2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)讲义：高考解答题突破(二) 数列的综合应用

第四篇　知识迁移、拓展篇第一讲　创新情境与数学文化[知识解读]1．创新型数学问题从形式上看很“新”，其提供的观察材料和需要思考的问题异于常规试题，需要考生具有灵活、创新的思维能力，善于进行发散性、求异性思考，寻找对材料内涵的解释和解决问题的办法．此类问题考查的内容都在考纲要求的范围之内，即使再新，也是在考生“力所能及”的范围内．只要拥有扎实的数学基础知识，以良好的心态坦然面对新情境，便可轻松破解！2．数学文化题一般是从中华优秀传统文化中挖掘素材，将数学文化与高中数学知识有机结合，要求考生对试题所提供的数学文化信息材料进行整理和分析，在试题营造的数学文化氛围中，感受数学的思维方式，体验数学的理性精神．一、创新型问题类型一　设置“新运算”“新运算”是指在现有的运算法则和运算律的基础上定义的一种新的运算，是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如“*”“⊗”“※”等，这些符号与四则运算中的加减乘除符号是不一样的．“新运算”类问题的情境一般比较陌生，求解时需要坦然面对，先准确理解“新运算”法则，再加以灵活运用即可解决问题．特别注意：新定义的算式在没有转化前，是不适合运用现有的运算法则和运算律进行计算的．【例1】　(2019·兰州模拟)定义一种运算“※”，对于任意n ∈N *均满足以下运算性质：(1)2※2019＝1；(2)(2n ＋2)※2019＝(2n )※2019＋3.则2020※2019＝________.[解析]　设a n ＝(2n )※2019，则由运算性质(1)知a 1＝1，由运算性质(2)知a n ＋1＝a n ＋3，即a n ＋1－a n ＝3.于是，数列{a n }是等差数列，且首项为1，公差为3.故2020※2019＝(2×1010)※2019＝a 1010＝1＋1009×3＝3028.[答案]　3028注意到(2n )※2019与[2(n ＋1)]※2019((2n ＋2)※2019)结构相同，具体区别为前边是“n ”，后边是“n ＋1”，于是，可将它们看作某一数列的相邻两项，从而通过“换元”将不熟悉的“新运算”问题转化为熟悉的等差数列问题，这是求解本题的关键．1．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ⊗Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P ⊗Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析]　当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝；12当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－；12当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－；12当a ＝1，b ＝2时，z ＝.12故P ⊗Q ＝，该集合中共有3个元素，所以选B.{0，－12，12}[答案]　B类型二　设置“新定义”“新定义”试题是指给出一个未接触过的新规定、新概念，要求现学现用，其目的是考查阅读理解能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质．此类型问题可能以文字的形式出现，也可能以数学符号或数学表达式的形式出现，要求先准确理解“新定义”的特点，再加以灵活运用．特别提醒：“给什么，用什么”是应用“新定义”解题的基本思路．【例2】　(2019·武汉调研)如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为________．[解析]　从长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中任选四个顶点的选法有C ＝70(种)，以A 为其48中一个顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有A —A 1D 1C 1，A —A 1B 1C 1，A —BB 1C 1，A —BCC 1，A —DCC 1，A —DD 1C 1，共6个．同理，以B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1为其中一个顶点的三棱锥也各有6个，但所有列举的三棱锥均出现2次，所以四个面都是直角三角形的三棱锥有×8×6＝24(个)．12故所求的概率P ＝＝.24701235[答案]　1235本题以立体几何知识为背景，考查古典概型概率计算公式P (A )＝，形式较为新颖，有利于考查考生的阅读能力、审题能力和综事件A 包含的基本事件个数基本事件总个数合应用能力，其求解关键是正确理解新定义“三节棍体”，并根据长方体的对称性，利用列举法求解长方体中“三节棍体”的个数．2．设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.将函数f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，函数f (x )与g (x )＝－的图象的交x 3点个数记为n ，则定积分g (x )d x ＝________.n∫m [解析]　由题意可知，当0≤x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ；当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，……据此可画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示(显然该函数的图象具有周期性，最小正周期为1)．由图观察可知，当x ∈(0,2)时，函数f (x )有1个零点．由函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象可知两个函数的图象有4个交点，所以m ＝1，n ＝4.故g (x )d x ＝d x ＝－|＝－.n ∫m 4∫1(－x 3)x 264152[答案]　－52类型三　设置“新模型”“新模型”试题指已知条件中给出具体的解题模型，需要学生将所给解题模型迁移至新情境中，对目标问题进行合理探究．此类型问题要求学生现学现用，着重考查学生的阅读理解能力，接受能力，应变能力和创新、探究能力，有利于培养学生养成善于思考、勤于钻研的好习惯．特别提醒：紧扣“新模型”的思维本质，是解题的基本原则．【例3】　(2019·合肥一模)《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成公式即S ＝.若△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶∶(＋1)，14[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 22)2]252且周长为2＋，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( )25A. B. C. D.34325452[解析]　sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶∶(＋1)，且周长a ＋b ＋c ＝2＋，由正25225弦定理a ＝－1，b ＝，c ＝＋1，则S ＝ ＝，故选A.25214[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 22)2]34[答案]　A 本题“新模型”的思维本质是已知三边求三角形的面积，增强了学生的知识拓展能力．3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n ＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x ＋2)＋(－1)×(y －3)＝0，化简得4x －y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B (1,2,3)且法向量为m ＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________________________．[解析]　由题意可设Q (x ，y ，z )为所求平面内的任一点，则根据⊥m ，BQ → 得·m ＝0，所以(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，化简得x ＋2y －z －2＝0.故BQ → 所求平面方程为x ＋2y －z －2＝0.[答案]　x ＋2y －z －2＝0类型四　设置“新考查方向”“新考查方向”试题是指试题考查的方式、方法与常规试题不同，此类试题设计新颖，注重对所学数学知识、方法的有效整合，侧重考查学生的综合运用能力．此类型问题的设置充分体现了考纲要求——对数学基础知识的考查，注重学科的内在联系和知识的综合性，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度；对数学能力的考查，强调“以能力立意”，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出学生的理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．【例4】　(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”5－12(5－12≈0.618，称为黄金分割比例)便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某5－12人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm[解析]　解法一：由人体特征可知，头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度，故咽喉至肚脐的长度应小于≈42 cm ，可得到此人的身高应小于26＋42＋≈178 260.61826＋420.618cm ；同理，肚脐至足底的长度应大于腿长105 cm ，故此人的身高应大于105＋105×0.618≈170 cm ，结合选项可知，只有B 选项符合题意，故选B.解法二：用线段代替人，如图．已知＝＝≈0.618，c <26，b >105，c ＋d ＝a ，设此人身高为hcm ，则a b c d 5－12a ＋b ＝h ，由Error!⇒a >64.89，由Error!⇒d <42.07，所以c ＋d <26＋42.07＝68.07，即a <68.07，由Error!⇒b <110.15，整理可得64.89＋105<a ＋b <68.07＋110.15，即169.89<h <178.22(单位：cm)．故选B.[答案]　B严格讲，这不是一道纯算术题，而是一道逻辑判断题，它虽然不能用数学的方法方便地证明，但用枚举的方法是很方便地就能做出正确判断的．这道题的情境是著名的“断臂维纳斯”，数学与美学结合，体现立德树人，增强基础性、综合性的命题改革思想．4.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则双曲线Γ的离心率为( )A. B. C. D ．223323[解析]　设与平面α平行的平面为β，以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线Γ：－＝1(a >0，b >0)．由题意可得双曲线Γ的渐近线x 2a 2y 2b 2方程为y ＝±x ，则＝，所以离心率e ＝＝＝.故选A.33b a 33c a 1＋(b a )2233[答案]　A二、数学文化问题类型一　数列中的数学文化数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．