三角形中求周长、面积的最值

解三角形中面积与周长最值问题探究
余国超
【期刊名称】《中学数学:高中版》
【年(卷),期】2022()4
【摘要】1引言解三角形是高考必考内容,其中有关变化三角形面积与周长的最值问题也是其他考试的热点之一,本文中介绍其中几种常见的模型,帮助学生找到解决此类问题的一般思路.2问题探究在研究三角形有关性质与特点过程中,我们知道三角形涉及到六个元素,即三边三角.如果三角形已知其中三个元素,并且这三个元素至少有一条边,在这样的条件下,利用方程的思想及正弦或余弦定理.
【总页数】2页(P63-64)
【作者】余国超
【作者单位】广州市玉岩中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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专题11 解三角形中的面积和周长计算问题一、重点题型目录【题型】一、正余弦定理判断三角形的形状 【题型】二、证明三角形中的恒等式或不等式 【题型】三、几何图形中的计算【题型】四、求三角形中的边长最值或范围 【题型】五、求三角形中的周长最值或范围 【题型】六、求三角形面积的最值或范围 二、题型讲解总结【题型】一、正余弦定理判断三角形的形状 例1．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（ ）A ．若2220b c a +->，则ABC 为锐角三角形B ．若ABC 为钝角三角形，则2220b c a +-< C ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰直角三角形D ．若8a =，10c =，60B =︒，则符合条件的ABC 只有一个 【答案】D【分析】A 选项，只能证明A 为锐角，不能说明B 和C 的大小，故不能得到ABC 是锐角三角形；B 选项，不确定哪个角是钝角，所以222b c a +-可能大于0，也可能小于0；C 选项，由正弦定理得到A B =或π2A B +=，得到ABC 为等腰三角形或直角三角形，故C 错误；由余弦定理求出b =1个.【详解】2220b c a +->，则222cos 02b c a A bc+-=>，只能说明A 为锐角， 不能说明B 和C 的大小，故不能得到ABC 是锐角三角形，A 错误；若ABC 为钝角三角形，但不确定哪个角是钝角，若角A 为锐角，则2220b c a +->， 若角A 为钝角，则2220b c a +-<，B 错误；cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，故A B =或π2A B +=，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故C 错误；由余弦定理得：2222cos 641008084b a c ac B =+-=+-=，因为0b >，所以b =ABC 只有1个，D 正确. 故选：D例2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，“222sin sin sin A B C +>”是“△ABC 是锐角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由222sin sin sin A B C +>不能得到ABC 是锐角三角形，但ABC 是锐角三角形,则222sin sin sin A B C +>，根据必要不充分条件的定义，即可求解.【详解】由正弦定理可知，222222sin sin sin cos 0A B C a b c C +>⇔+>⇔>， 222sin sin sin A B C +>不能得到ABC 是锐角三角形,但ABC 是锐角三角形,则222sin sin sin A B C +>.故“222sin sin sin A B C +>”是“ABC 是锐角三角形”的必要不充分条件， 故选:B ．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC 中，三内角,,A B C 满足2=B A C +，三边,,a b c 满足2b ac =，则ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形【答案】C【分析】由三角形内角和定理及2=A B C +可得3B π=，余弦定理及2b ac =可得a c =，即可得ABC ∆为等边三角形.【详解】ABC 中，△2B A C =+且A B C π++=，△3B π=，将2b ac =，3B π=代入余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得22122ac a c ac =+-⨯，化简可得()20a c -=，即a c =，又△3B π=，由等边三角形判定定理可知ABC ∆为等边三角形.故选：C.例4．（2023·全国·高三专题练习）设ABC 的三个内角, , A B C 满足2B A C =+，又2sin sin sin B A C =，则这个三角形的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形【答案】B【分析】根据给定条件可得3B π=，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理计算判断作答.【详解】因ABC 的三个内角++ =A B C π，而2B A C =+，则3B π=，又2sin sin sin B A C =，由正弦定理得：2b ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：22ac a c ac =+-，整理得2()0a c -=，即a c =，ABC 是等腰三角形，所以ABC 是等边三角形. 故选：B【题型】二、证明三角形中的恒等式或不等式 例5．（2021·全国·高三专题练习（理））下列命题中，不正确的是（ ） A ．线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y B ．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面//α平面β C ．若“11a b <，则a b >”的逆命题为假命题D ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >. 【答案】B【分析】根据回归方程的特征可判定A 正确；根据线面位置关系的判定与性质，可判断B 不正确；根据不等式的性质，可判断C 正确；根据三角形的性质和正弦函数的单调性，可判定D 正确.【详解】对于A 中，由回归直线的概念知线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y ，所以A 正确；对于B 中，若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面//α平面β或平面α与平面β相交，所以B 不正确； 对于C 中，命题“11a b <，则a b >”逆命题为“a b >，则11a b<” 因为11b aa b ab--=，其中ab 的符号不确定，所以为假命题，所以C 正确；对于D 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>，即2A B π>-， 又由sin y x =在区间(0,)2π上为增函数，所以sin sin()cos 2A B B π>-=，所以D 正确.故选：B.例6．（2021·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ）A ．函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心为（512π-，0）B ．在△ABC 中，AB =1，AC =3，D 是BC 的中点，则4AD BC ⋅= C ．在△ABC 中，A B <是cos2A >cos2B 的充分不必要条件D ．定义{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知(){}min sin ,cos f x x x =，则()f x【答案】ABD【分析】代入法验证对称中心判断A ；将AD BC ⋅转化为()()12AB AC AC AB +⋅-求值判断B ；利用三角形内角的性质、正弦定理，从充分性、必要性两方面判断C ；根据新函数定义，结合正余弦函数的周期性及图象求函数最大值判断D.【详解】A ：521232πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，所以5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，正确；B ：()1,2AD AB AC BC AC AB =+=-，则()()()2211422AD BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-=，正确； C ：充分性：A B <，则a b <，由正弦定理可知，sin sin A B <，又sin ,sin 0A B >有22sin sin A B <，则2212sin 1sin A B ->-，即cos2cos2A B >，充分性成立，必要性：由cos2cos2A B >，可知：sin sin A B <，则A B <，必要性成立，不正确； D ：sin ,cos y x y x ==是周期为2π的函数，{}3sin ,2244min sin ,cos 5cos ,2244x k x k y x x x k x k ππππππππ⎧-+≤≤+⎪⎪==⎨⎪+≤≤+⎪⎩，Z k ∈且周期为2π的函数，当[]0,2x π∈时，由图象知，()f x的最大值是944f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：ABD.