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《函数》PPT课件

《函数》PPT课件

函数连续性判断方法
01
02
03
定义法
根据函数在某点连续的定 义，判断函数在该点是否 连续。
极限法
通过计算函数在某点的左 右极限，判断函数在该点 是否连续。
定理法
利用连续函数的性质定理 ，如介值定理、零点定理 等，判断函数的连续性。
闭区间上连续函数性质
01
有界性
闭区间上的连续函数一定有界 。
02
最大值和最小值定理
切线斜率，反映了函数在 该点的局部变化性质。
可导与连续的关系
可导必连续，连续不一定 可导。
基本初等函数求导公式汇总
幂函数
y = x^n（n为实数 ），其导数为 nx^(n-1)。
对数函数
y = log_a x（a>0 且a≠1），其导数 为1/(xlna)。
常数函数
y = c（c为常数） ，其导数为0。
闭区间上的连续函数一定存在 最大值和最小值。
03
介值定理
如果函数在闭区间的两个端点 取值异号，则函数在该区间内
至少存在一个零点。
04
一致连续性
闭区间上的连续函数具有一致 连续性。
04
导数与微分学基础
导数概念及几何意义
导数定义
函数在某一点的变化率， 是函数值随自变量增量变 化的极限。
导数的几何意义
体积计算
运用定积分或重积分求解立体（如由曲面和平面围成的立体）的 体积，需熟悉体积公式及积分方法。
微分方程简介及在物理问题中应用
微分方程基本概念
介绍微分方程的定义、分类及解的概念，为后续应用打下基础。
一阶常微分方程求解
掌握一阶常微分方程的求解方法，如分离变量法、积分因子法等。

均值、方差、自相关函数的估计

均值、方差、自相关函数的估计

2
{x(t)

E[x(t)]}2
f
( )d

0
2
0 [sin(0t
)
0]2
1
2
d

1 2
(3)自相关函数
R(t1,t2 ) E[x(t1)x(t2 )]
2
0 [x(t1)x(t2 )] f
( )d

2
0 sin(0t1
) sin(0t1
)
1
n0
此估计均值为：
^
E[ x2 ]
E
1 N
N 1
[x(n) mx ]2
n0

1 N
N 1
E[x(n) mx ]2
n0

1 N
N 1
x2
n0
x2
（2.3.6）
因为估计的均值等于真值，故为无偏估计
估计的方差为：
^
^
^
var(
2 x
)

E{[
2 x

E[x(n)x(m)] E[x(n)]E[x(m)] mx2
2 E[m x ]
1 N
mx2

N 1 N 1
[
m2x ]
n0 m0,mn

1 N
mx2

N N
1
m2
x
上式代入式（2.3.3），有
^
var(mx )

1 N
mx2

N N
1
m2
x
m2x

1 N
E(
2 x
)]2}
将式（2..6）代入上式，得

信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析

信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析
6.8
§6.7 信号通过线性系统的自相 关函数、能量谱和功率谱分析
•能量谱和功率谱分析 •信号经线性系统的自相关函数
北京邮电大学电子工程学院 2002.3
2
第 页
时域
前面，从
频
域
s
域
中研究了
激励
响
应
三者的关系
系统
现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱 所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。
X
3
一．能量谱和功率谱分析
第
页
et E j
ht rt H j H j
时域
rth t*et
频域
R j H j E j
假e定 t是能量有 et的 限能 信量 号谱 e， ， 密度 rt的能量谱 r密度
eEj2
rRj2
X
4
第

显然
页
R j2H j2E j2
所以
rH j2e
Se e j
因为
Re
Rh Rr
F h tH j F h * t H * j
所以 R r R e h t h * t R e R h
其中 R h h t h * t为系统冲激响应的自相关函数。
X
H j 2
Sr r
物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与 H j 2的乘积。
同样，对功率信号有
SrH j2Se 物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与 H j 2
的乘积。
X
5
二．信号经线性系统的自相关函数 第 页
由
rH j2e
SrH j2Se
得
r H j H * j e
S r H j H * j S e