【例1】　(2019·西安一模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．[解析]　由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为的等比数列{a n }，设其前n12项和为A n ；莞草的长度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝，B n ＝，令＝，化简得2n ＋＝7(n ∈N *)，解得3(1－12n )1－122n －12－13(1－12n )1－122n －12－162n 2n ＝6，所以n ＝＝1＋≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．lg6lg2lg3lg2[答案]　3我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差(或等比)数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差(或等比)数列的数学文化题也频繁出现．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式求解．1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里[解析]　依题意，每天走的路程成公比为等比数列，设等比数列{a n }的首项为a 1，公12比为q ＝，依题意有＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×＝96，即第二天走了12a 1(1－126)1－121296里．[答案]　B类型二　算法中的数学文化算法中的数学文化题一般以我国古代优秀算法为背景，考查程序框图．【例2】 (2019·济南二模)3世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．右图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为(参数数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)( )A ．12B ．24C ．36D ．48[解析]　按照程序框图执行，n ＝6，S ＝3sin60°＝，不满足条件S ≥3.10，执行循环；332n ＝12，S ＝6sin30°＝3，不满足条件S ≥3.10，执行循环；n ＝24，S ＝12sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S ≥3.10，跳出循环，输出n 的值为24，故选B.[答案]　B更相减损术、秦九韶算法和割圆术分别在人民教育出版社《数学必修3》(A 版)第36页，第37页，第45页“算法案例”中出现．更相减损术、秦九韶算法和割圆术将是命题的热点．2．如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495,135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90[解析]　该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m＝45.[答案]　C类型三　立体几何中的数学文化立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等．【例3】　(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．[解析]　半正多面体面数从上至下依次为1,8,8,8,1，故共有1＋8＋8＋8＋1＝26个面．正方体被半正多面体顶点A，B，C所在平面截得的图形如图2，八边形ABCDEFGH 为正八边形．设AB ＝a ，则1＝2×a ＋a ，解得a ＝－1，即该半正多面体的棱长为－1.2222[答案]　26　－12印信是我国古代利用立体几何模型代表之一．本题取材于印信，通过添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考查要经历分析、判断的逻辑过程．3. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是( )A ．a ，bB ．a ，cC ．c ，bD ．b ，d[解析]　当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.[答案]　A类型四　三角函数中的数学文化题三角函数中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图形为背景，考查解三角形或三角变换．【例4】 (2019·长沙一模)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ＝________.(θ＋π4)[解析]　依题意得大、小正方形的边长分别是1,5，于是有5sin θ－5cos θ＝1，(0<θ<π2)即有sin θ－cos θ＝.15从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝，则sin θ＋cos θ＝，492575因此sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝，453543故tan＝＝－7.(θ＋π4)tan θ＋11－tan θ[答案]　－71700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵，既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等等．4．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S ＝.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得14[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 22)2]△ABC 的面积为( )A. B ．2 C ．3 D.36[解析]　根据正弦定理，由a 2sin C ＝4sin A ，得ac ＝4.再结合(a ＋c )2＝12＋b 2，得a 2＋c 2－b 2＝4，则S ＝＝＝，故选A.14[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 22)2]16－443[答案]　A。

第一篇 数学思想、技法篇第一讲 函数与方程思想[思想方法诠释]1．函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．要点一 函数与方程思想在不等式中的应用【例1】 (1)(2019·山东济南一模)设0<a <1，e 为自然对数的底数，则a ，a e ，e a －1的大小关系为( )A ．e a －1<a <a eB ．a e <a <e a －1C ．a e <e a －1<aD ．a <e a －1<a e(2)(2019·安徽青阳中学月考)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0] B.⎣⎡⎭⎫0，57 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，57 D.⎝⎛⎭⎫－∞，57 [解题指导] 不等式问题转化为函数问题→构造函数→利用函数性质求解[解析] (1)设f (x )＝e x －x －1，x >0，则f ′(x )＝e x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )>0，∴e x －1>x ，即e a －1>a .又y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，得a >a e ，从而e a －1>a >a e .(2)由f (x )<－m ＋4，可得m (x 2－x ＋1)<5.∵当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5x 2－x ＋1.∵当x ＝3时，5x 2－x ＋1的值最小，最小值为57，∴若要不等式m <5x 2－x ＋1恒成立，则m <57.因此，实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，57，故选D. [答案] (1)B (2)D函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解．1．(2019·贵州黔东南州一模)已知函数f (x )的导函数f ′(x )满足f (x )＋(x ＋1)f ′(x )>0对x ∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是( )A ．0<f (0)<2f (1)B ．f (0)<0<2f (1)C ．0<2f (1)<f (0)D ．2f (1)<0<f (0)[解析] 设F (x )＝(x ＋1)f (x )，则F ′(x )＝(x ＋1)f ′(x )＋f (x )>0，∴F (x )在R 上单调递增，∴F (－1)<F (0)<F (1)，即0<f (0)<2f (1)．故选A.[答案] A2．(2019·广东广州天河区期末)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝⎝⎛⎭⎫14y ，则xy 的最大值为( ) A ．2 B.98C.32D.94[解析] ∵x ，y ∈(0，＋∞)，且2x －3＝⎝⎛⎭⎫14y ＝2－2y，∴x －3＝－2y ，即x ＋2y ＝3.∴xy ＝12x ·(2y )≤12×⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝98，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，∴xy 的最大值为98.故选B.[答案] B要点二 函数与方程思想在数列中的应用【例2】 (2019·湖北武昌调研)已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列． (1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．[解题指导] 利用方程求出数列的公差d →求出S n →求出b n →利用函数思想求R 的最小值 [解] (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )， 解得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1) ＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3，令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.函数与方程思想在数列中的应用技巧(1)数列的通项与前n 项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．(2)本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问求出b n 的表达式，说明要求b n ≤k恒成立时k 的最小值，只需求b n 的最大值，从而构造函数f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，利用函数求解．1．(2019·河南洛阳二模)已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A.12B.14C.18D ．