平行线分线段成比例定理

年荷钱今钱段战比例定理【教学内容】掌握平行线分线段成比例定理；会用平行线分线段成比例定理及其推理，三角形一边的平行 线的判定定理进行计算和证明。

1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边。

如图 LJ/LJ/ 厶=>ACAB DE BC " AB _ DE AC" DF BC _ EF AC" DF AB DE 、 ---- H ----- ) EF BC 如图:AB AC BD CEAB AC _ BC 75 一旋一 Bi BD _ CE AB " AC2.定理：（三角形一边平行的判定）如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例 BC//DE=>AB ACBD CE AB AC AD AE BD . CE AD AE 如图: nBCHDE aBCIIDE nBCIIDE 【教学重难点】重点：平行线分成线段成比例定理与三角形一边平行的性质和判定。

难点：正确理解“对应线段”。

【练习题】一、填空题：1•如图：厶〃厶〃厶 ①若—=-则史= _____________________ ,「 BC 4 EFA R 7 ___,②若—=-DF=28cm 则DE = ___cm BC 4DEDF2•如图 LI 、L2、L3, AE=4cm, BE 二3cm, CD=14cm __________ cm , DF= ________________ cm ： 3 •如图:在△ ABC 中，DE//BC(1) AD=5cm BD 二3cm AE=4cm 则 AC= cm (2) BD 二3cm AB=7cm 则 AE : AC= 4.如图：已知 DE//BC, EF//AB, AD=2, BD 二3, BF=2. 6,则 BC 二 5・如图：已知直线BC 经过菱形AMNF 的顶点'分别交AM 、 L1AP 的延长线于B 、C 若AB=21cm BC=18CM, AC=15CM 则 BN= cm, NC= c m 菱形AMNP 的周长二 ____ cm 6.如图：D 是BC 的中点,M 是AD 的中点,BM 的延长线交AC于 N,则 AN : NC= 二、选择题 1、如图：已知AD//BE//CF,下列比例式成立的是（ AB_ DE " BC BC _ EFAC " DF则竺等于（） AC492、AB AD A ______ »» ___DE _ BE 厂 ACDFEF BC AD 4 5 54DEII BC,3、 己矢芒JDAA AB CBAD~ CE厂 DE BEAC EC如图、 4、 三、 1. BEEC* BE 那么有（ BD AC EC 以上都不是如图0 ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，AE : BE 的延长线交AD 于F,则AF ： FD=（A 2 : 1B 2 : 3C 3 : 2D 5 : 3解答下列各题：已知：如图：AD 平分ZBAC, DE//AC, AB 二 15,)AEO 求:BE 和ED 的长。

平行线分线段成比例定理证明方法平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理，它描述了当两条平行线与一条横切线相交时，所形成的线段之间的比例关系。

本文将通过证明该定理，来展示其严谨的数学推导过程。

我们先来描述一下该定理的内容：设有两条平行线l和m，它们被一条横切线n相交于A、B、C三点。

如果在l上任取一点D，并且连接BD和AC，那么我们有以下结论：\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)接下来，我们将通过严格的证明来验证这一结论。

证明过程如下：假设在平行线l上任取一点D，并连接BD和AC。

根据平行线的性质，我们可以得到以下两个对应角相等的等角关系：∠ACB = ∠DBC （对应角相等）∠ADC = ∠BCD （对应角相等）由于三角形ABC和三角形DBC中有两个角相等，根据三角形的基本性质，我们可以得到这两个三角形是相似的。

根据相似三角形的性质，我们可以得到下面的比例关系：\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)从上述推导过程可以看出，平行线分线段成比例定理是由两个等角关系推导得到的，而等角关系是由平行线的性质所决定的。

因此，该定理的证明是严谨而准确的。

值得注意的是，平行线分线段成比例定理的证明过程中没有使用到具体的数值，而仅仅是通过等角关系和相似三角形的性质进行了推导。

因此，该定理具有普适性，适用于任意情况下的平行线。

通过平行线分线段成比例定理，我们可以解决很多实际问题。

例如，在建筑工程中，我们可以利用该定理来计算建筑物的高度。

通过测量建筑物的影子长度和测量仪的高度，我们可以利用平行线分线段成比例定理来计算建筑物的实际高度。

在几何学的研究中，平行线分线段成比例定理也是解决一些复杂问题的重要工具。

通过应用该定理，我们可以得到一些关于平行线和三角形的性质，进而推导出更多的几何定理。

总结起来，平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理，它描述了当两条平行线与一条横切线相交时，所形成的线段之间的比例关系。

AB C E F平行线分线段成比例定理【知识要点】导入：如图分别与321221,////l l l b a l l l 交于A,B,G ,D,E,F 则1. 假设21,l l 分别被同一组平行线截得线段;,;,,2121n n b b b a a a 则n n b b b b a a a a ::::::321321 = 或nn b a b a b a b a ==== 332211这就是平行线分线段成比例定理。