2.3 均值、方差、自相关函数的估计

2.3 均值、方差、自相关函数的估计

周期信号的相关函数依然是周期信号，且与原信号的周期相同
3.平稳随机信号的相关函数
平稳随机信号的自相关函数和互相关函数分别定义为：
Rx (m) E[ x ( n) x( n m)]
*
（2.4.10）
（2.4.11）
Rxy (m) E[ x ( n) y ( n m)]
*
平稳随机信号的相关函数的性质：
l
= x[(m l )] y(l )
l
=x(m) y (m)
确定性能量信号的相关函数的性质
6）相关定理 能量信号的相关函数与能量谱是傅立叶变换对。根据 1.1.5节介绍的正反傅立叶变换的定义式、可以将该定理表示 为： 2 X (e j ) F[ Rx ( x)] Rx (m)e jm （2.4.7）
1.确定性能量信号的相关函数 什么是确定性信号？——自变量的确定函数
数字关系式或图表惟一地确定 能量信号是指能量有限的信号。对连续和离散时间信号分别满足：
2
E
1 P lim T 2T


x(t ) dt
2
E
n

x(n)
如果信号能量无限大，比如确定性的用期信号、阶跃信号以及随机信号，就 不能从能量而应从功率的角度去研究它们，这类信号叫功率信号。
功率谱
2.4.2 随机信号的功率谱
平稳随机信号的功率谱具有如下性质：
S 1）不论x(n)是实序列还是复序列， x (e ) 都是 的实函数
j
S 2）如果x(n)是实序列， x (e ) 具有偶对称性
j
S x (e ) S x ( e
并且周期为
j
j
) S x (e )

计量学-ARMA模型的自相关函数(1)

计量学-ARMA模型的自相关函数(1)
特征
（1）AR(p)模型的自相关函数是拖尾的，即会按
指数衰减，或正弦振荡衰减，偏自相关函数是
截尾的，截尾处为自回归阶数p； （2）MA(q)模型的自相关函数是截尾的，截尾处
对应移动平均阶数q。偏自相关函数则是拖尾
的；
11
（3）ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏自
相关函数都是拖尾的，自相关函数是 q p 步拖尾，偏自相关函数是 p q 步拖尾。
12
2、样本自相关函数和样本偏自相关函数
假设有一组观测样本 Y1,,Yn ，一般认为 近似自相关函数最好的样本自相关函数
为：
ˆk
ˆk ˆ0
其中
n
(Yt Y )2
n
(Yt Y )(Ytk Y )
ˆ0 t1 n
, ˆk t 1
n
13
计算样本偏自相关函数（SPACF）的方法： 直接把样本自相关值代入尤勒——沃克方 程进行计算，或者用公式
若q p 0 ，就会有 q p 1 个初始值 0, 1,, q p 不遵从一般的衰减变化形式。
ARMA(p,q)的自相关函数是 q p 步拖尾
的。这一事实在识别ARMA模型时也非常 有用。
2
ARMA(1,1)过程 Yt 1Yt1 t 1t1
1
(1 11)(1 1) 1 12 211
程的联立方程组。
17
如果可以从这个方程组解出 ˆ1,ˆq和 ，
就是ˆ2我们要求的参数估计值。 也可以先解出真实参数与自协方差、自
相关的关系，再代入样本估计值。 因为 k是时间序列过程的二阶矩，上述
估计量是通过q+1个样本矩方程求出的， 所以是矩估计量，具有一致估计的性质。
18
q=1时的参数估计

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复杂周期信号波形
数字信号的谐波
分解周期信号的条件
• 狄利希莱条件
要将一周期信号分解为谐波分量，代表这一周期
信号的函数f(t)应当满足下列条件：
–
在一周期内，函数是绝对可积的，即 应为有限值；
| t1 T t1
f t| dt
– 在一周期内，函数的极值数目为有限；
– 在一周期内，函数f(t)或者为连续的，或者具有有限
总响应
n
rtsktthtkt
k0
S(t) 激励函数(输入 信号)的分解
s(kΔt)
0
r(kΔt) 第k个脉冲的 冲激响应(输 出信号)波形
0
r(t)
冲激响应叠加 后的总响应(输 出信号)波形
第k个脉冲函数之面积
skt•t （当Δt 0，脉冲函数
时 可近似表示为冲激函数）
域
kΔt
分 t
系统对第k个冲激函数
连续信号
f(t) 0
f(t)
f0
f1
t
t
0
f2
离散信号
f(tk)
(6)
(4.5)
(3) (1.5)
(2)
-1
t
01 2 3 4
(-1)
周期信号与非周期信号
用确定的时间函数表示的信号，可以分为 周期信号和非周期信号。
当且仅当 ftTf(t) t
则信号f(t)是周期信号，式中常数T 是信号
的周期。换言之，周期信号是每隔固定的 时间又重现本身的信号，该固定的时间间 隔称为周期。 非周期信号无此固定时间长度的循环周期。
|
f(t)|2dt
T/2
– 把该能量值对于时间间隔取平均，得到该时间内信号的平