1 [解析] 由等比数列前n 项和公式可得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n . 当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n ，∴1<S n ≤S 1＝32； 当n 为偶数时，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ，∴34＝S 2≤S n<1. 令f (t )＝t －1t，则函数f (t )在⎣⎡⎦⎤34，32上单调递增， ∴当t ∈⎣⎡⎦⎤34，32时，－712≤f (t )≤56，故所求最大值与最小值之和为－712＋56＝14[答案] B2．(2019·湖北七市3月联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)·a n －1＋(n＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a nn的最大值是________．[解析] 依题，设b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝b n ＋1－b n (n ≥2，n ∈N *)， 故数列{b n }是等差数列． 又b 1＝a 1＝1，b 2＝2a 2＝6，则数列{b n }的公差为b 2－b 1＝5，则b n ＝na n ＝1＋5·(n －1)＝5n －4(n ∈N *)，∴a n n ＝5n －4n 2＝－4n 2＋5n ＝－⎝⎛⎭⎫2n －542＋2516(n ∈N *)，故当n ＝2时，a nn取得最大值－⎝⎛⎭⎫1－542＋2516＝32.故填32. [答案] 32要点三 函数与方程思想在解析几何中的应用【例3】 (2019·河北衡中联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为223，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x 轴垂直时，|AB |＝23.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 过点(1,0)且倾斜角为钝角，P 为弦AB 的中点，当∠OPB 最大时，求直线l 的方程．[解题指导] (1)由题意列方程组→求出a ，b →写出椭圆方程 (2)设直线l 的方程→联立直线方程与椭圆方程，表示出点P 的坐标及直线OP 的斜率→寻找所求角与直线l 、OP 的倾斜角的关系→求出∠OPB 的正切表达式，并用基本不等式求最值[解] (1)由题意知⎩⎨⎧c a ＝223，2b 2a ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －1)(k <0)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝k(x －1)，消去y ，得(9k 2＋1)x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，故x 1＋x 2＝18k 29k 2＋1.设P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝9k 29k 2＋1，y 0＝k (x 0－1)＝k ⎝⎛⎭⎫9k 29k 2＋1－1＝－k9k 2＋1，所以直线OP 的斜率k OP ＝y 0x 0＝－19k.设直线l ，OP 的倾斜角分别为α，β，则∠OPB ＝α－β，tan ∠OPB ＝tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝98⎝⎛⎭⎫k ＋19k . 因为k <0，所以－⎝⎛⎭⎫k ＋19k ＝(－k )＋1－9k≥ 2(－k )·1－9k ＝23，即k ＋19k ≤－23，所以tan ∠OPB ≤－34，当且仅当k ＝－13时，等号成立，所以当∠OPB 最大时，直线l 的斜率k ＝－13，此时直线l 的方程为x ＋3y －1＝0.函数与方程思想在解析几何中的应用技巧(1)求圆锥曲线的方程、离心率，通常利用方程的思想建立a ，b ，c 的关系式求解． (2)在解析几何中，求某个量(直线斜率，直线在x 、y 轴上的截距，弦长，三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率，动点的横、纵坐标等)的函数，并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域)，将问题转化为求函数的值域或最值．(2019·河南开封一模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .(1)求抛物线的标准方程；(2)求|AB ||MF |的最小值．[解] (1)由椭圆方程得椭圆的右焦点为(1,0)．∴抛物线的焦点为F (1,0)，p ＝2，故抛物线的标准方程为y 2＝4x .(2)①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，|AB |＝2p ＝4，|MF |＝2，|AB ||MF |＝2.②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知直线的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为y ＝k (x －1)，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1，Δ＝16(k 2＋1)>0.|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫2k 2＋4k 22－4＝4(k 2＋1)k 2.FM 所在直线的方程为y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k (x －1)，x ＝－1得点M ⎝⎛⎭⎫－1，2k . ∴|MF |＝22＋4k 2＝21＋k 2k 2，∴|AB ||MF |＝4(k 2＋1)k 221＋k 2k 2＝21＋1k 2>2. 综上所述，|AB ||MF |的最小值为2.思想方法归纳上1．函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．专题强化训练(一)一、选择题 1．(2019·山西实验中学3月月考)关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax 2＋bx －2<0的解集为( )A ．(－3,1) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－12，2 D ．(－1,2) [解析] 由关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，可知方程x 2＋ax ＋b ＝0的两实数根分别为－3,1，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－3＋1，b ＝－3×1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，所以不等式ax 2＋bx －2<0可化为2x 2－3x －2<0，即(2x ＋1)(x －2)<0，解得－12<x <2，即所求不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，2. [答案] C2．(2019·豫北名校4月联考)若x >y >1,0<a <b <1，则下列各式中一定正确的是( ) A ．a x <b y B ．a x >b y C.ln x b <ln y a D.ln x b >ln y a[解析] 因为函数y ＝a x(0<a <1)在R 上单调递减，且x >y >1,0<a <b <1，所以a x <a y .根据幂函数y ＝x α(α>0)在(0，＋∞)上单调递增，可得a y <b y ，所以a x <b y .故选A.[答案] A3．(2019·湖南长沙一模)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94[解析] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0， 即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B. [答案] B4．(2019·辽宁沈阳一模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 解法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项a 1＝13可推知数列{a n }递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．故选C.解法二：设{a n }的公差为d ，由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．故选C.解法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．故选C.[答案] C 5．(2019·陕西西安质检)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<－2f (x )，则使f (x )>0成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析] 令F (x )＝x 2f (x )，则F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]．当x >0时，由题设可得F ′(x )<0，即函数F (x )＝x 2f (x )是单调递减函数，当x <0时，F (x )>0，即函数F (x )＝x 2f (x )是单调递增函数．又由题设可知F (1)＝F (－1)＝0，所以不等式F (x )>0的解集是(－1,0)∪(0,1)，则不等式f (x )>0的解集是(－1,0)∪(0,1)．故选B.[答案] B6．(2019·江西七校联考)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( )A ．3B ．2 C.324 D.32[解析] 当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ，则|AB |＝⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1.设g (t )＝t 2－ln t 2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32，故选D.[答案] D二、填空题7．(2019·皖南八校第二次联考)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎤0，π2上有解，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由cos 2x －sin x ＋a ＝0，得a ＝sin 2x ＋sin x －1.问题变成求函数a ＝sin 2x ＋sin x －1在x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时的值域问题． ∵a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，而0<sin x ≤1， ∴－1<a ≤1，即a 的取值范围为(－1,1]． [答案] (－1,1]8．(2019·广东广州一模)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．