例7．（2021·辽宁沈阳·高三阶段练习）在ABC 中，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）A ．若AB <，则sin sin A B < B ．若sin sin A B <，则A B <C ．若A B >，则11tan 2tan 2A B> D ．若A B >，则22cos cos A B >【答案】AB【分析】对ABD ，利用正弦定理，同角三角函数的基本关系来判断，对D 变形112sin()cos()tan 2tan 2sin 2sin 2B A B A A B A B---=，逐一判断每个因式的正负. 【详解】解：对于A ：在ABC 中，2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B <⇔<⇔<⇔<， 所以若A ＜B ，则sin A ＜sin B 正确； 若sin A ＜sin B ，则A ＜B ，所以B 正确； 对于C ：11cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2tan 2tan 2sin 2sin 2sin 2sin 2A B A B B A A B A B A B --=-= sin 2()2sin()cos()sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A A B A B---==A B >0A B π∴<-<sin()sin()0B A A B ∴-=--<当0,022A B ππ<≤<≤时，0＜2A ≤π，0＜2B ≤π，0≤2A B π-≤，sin2A ＞0，sin2B ＞0，cos （B −A ）＞0 △则11110,tan 2tan 2tan 2tan 2A B A B -<∴<； 当,022A B πππ<<<≤时（A 和B 不可能同时在第二象限），π＜2A ＜2π，0＜2B ≤π，△sin2A ＜0，sin2B ＞0 当0≤A −B ≤2π时，cos （B −A ）＞0， △则11110,tan 2tan 2tan 2tan 2A B A B->∴>， 当2A B ππ<-≤时，cos （B −A ）＜0，11110,tan 2tan 2tan 2tan 2A B A B∴-<∴<；故C 错误； 对于D ：222222sin sin 0sin sin 1co 1cos cos s s co A A B B A B A B A B >⇔>>⇔>⇔⇔<>--，故D 错误； 故选：AB ．【题型】三、几何图形中的计算 例8．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且60C =︒，3a =，ABC S =△，则AB 边上的中线长为（ ）A ．49B ．7C ．494D ．72【答案】D【分析】根据面积公式结合已知数据，即可求得b ，根据余弦定理即可求得c ，结合中线的向量表达即可求得中线长度.【详解】因为ABCS11sin 322ab C b ==⨯⨯=5b =，根据余弦定理可得2222cos 19c a b ab C =+-=，故c = 不妨取AB 中点为M ，故()12CM CA CB =+，故22172cos 22CM CA CB CA CB C =++=. 即AB 边上的中线长为72.故选：D .例9．（2023·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，若a =4，b =3，c =2，则中线AD 的长为（ ）A B CD 【答案】D【分析】利用余弦定理即得.【详解】如图，由余弦定理得AB 2=DA 2+DB 2－2DA ·DB cos△ADB ， AC 2=DA 2+DC 2－2DA ·DC cos△ADC ，又cos△ADB =－cos△ADC两式相加得AB 2+AC 2=2DA 2+DB 2+DC 2， 即22+32=2DA 2+22+22， △2DA 2=5，△DA 故选：D例10．（2023·全国·高三专题练习）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min ．若此人步行的速度为每分钟50 m ，则该扇形的半径为________m ．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由题意，可得,OD CD 长度，△CDO ＝60°，在△OCD 中，利用余弦定理可得解【详解】连结OC ，在△OCD 中，OD ＝250⨯=100，CD ＝350⨯=150，△CDO ＝60°， 由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，解得OC ＝(m)． 故选：C【题型】四、求三角形中的边长最值或范围 例11．（2022·上海·高三专题练习）在锐角ABC 中，2A B ∠=∠，B C ∠∠、的对边长分别是b ､c ，则+bb c的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】确定B 的范围,利用正弦定理化简表达式,求出范围即可. 【详解】在锐角ABC 中,20,0,2264A B A C B ππππ⎛⎫∠=∠<<<<∴∠∈ ⎪⎝⎭，，cos B ∈⎝⎭，213cos ,24B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 而()()sin sin sin 3sin3C A B B B ππ=--=-=，()sin3sin +2sin cos2+cos sin 2B B B B B B B ==，()22sin 2cos 1+2sin cos B B B B =-所以()223sin34cos sin sin 41sin sin sin 3sin 4sin B B B B B B B B B =-=--=-，所以由正弦定理可知：32sin sin sin 111,sin sin sin sin(3)sin 3sin 4sin 4cos 32b B B B b c B C B B B B B B π⎛⎫====∈ ⎪+++-+-⎝⎭， 故选：D例12．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 所对边长为,,a b c ，3A π=，角A 的平分线AD 交BC 于D ，且2AD =，则下列说法正确的是（ ）A ．若2c =，则BD =B ．若2c =，则ABCCb c =+ D ．163bc ≥【答案】ABD【分析】在ABD △中，利用余弦定理可直接求得BD ，知A 正确；根据长度关系可求得512B π=，由此可得4C π=，由正弦定理即可求得B 正确；利用ABCABDADCSSS=+可整理得到C 错误；()2b c =+，利用基本不等式可构造不等式求得结果，知D 正确.【详解】对于A ，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos 88cos 26A BD AB AD AB AD π=+-⋅=-28=-=，BD ∴=A 正确；对于B ，当2c =时，ABD △为等腰三角形，则52212AB ππ-==，()4C A B ππ∴=-+=； 设ABC 外接圆半径为R，则2sin c R C ===R ∴B 正确； 对于C ，ABCABDADCS SS=+，111sin sin sin 22222A A bc A c AD b AD ∴=⋅+⋅，1122c b =+，()2b c =+，C 错误；对于D ()2b c =+()2b c =+≥b c =时取等号），163bc ∴≥，D 正确.故选：ABD.例13．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（ ）A ．222<+a b abB ．++>ab a bC ．224++≥a b cD ．++≤a b c 【答案】ABC【分析】根据题意得()2ab a b abc -<=，结合边的关系即可判断A ；根据边的关系及基本不等式即可判断BC ；用边长为D【详解】对于A ，222<+a b ab ，即222-<a b ab ，也就是()2ab a b abc -<=， 另一方面，在ABC 中，0,>-<ab a b c ，则()-<ab a b abc 成立，故A 正确；对于B ，++>+≥=ab a b ab c B 正确；对于C ，2224++≥+≥=a b c a bc ，当且仅当222a b c ===时取等号，故C 正确；对于D ，边长为2abc =，但1++=+a b c D 错误． 故选：ABC ．例14．（2022·江苏·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1cos()cos 2A CB -=+，延长BA 至D .则下面结论正确的是（ ） A ．6A π= B ．3B π=C ．若3CD =，则ACD 周长的最大值为3 D ．若4BD =，则ACD【答案】BCD【解析】根据题中条件，利用三角恒等变换，以及正弦定理，求得1cos cos 4A C =，2sin sin sin B A C =，两式作差求出角B ，进而可求出3A C π==，判定A 错B 正确；再利用基本不等式，分别判断CD 两选项即可.