矩形的性质和判定练习试题[2018经典]

矩形的判定和性质（基础练习）1. 在矩形ABCD中，对角线交于0点，AB=0.6, BC=0.8,那么△ AOB的面积为________________ ；周长为 _______________ .2. 一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,那么它的面积为__________________________ .3. 在厶ABC中，AM是中线， BAC= 90 , AB=6cm, AC=8cm,那么AM的长为4. 如图，矩形ABCD对角线交于O点，EF经过O点，那么图中全等三角形共有__________________________ 对.5. 在矩形ABCD中，AB=3, BC=4, P为形内一点，那么PA+PB+PC+PD的最小值为6.在矩形ABCD 内有一点Q,满足QA=1, QB=2, QC=3,那么QD的长为7. 如图，矩形ABCD的对角线交于O点，若OA=1, BC= .. 3 ,那么BDC的大小为 ___________________ .8. 如图，矩形ABCD对角线交于O点，且满足AM=BN,给出以下结论：① MN //DC;② DMN= MNC;③ S V OMD S ON c .其中正确的是_______________ .9. 一个平行四边形的四个内角的角平分线相交围成的四边形的形状是10.如图，在矩形ABCD 中，AE平分BAD, CAE= 15 ,那么BOE的度数为.解题技巧11.在矩形ABCD中，三等分点，那么AB : A和B的平分线交边CD于点M和BC的值为_____________________ .N,若M、N是CD的D CDB E14. 如图，矩形ABCD 的周长为16cm, DE=2cm, 三角形的面积为 _____________________ .15. 如图，在矩形 ABCD中，AD=12, AB=7, DF在平面上是否存在点 Q,使得QA=QD=QE=QF? 若存在，求出 说明理由•16. 一个四边形满足：它的每个顶点到其它三个顶点的距离之和相等，试判断这个四边形的形状•17. 已知矩形ABCD ，试问：当边 AB 和BC 满足什么条件时，在边CD 上一定存在点P,使得 PA PB?12. 如图，在矩形 ABCD 中，DE BE= ______________________ .13. 如图,在矩形 ABCD 中,AP=DC, PH=PC,求证：PB 平分 CBH.AC 于点 E,QA 的长；若不存在,矩形的判定和性质（巩固练习）1. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是_____________2. 矩形的两条对角线的夹角是60°, —条对角线与矩形短边的和为15,那么矩形对角线的长为_______ ，短边长为_________3. 若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12,则斜边上的中线等于4. 如图，E为矩形ABC%角线AC上一点，DE± AC于E,Z ADE: / EDC=2:3,则/ BDE为__________成立吗？试说明理由.11. 如图，在矩形ABCD中, AB=3, BC=4,如果将该矩形沿对角线BD重叠，求图中阴影部分的面积.5.矩形的两邻边分别为4 cm和3 cm,则其对角线为cm, 矩形面积为cm 6.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40,则两条对角线相交所成的锐角是7. 矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（A.对边相互平行B. 对角线相等8. 矩形具备而平行四边形不具有的性质是（）C. 对角线相互平分D. 对角相等）A.对角线互相平分 B •邻角互补 C •对角相等D•对角线相等9. 在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（A.对角线互相平分且相等B ）.四个角相等.对角线互相垂直平分10.如图，四边形ABCD中，/ ABC=/ ADC=90 ,M N分别是AC BD?勺中点，那么MNL BD12. 如图，已知在四边形ABCD中，AC DB交于0 , E、F、G、H分别是四边的中点,求证：四边形EFGH是矩形.13.如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M ，A D 求证：四边形PQMN是矩形.14.如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CE AC , F是AE中点. 求证：BF DF .15.如图，矩形ABCD中，CE BD于E , AF平分BAD交EC于F , 求证：CF BD .。