[解析] 解法一：∵a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab ≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0 得ab ≥3，所以ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号 故ab 的取值范围是[9，＋∞)．解法二：若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3.所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(t －3)2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3>0，ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t >3，t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.所以ab 的取值范围是[9，＋∞)． [答案] [)9，＋∞9．(2019·河北五校联考)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由f (x )＝x －1x ＋1得f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0.∴f (x )在[0,1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝－1，∴存在x 2∈[1,2]使－1≥x 2－2ax ＋4，即2a ≥x ＋5x在[1,2]上有解，∴2a ≥⎝⎛⎭⎫x ＋5x min ，易知y ＝x ＋5x 在(0，5]上递减，∴y ＝x ＋5x 在[1,2]上递减．∴⎝⎛⎭⎫x ＋5x min ＝2＋52＝92，∴2a ≥92，a ≥94，∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫94，＋∞. [答案] ⎣⎡⎭⎫94，＋∞三、解答题10．(2019·贵州贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(a ，c －2b )，n ＝(cos C ，cos A )，且m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝5，△ABC 的面积为3，求a . [解] (1)由m ⊥n ，可得m ·n ＝0， 即a cos C ＋c cos A －2b cos A ＝0， 即2b cos A ＝a cos C ＋c cos A .由正弦定理得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， 即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )．∵sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，∴2sin B cos A ＝sin B ，即sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由S △ABC ＝3，可得S △ABC ＝12bc sin A ＝3，∴bc ＝4. ∵b ＋c ＝5，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝13， ∴a ＝13.11．(2019·福建泉州质检)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a 1－a n ，且a 1，S 2,2成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2－log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，比较S n 与T n 的大小． [解] (1)因为S n ＝2a 1－a n ，① 所以S n ＋1＝2a 1－a n ＋1，②由②－①，可得a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ，即a n ＋1＝12a n ，所以数列{a n }是公比为12的等比数列．又因为a 1，S 2,2成等差数列，所以2S 2＝a 1＋2，即2⎝⎛⎭⎫a 1＋12a 1＝a 1＋2，解得a 1＝1， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1.(2)因为b n ＝2－log 2a n ＝2－log 212n －1＝2－(1－n )＝n ＋1，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.又S n ＝2a 1－a n ＝2－12n －1，n ∈N *，所以T n ≥2，S n <2，因此T n >S n .12．(2019·河南郑州一模)设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．[解] (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2).又|AB |＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2) ＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k2 ＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋41k ＋4k ≤22， 当且仅当4k 2＝1(k >0)，即当k ＝12时，上式取等号．所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.。

第三篇 重点热点、突破篇第一讲 三角函数的图象与性质[高考导航]1．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题． 2．三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质(如单调性、值域、对称性)，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质．考点一 同角三角关系式及诱导公式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．1．(2019·广东惠州二调)已知sin x ＋cos x ＝15，x ∈[0，π]，则tan x 的值为( )A ．－34B ．－43C ．±43D ．－34或－43[解析] ∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝125，即1＋2sin x cos x ＝125.∴2sin x cos x ＝－2425<0.∵x ∈[0，π]，∴sin x >0，cos x <0. ∴sin x －cos x >0.∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，∴sin x －cos x ＝75.又知sin x ＋cos x ＝15，∴sin x ＝45，cos x ＝－35，则tan x ＝sin x cos x ＝－43，故选B.[答案] B2．(2019·福州质检)已知P (sin40°，－cos140°)为锐角α终边上的点，则α＝( ) A ．40° B ．50° C ．70° D ．80°[解析] ∵P (sin40°，－cos140°)为角α终边上的点，因而tan α＝－cos140°sin40°＝－cos (90°＋50°)sin (90°－50°)＝sin50°cos50°＝tan50°，又α为锐角，则α＝50°，故选B. [答案] B3．(2019·唐山五校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫－5π6＋x ＝15，则cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．－15 B.15C.25 D ．－25[解析] cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π＋π6＋x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫－5π6＋x ＝－15. [答案] A4．(2019·河北六校第三次联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A.35B.53C.45D.54[解析] ∵方程5x 2－7x －6＝0的两根分别为x 1＝2和x 2＝－35，∴sin α＝－35.则sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α＝53，故选B.[答案] B5．(2019·云南师大附中月考)已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ的值为( )A.195B.165C.2310D.1710[解析] 解法一：sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋1tan θ＋tan 2θtan 2θ＋1，将tan θ＝2代入，得原式＝2310，故选C.解法二：tan θ＝2＝21，在平面直角坐标系xOy 中，不妨设θ为锐角，角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上取点P (1,2)，则|OP |＝5，由三角函数的定义，得sin θ＝25，cos θ＝15，所以sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝25＋1525＋⎝⎛⎭⎫252＝2310，故选C.[答案] C 6．(2019·湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在单位圆O 上，设∠xOP＝α，且α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4.若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45，则x 0的值为________． [解析] ∵点P (x 0，y 0)在单位圆O 上，且∠xOP ＝α，∴cos α＝x 0，又α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，∴x 0＝cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝－45×22＋35×22＝－210. [答案] －210(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．考点二 三角函数的图象及变换1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．2．两种图象变换【例1】 (1)(2019·南昌调研)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( )A ．向左平移π2个单位长度得到B ．向右平移π2个单位长度得到C ．向左平移π4个单位长度得到D ．向右平移π4个单位长度得到(2)(2019·济南模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的部分图象如图所示，则φ＝________.