【详解】因为在ABC 中，A B C π++=，则()A C B π-+=， 由1cos()cos 2A C B -=+可得()1cos()cos 2A C A C -=-++，即1cos cos sin sin cos cos sin sin 2A C A C A C A C +=-++，所以1cos cos 4A C =△，又a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，由正弦定理可得：2sin sin sin B A C =△， 由△△可得：21cos cos sin sin sin 4A C A CB -=-，则()21cos sin 4AC B +=-，所以()21cos sin 4B B π-=-，则23cos cos 4B B -=-+，即()()2cos 32cos 10B B +-=， 所以1cos 2B =， 因为角B 为三角形内角，所以()0,B π∈，则3B π=；又1cos()cos 2A CB -=+，所以cos()1A C -=； 角A ，C 为三角形内角，所以()0,A π∈，()0,C π∈，则(),A C ππ-∈-， 所以0A C -=，即3A C π==；即ABC 为等边三角形；故A 错，B 正确；延长BA 至D ，连接CD ，则23CAD π∠=， 若3CD =，在ACD 中，由余弦定理可得：2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅∠， 即()2229AD AC AC AD AD AC AC AD =++⋅=+-⋅()()()222344AD AC AD AC AD AC ++≥+-=，所以AD AC +≤当且仅当AD AC ==此时ACD 周长的最大值为3AD AC CD ++=；故C 正确；若4BD =，设2AB x =，则ABC 的高为h ==，所以ACD 的面积为 ())2112422222ACDx x SAD h x x x -+⎫=⋅=⋅-=-⋅≤=⎪⎭当且仅当2x x -=，即1x =时，等号成立；即ACD 故D 正确.故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a b +，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.【题型】五、求三角形中的周长最值或范围例15．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（ ）A．8+B ．8+C ．16+D ．16+【答案】C【分析】根据等面积法得4aca c +=，进而结合基本不等式得16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立，再结合余弦定理得b ≥≥当且仅当8a c ==时等号成立，进而得周长最小值. 【详解】根据题意，设,,AB c BC a AC b ===， 因为ABCABDCBDS SS=+，243ABC BD π∠==，，ABD CBD ∠=∠，所以111sin sin sin 222AB BC ABC AB BD ABD CB BD CBD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，=， 所以4aca c +=，因为根据基本不等式有22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，a c +≥所以16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立， 由余弦定理得b ==当且仅当8ac ==时等号成立，所以16a b c ++≥+，当且仅当8a c ==时等号成立.所以ABC 周长的最小值为16+故选：C例16．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABCcos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（ ） AB．C．D．【答案】D【分析】cos 2B B +=，推导出3B π=，由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=，推导出b =再由正弦定理可得4sin a A =，24sin 4sin()3c C A π==-，由此能求出周长的取值范围.【详解】cos 2B B +=，∴112cos B B +=，sin()16B π∴+=，262B k πππ∴+=+，2B π<，3Bπ∴=，cos cos sin sin 3sin B C A B b c C +=，∴2222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=，∴a bc，b ∴=4sin sin sin a c bA CB ===， 4sin a A ∴=，24sin 4sin()3c C A π==-，214sin 4sin()3(cos ))326a c A A A A A ππ∴+=+-==+， 三角形ABC 为锐角三角形，∴62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭6a c <+≤b =△a b c ++≤△ABC的周长最大值为 故选：D例17．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A CA a c=+，且)222ABCSa b c =+-，则2c a b+的取值范围是（ ） A．(B．(6,C．12⎡⎢⎣⎭D．)2【答案】D【分析】根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C 及边c ，再求出a b +的范围即可计算作答.【详解】在锐角ABC中，由余弦定理及三角形面积定理得：222)cos ABCSa b c C +-=1sin 2ab C =，即有tan C =(0,)2C π∈，则π3C =，又sin sin cos cos 3sin B C A C A a c =+，由正弦定理、余弦定理得，2222222223b c a a b c b bc ab a a c+-+-=+，化简得：c =，由正弦定理有：4sin sin sin a b c A B C ====，即4sin a A =，4sin b B =， ABC 是锐角三角形且π3C =，有π(0,)2A ∈，2ππ(0,)32B A =-∈，解得ππ(,)62A ∈， 因此2π4(sin sin )4[sin sin()]3a b A B A A +=+=+-1π4(sin sin ))26A A A A =+=+， 由ππ(,)62A ∈得：π2(,)633A ππ+∈，sin()6A π+∈，所以2122))6c a b A π=∈++． 故选：D【点睛】思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.例18．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】根据余弦定理算出2()163a b ab +=+，再利用基本不等式即可得8a b +，从而可得到ABC 周长的最大值．【详解】解：在ABC 中，60C =︒，4AB c ==， ∴由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即2222162cos 60a b ab a b ab =+-︒=+-2()3a b ab =+-，由基本不等式有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以222216()3()(3144)()a b ab a b a b a b -==+-≥+++，∴8a b +（当且仅当4a b ==时等号成立），ABC ∴周长8412a b c +++=（当且仅当4a b ==时等号成立），即当且仅当4a b ==时，ABC 周长的最大值为12， 故选：C ．【点睛】关键点点睛：先用余弦定理得216()3a b ab =+-，再结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求a b +的最大值，从而得ABC 周长的最大值.例19．（2022·江苏·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1cos()cos 2A CB -=+，延长BA 至D .则下面结论正确的是（ ） A ．6A π= B ．3B π=C ．若3CD =，则ACD 周长的最大值为3 D ．若4BD =，则ACD【答案】BCD【解析】根据题中条件，利用三角恒等变换，以及正弦定理，求得1cos cos 4A C =，2sin sin sin B A C =，两式作差求出角B ，进而可求出3A C π==，判定A 错B 正确；再利用基本不等式，分别判断CD 两选项即可.【详解】因为在ABC 中，A B C π++=，则()A C B π-+=， 由1cos()cos 2A C B -=+可得()1cos()cos 2A C A C -=-++， 即1cos cos sin sin cos cos sin sin 2A C A C A C A C +=-++，所以1cos cos 4A C =△，又a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，由正弦定理可得：2sin sin sin B A C =△， 由△△可得：21cos cos sin sin sin 4A C A CB -=-，则()21cos sin 4AC B +=-，所以()21cos sin 4B B π-=-，则23cos cos 4B B -=-+，即()()2cos 32cos 10B B +-=， 所以1cos 2B =， 因为角B 为三角形内角，所以()0,B π∈，则3B π=；又1cos()cos 2A CB -=+，所以cos()1A C -=； 角A ，C 为三角形内角，所以()0,A π∈，()0,C π∈，则(),A C ππ-∈-， 所以0A C -=，即3A C π==；即ABC 为等边三角形；故A 错，B 正确；延长BA 至D ，连接CD ，则23CAD π∠=， 若3CD =，在ACD 中，由余弦定理可得：2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅∠， 即()2229AD AC AC AD AD AC AC AD =++⋅=+-⋅()()()222344AD AC AD AC AD AC ++≥+-=，所以AD AC +≤当且仅当AD AC ==此时ACD 周长的最大值为3AD AC CD ++=；故C 正确；若4BD =，设2AB x =，则ABC 的高为h ==，所以ACD 的面积为 ())2112422222ACDx x SAD h x x x -+⎫=⋅=⋅-=-⋅≤=⎪⎭当且仅当2x x -=，即1x =时，等号成立；即ACD故D 正确.