆中的阿基米德三角形问题时，我们需要综合运用椭圆的性质和三角几何知识。

利用椭圆的定义和性质，我们可以得到椭圆的标准方程，并进一步求解出椭圆的焦点坐标。

通过三角几何知识，我们可以建立椭圆中阿基米德三角形的顶点坐标，从而解答出题目所要求的内容。

在解题过程中，我们也要注意运用数学推理和逻辑推导，确保整个解题过程清晰明了。

4. 个人观点和理解对于椭圆中的阿基米德三角形问题，我认为关键在于深入理解椭圆的性质和阿基米德三角形的构造原理。

只有通过对椭圆的定义、性质和阿基米德三角形的构造原理进行全面地分析和掌握，才能更好地解决这一问题。

解题过程中的逻辑推理和数学推理也是至关重要的，需要我们保持清晰的头脑和严密的思维方式。

总结回顾通过本文的探讨，我们对椭圆中的阿基米德三角形问题有了全面的了解。

微专题 阿基米德三角形基础回顾：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。

特殊地，过抛物线22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，抛物线在点,A B 处的两条切线相交于点M ，∆MAB 为阿基米德三角形.B A ,在其准线L 的上投影分别为B A '',,则有如下结论：1. 交点M 在22=y px 准线上2. 切线交点与弦中点连线平行于对称轴3. 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点4. ⊥MA MB ，⊥MF AB5. MN 与抛物线的交点平分线段MN6. MB 平分BA B '∠, 7.MA 平分角AB A '∠8. 2MF FB FA =⋅ 9. MAB S ∆2min p = 二、典例解析题型一 两切线交点的轨迹1. 过抛物线22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，抛物线在点,A B 处的两条切线相交于点M ，则M 在22=y px 的准线上 ，且⊥MA MB ，⊥MF AB ，证明：设直线AB 的方程为2=+px my .由22,,2⎧=⎪⎨=+⎪⎩y px p x my 可得2220y pmy p --=.显然0∆> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122y y pm +=，212y y p =-.抛物线在,A B 两点的切线方程分别为()11y y p x x =+，()22y y p x x =+.解之得1212,2,2⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩y y x p y y y 由此求得两切线的交点坐标12(,)22+-y y P M所以M 在22=y px 的准线上.22212121⋅=⋅==--AM BMp p p p k k y y y y p,∴⊥MA MB(,)=-MF p pm ，2121(,)=--AB x x y y()()()21212121022p p MF AB p x x pm y y p my my pm y y ⎛⎫⋅=---=+----= ⎪⎝⎭∴⊥MF AB .题型二 阿基米德三角形面积的最小值2.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y 2＝4px （p ＞0），弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为_______．解：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△P AB 为直角三角型，且角P 为直角，S ＝P A •PB ≤，由于AB 是通径时，即AB ＝2p 最小，故S ≤p 2，故答案为：p 2．题型三 阿基米德三角形的形状的判断2. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上． 设抛物线y 2＝2px （p ＞0），弦AB 过焦点，△ABQ 为阿基米德三角形，则△ABQ 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．随Q 位置变化前三种情况都有可能 解：如图所示．设Q，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．则，．设直线AB ：my ＝x ﹣，联立，化为y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，得到y 1+y 2＝2pm ，．设过点A 的切线为，联立，化为，∵直线是抛物线的切线，∴＝0，化为pk 1＝y 1．设过点B 的切线为，同理可得pk 2＝y 2． ∴p 2k 1k 2＝y 1y 2．∴，解得k 1k 2＝﹣1．∴．即△ABQ 是直角三角形．故选：B ．题型四 阿基米德三角形的判断.4若M 在22=y px 的准线上，且⊥MA MB ，则,MA MB 是抛物线的两条切线,∆MAB 为阿基米德三角形.证明：过22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，过B A ,分别作抛物线的两条切线,设它们交于点M ',则M '在22=y px 的准线上，且B M A M '⊥'，由抛物线的焦点弦的性质知，2=-px 是以AB 为直径的圆的切线，又M 在2=-px 上，且⊥MA MB ，则可得'M 与M 重合.所以,MA MB 是抛物线的两条切线.∆MAB 为阿基米德三角形.方法总结：1.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。