[解题指导] (1)化f (x )为正弦形式→转化为x 上的变化量→确定结果 (2)由对称中心及对称轴得周期T →由T ＝2πω得ω→利用f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－2及φ的范围得φ值[解析] (1)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π4，∴只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度即可得到f (x )的图象．故选C. (2)由T 4＝1112π－23π＝π4，得T ＝π，又知T ＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又知f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫116π＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫116π＋φ＝－1.∴116π＋φ＝2k π＋32π(k ∈Z )． ∴φ＝2k π－π3(k ∈Z )，又∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.[答案] (1)C (2)－π3解决三角函数图象问题的策略(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．1．(2019·广东揭阳一模)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标先伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－π12，2k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z [解析] 解法一：将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12ωx ＋φ，再向左平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12ω⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫12ωx ＋ωπ6＋φ＝sin x ，又ω>0，所以⎩⎨⎧12ω＝1，ωπ6＋φ＝2k π，k ∈Z ，又－π2≤φ<π2，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故选C.解法二：将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故选C.[答案] C2．(2019·太原3月联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，x 1≠x 2且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32[解析] 由题图知A ＝1，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象的上升段上，所以－π3＋φ＝2k π(k ∈Z )，所以φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，可知在⎝⎛⎭⎫－π6，π3上，函数f (x )的图象关于x ＝π12对称，因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32.故选D. [答案] D考点三 三角函数的性质1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )． 2．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 角度1：研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性【例2】 (2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2[解题指导] 由奇函数确定φ→由伸缩变换确定g (x )的解析式→由g (x )的周期确定ω→ 由g ⎝⎛⎭⎫π4＝2确定A[解析] ∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π，∴φ＝0，∴f (x )＝A sin ωx ，则g (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ω2x .由g (x )的最小正周期T ＝2π，得ω2＝2πT ＝1， ∴ω＝2.又g ⎝⎛⎭⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，∴A ＝2， ∴f (x )＝2sin2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫3π8＝2sin 3π4＝2，故选C. [答案] C角度2：求三角函数的单调区间及最值【例3】 (2019·石家庄二中月考)已知函数f (x )＝(23cos ωx ＋sin ωx )sin ωx －sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋ωx (ω>0)，且函数y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值和函数f (x )的单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域． [解题指导] (1)化简函数解析式→利用周期性和对称性求ω值 →写出f (x )解析式→求f (x )单调递增区间 (2)由x 范围求出角整体范围→利用f (x )单调性和图象求出值域 [解] (1)f (x )＝23cos ωx ·sin ωx ＋sin 2ωx －cos 2ωx＝3sin2ωx －cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. 由f (x )图象的一个对称中心，到最近的对称轴的距离为π4，知14·2π2ω＝π4，即ω＝1.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z .解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )． (2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 即函数f (x )的值域为[－1,2]．三角函数性质问题的解题策略(1)讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．(2)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A >0，ω<0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝－A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间．(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在某一区间的最值时，将ωx ＋φ视为整体，借助正弦函数的图象和性质求解．1．(2019·太原一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称[解析] ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪2π3＋k π<π2，∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6， ∴A 、C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．[答案] B2．(2019·豫南九校4月联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x ＋3π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值． [解] (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x ＋3π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 ＝－4λsin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫2x －π6－4λsin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1 ＝2⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－λ2－1－2λ2. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1. ①当λ<0时，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.1．(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2 B.32 C ．1 D.12[解析] 由x 1＝π4，x 2＝3π4是f (x )＝sin ωx 两个相邻的极值点，可得T 2＝3π4－π4＝π2，则T ＝π＝2πω，得ω＝2，故选A.[答案] A2．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π [解析] f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.[答案] A3．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． [解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令cos x ＝t ，则t ∈[－1,1]．f (t )＝－2t 2－3t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t ＋342＋178， 易知当t ＝1时，f (t )min ＝－2×12－3×1＋1＝－4. 故f (x )的最小值为－4. [答案] －44．(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域． [解] (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2.(2)y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1－12⎝⎛⎭⎫32cos2x －32sin2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 因此，函数的值域是⎣⎡⎦⎤1－32，1＋32.高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在6～12或第14～15题位置上，命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．专题强化训练(十一)一、选择题1．(2019·菏泽一模)若角α的终边过点A (2,1)，则sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝( ) A ．－255 B ．－55C.55D.255[解析] 由题意知cos α＝25＝255，所以sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α＝－255.[答案] A2．