故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a b +，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.例20．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinsin2B Cb a B +=，a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sinsin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 2A A =.由二倍角公式有cos 2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.222cos3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故b c +≤仅当b c =.故△ABC 周长的最大值为a b c ++故答案为：【题型】六、求三角形面积的最值或范围例21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）A ．2B ．52C D ．3【答案】D【分析】先根据圆锥的高和母线，求出顶角范围，结合面积公式可得最大值. 【详解】如图ABC 是圆锥的轴截面，由题意母线=BC 1CO =， 则1sin2CBO ∠=<，CBO ∠是锐角， 所以30CBO ∠<，于是得轴截面顶角12090ACB ∠>>，设截面三角形的顶角为θ，则过此圆锥顶点的截面面积21sin 2S θ=⨯，当两条母线夹角为90θ=时，截面面积为2132S =⨯=为所求面积最大值，故选：D.例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得22224a c b =+=；利用余弦定理可构造等量关系求得cos A ，进而得到sin A ；利用三角形面积公式，将ABCS 表示为以2b 为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值. 【详解】由2cos 2cos 24sin C A B =+得：22212sin 12sin 4sin C A B -=-+， 即222sin sin 2sin A C B =+，由正弦定理得：22224a c b =+=；由余弦定理得：2222cos 4a b c bc A =+-=，222222cos c b b c bc A ∴+=+-，即cos 2bA c =，()0,A π∈，sin A ∴1sin 2ABCSbc A ∴=== 2224c b +=，2242c b ∴=-，ABCS∴=则当289b =时，42max996481644448199b b ⎛⎫-+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()max142233ABC S∴=⨯=. 故选：A.例23．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（ ）A ．1B C ．2D ．【答案】B【分析】根据()sin sin sin b c B c C a A -+=，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角A ，再根据cos cos 2b C c B +=，利用余弦定理化角为边求得边a ，再利用余弦定理结合基本不等式求得bc 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】解：因为()sin sin sin b c B c C a A -+=， 所以222b bc c a -+=， 所以1cos 2A =， 又()0,A π∈，所以3A π=，因为cos cos 2b C c B +=，所以222222222a b c a c b b c ab ac+-+-+=，所以2a =，由2222cos a b c bc A =+-，得224b c bc bc =+-≥， 所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，则1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选：B.例24．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，a b c ，，分别为角A B C ，，的对边，已知2222b c a bc b +=+=，，则ABC 的面积S 的取值范围是（ ）A ．⎣B ．⎝C ．⎝D ．⎝ 【答案】C【分析】根据条件求出π3A =，利用三角形面积公式得到1sin 2ABCSbc A ==，采用极端值方法求出c 的最值，进而得到c 的范围，求出面积的取值范围. 【详解】2221cos 22b c a A bc +-==，因为ABC 为锐角三角形，故π3A =，1sin 2ABCSbc A ==，当BC △AB 时，cos 1c b A ==，当CB △AC 时，4cos b c A ==，故()1,4c ∈，所以ABCS∈⎝=. 故选：C例25．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =已知在ABC 中，cos 8ac B =，b =ABC 面积的最大值为（ ）A B ．C ．2D 【答案】A【分析】根据题意，结合余弦定理得22282a c b +-=，2228a c +=，22142a c ac +≤=，再根据公式求解即可.【详解】解：△222222cos 822a cb ac b ac B ac ac +-+-=⋅==，又△b =△2228a c +=.△22142a c ac +≤=（当且仅当a c ==.△ABCS ==△△ABC 故选：A.例26．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=+，则下列叙述正确的有（ ） A ．3A π=B ．若2a =，则ABC C ．若2AB =，3AC =，且2CE EB =，则23AE CB ⋅=D．若b =ABC 不存在，则边a 的取值范围是a >【答案】BC【分析】利用正弦定理以及余弦定理可判断A 选项的正误；利用余弦定理、基本不等式结合三角形的面积公式可判断B 选项的正误；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项的正误；利用ABC 不存在结合已知条件求出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由正弦定理可得()()()a b a b b c c +-=+，可得222b c a bc +-=-， 由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==-，因为()0,A π∈，故23A π=，A 选项错误； 对于B 选项，因为222423a b c bc bc bc bc ==++≥+=，则43bc ≤，当且仅当b c ==21sin 2ABC S bc A =≤=⎝⎭△ B 选项正确；对于C 选项，2cos33AB AC AB AC π⋅=⋅=-，2CE EB =，即()2AE AC AB AE -=-，所以，()123AE AB AC =+， 所以，()()()22112233AE CB AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=+⋅-=-⋅- ()2212223333=⨯+-=，C 选项正确；对于D 选项，因为23A π=，b =且满足条件的ABC 不存在，则a b ≤=D 选项错误. 故选：BC.例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，△ABC 为钝角，BD △AB ，7225cos ABC ∠=-，c =2，b =则下列结论正确的有（ ）A ．sin A =B ．BD =2C ．53CD DA = D ．△CBD 的面积为45【答案】AC【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos ABC ∠的值，利用余弦定理求得c 的值，再计算sin A ，由同角的三角函数关系求出cos A ，根据直角三角形边角关系求出AD ，BD ，CD 的值，再计算BCD ∆的面积从而得解．【详解】解：由7cos 225ABC ∠=-，得：272cos 125ABC ∠-=-， 又角ABC ∠为钝角， 解得：3cos 5ABC ∠=-，由余弦定理2222cos c a c ac ABC =+-∠，得：264344()55a a =+--， 解得2a =，可知ABC ∆为等腰三角形，即A C =， 所以()23cos cos 212sin 5ABC A A ∠=-=--=-，解得sin A =，故A 正确，可得cos A ==在Rt ABD ∆中，cos c A AD=，得AD =1BD ，故B 错误，CD b AD =-==，可得353555CD DA ==，可得53CD DA =，故C 正确，所以BCD ∆的面积为113sin 2225BCD S a CD C ∆=⨯=⨯=，故D 错误． 故选：AC ． 【点睛】利用正弦、余弦定理解三角形，利用1sin 2BCD S a CD C ∆=⨯⨯求三角形的面积．。