初二矩形性质及判定练习题
1. 矩形的定义
矩形是一个拥有四个直角的四边形。

它的特点是相邻的边相互垂直，所有的内角都是直角。

2. 矩形的性质
- 对角线相等：矩形的两条对角线相等，即AC = BD。

- 边相等：矩形的相对边相等，即AB = CD，BC = AD。

- 对角线互相平分：矩形的两条对角线都是互相平分对方的。

换句话说，AC平分BD，BD平分AC。

- 对角线垂直：矩形的两条对角线互相垂直，即∠ACD =
∠BAC = 90°，∠BCD = ∠ABD = 90°。

3. 判定矩形的条件
要判定一个四边形是否是矩形，需要满足以下条件之一：
- 四个内角都是直角。

- 对角线相等且互相平分对方。

- 两对相对边相等且平行。

4. 练题
1. 判断下列四边形是否是矩形：
- 一个有两对相对边分别相等且平行的四边形。

对角线不相等。

- 一个拥有四个直角的四边形。

对角线相等。

- 一个有两个内角不是直角的四边形。

对角线垂直且互相平分。

答案：
- 不是矩形。

- 是矩形。

- 不是矩形。

2. 画出一个矩形，标出其对角线和内角。

答案：
请自行练画图，标出对角线（AC和BD）和内角（如∠BAC
和∠BCD等）。

5. 总结
矩形是一个拥有四个直角的四边形，具有对角线相等且互相平
分对方、边相等和对角线垂直等性质。

要判定一个四边形是否是矩
形，可以根据四个内角是否都是直角、对角线的情况以及边的情况进行判断。

矩形的性质与判定练习题矩形是几何学中常见的形状之一，具有许多独特的性质和特点。

在本文中，我们将通过一些练习题来探讨和判定矩形的性质。

请阅读以下练习题并回答。

练习题一：判断矩形1. 给定四个点A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4)，请判断这四个点能否构成一个矩形。

练习题二：矩形的性质1. 一条直线分割一个矩形，使其成为两个等面积的小矩形。

证明这条直线必定是通过矩形的中心点。

2. 如果一条直线沿着矩形的一条边切割，那么它将会切成两个全等的小矩形。

3. 证明：一个矩形的对角线相等。

练习题三：矩形的判定1. 给定四个点A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4)，请判断这四个点能否构成一个正方形。

2. 如果一条矩形的两条对边相等且平行，则它必定是一个正方形。

练习题四：矩形的角度1. 一个矩形的四个内角的和是多少度？2. 证明：一个矩形的内角都是直角（90度）。

练习题五：矩形的边长关系1. 一个矩形的两条对边的长度分别是a和b，它的对角线的长度是多少？2. 如果一个矩形的一边的长度是a，另一条边的长度是b，那么它的面积是多少？练习题六：矩形的面积1. 已知一个矩形的长为5cm，宽为3cm，求它的面积。

2. 如果一个矩形的面积是24平方单位，且长比宽多2个单位，求矩形的长和宽。

根据上述练习题，我们可以通过判断和计算来了解矩形的性质和特点。

矩形具有对角线相等、相对边平行、内角为直角等特点，这些性质可以帮助我们对矩形进行判定和计算。

答案：练习题一：可以构成一个矩形；练习题二：1. 通过矩形的对角线可以证明；2. 正确；3. 通过矩形的对角线可以证明；练习题三：1. 不能构成一个正方形；2. 正确；练习题四：1. 360度；2. 通过矩形的对角线可以证明；练习题五：1. 对角线的长度可以通过勾股定理计算：√(a^2 + b^2)；2. 面积可以通过长乘宽计算：a * b；练习题六：1. 面积等于长乘宽：5cm * 3cm = 15平方厘米；2. 设矩形的宽为x，则长为x+2，根据面积的计算公式得到：(x+2) * x = 24，解得x=4，所以矩形的长为6，宽为4。

矩形的性质和判定一．填空题1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为．题1 题3 题42．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ．·题5 题6 题76．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．题8 题11 题129．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”）11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．)二．解答题13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；[（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．[16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；`（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．矩形的性质和判定解析一．填空题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为12 ．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．【解答】解：∵矩形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABC的平分线交AD边于点E，【∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=8，同理得出ED=DF=DC=4，∴AD=AE+ED=8+4=12，故答案为：12．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是80°．【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40°，两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°]故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．故答案为80．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，—∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∴，∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE==，BD==，》∴BF==，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴==，∴FG=，BG=，∴CG=，∴CF==．故答案为：．|4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt △DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，。