(2019·桂林一模)已知sin(5π－α)＝3sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin α＋2cos α＝( )A.225 B.－25C ．－2 2D ．－2[解析] 由sin(5π－α)＝3sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，得sin α＝－3cos α，所以tan α＝－3，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin α＋2cos α＝22(cos α－sin α)sin α＋2cos α＝22(1－tan α)tan α＋2＝22×4－1＝－2 2.故选C.[答案] C3．(2019·湖南湘中高三联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) [解析] 因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )．因为f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，所以sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即sin φ<0，所以φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －56π，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，故选C. [答案] C4．(2019·廊坊省级示范性高中联合体联考(一))已知函数f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝－π12对称 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝－π12对称 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝－π6对称 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝－π6对称 [解析] f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，3x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π，可得函数f (x )在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，又由3x ＋π4＝0，解得x ＝－π12，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称．故选A.[答案] A 5．(2019·湖南省四校联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．1，3π4B ．2，π4C ．π，3π4D ．2π，π4[解析] 由题图知最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，所以ω＝2πT＝π，所以f (x )＝2sin(πx ＋φ)，把⎝⎛⎭⎫14，0代入，得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，即π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π4(k ∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝3π4，故选C.[答案] C6．(2019·福州质量检测)若将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫π6，0B.⎝⎛⎭⎫－π6，0C.⎝⎛⎭⎫π12，0D.⎝⎛⎭⎫－π12，0 [解析] 将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，故选A.[答案] A 二、填空题7．(2019·河北沧州模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________.[解析] 设点P (a,2a )(a ≠0)为角θ终边上任意一点，根据三角函数的定义有tan θ＝yx＝2，再根据诱导公式，得sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.[答案] 28．(2019·安徽六安一中3月月考)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(0<ω<1)在区间(π，2π)内有最值，则ω的取值范围为________．[解析] 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(0<ω<1)取最值时，ωx ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝1ω⎝⎛⎭⎫k π＋π3(k ∈Z )，因为f (x )在区间(π，2π)内有最值，所以1ω⎝⎛⎭⎫k π＋π3∈(π，2π)时，k 有解，所以1<1ω·⎝⎛⎭⎫k ＋13<2，即⎩⎨⎧ω<k ＋13，k 2＋16<ω⇒k 2＋16<ω<k ＋13.由k 2＋16<k ＋13得k >－13.当k ＝0时，16<ω<13，当k ＝1时，结合0<ω<1，得23<ω<1，所以ω的取值范围为⎝⎛⎭⎫16，13∪⎝⎛⎭⎫23，1. [答案] ⎝⎛⎭⎫16，13∪⎝⎛⎭⎫23，19．(2019·江西南昌重点中学段考测试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<ω<3，|φ|<π2，若f ⎝⎛⎭⎫－π12＝f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，则f (π)＝________. [解析] 解法一：因为f ⎝⎛⎭⎫－π12＝f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，所以⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫－πω12＋φ＝0，sin ⎝⎛⎭⎫5πω12＋φ＝0，得⎩⎨⎧－π12ω＋φ＝k 1π，5π12ω＋φ＝k 2π(k 1，k 2∈Z )，两式相减得，12ω＝k 2－k 1(k 1，k 2∈Z )．因为0<ω<3，且k 2－k 1是整数，所以ω＝2.将点⎝⎛⎭⎫－π12，0看作“五点”中的第一点，则－π6＋φ＝0，所以φ＝π6，满足|φ|<π2.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (π)＝12. 解法二：设f (x )的最小正周期为T ，由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝f ⎝⎛⎭⎫512π＝0可得x ＝－π12和x ＝5π12是函数f (x )的两个零点，所以k 1·T 2＝512π－⎝⎛⎭⎫－π12＝π2(k 1∈N )，即T ＝πk 1(k 1∈N )，又知T ＝2π|ω|(ω>0)，所以2πω＝πk 1(k 1∈N )，所以ω＝2k 1(k 1∈N )，又0<ω<3，所以当k 1＝1时，ω＝2.所以f (x )＝sin(2x＋φ)．由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝0，得－π6＋φ＝k 2π(k 2∈Z )，所以φ＝k 2π＋π6(k 2∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (π)＝12. [答案] 12三、解答题10．(2019·北京西城二模)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝⎛⎭⎫β－π4，求β的值． [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .所以函数f (x )的定义域是x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z . (2)依题意，得tan ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫β－π4.所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4. 整理得sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4·⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4－1＝0， 所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝0或cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝12. 因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4. 由sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4； 由cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝12，即β＋π4＝π3，即β＝π12. 所以β＝π12或β＝3π4.11．(2019·云南曲靖一中模拟)已知函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期．(2)若f (x )－m ＝0在⎣⎡⎦⎤0，2π3恰有一实数根，求m 的取值范围． [解] (1)函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3－cos x sin π3＋3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＋3sin 2x ＋sin x cos x ＝2sin x cos x －3cos 2x ＋3sin 2x＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 故函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)在x ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象如下．∵f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4π3－π3＝0，∴当方程f (x )－m ＝0在⎣⎡⎦⎤0，2π3恰有一实数根时，m 的取值范围为[－3，0)∪{2}． 12．(2019·山东济南一模)已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x －3cos 2x ＋ 3. (1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值．[解] (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2x ＋3＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋3＝12sin2x －32cos2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．(2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6.由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1， 即0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32≤2＋32. 故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.。