三⾓形中求周长、⾯积的最值三⾓形中求周长、⾯积的最值⼀、解答题1．已知ABC ?的内⾓,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且2cos a A ccosB bcosC =+. (1)求⾓A 的⼤⼩;(2)若2a =,求ABC ?周长的取值范围.2．在ABC ?中，⾓,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且()22sin B sin A sinC sinB sinC -=?-.（1）求⾓A ；（2）若ABC ?为钝⾓三⾓形，且b c >，当a =b c -的取值范围.3．已知ΔABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其⾯积为S ，且√3(b 2+c 2?a 2)=4S （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a =√3，当b +2c 取得最⼤值时，求cosB4．已知ABC ?的内⾓分别为,,A B C ，其对应边分别是,,a b c ，且满⾜cos cos 2cos b C c B a B +=．（Ⅰ）求⾓B 的⼤⼩；（Ⅱ）若b =2+a c 的最⼤值.5．如图所求扇形OPQ 的半径为1，圆⼼⾓为3π，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COP a ?.（1）当AB =时，求tan2α的值；（2）记矩形ABCD 的⾯积为()f α，求()f α最⼤值，并求此时α的值.6．已知ΔABC 的内⾓A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a =bcosC ?√33csinB ．（1）求B ；（2）若点D 为边AC 的中点，BD =1，求ΔABC ⾯积的最⼤值．7．（本⼩题满分12分）已知函数f(x)=?sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递减，在区间[π3,2π3]上单调递增；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内⾓以B ， C 的对边，且满⾜tanA =sinB+sinc 4ω3cosBcosC．（Ⅰ）证明：b+c =2a ：（Ⅱ）若b=c ，设∠AOB =θ．(0<θ<π),OA =2OB =2，求四边形OACB ⾯积的最⼤值．8．在ΔABC 中，已知内⾓A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且a 2+b 2=c 2+ab ，（1）若ab =cosBcosA ，且c =2，求ΔABC 的⾯积；（2）已知向量m ?? =(sinA,cosA ),n ? =(cosB,?sinB )，求|m ?? ?2n ? |的取值范围. 9．在△ABC 中，BC =2，AB +AC =3，中线AD 的长为y ，AB 的长为x ，（1）建⽴y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.（2）求y 的最⼩值，并指出x 的值.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为⾓A ，B ，C 的对边，设22222()()4f x a x a b x c =---. (1)若(1)0f =，且3B C π-=，求⾓C ；(2)若(2)0f =，求⾓C 的取值范围．11．在锐⾓ABC ?中，,,A B C 三内⾓所对的边分别为,,a b c ．设(cos ,),(cos ,),m A sinA n A sinA a ==-=r r12m n ?=-r r且（Ⅰ）若3b = ，求ABC ?的⾯积；（Ⅱ）求b c +的最⼤值.12．设ABC ?的内⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满⾜sin a b A =．（I ）求B 的⼤⼩；（II ）求cos cos A C +的取值范围．参考答案1．（1）3π；（2）(]4,6. 【解析】【分析】(1)利⽤正弦定理化简边⾓关系式后可得1cos 2A =，从⽽可求A 的⼤⼩. （2）利⽤基本不等式和三⾓形两边之和⼤于第三边可求b c +的取值范围，从⽽可求周长的取值范围.【详解】(1)在ABC ?中，2cos cos cos a A c B b C =+Q ，2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ∴=+即()2sin cos s sin in A A C A B =+=，因为()0,A π∈，所以sin 0A >，1 cos 2A ∴=， (),0,.3A A ππ∴∈=Q(2)由于2,3a A π==由余弦定理有2221cos 22b c a A bc +-==， ()222442bc b cb c bc ∴=+-=+--，()243b c bc +-∴=⼜根据基本不等式有22b c bc +??≤ ，所以()22432b c b c +-+??≤解得4b c +≤(当且仅当2c b ==时等号成⽴) ⼜因为三⾓形两边之和⼤于第三边，所以2b c +>. 因为2a =，所以ABC ?周长a b c ++的取值范围为(]4,6. 【点睛】在解三⾓形中，如果题设条件是关于边的⼆次形式，我们可以利⽤余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内⾓正弦的齐次式，那么我们可以利⽤正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和⾓的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为⾓的关系式或边的关系式.与三⾓形有关的最值问题，我们可以利⽤基本不等式来求最值或利⽤正弦定理把边转化为关于⾓的三⾓函数式，再利⽤三⾓变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围. 2．（1）3π；（2）(2,. 【解析】【分析】（1）由正弦定理化简()22sin B sin A sinC sinB sinC -=?-可得222b c a bc +-=，再结合余弦定理即可得到⾓A ；（2）结合（1）可得23B C π+=，利⽤正弦定理把求b c -的范围转化为求4sin 3B π?-，结合三⾓形的性质可得223B ππ<<，由正弦函数的图形即可得到4sin 3B π?-的范围，从⽽得到b c -的取值范围。