矩形的性质和判定训练题1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等D ．对角线互相垂直且相等。

2．矩形的两边长分别为10cm 和15cm ，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（ ）A ．6cm 和9cmB ．5cm 和10cmC ．4cm 和11cmD ．7cm 和8cm3.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．四个角相等C ．是轴对称图形D ．对角线互相垂直平分4.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）。

A ．对角相等 B. 对边相等 C ．对角线相等 D. 对角线互相平分5.在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为 ; 周长为 .6.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .7.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .8.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为 ，短边长为 .9.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm 2.10.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是 .11．矩形的对角线相交所成的钝角为120°，矩形的短边长为5 cm ，则对角线之长为__________cm 。

12．矩形ABCD 的两对角线AC 与BD 相交于O 点，∠AOB=2∠BOC ，若对角线AC 的长为18 cm ，则AD= cm 。

13．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，BM 为高， 求证：DE+DF=BM 。

AB CD EM F14.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。

18.2.1矩形的性质与判定练习题（修订版）矩形的性质与判定练习题2一、选择题1、下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.角B.任意三角形C.矩形D.等腰三角形2、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分3、能够判断一个四边形是矩形的条件是（）A.对角线相等 B •对角线垂直 C .对角线互相平分且相等D •对角线垂直且相等.4、四边形ABCD勺对角线交于点0,在下列条件中，不能说明它是矩形的是（）A. AB=CD, AD=BCZ BAI=90°B. Z BAD艺ABC =90° , Z BADZ ADC=18°C Z BAD=Z BCD, Z ABC+Z ADC=10° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD5、若顺次连结一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（）A. —般平行四边形 B •对角线互相垂直的四边形C对角线相等的四边形D•矩形6、两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的交所成的四边形是（）A. 一般平行四边形B.菱形C. 矩形D.正方形7、若矩形的一条角平分线分一边为则矩形的周长为（）cm.A • 22B • 26C 3cm和5cm两部分, 第13题22 或26D . 28由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1: 3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（A 22.5 °、45° C 、30°609、如图，在矩形ABCD中, DEI AC,/ADE=| / CDE 那么/勺BDC等于( )A . 60 °B . 45 °C . 30D. 22.5 °二、填空题第16题1、矩形是轴对称图形，它有 _____ 条对称轴.2、已知矩形的一条对角线长是8cm两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为 ___________ .3、矩形的两条对角线夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是—，对角线长是—.4、矩形ABCD勺对角线相交于点O AC=2AB则厶COD为三角形.5、矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm对角线是13cm那么矩形的周长是6、已知直角三角形的周长为14,斜边上的中线长为3•则直角三角形的面积为.7、一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,那么它的面积为____________ .&直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm则它的面积为.9、如果一个矩形较短的边长为5cm两条对角线所夹的角为60°,则这个矩形的面积是_______ 亦.10、矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm,则这个矩形的面积为11、如图，在矩形ABCD中，已知AB=8crp BC=10crp折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，折痕为AE 则CE的长为________________ .12、已知：如图，矩形ABCD中, E在DC上, AB=AE=2BC贝0Z EBC= .13、如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD, 已知/ BAD=60则重叠部分的面积是2cm.三、解答题1、已知，如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD 上的点，且AE=BF.求证：DE=CF.知，如图，矩形ABCD 勺对角线AG BD 相交于点Q E 、 GH 分别是QA QB QC QD 的中点，顺次连结E 、 G H 所得的四边形EFGH 是矩形吗？说明理由.4、已 EQ 交 求证：四边形AECF 是矩形.5、已知，如图，△ ABC 中，/ C=90°, AC=BC ADpDB PE 丄AC PF 丄 BC.求证：DE=DF3、如 中占 I图， 矩形 ABCD 中, AB=2 cmD 点到AM 的距离.知，AD 于如图，□ ABCD 中, AG BD 交于 Q A B6、已知，如图，矩形ABCD中, BE平分/ ABC交DC于E, EF±AE交BC于F.求证：AE=EF7、已知，如图，矩形ABC冲，F在CB延长线上，AE=EF CF=CA 求证：BE丄DE8、矩形ABC［中, AE!BD于E, BE： ED=：3,求证：AC=2AB.9、如图，将矩形纸片折叠，先折出折痕（对角线）BD,使AD边与对角线BD重合，A点落到A'处，得折痕DG 若AB=2 BC=1求AG的长.再折10、已知，如图，矩形ABC冲，E是BC上一点，于F.若AE=BC 求证：CE=FE11、已知，如图，等边△ ABC中, AD=DC BF=FC △ BDE是等边三角形•求证：四边形AEBF是矩形.12、如图，矩形ABCD勺两边AB=3 BC=4 P是AD上任点，PE!AC于点E, PF丄BD于点F。