第二讲 复数、算法、推理与证明[高考导航]1．对复数的考查主要是复数概念、复数四则运算和复数的几何意义．2．对程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查学生对算法的理解． 3．对合情推理的考查主要以归纳推理为主，考查学生的观察、归纳和概括能力．考点一 复数的概念与运算1．复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类项，不含i 的看作另一类项，分别合并同类项即可．2．复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．3．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ；(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ；(3)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.1．(2019·全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i[解析] 由题意得z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，故选D.[答案] D2．(2019·广州调研)若复数z 满足(1＋i)z ＝1＋2i ，则|z |＝( )A.22B.32C.102D.12[解析] 解法一：由已知得z ＝1＋2i 1＋i ＝(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ＋2i ＋22＝32＋12i ，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122＝102，故选C. 解法二：因为|1＋i||z |＝|1＋2i|，所以2|z |＝5，|z |＝52＝102，故选C.[答案] C3．(2019·山西太原模拟)设复数z ＝1－3i(i 是虚数单位)，则z－z的虚部为( )A.32i B ．－32 C.32 D ．－32i [解析] ∵z ＝1－3i ，∴z －z ＝z －2z ·z －＝(1＋3i )2|z |2＝1＋23i －34＝－12＋32i.∴z－z 的虚部为32.故选C.[答案] C4．(角度创新)已知i 为虚数单位，如图，网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z对应的复数为z ，则复数z1－2i的共轭复数是( )A ．－iB ．1－iC ．iD ．1＋i[解析] 易知z ＝2＋i ，则z1－2i ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i＝i ，其共轭复数为－i.[答案] A5．(2019·湖南株洲二模)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (e 是自然对数的底数，i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特点是当x ＝π时，e iπ＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 因为e i x＝cos x ＋isin x (e 是自然对数的底数，i 为虚数单位)，所以e 2i ＝cos2＋isin2.因为2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos2<0，sin2>0.所以e 2i表示的复数在复平面内对应的点位于第二象限． [答案] B6．(设问创新)已知复数z ＝x ＋y i ，|z －2|＝3，则yx的最大值为________．[解析] ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.如图，点(x ，y )在以(2,0)为圆心，3为半径的圆上，数形结合可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.[答案] 3复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．考点二 程序框图1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等．1．(2019·山东聊城二模)执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a 的值为( )A ．4B ．2C.12D ．－1[解析] S 和n 依次循环的结果如下：S ＝11－a，n ＝2；S ＝1－1a ，n ＝4.所以1－1a ＝2，a＝－1.故选D.[答案] D2．(2019·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由题意得，k ＝1，s ＝2×123×1－2＝2，不满足k ≥3，k ＝2，s ＝2×223×2－2＝2，不满足k ≥3，k ＝3，s ＝2×223×2－2＝2，满足k ≥3，退出循环，输出s ＝2.故选B.[答案] B3．(2019·全国卷Ⅰ)如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入( )A ．A ＝12＋AB ．A ＝2＋1AC ．A ＝11＋2AD ．A ＝1＋12A[解析] 观察题目所给式子，由程序框图，得当k ＝1时，k ≤2成立，A ＝12＋A＝12＋12；当k ＝2时，k ≤2成立，A ＝12＋A＝12＋12＋12；当k ＝3时，k ≤2不成立，输出A ，程序结束．故选A. [答案] A4．(角度创新)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值大于110，则输入正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 [解析] 因为求最小值，结合选项，不妨取N ＝2，第一次循环，则有S ＝100＋1＝101，M ＝10010＝10，i ＝2；第二次循环，则有S ＝101＋10＝111，M ＝1010＝1，i ＝3，退出循环．输出S ＝111，选D.[答案] D5．(2019·广东汕头一模)执行如图所示的程序框图，若输入a ＝110011，则输出的b 的值是()A．45 B．47C．51 D．53[解析]输入a＝110011，b＝0，i＝1，第一次循环，t＝1，b＝0＋1×21－1＝1，i＝2；第二次循环，t＝1，b＝1＋1×22－1＝3，i＝3；第三次循环，t＝0，b＝3＋0＝3，i＝4；第四次循环，t＝0，b＝3＋0＝3，i＝5；第五次循环，t＝1，b＝3＋1×25－1＝19，i＝6；第六次循环，t＝1，b＝19＋1×26－1＝51，i＝7，满足条件，退出循环．输出b＝51，故选C.[答案]C6．(2016·河南开封二模)执行如图所示的程序框图，输出的S的值是________．[解析]由程序框图可知，n＝1，S＝0；S＝cos π4，n＝2；S＝cosπ4＋cos2π4，n＝3；…；S＝cos π4＋cos2π4＋cos3π4＋…＋cos2018π4＝252⎝⎛⎭⎫cosπ4＋cos2π4＋…＋cos8π4＋cosπ4＋cos2π4＝252×0＋22＋0＝22，n＝2019，输出S.[答案]2 2求解程序框图2类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i>n？”或“i<n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．考点三 推理与证明1．归纳推理的思维过程实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论 2．类比推理的思维过程实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论1．(2019·安徽芜湖模拟)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )A ．今天是周四B ．今天是周六C ．A 车周三限行D ．C 车周五限行[解析] 在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一到周五每天只能有一辆车限行．由周末不限行，B 车昨天限行知，今天不是周一，也不是周日；由E 车周四限行且明天可以上路可知，今天不是周三；由E 车周四限行，B 车昨天限行知，今天不是周五；从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，如果今天是周二，A ，C 两车连续行驶到周五，只能同时在周一限行，不符合题意；如果今天是周六，则B 车周五限行，A ，C 两车连续行驶到周二，只能同时在周三限行，不符合题意．所以今天是周四．故选A.[答案] A2．(2019·山西孝义模拟)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.5217D ．35[解析] 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.[答案] B3．(情境创新)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n ＝6时，该黑色三角形内一共去掉的小三角形的个数为( )A ．81B ．121C ．364D ．1093[解析] 由题图可知，当n ＝1时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1；当n ＝2时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3；当n ＝3时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3＋32；…据此归纳推理可知，当n ＝6时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3＋32＋33＋34＋35＝1－361－3＝364.故选C.[答案] C 4．(2018·河北省五校联考)在正整数数列中，由1开始，按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面的最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25；…按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2018个数是________．[解析] 由题意可设第1组的数为1， 第2组的数为2,4， 第3组的数为5,7,9， …所以第1组有1个数，第2组有2个数，…根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2016＝63(63＋1)2<2018<64(64＋1)2＝2080，因此，第2018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…第n 组最后一个数是n 2，因此，第63组最后一个数为632,632＝3969，第64组为偶数组，其第1个数为3970，第2个数为3972.[答案] 3972(1)破解归纳推理题的思维3步骤①发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；③检验，得结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．