高中-《求解三角形中周长(面积)最大值的方法(教师版)》引言三角形是几何学中常见的图形之一，通过研究三角形的特性和性质，可以解决许多与三角形相关的问题。

本文将重点介绍如何求解三角形中周长和面积的最大值的方法，帮助教师们更好地教授相关知识。

方法一：使用三角函数三角函数是研究三角形性质的重要工具之一。

在求解三角形中周长和面积的最大值时，可以利用三角函数的性质进行分析。

步骤：1. 首先，假设三角形的一个角度为θ，另外两个角度为α和β，且α+β+θ=180°。

2. 根据三角函数的定义和三角形周长的公式，可以得到三角形的周长为L = a + b + c = a + 2asin(θ/2)，其中a和b为两边的长度，c为斜边的长度。

3. 而三角形的面积可以由海伦公式S = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中s为周长的一半。

4. 接下来，我们需要确定如何选择θ的取值，使得周长或面积最大。

5. 对于周长最大值的求解，可以通过求导数的方法得到最优解。

6. 对于面积最大值的求解，也可以采用求导数的方法或者通过研究面积的性质进行分析。

方法二：使用几何图形的性质除了三角函数的方法外，我们还可以利用几何图形的性质来求解三角形中周长和面积的最大值。

步骤：1. 考虑一个固定的底边AC，底边两端点分别为A和C。

2. 假设顶点B在AC的一侧，并且以顶点B为顶点的两条边长度为x和y。

3. 则三角形的周长为L = AC + x + y，面积为S = (1/2) * AC * h，其中h为由顶点B到底边AC的垂直距离。

4. 可以通过分析底边AC不变的情况下，如何选择x和y的取值，使得周长或面积最大。

结论通过使用三角函数的方法或几何图形的性质，可以求解三角形中周长和面积的最大值。

在教学过程中，教师们可以根据学生的研究能力和兴趣，选择适用的方法进行教授，帮助学生理解并应用相关的数学知识。

请注意：本文介绍的方法仅供参考，具体的求解过程和结果可能因具体问题而有所不同。

㊀㊀㊀解三角形中面积与周长最值问题探究◉广州市玉岩中学㊀余国超㊀㊀１引言解三角形是高考必考内容,其中有关变化三角形面积与周长的最值问题也是其他考试的热点之一,本文中介绍其中几种常见的模型,帮助学生找到解决此类问题的一般思路．２问题探究在研究三角形有关性质与特点过程中,我们知道三角形涉及到六个元素,即三边三角．如果三角形已知其中三个元素,并且这三个元素至少有一条边,在这样的条件下,利用方程的思想及正弦或余弦定理,可以求解三角形,即此时三角形是确定的．当三角形的条件只已知一边一角时,三角形的形状不确定,在其变化过程中面积与周长就会在一定范围内变化．在已知一边及一角的情况,变化三角形主要存在两种模型,即已知一边及其对角和已知一边及其邻角．下面笔者就对这两种模型进行讨论．模型一㊀在三角形中,已知一边及其对角,求三角形面积与周长的最值．例１㊀әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a ＝２,øA ＝π３,求әA B C 面积的最值．图１分析:在此问题中,如果从平面几何的角度去研究,如图１所示,三角形已知B C ＝２,øA ＝π３,利用正弦定理可知其外接圆确定,由图形可知,әA B C 底边确定,当其为等边三角形时高最大,其面积最大,无最小值．如果我们用函数的观点解决该三角形面积的最值问题,需要引入恰当的变量,建立函数关系,再利用函数的观点求函数的最值．对于三角形来说,其牵涉到两类元素,即边和角,那么就可以从边或者角入手,引入边或者角做变量表示面积,然后用函数的方法或者基本不等式求其最值．解法一:由余弦定理得,a ２＝b ２＋c ２－b c ,即４＝b ２＋c ２－b c①由面积公式得S ＝１２b c s i n A ＝３４b c ．在①式中,由基本不等式可得４＝b ２＋c ２－b c ȡ２b c －b c ,即b c ɤ４,当b ＝c 时,b c ()m a x ＝４,所以S m a x ＝３．解法二:由正弦定理b s i n B ＝c s i n C ＝a s i n A ＝４３３,得b ＝４３３s i n B ,c ＝４３３s i n C ,所以S ＝１２b c s i n A ＝４３３s i n B s i n C ．因为B ＋C ＝２π３,所以S ＝４３３s i n B ˑs i n ２π３－B æèçöø÷,化简得S ＝２３３s i n ２B －π６æèçöø÷＋３３,其中０＜B ＜２π３．所以当B ＝π３时,S m a x ＝３．在以上两种方法中,解法一是以边做变量,利用余弦定理确定两边的关系式,再利用基本不等式求出两边乘积的最值,最终就求出面积的最值;而解法二是以角度为变量,利用正弦定理表示边,从而用角表示了面积,最终将三角形面积的最值问题转化为三角函数求最值．两种方法在解决三角形没有其他限定条件的时候都适用,相比较而言,利用基本不等式求最值计算量相对较小．对于求面积的最值问题,两种方法的本质都是引入恰当的变量,通过建立函数关系式,用函数的观点求其最值,运用相同的思路,也可以求三角形周长的最值．真题再现(２０２０Ⅱ卷理科)әA B C 中,s i n ２A －s i n ２B －s i n ２C ＝s i n B s i n C ．(１)求A ;(２)若B C ＝３,求әA B C 周长的最大值．解析:(１)由正弦定理可得:B C ２－A C ２－A B ２＝A C AB ,所以c o s A ＝A C ２＋A B ２－B C ２２A C A B ＝－１２．因为A ɪ０,π(),所以A ＝２π３．(２)由余弦定理得:B C ２＝A C ２＋A B ２－２A CA B c o s A ＝A C ２＋A B ２＋A C A B ＝９,即A C ＋A B ()２－A C A B ＝９．由A C A B ɤA C ＋A B ２æèçöø÷２(当且仅当A C ＝A B 时取等号),得３６２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀复习指引复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀９＝A C＋A B()２－A C A BȡA C＋A B()２－A C＋A B２æèçöø÷２＝３４A C＋A B()２．解得:A C＋A Bɤ２３(当且仅当A C＝A B时取等号)．所以әA B C周长L＝A C＋A B＋B Cɤ３＋２３．因此әA B C周长的最大值为３＋２３．思考:如果三角形有约束条件时,以上两种方法还可以用来求面积或者周长的最值吗我们将以上问题变式后提出以下两个问题．变式１:钝角әA B C的内角A,B,C的所对边分别为a,b,c,已知a＝２,øA＝π３,әA B C的面积存在最值吗若存在,请求出最值;若不存在,请求出面积的取值范围．变式２:锐角әA B C的内角A,B,C的所对边分别为a,b,c,已知a＝２,øA＝π３,求әA B C面积的取值范围．分析:在变式１中将三角形变为钝角三角形,如果还采用基本不等式去解决问题,会发现等号成立的条件不成立,因此不能判断三角形的面积是否存在最值,更不能求出其面积的取值范围;在变式２中将三角形改为锐角三角形,问题改为求面积的取值范围,若采用基本不等式,可以求得面积有最大值,但不能求得三角形面积的最小值或者范围的下界,此时显然用基本不等式不能完整地解决此类问题．因此引入角度做变量,用角度表示边后将函数转化为三角函数求值域问题,不过需要注意角度的取值范围．通过对以上几个问题的探究,如果已知条件是对边及对角,并且对三角形的形状没有做要求的时候,用边做变量,利用余弦定理建立变量之间的关系,再用基本不等式求面积或者周长的最值,此方法计算量较小,但对三角形的形状有限制的时候,如果基本不等式成立的条件不能成立,此时则需要引入角度做变量,转化为三角函数去求面积和周长的最值㊁范围．模型二㊀在三角形中,已知一边及其邻角,求三角形面积与周长的最值．例２㊀(２０１９课标Ⅲ卷)әA B C的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知a s i n A＋C２＝b s i n A．(１)求B;(２)若әA B C为锐角三角形,且c＝１,求әA B C面积的取值范围．图２分析:(１)易得B＝６０ʎ．对于第(２)问,从平面几何角度,要满足三角形为锐角三角形,由图２可知C在C１与C２之间移动,当C逼近C１时,面积逼近最小值,当C逼近C２时,面积逼近最大值,结合图形可以求出满足条件的面积取值范围．应用模型一的思想,则可以引入边长或者角度建立函数关系式,如果边长入手,利用余弦定理得b２＝a２＋１－a,面积S＝１２a c s i n B＝３４a,要求面积的取值范围,必须求出a的取值范围,而此题中对三角形的形状有限制,在限制条件下去求边长的取值范围较难,所以引入边长做变量去求面积的取值范围在本题中不可取,因此引入角度做变量去解决本题较易处理．解:(１)由正弦定理得s i n A s i n A＋C２＝s i n B s i n A．因为s i n Aʂ０,所以s i n A＋C２＝s i n B．由A＋B＋C＝１８０ʎ,可得s i n A＋C２＝c o s B２,故c o s B２＝２s i n B２c o s B２．因为c o s B２ʂ０,所以s i n B２＝１２,因此B＝６０ʎ．(２)由题设及(１)知әA B C的面积SәA B C＝３４a．由正弦定理得a＝c s i n As i n C＝s i n１２０ʎ－C()s i n C＝３２t a n C＋１２．由于әA B C为锐角三角形,故０ʎ＜A＜９０ʎ,０ʎ＜C＜９０ʎ．由(１)知A＋C＝１２０ʎ,所以３０ʎ＜C＜９０ʎ,t a n Cɪ３３,＋¥æèçöø÷．因此,１２＜a＜２,从而３８＜SәA B C＜３２．故әA B C面积的取值范围是３８,３２æèçöø÷．３结束语在三角形中,已知两边长,求三角形面积与周长的最值的时候,此类问题相对较易,这里就不做深入探讨．通过对形状不确定三角形的面积与周长的研究,可以总结出处理此类问题的一般思路,即从角或者边入手,建立函数关系,再去求最值．如果三角形的形状没有限定,一般选择从边入手,利用基本不等式求最值,这样计算量相对较小,如果是三角形的形状有限定,利用基本不等式时等号成立的条件不成立,那就需要从角入手,利用三角函数的知识解决,一般来说,利用角度都可以解决此类问题,应注意计算的准确性以及角的取值范围,利用相同的思路也可以解决三角形中某些线段的最值问题．Z４６复习备考复习指引㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年４月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