信号相关分析原理自相关函数互相关函数PPT课件


耗的当能R量=1。时，即可得公压式（（电5流.1）—加1）在。1电阻上所消
E

|
f (t) |2
dt

若f(t)为实
数
E 如果在无限f大(2的t时)d间t间隔内（，5.1—1） 信号的能量为有限值，而信号
的平均功率为零
对于能量信号E为有限值。 2
5.1 信号的互能量与互能谱
第五章 信号相关分析原理
5.1 信号的互能量与互能谱 5.2 信号的相关分析 5.3 离散信号的自相关函数 5.4 信号的互相关函数 作业
1
信(一由号)公的．式5能信.：量号1 ：的E信能指号量信与的号功互fI(率能2tR)的量d归t与一互化能能谱U量R，2 d即t信号的电

T0 2
Ryx (
)

lim
T0
1 T0
T0
2 y(t)x(t )dt

T0 2
15
5.4 信号的互相关函数
互相关函数性质：
1、互相关函数不是偶函数。
Rxy( ) Rxy( ) Ryx( ) Ryx( )
2、Rxy( ) 和 Ryx( ) 不是同一个函数，即：
Wxy() X ()Y ()
Wxy()称为信号x(t)、y(t)的互能谱密度，简称互能
谱。
retur7 n
5.2 信号的相关分 （一）信号的析自相关函数
为了定量地确定信号x(t) 与时移副本x(t-) 的差
别或
相似程度，通常用 自相关函数：
Rx ( )
x(t)x(t )dt
信号的功率：信号电压（或电流）在1欧姆电阻上所消耗的功率。
在[T1，T2]时间内平均功率可表示为：

自相关函数和自协方差函数

9.2.3 自相关函数和自协方差函数上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性，不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。

例如，随机信号X(t) 分别在t 1，t 2时刻的随机取值X(t1)，X(t2) 之间的关联程度如何，这种关联称为自关联。

同样，我们也要研究两个随机信号X(t)和Y(t)数值之间的关联程度，这种关联性称为X 与Y 之间的互关联（下一小节介绍）。

1．自相关函数(Autocorrelation function)自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t 1，t 2，的取值之间的相关程度。

定义6 实随机信号X(t)的自相关函数定义为（9.2.7）由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设, 则有。

所以，平稳随机信号的自相关函数是时间间隔t 的函数，记为R xx (t).2．自协方差函数(Autocovariance function)自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t 1，t 2，的取值之间的二阶混合中心矩，用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化（相对与均值）的相关程度，也称为中心化的自相关函数。

定义7 实随机信号X(t)的自协方差函数定义为（9.2.8）当 时，有 。

显然，自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。

对于平稳随机信号，自协方差函数是时间间隔t 的函数，记为C xx (t),且有:(9.2.9) 当均值 时，有 。

当随机过程X(t)的均值为常数，相关函数只与时间间隔有关，且均方值为有限值时，则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。

它是由一维、二维数字特征定义的。

一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。

3．平稳随机信号自相关函数的性质设X(t)为平稳随机过程，其自相关函数为，自协方差函数，则有如下性质：(1) (9.2.10)(9.2.11)即时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于方差。