矩形的性质和判定(综合)1.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ． 8B ． 6C ． 4D ． 22.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为 （ ）A. 3B.3.5C.2.5D.2.8（第1题） （第2题） （第3题）3.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中，就有“若勾三，股四，则弦五”记载，如图1是由边长相等的小正形和直角三角形构成的可以用其面积关系验证勾股定理。

图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=900,AB=3,AC=4,D,E,F,G,H,I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为 （ ）(A)90 (B)100 (C)110 (D)1214．如图，矩形ABCD 中，AB=3,BC=5过对角线交点O 作OE⊥AC 交AD于E 则AE 的长是（ ）A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.45.如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形A ’B ’C ’D ’的位置，旋转角为α (0︒<α<90︒)。

若∠1=110︒，则∠α= 。

6.如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB=DC ，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是 （填上你认为正确的一个答案即可）.（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）7.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按上图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕EF ，若AB=3cm ，BC=5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________ cm 2．8.如图。

四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED=2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE=1，AG=4，则AB 的长为9.如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，且AD ＝CD ＝BD ，DE 、DF 分别是∠BDC 、∠ADC 的平分线，四边形FDEC 是矩形吗？为什么？ AB C D E OC D A B D (B')D A A'B E F G F D A B E C1D'B'D A BC10.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。

矩形的性质和判定练习题1、如图，矩形ABCD，E是BC的中点，且∠AED=90°，当AD=10cm时，AB=_______ 1题2、如果一个矩形较短的边长是5cm，两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是________3、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A、对边平且相等B、对角相等C、对角线互相平分D、对角互补4、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以下说法错误的是（）A、∠ABC=90°B、AC=BDC、OA=OBD、OA=AD5、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与C′重合，若AB=3，则C′D的长为_____5题 6题6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为_______7、若直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边上的中线长是______8、如图，在Rt△ABC中，斜边上的中线CF=8cm，则中位线DE=______9、下列命题错误的是（）A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形 8题B、矩形的每条对角线分矩形所得的三角形都全等C、对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D、四个角都相等的四边形是矩形10、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，（1）求四边形ABCD是矩形（2）求矩形ABCD的面积11、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过顶点C 作BD的平行线交AD的延长线于点E，△ACE是什么三角形？说明你的理由。

12、如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在点E处，BE与CD相交于点F，若AD=3，BD=6（1）求证：△EDF≌△CBF（2）求∠EBC的度数13、如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F在边BC上。

（1）如果FE⊥AE，求证：FE=AE（2）如果FE=AE，你能证明FE⊥AE吗？14、如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，交AB的延长线于点E（1）求证：AC=CE（2）若∠ACB=30°，BO=4，求四边形AECD的面积15、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，OA=OB，点P在边AD上，过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F。

证明（三）┄┄矩形的性质与判定【知识要点:】1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。

2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。

（1）角：四个角都是直角。

（2）对角线：互相平分且相等。

3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形。

（2）对角线相等的平行四边形。

（3）有三个角是直角的四边形。

4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。

5.矩形的周长和面积：矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长⨯宽=ab （b a ,为矩形的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。

（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。

【经典例题:】例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF ，求AE 的长．例2、已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。

四边形平行四边形矩形菱形梯形为一角90°邻一组边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一9角为0°等腰梯形两腰相等PH DCBA例3、已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．例4、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．例5、如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．例6、 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.【课堂练习题:】1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等D ．对角线互相垂直且相等。