三角形中的最值或范围问题在解三角形时，往往会遇到求边、角、周长、面积等问题的最值或范围，我们只需综合运用正余弦定理、三角恒等变换、面积公式，结合基本不等式与三角函数等知识求解即可.一、角的范围或最值[解析]：因为2b ac =，又由余弦定理知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，所以03B π<≤，又7sin cos )44412B B B B ππππ+=+<+<且,)4B π+∈,即sin cos B B +的取值范围是.[解析]:由BA BC ⋅=,得1cos sin 2ca B ac B =,即cos B B =, 又22cos sin 1B B +=,所以3cos 4B =． 221cos 21cos 2sin sin 22A C A C --+=+＝1cos[()()]2A C A C -++-＋1cos[()()]2A C A C -+--＝cos()cos()1A C A C +-+＝cos cos()1B A C -+＝3cos()14A C -+．因为0A B π<<-,0C B π<<-,所以B A C B ππ-<-<-, 所以当A C =时,max cos()1A C -=,当A C B π-=-或A C B π-=-时,min 3cos()cos 4A CB -=-=-,所以737cos()11644A C <-+≤, 即22sin sin A C +的取值范围是77(,]164．点评：求角的范围问题一般是转化为利用三角函数的范围来求.二、边的范围或最值【例2】:在锐角△ABC 中，A=2B ，则cb的取值范围是 .[解析]：由0222A B C A B πππ<=<<=--<且0,得64B ππ<<，所以2sin sin 3sin 2cos cos 2sin 4cos 1sin sin sin c C B B B B B B b B B B+====-，又23cos (,)22B ∈所以24cos 1(1,2)cB b=-∈. 【变式】:在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且BC 边上的高为a 63,则cb bc + 的最大值是( )A.8B. 6C.23D.4[解析]:由已知得，在△ABC 中,A bc a a sin 216321=⋅, 即A bc a sin 322=,又由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，即222cos 2c b A bc a +=+，所以4)6sin(4cos 2sin 32cos 2sin 3222≤+=+=+=+=+πA A A bc A bc A bc bc c b c b b c . 故选D.点评：把边的问题转化为角的问题，化多元为一元，体现了解题的通性通法.下面这道高考题只需运用正弦定理即可，能想到方法就很简单，想不到就太难了，不愧是高考题！【好题欣赏】：（2015·新课标I ）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .[解析]: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =， 由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE =6+2； 平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=， 由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得62BF =-， 所以AB 的取值范围为(62,6+2)-.三、周长的范围或最值【例3】: 已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--=. (1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．[解析]:(1)由已知及正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+, 即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=-,化简得，1cos sin 3=-A A ，所以21)6sin(=-πA ，所以66ππ=-A ，解得3π=A ；(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=,由余弦定理22222231492cos()3()()()344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ 当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,∴2()449b c +≤⨯,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14, 从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．【变式】: 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且cos cos 2cos a C c A b B +=. （1）求B 的大小.（2）若b=5，求△ABC 周长的取值范围.[解析]：（1）因为cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=,所以sin()2sin cos A C B B +=，于是1cos ,23B B π==.（2）由正弦定理10sin sin sin 3a b c A B C ===， 所以101010210sin 5sin 5sin()sin 510sin()363333a b c A C A A A ππ++=++=+-+=++又由02A π<<得2663A πππ<+<， 所以510sin()(10,15]6a b c A π++=++∈.点评：例4是运用余弦定理结合基本不等式求周长的范围，而变式是运用正弦定理结合三角函数求周长的范围，各有千秋，好好体会.四、面积的范围与最值【例4】:在△ABC 中，22223a b c ab +=+，若△ABC 的外接圆半径为322，则△ABC 的面积的最大值为 .[解析]：由22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以22sin 3C =，又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-，即2221623ab a b ab +=+≥，所以12ab ≤，又由于12sin 4223S ab C ab ==≤， 故当且仅当23a b ==时，ABC 的面积取最大值42.【变式】: 如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,22=OP ,点M 在线段PQ 上． (1)若5OM =,求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时, △OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．[分析]:第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题主要是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.[解析]:(1)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =OP =, 由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =． (2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠,所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+, 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMNS OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=⎣⎦====因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值． 即30POM ∠=︒时,△OMN 的面积的最小值为8-点评：面积问题是边长与角问题的综合,在例5中，知道角的具体值，就考虑边的变化，利用余弦定理结合基本不等式来求,而在变式中，不知道角的具体值，就考虑角的变化,利用三角函数范围求解.巩固训练：[解析]:设,,AB c AC b BC a ===,由余弦定理的推论222cos 2a c b B ac+-=,所以2223a c ac b +-==, 因为由正弦定理得2233sin sin sin ====BbC c A a ,所以C c sin 2=，A a sin 2=, 所以)sin 2(sin 2sin 22sin 22A C A R C R a c +=⨯+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=)32sin(2sin 2C C π ()α+=+=C C C sin 72)cos 3sin 2(272≤,（其中23tan =α）， 另解：本题也可以用换元法设2c a m +=,代入上式得227530a am m -+-=,因为28430m =-≥,故m ≤当m =,此时a c ==符合题意,因此最大值为．[解析]:（1）由余弦定理知：2221cos 22b c a A bc +-==,∴3A π∠=； (2)由正弦定理得：2sin sin sin b c aB C A====,∴2sin b B =,2sin c C =, ∴22224(sin sin )b c B C +=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+-=B B C B 322cos 22cos 24)2cos 12cos 1(2π⎪⎭⎫⎝⎛---=B B 234cos 22cos 24π)62sin(242sin 32cos 4π-+=+-=B B B ,又∵203B π<<0,∴72666B πππ-<-<,∴12sin(2)26B π-<-≤, ∴2236b c <+≤．3.己知在锐角三角形中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且222tan abC a b c =+-,(1)求角C 大小；(2)当c=1时,求ab 的取值范围.[解析]：(1)由已知及余弦定理,得sin 1,sin ,cos 2cos 2C ab C C ab C ==因为C 为锐角,所以 30=C , (2)由正弦定理,得121sin sin sin 2a b c A B C ====, 2sin ,2sin 2sin(30).a A b B A ∴===+︒4sin sin 4sin sin()6ab A B A A π==+2314sin (sin cos )23sin 2sin cos 22A A A A A A =+=+3sin 23cos2A A =+-32sin(2)3A π=+- 由090,015090A A ︒<<︒⎧⎨︒<︒-<︒⎩得6090.A ︒<<︒60260120,A ∴︒<-︒<︒3sin(2)123A π<-≤ 2332ab ∴<≤+.4.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a=2,求△ABC 周长的取值范围．[解析]:（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++变形为22(2)(2)a b c b c b c =+++, 整理可得222a b c bc =++,222b c a bc ∴+-=-,2221cos 222b c a bc A bc bc +--∴===-,0180A <<,∴120A =;(2) 由正弦定理得334sin sin ==C c B b ， ∴[])60sin(sin 334)sin (sin 334B B C B c b -+=+=+ )sin 60cos cos 60sin (sin 334B B B -+= )60sin(334cos 23sin 21334+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B ，∵ 120=A ，∴() 60,0∈B ，∴() 120,6060∈+B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+1,23)60sin( B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2)60sin(334B ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2c b ， ∴周长⎥⎦⎤⎝⎛+∈++3342,4c b a[解析]：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-， 即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=， ∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤故答案为3.6. 在一个六角形体育馆的一角MAN 内,用长为a 的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示）,已知0120A ∠=,B 是墙角线AM 上的一点,C 是墙角线AN 上的一点． （1）若BC=a=20,求存储区域面积的最大值；（2）若AB+AC=10,在折线MBCN 内选一点D,使BD+DC=20,求四边形存储区域DBAC 的最大面积．[解析]:（1）设AB x =,AC y =,0,0x y >>． 由22200202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-,得22020202022cos1204sin 60xy ≤=-, ∴22020002000112020cos 60201003sin1202sin 60cos 60224sin 604sin 604tan 60S xy =≤⨯⨯===即四边形DBAC 面积的最大值为10033,当且仅当x y =时取到． （2）由20=+DC DB ,知点D 在以B,C 为焦点的椭圆上，∵32523101021=⨯⨯⨯=∆ABC S , ∴要使四边形DBAC 面积最大，只需△DBC 的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大，即D 为椭圆短轴顶点，由310=BC ,得短半轴长5=b ，()325531021max =⨯⨯=∆BCD S ，因此，四边形ACDB 的面积的最大值为350.7.已知3()3f x x x m =-+,在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以()()(),,f a f b f c 为边长的三角形,则m 的取值范围是（ ）出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解.[解析]：由0)1)(1(333)('2=-+=-=x x x x f 得到1,121-==x x （舍去）， ∵函数的定义域为[0,2]，∴函数在（0，1）上0)('<x f ，在（1，2）上0)('>x f ， ∴函数)(x f 在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增， 则,)0(,2)2()(,2)1()(max min m f m f x f m f x f =+==-== 由题意知，02)1(>-=m f ①；)2()1()1(f f f >+，即m m +>+-224②；由①②得6>m 为所求，故选B.。