2. 平行线分线段成比例定理可简记为：⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴全上全上全下全下下上下上DF DE AC AB DF EF AC BC EF DE BC AB l l l 321////特别地，当A 与D 重点时： 当B 与E 重点时：AF AEAC AB EFAEBC AB ==DFDB ACABBFDB BC AB== 3.推论： A 型CEBDAE AD AC AB DE ADBC AB === a b A BCFE D 1l 2l3lA B 1l2l CFE D 3l ADBF C1l2l 1b 1a 2a 2b na n bX 型ECADBE DB BC AB ==【典型例题】例1 已知：如图，a//b//c ，时BD=2AB ，EF=3cm,HF=5cm,求FG 和HQ 的长；例2 如图：在ABC ∆中，DE//BC ，EF//C （1）求证：AF:AD=AD:AB （2）若AF=4,FB=5,求FD 的长。

例3 如图：N 为□ABCD 一边AD 的中点，BM 多AC 于点P ，若AC=6cm,求PC 的值？EADBCA E HB FP Q GDA M PB C例4 如图：若DE//AB,FD//BC,,32=AC AD AB=9cm,BC=6cm,求□BEDF 的周长？例5 如图：再ABC ∆中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长先上一点，且FDEFBC AC =求证：AD=EB 。

平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。

在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。

一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。

形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。

二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。

1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。

其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。

2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。

我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。

3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。

我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。

4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。

我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。

5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。

6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。

三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。

平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。

总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。

通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。

平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是在平行线和交叉线段的关系中发现的一条重要定理。

它揭示了平行线和它们所夹直线上的线段之间的比例关系。

本文将详细介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明及应用。

定理定义平行线分线段成比例定理，又称为柯拉斯定理，是指在平行线AB与CD之间，若由交线EF将这两条平行线分别切成m个等分点，则相应的等分点之间连线所形成的线段的比例相等。

更具体地说，若EF将AB切割成了m个等分点，将CD切割成了n个等分点，则有$\\frac{AC}{BD}=\\frac{m}{n}$。

定理证明现将平行线AB与CD之间由交线EF切分为m个等分点和n个等分点，分别记为A1，A2，…，Am和C1，C2，…，Cn。

根据平行线的性质，可以得到以下四组相似三角形：EAB与ECD、EA1B与ECnD、EA2B与EC(n1)D以及EAmB与ECD。

通过这些相似三角形的比例关系，可以进行证明。

证明步骤：1.利用三角形EAB与ECD的相似性，可以得到$\\frac{EA1}{EC1}=\\frac{AB}{CD}$；2.同理，利用相似三角形EA2B与EC(n1)D的关系可以得到$\\frac{EA2}{EC2}=\\frac{AB}{CD}$；3.以此类推，可得到$\\frac{EAm}{EC(nm)}=\\frac{AB}{CD}$；，将上述等式两边乘以CD，得到$EAm \\cdot CD = EC(nm) \\cdot AB$；4.再将等式两边分别加上ECm和EAn，得到$EAm\\cdot CD + ECm \\cdot DE = EC(nm) \\cdot AB + EAn\\cdot AB$；5.将等式左边的各项合并，得到$AC \\cdot CD = BD\\cdot AB$；，将等式两边除以$BD \\cdot CD$，得到$\\frac{AC}{BD}=\\frac{AB}{CD}$。

平行线分线段成比例定理(一)一、学习目标1．在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理，并会灵活应用。

2．通过学习定理，再一次培养同学们类比的数学思想。

3．渗透理解从特殊到一般的辩证唯物主义观点。

二、重点、难点、疑点及解析1．重点是平行线分线段成比例定理及其应用。

2．难点是平行线分线段成比例定理的正确性的说明。

3．疑点是由定理可得到六个比例，如图5－5而言，与横线段无关，这里要知道。

定理中“能得的对应线段成比例”，是“被截得的”，要分清是谁截谁。

三、学习过程(一)复习自己叙述平行线等分线段定理。

(二)讲解新课在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理。

首先复习一下平行线等分线段定理，如图5-5：∵l1∥l2∥l3，且AB=BC，∴DE=EF。

自己可以画三条平行线，并作出两条直线分别与这些平行线相交，用尺子进行测量并计算。

(该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过测量计算可以得到比例仍成立)由比例性质，还可得到：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例。

根据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可根据情况选用其中任何一个参见图5-6～图5-7。

∵l1∥l2∥l3，其中图5-8，图5-9两种情况仍然成立，下一节我们会学习这部分更具体的内容。

例1 已知：如图5-6，l1∥l2∥l3，若AB=3，DE=2，EF=4，求：BC。

解：自己来完成。

注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以减少错误，如例1可列比例式为：自己来完成。

提示：设DE=m，EF=n。

小结：(1)熟练掌握由定理得出的六个比例式。

(2)灵活运用定理解决问题。

平行线分线段成比例定理(二)一、学习目标1．在巩固平行线等分线段定理的基础上掌握其推论及推论的应用。