矩形的性质与判定练习题1．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=3，AE ⊥BD 于E ，则EC=（ ）A ． 27B ． 25C ． 215D ． 221 2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为（ ）A ．2B ．2.2C ．2.4D ．2.54．如图∠BOP=∠AOP=15°，PC ∥OB ，PD ⊥PB 于D ，PC=2，则PD 的长度为（ ）A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．下列说法中，错误的是（ ）A ．矩形的四个内角都相等 B ．四个内角都相等的四边形是矩形 C ．菱形的对角线互相垂直D ．对角线互相垂直的四边形是菱形6．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）A ． 45 B ． 25 C ． 35 D ． 56 7．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若CD=2，∠C=60°，∠B=90°，则AB=（ ）A ．4 B ．2 C ． 3 D ．38．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC上一动点（且点P 不与点B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC于F ．则EF 的最小值为（ ）A ．4B ．4.8C ．5.2D ．69．如图是一把30°的三角尺，外边AC=8，内边与外边的距离都是2，那么EF 的长度是（ ）A ．4 B ．43 C ．2.5 D ．6-2310．下列命题错误的是（ ）A ．平行四边形的对边相等 B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C ．对角线相等的四边形是矩形 D ．矩形的对角线相等11．△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点D 是BC 上的一点，那么点D 到AB 与AC 的距离的和为（ ）A ．5 B ．6 C ．4 D ．524 12．（2013•河北区二模）已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，BC=2AD ，F 、E 分别是BA 、BC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．△ABC 是等腰三角形 B ．四边形EFAM 是菱形 C ．S △BEF = 21S △ACD D ．DE 平分∠CDF 14．（2012•冷水江市三模）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．矩形的对角线互相垂直且平分 B ．矩形的对角线相等且互相平分C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分的四边形是矩形15．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2．BC=DC=5，P 在BC 上运动，则PA+PD 取最小值时，△APD 边AP 上的高是多少（ ）A ． 17174 B ．17178 C ． 17177 D ． 81717 16．如图，四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（ ）①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形； ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是4ba + ④四边形A n B n C n D n 的面积是12+n abA ．①②B ．②③C ．②③④D ．①②③④17.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．4318.．下列关于矩形的说法，正确的是（ ） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线互相垂直且平分 D ．矩形的对角线相等且互相平分19．下列命题中，正确的是（ ）A ．等腰梯形的对角线相等 B ．矩形的对角线互相垂直平分 C ．有两个角为直角的四边形是矩形 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形20.下列说法正确的是（ ）A ．有两个角为直角的四边形是矩形 B ．矩形的对角线互相垂直 C ．等腰梯形的对角线相等 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形21．时钟的表面为圆形，在它的圆周上有12个用于表示整点的等分点．以这些等分点为顶点的矩形共有（ ）A ．6个B ．12个C ．15个D ．18个22．四边形ABCD 中，∠BAD=90°，DC ⊥AC ，AC 交BD 于点O ，AO=AB ，过B 作BN ∥CD 交AC 于E ，交AD 于N ，下列结论：①∠NBD=21 ∠ADC ；②CD+BE=AD ；③若AO=2CO ，则BE=CD ；④S △ABD =S △ADC ，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个23．如图，四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，顺次连接得到四边形A 1B 1C 1D 1，再取各边中点A 2、 B 2、C 2、D 2，顺次连接得到四边形A 2B 2C 2D 2，…，依此类推，这样得到四边形A n B n C n D n ，则四边形A n B n C n D n 的面积为（ ）A ．n 216 B ． 128-n C ．421-n D ．不确定 24．下列各组条件中，能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．∠A+∠B=90°B ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BDC ．AB ∥CD ，AD=BC ，AC=BD D ．AC=BD ，∠A=90°25．顺次连接四边形ABCD 的四条边的中点，得到一个矩形，那么（ ）A ．AC=BDB ．AC ⊥BD C ．AB=CD D ．AB ⊥CD26．在四边形ABCD 中，∠A=60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，AB=4cm ，CD=2cm ，求四边形ABCD 的周长（ ）A ．10+23 B ．8+25 C ．8+35 D ．10+2531．如图，在△ABC 中，AB=8，BC=6，AC=10，D 为边AC 上一动点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则EF 的最小值为（ ）A ．2.4 B ．3C ．4.8D ．532．等腰梯形的一内角为45°，高等于上底，下底为9，那么梯形的面积为（ ）A ．27 B ．18 C ．36 D ．2433．下列命题：（1）两条对角线相等的四边形是矩形（2）圆心角相等则所对的弦也相等．（3）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形（4）垂直于弦的直径平分这条弦．其中真命题的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．034．比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到因式分解公式（ ）A ．a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）B ．（a+b ）2=a2+2ab+b2 C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a（a-b）35．取四边形ABCD的各边中点E、F、G、H，依次连接EFGH得到四边形EFGH，现知四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD的对角线（）A．相等B．相等且平分C．垂直D．垂直且平分36．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，且DM=a，GH=b，则CN的值为（用含a、b的代数式表示）（）A．2a+b B．a+2b C．a+b D．2a+2b37．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相平分B．平行四边形的对角线相等C．有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形39．已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（）A．40 B．202C．20 D．10240．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB 于H，则DH的长是（）A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.5。