(2) (9.2.12)即当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数。

函数教学 ppt课件ppt课件

总结词
了解函数乘法的几何意义
详细描述
函数乘法的几何意义是将两个函数的图像在相同坐标系下 进行旋转和拉伸。如果一个函数的输入值乘以另一个函数 的输入值，则它们的输出值相乘，对应的点在图像上也会 相应地旋转和拉伸。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念
详细描述
函数的除法是指将一个函数的输出值除以另一个函数的输 出值，得到一个新的函数。这个新函数的输入值与原函数 的输入值相同，输出值为两个函数输出值的商。
函数的表示方法
总结词
描述函数的表示方法
详细描述
函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法。解析法是用数学表达式 来表示函数关系；表格法是用表格列出函数值；图象法则是通过绘制函数图像来 表示函数关系。
函数的性质
总结词
描述函数的性质
详细描述
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性等。这些性质对于理解和应用函数都非常重要，有助于解决各 种实际问题。
详细描述
函数的加法是指将两个函数的输出值相加，得到一个新的 函数。这个新的函数的输入值与原函数的输入值相同，输 出值为两个函数输出值的和。
总结词
掌握函数加法的运算规则
详细描述
在进行函数加法时，需要确保两个函数的定义域相同，即 输入值范围一致。如果两个函数的定义域不同，则无法进 行加法运算。
总结词
了解函数加法的几何意义
总结词
掌握函数除法的运算规则
详细描述
在进行函数除法时，需要确保除数函数的输出值不为零， 否则会导致除数为零的错误。此外，还需要注意除法的结 合律和交换律。
总结词
了解函数除法的几何意义
详细描述
函数除法的几何意义是将一个函数的图像绕原点进行旋转 和缩放。如果一个函数的输入值除以另一个函数的输入值 ，则它们的输出值相除，对应的点在图像上也会相应地旋 转和缩放。