五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类：类型1：三角形面积最值问题；类型2：三角形周长定值及最值；类型3：三角形涉及中线长问题；类型4：三角形涉及角平分线问题；类型5：三角形涉及长度最值问题。

类型1：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式①S=12ab sin Ca2+b2−c2=2ab cos C⇒a2+b2=2ab cos C+c2≥2ab⇒ab≤c221−cos C②S=12ac sin Ba2+c2−b2=2ac cos B⇒a2+c2=2ac cos B+b2≥2ac⇒ac≤b221−cos B③S=12bc sin Ab2+c2−a2=2bc cos A⇒b2+c2=2bc cos A+a2≥2bc⇒bc≤a221−cos A秒杀方法：在ΔABC中，已知B=θ，AC=x则：SΔABC max=AB+BC2max8⋅sin B其中AB+BCmax=2R⋅m2+n2+2mn cosθm,n分别是BA、BC的系数2R=x sinθ面积最值问题专项练习1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，c=2a cos C-b，c2+a2=b2+3ac，b=2.(1)求A；(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合，∠MAN=π3，求△AMN面积的取值范围.2已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3c sin B =a -b cos C .(1)求B ；(2)若DC =AD ，BD =2，求△ABC 的面积的最大值.3在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A =2b -c sin B +c 2sin C -sin B ．(1)求A ；(2)点D 在边BC 上，且BD =3DC ，AD =4，求△ABC 面积的最大值．4△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知c =2a cos C -b ，c 2+a 2=b 2+3ac ，b =2．(1)求A ；(2)若M 是直线BC 外一点，∠BMC =π3，求△BMC 面积的最大值．5在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，(sin A +sin B )(a -b )=c (sin C -sin B )，D 为BC 边上一点，AD 平分∠BAC ,AD =2．(1)求角A ；(2)求△ABC 面积的最小值．6在①m =2a -c ,b ，n =cos C ,cos B ，m ⎳n ；②b sin A =a cos B -π6；③a +b a -b =a -c c 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角B ；(2)若b =2，求△ABC 面积的最大值．类型2：三角形周长定值及最值类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长l =a +b +c第二步：利用正弦定理a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C 将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值周长定值及最值问题专项练习7在锐角三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，CD 为CA 在CB 方向上的投影向量，且满足2c sin B =5CD .(1)求cos C 的值；(2)若b =3，a =3c cos B ，求△ABC 的周长.8如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，∠D =60°．(1)若AC =3，求△ACD 周长的最大值；(2)若CD =2AB ，∠BCD =75°，求tan ∠DAC 的值．9已知△ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c．点O为△ABC的内心，b=23且S=3 4(a2+c2-b2)．(1)求B的大小；(2)求△AOC的周长的取值范围．10在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sin A-sin B3a-c=sin Ca+b．(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围．11在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，a-ca+c+b b-a=0．(1)求C；(2)若c=3，△ABC的面积是32，求△ABC的周长．类型3：三角形涉及中线长问题①中线长定理：(两次余弦定理推导可得)+(一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值)如：在ΔABC与ΔABD同用cos B求ADAB2+AC2=AD2+CD22②中线长常用方法cos∠ADB+cos∠ADC=0③已知AB+AC，求AD的范围∵AB+AC为定值，故满足椭圆的第一定义∴半短轴≤AD＜半长轴三角形涉及中线长问题专项练习12在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=7，c=5.(1)若sin B=78，求cos C的值；(2)若BC边上的中线长为21，求a的值.13在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2,b=5,c=1．(1)求sin A,sin B,sin C中的最大值；(2)求AC边上的中线长．14在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3b sin A=a cos B+a.(1)求角B的值；(2)若c=8，△ABC的面积为203，求BC边上中线AD的长.15如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b=3，c=6，sin2C=sin B，且AD 为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线．(1)求cos C及线段BC的长；(2)求△ADE的面积．16在△ABC中，∠A=2π3，AC=23，点D在AB上，CD=32.(1)若CD为中线，求△ABC的面积；(2)若CD平分∠ACB，求BC的长.17在①3b=a sin C+3cos C；②a sin C=c sin B+C2；③a cos C+12c=b，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角A；(2)若b=1，c=3，求BC边上的中线AD的长.注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.类型4：三角形涉及角平分线问题张角定理如图，在ΔABC中，D为BC边上一点，连接AD,设AD=l，∠BAD=α,∠CAD=β则一定有sinα+βl=sinαb+sinβc三角形涉及角平分线问题专项练习18设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin B-sin Cb=a-csin A+sin C．(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且AD=1，求△ABC面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且AD=1，求△ABC面积的最大值．19在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c sin B+33b cos A+B=33b.(1)求角C的大小；(2)若c=3，角A与角B的内角平分线相交于点D，求△ABD面积的取值范围.20已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足b cos C+c cos Bsin B+3b cos A= 0.(1)求A；(2)若c=2，a=23，角B的角平分线交边AC于点D，求BD的长.21已知△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且有3cos A c cos B+b cos C+a sin A=0．(1)求A；(2)设AD是△ABC的内角平分线，边b，c的长度是方程x2-6x+4=0的两根，求线段AD的长度．22在①b sin B+c sin C=233b sin C+asin A；②cos2C+sin B sin C=sin2B+cos2A；③2b=2a cos C+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC外接圆的半径为1，且.(1)求角A；(2)若AC=2，AD是△ABC的内角平分线，求AD的长度.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.类型5：三角形涉及长度最值问题秒杀：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值三角形涉及长度最值问题专项练习23设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知△ABC 的面积为34c 2-a 2-b 2 ．(1)求C ；(2)延长BC 至D ,使BD =3BC ，若b =2，求AD AB 的最小值．24在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a 2-b 2=ac cos B -12bc(1)求A ；(2)若a =6，2BD =DC ，求线段AD 长的最大值.25锐角△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C =2cos A sin B +π3 .(1)求A ；(2)若b +c =6，求BC 边上的高AD 长的最大值.26在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，a sin B+C=b-csin B+c sin C.(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且AD⊥BC，求AD的最大值.27记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为312b2．(1)若A=π6，求sin B sin C；(2)求a2+c2ac的最大值．。

与三角形有关的范围最值问题模型1 已知三角形的一角及其对边如图，已知ABC ∆的三个内角为A ，B ，C ，及其对应边分别为,,a b c ，且60,2A a ==（即已知三角形的一角及其对边），则根据三角形的边角关系就可得到以下三个隐含的解题条件： ①23B C A ππ+=-=②正弦定理：2432sinB sinC sin sin 60b c a R A ︒=====R 为ABC ∆外接圆的半径）（实现了边角的相互转化）③余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-（可看作,b c 的方程） 变形：24()3b c bc =+-以上三个隐含的解题条件深刻揭示了解三角形中“已知一角及其对边”的本质：角的关系（内角和定理）、边角的关系（正余弦定理）.掌握这个本质就可解决多种不同类型的问题，进而得到解决此类问题的系统方法． 例如，在上述条件下可求： （1）B C +；（2）ABC ∆外接圆的半径；（3）sin sin B C +的取值范围（拓展到求1212sin sin (0)t B t C t t +≠的最值）； 类似还有：sin sin ,cos cos ,cos cos B C B C B C +（4）b c +的取值范围（拓展到求(0)b c λμλμ+≠的最值）； （5）bc 的取值范围（6）ABC ∆周长的最大值（即求a b c ++的最大值）； （7）ABC ∆面积的最大值 （8）22b c +已知三角形的一角及对边，求三角形面积、周长等的最值①已知条件为三角形的一边和对角，可以借助正弦定理，转化为角，求三角函数最值 （口诀：正弦定理化角，三角函数求最值） 基本步骤：（1）利用正弦定理化边为角，并将式子中的角都化为唯一角 （2）将所求式子化简为)sin(ϕω+=x A y 的形式或二次函数型（3）确定此唯一角的取值范围（利用三个内角都在0到π之间）注：如果ABC ∆是锐角三角形，则需要满足 20π<<A ，20π<<B ，20π<<C（4）根据角的范围求最值（范围）②问题涉及三角形的一边和对角，可以借助余弦定理，转化为边，利用基本不等式求值。

解三角形中面积（周长）最值的求法一、考法解法命题特点分析在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。

这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。

解题方法荟萃求三角形面积（或周长）的最值（或范围），一般可有两种思路去解决：（1）用余弦定理+基本不等式（2）用正弦定理+三角函数的取值范围二、典型题剖析 例1 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,41cos ==a A .（1）若6=+c b ，且b <c ，求c b ,的值．（2）求ABC ∆的面积的最大值。

【解析】 解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc bc c b 212)(162--+= ∴8=bc ，又∵,6=+c b b <c ，解方程组⎩⎨⎧==+86bc c b 得4,2==c b 或2,4==c b (舍)．∴4,2==c b（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc c b 211622-+= ∵bc c b 222≥+ ∴332≤bc ，又415sin =A ∴3154sin 33221sin 21=⨯⨯≤=∆A A bc S ABC即c b =时三角形最大面积为3154 例2在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，2=a ，向量)s i n s i n ,1(),1),(sin(C B b B A a -=-=→→，且→a ⊥→b 。

（1）求角A ；（2）求ABC ∆面积的取值范围。

【解析】解：（1）→→⊥∴b a ，01)sin (sin 1)sin(=⨯-+⨯-∴C B B A ，0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ， 即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ， 故21cos =A ,又︒<<︒1800A ， 所以︒=60A （2） 由正弦定理334sin 2==A a R C R CB R b sin 2,sin 2== 又 120=+c b A bc S ABC sin 21=∆ 60sin )sin 2()sin 2(21⨯⨯=C R B R C B sin sin 334=)120sin(sin 334B B -= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=B B B sin 21cos 23sin 334[]B B B 2sin cos sin 3332+= 332cos 212sin 23332+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B B 33)302sin(332+-= B )120,0( ∈B )210,30(302 -∈-∴B ]1,21()302sin(-∈- B ]3,0(∈∴∆ABC S三、达标与拓展基础过关。