2018-2019学年度北师大版数学九年级上册同步练习1.2 矩形的性质与判定学校:___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共15小题）1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是（）A．24cm2B．32cm2C．48cm2D．128cm22．下面对矩形的定义正确的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等C．矩形是中心对称图形D．有一个角是直角的平行四边形3．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD 于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．184．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=6cm，则四边形CODE的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6 B．5 C．2 D．36．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm7．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（）A．∠BAC=∠ACB B．∠BAC=∠ACD C．∠BAC=∠DAC D．∠BAC=∠ABD9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC10．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AC=BD，∠B=∠C=90°C．AB=CD，∠B=∠C=90°D．AB=CD，AC=BD11．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形12．如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．B．C．D．13．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C． D．414．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF 是矩形的是（）A．∠BAC=90°B．BC=2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC15．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形二．填空题（共6小题）16．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则AC=，矩形的面积为．17．如图，在▱ABCD中，再添加一个条件（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）18．如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1 S2．19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则EF=cm．20．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．21．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．三．解答题（共5小题）22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，BD=6，求矩形ABCD的面积．23．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．24．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF=BA，BE=BC，连接AE，EF，FC，CA．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB=4，求DE的长．25．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD 边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．26．已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在图1中的位置时，则有结论：S △PBC =S △PAC +S △PCD 理由：过点P 作EF 垂直BC ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点．∵S △PBC +S △PAD =BC•PF +AD•PE=BC （PF +PE ）=BC•EF=S 矩形ABCD ．（1）请补全以上证明过程．（2）请你参考上述信息，当点P 分别在图1、图2中的位置时，S △PBC 、S △PAC 、S PCD 又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．参考答案一．选择题（共15小题）1．B．2．D．3．C．4．D．5．C．6．C．7．C．8．D．9．B．10．D．11．D．12．D．13．C．14．D．15．A．二．填空题（共6小题）16．5，12．17．AC=BD18．=．19．．20．AC⊥BD．21．．三．解答题（共5小题）22．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OD=BD，∴OA=OD，∵∠AOD=120°，∴∠ADO=30°∴AB=BD．在直角三角形ABD中，由勾股定理，得AD===3=AB•AD=3×3=9．∴S矩形ABCD23．（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB=EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）证明：∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵∠BAC=∠C，∴BA=BC，∵BC=DE，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．24．证明：（1）∵BF=BA，BE=BC，∴四边形AEFC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC，∴BE=BF，∴BA+BF=BC+BE，即AF=EC，∴四边形AEFC为矩形；（2）连接DB，由（1）可知，AD∥EB，且AD=EB，∴四边形AEBD为平行四边形，∵DE⊥AB，∴四边形AEBD为菱形，∴AE=EB，AB=2AG，ED=2EG，∵矩形ABCD中，EB=AB，AB=4，∴AG=2，AE=4，∴在Rt△AEG中，EG=2，∴ED=4．25．（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．26．证明：（1）∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD∴S△PBC +S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PCD．证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC=BC•PF=BC•PE+BC•EF=AD•PE+BC•EF=S△PAD+S矩形ABCDS△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD∴S△PBC=S△PAC+S△PCD．。