(2)破解类比推理题的3个关键①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想； ③会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．1．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1[解析] 设复数z 与i 分别表示复平面内的点Z 与点P ，则P (0,1)，且|z －i|表示复平面内点Z 与点P 之间的距离，所以点Z (x ，y )到点P (0,1)的距离为定值1，所以Z 的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，故选C.[答案] C2．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵z ＝－3＋2i ，∴z －＝－3－2i ，∴在复平面内，z －对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限． [答案] C3．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于( )A ．2－124B ．2－125C ．2－126D ．2－127[解析] 该程序框图的功能是求和，即s ＝1＋12＋122＋…＋12n －1，由于x ＝126>0.01，x ＝127<0.01，故当x ＝127时，结束循环，输出s ＝1＋12＋…＋126＝1－1271－12＝2×⎝⎛⎭⎫1－127＝2－126，故选C.[答案] C4．(2019·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A．5 B．8 C．24 D．29 [解析]i＝1，S＝0，i＝1不是偶数，S＝1；i＝2，i<4，i＝2是偶数，j＝22＝1，S＝1＋2×21＝5；i＝3，i<4，i＝3不是偶数，S＝5＋3＝8；i＝4，i≥4，输出S＝8.故选B.[答案]B5．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D.[答案]D1.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第1～3题的位置，难度较低，纯属送分题目．2．高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第6～9题的位置上，难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、函数、数学文化等知识．3．在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上．专题强化训练(八)一、选择题1．(2019·西安二模)已知z ＝1＋2i ，则复数2i z －2的虚部是( ) A.25 B ．－25C.25i D ．－25i [解析] 2i z －2＝2i －1＋2i ＝2i (－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝45－25i ，该复数的虚部为－25.故选B. [答案] B2．(2019·南京模拟)若复数z ＝1＋2i ，则4i z z －－1等于( ) A ．1 B ．－1C ．iD ．－i[解析] 4i z z －－1＝4i (1＋2i )(1－2i )－1＝i.故选C. [答案] C3．(2019·吉林调研)已知z (3＋i)＝－3i(i 是虚数单位)，那么复数z 对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] z ＝－3i 3＋i ＝－3i (3－i )(3＋i )(3－i )＝－3－3i 4＝－34－3i 4，z 对应的点⎝⎛⎭⎫－34，－34位于复平面内的第三象限．故选C.[答案] C4．(2019·大连模拟)下列推理是演绎推理的是( )A ．由于f (x )＝c cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 都成立，推断f (x )＝c cos x 为奇函数B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列{a n }的前n 项和的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质[解析] 由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 和D 为类比推理，故选A.[答案] A5．(2019·江西南昌三模)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A．8 B．17C．29 D．83[解析]根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值．模拟程序的运行过程：输入的x＝3，n＝2，当输入的a为2时，s＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，s＝8，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a 为5时，s＝29，k＝3，满足退出循环的条件．故输出的s的值为29.故选C.[答案]C6．(2019·河北保定模拟)用反证法证明命题：“已知a，b是自然数，若a＋b≥3，则a，b中至少有一个不小于2”．提出的假设应该是()A．a，b至少有两个不小于2B．a，b至少有一个不小于2C．a，b都小于2D．a，b至少有一个小于2[解析]根据反证法可知提出的假设为“a，b都小于2”．故选C.[答案]C7．(2019·广东汕头一模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A．56 B．54C ．36D ．64[解析] 模拟程序的运行，可得：第1次循环，c ＝2，S ＝4，c <20，a ＝1，b ＝2；第2次循环，c ＝3，S ＝7，c <20，a ＝2，b ＝3；第3次循环，c ＝5，S ＝12，c <20，a ＝3，b ＝5；第4次循环，c ＝8，S ＝20，c <20，a ＝5，b ＝8；第5次循环，c ＝13，S ＝33，c <20，a ＝8，b ＝13；第6次循环，c ＝21，S ＝54，c >20，退出循环，输出S 的值为54.故选B.[答案] B8．(2019·广东茂名一模)执行如图所示的程序框图，那么输出的S 值是( )A.12B ．－1C ．2019D ．2[解析] 模拟程序的运行，可知S ＝2，k ＝0；S ＝－1，k ＝1；S ＝12，k ＝2；S ＝2，k ＝3；…，可见S 的值每3个一循环，易知k ＝2019对应的S 值是第2020个，又2020＝3×673＋1，∴输出的S 值是2，故选D.[答案] D9．(2019·湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1＋14＋17＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．i >100，n ＝n ＋1B ．i <34，n ＝n ＋3C ．i >34，n ＝n ＋3D ．i ≥34，n ＝n ＋3[解析] 算法的功能是计算1＋14＋17＋…＋1100的值，易知1,4,7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n ＝n ＋3，令1＋(i －1)×3＝100，解得i ＝34，∴终止程序运行的i 值为35，∴判断框内(1)处应为i >34，故选C.[答案] C10．(2019·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[解析] 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．[答案] B11．(2019·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S 的值为1，则判断框内为( )A ．i >6?B ．i >5?C ．i ≥3?D ．i ≥4?[解析] 依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S ＝1×(3－1)＋1＝3，i ＝1＋1＝2；进行第二次循环时，S ＝3×(3－2)＋1＝4，i ＝2＋1＝3；进行第三次循环时，S ＝4×(3－3)＋1＝1，i ＝4，因此当输出的S 的值为1时，判断框内为“i ≥4？”，选D.[答案] D12．(2019·长春一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④[解析] 设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h 2，则截面圆的面积为π(R －h 2)2；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.[答案] D二、填空题13．(2019·河北唐山模拟)若z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为________．[解析] ∵z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6＝0，m －2≠0，解得m ＝－3. [答案] －314．(2019·厦门模拟)如图是一个三角形数阵：1 13 1517 19 111113 115 117 119…按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________．[解析] 前15行共有15(15＋1)2＝120(个)数，故所求的数为a 122＝12×122－1＝1243. [答案] 124315．(2019·河南三市联考)执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为________．[解析] 如果输入m ＝30，n ＝18，第一次执行循环体后，r ＝12，m ＝18，n ＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r ＝6，m ＝12，n ＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r ＝0，m ＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m 值为6.[答案] 616．(2019·天津调研)“求方程⎝⎛⎭⎫513x ＋⎝⎛⎭⎫1213x ＝1的解”，有如下解题思路：设f (x )＝⎝⎛⎭⎫513x ＋⎝⎛⎭⎫1213x ，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，所以原方程有唯一解x ＝2，类比上述解题思路，可得不等式x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2的解集是________．[解析] 因为x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2，所以x 6＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)，所以(x 2)3＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)．令f (x )＝x 3＋x ，所以不等式可转化为f (x 2)>f (x ＋2)．因为f (x )在R 上单调递增，所以x 2>x ＋2，解得x <－1或x >2.故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)。