函数ppt课件


定义
导数定义为函数在某一点 的变化率，即函数在该点 的斜率。
导数的计算
基础导数公式
常见的基础导数公式包括幂函数 的导数、指数函数的导数、对数
函数的导数等。
导数的四则运算
导数的四则运算法则是加减乘除的 运算规则，用于计算复合函数的导 数。
求导法则
求导法则包括链式法则、乘法法则 、微分法则等，用于计算复杂函数 的导数。
导数的应用
极值问题
利用导数可以判断函数的极值点，即在函数图像 上上升和下降的转折点。
最值问题
利用导数可以求出函数的最值点，即在函数图像 上最高点和最低点的横坐标。
优化问题
利用导数可以求解函数的优化问题，即在给定条 件下求函数的最大值或最小值。
05
定积分
积分的定义
积分定义的引入
介绍定积分的概念，如何通过分 割、近似、求和、取极限等步骤 ，从直观上理解定积分的定义。
有周期性，周期为2π。
03
三角函数
正切函数
定义
正切函数是直角三角形中一个锐 角的对边与邻边的比值。即
$tan(x)=\frac{y}{x}$，其中x表 示角度，y表示该角度的对边长
度。
周期性
正切函数具有周期性，其周期为 $90^{\circ}$或$\pi$弧度。在每 个周期内，函数值从$-\infty$变
03
图像
正割函数和余割函数的图像分别与正弦函数和余弦函数的图像关于x轴
和y轴对称。
复合函数
01
定义
复合函数是指由两个或多个基本初等函数通过四则运算或 复合运算而形成的函数。例如，$f(x)=sin(x+1)$就是一个 复合函数。
02 03
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连续信号
f(t) 0
f(t)
f0
f1
t
t
0
f2
离散信号
f(tk)
(6)
(4.5)
(3) (1.5)
(2)
-1
t
01 2 3 4
(-1)
周期信号与非周期信号
用确定的时间函数表示的信号，可以分为 周期信号和非周期信号。
当且仅当 ftTf(t) t
则信号f(t)是周期信号，式中常数T 是信号
的周期。换言之，周期信号是每隔固定的 时间又重现本身的信号，该固定的时间间 隔称为周期。 非周期信号无此固定时间长度的循环周期。
连续信号与离散信号
如果在某一时间间隔内，对于一切时间 值，除若干不连续点外，该函数都能给 出确定的函数值，此信号称为连续信号。
和连续信号相对应的是离散信号。代表 离散信号的时间函数只在某些不连续的 时间值上给定函数值。
一般而言，模拟信号是连续的（时间和 幅值都是连续的），数字信号是离散的。
连续信号模拟信号
• 图2-4是时域分析法示意图。其中
– (a)表示将激励函数分解为若干个脉冲函数，第k个脉 冲函数值为s(kΔt)
– (b)表示系统对第k个脉冲的冲激响应，该响应的数值
是 rk t s k t th t k t
– (c) 是系统对于(a)所示的激励函数的总响应，可近似地
看作是各脉冲通过系统所产生的冲激响应的叠加。该
• 例：周期性脉冲信号的重复周期的倒数就是该 信号的基波频率，周期的大或小分别对应着低 的或高的基波和谐波频率；
• 信号分析中将进一步揭示两者的关系。
不同频率信号的时域图和频域图
信号还可以用它的能量特点加以区分。
– 在一定的时间间隔内，把信号施加在一负载上，负载上就 消耗一定的信号能量。
E
T/2
确定信号的频率特性
信号还具有频率特性，可用信号的频谱函数来表示。在频谱 函数中，也包含了信号的全部信息量。
频谱函数表征信号的各频率成分，以及各频率成分的振幅和 相位。
– 频谱：对于一个复杂信号，可用傅立叶分析将它分解为许 多不同频率的正弦分量，而每一正弦分量则以它的振幅和 相位来表征。将各正弦分量的振幅与相位分别按频率高低 次序排列成频谱。
|
f(t)|2dt
T/2
– 把该能量值对于时间间隔取平均，得到该时间内信号的平
均功率。
Plim1
T/2
|
f(t)|2dt
T T T/2
– 如果时间间隔趋于无穷大，将产生两种情况。
信号总能量为有限值而信号平均功率为零，称为能量信号； 考察信号能量在时域和频域中的表达式，非周期的单脉冲信 号就是常见的能量信号；信号平均功率为大于零的有限值而 信号总能量为无穷大，称为功率信号，考察信号功率在时域 和频域中的表达式。周期信号就是常见的功率信号。总响应 Nhomakorabean
rtsktthtkt
k0
S(t) 激励函数(输入 信号)的分解
s(kΔt)
0
r(kΔt) 第k个脉冲的 冲激响应(输 出信号)波形
0
r(t)
冲激响应叠加 后的总响应(输 出信号)波形
第k个脉冲函数之面积
skt•t （当Δt 0，脉冲函数
时 可近似表示为冲激函数）
域
kΔt
分 t
系统对第k个冲激函数
– 激励函数s(t) – 响应函数r(t)
• 系统对激励的的响应称为冲激响应函数 h(t)
• 对激励的响应是激励函数与系统冲激响 应函数的卷积
时域分析的方法（1）
• 利用线性系统的叠加原理，把复杂的激励在时域中分解成 一系列单位激励信号，然后分别计算各单位激励通过通信 系统的响应，最后在输出端叠加而得到总的响应。
确定信号的时间特性
表示信号的时间函数，包含了信号的全部 信息量，信号的特性首先表现为它的时间 特性。
时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅 度变化的特性。
– 同一形状的波形重复出现的周期长短 – 信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉
冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程 度）
以时间函数描述信号的图象称为时域图， 在时域上分析信号称为时域分析。
– 频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限， 但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内，在工程 应用上一般忽略高于某一频率的分量。频谱中该有效频率 范围称为该信号的频带。
以频谱描述信号的图象称为频域图，在频域上分析信号称为 频域分析。
时域和频域
时域特性与频域特性的联系
• 信号的频谱函数和信号的时间函数既然都包含 了信号的全部信息量，都能表示出信号的特点, 那么，信号的时间特性与频率特性必然具有密 切联系。
➢ 严格数学意义上的周期信号，是无始 无终地重复着某一变化规律的信号。 实际应用中，周期信号只是指在较长 时间内按照某一规律重复变化的信号。
➢ 实际上周期信号与非周期信号之间没
有绝对的差别，当周期信号fT(t)的周期 T 无限增大时，则此信号就转化为非 周期信号f(t)。即
Tli m fT(t)f(t)
第二章 信号及其描述
主要内容
–信号的分类与定义 随机信号与确定性信号 连续信号与离散信号 周期信号与非周期信号
–确定性信号的特性 时间特性 频率特性 时间与频率的联系
–确定性信号分析 时域分析 频域分析
–随机信号特性及分析
信号是信息的载体和具体表现形式，信息需转化为 传输媒质能够接受的信号形式方能传输。广义的说， 信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量 中，才可能含有信息。
的冲激响应函数
析
s k t• t• h t k t
法
kΔt
t
示
确定信号与随机信号
当信号是一确定的时间函数时，给定某一时 间值，就可以确定一相应的函数值。这样的 信号称为确定信号。
随机信号不是确定的时间函数，只知道该信 号取某一数值的概率。
带有信息的信号往往具有不可预知的不确定 性，是一种随机信号。
除实验室发生的有规律的信号外，通常的信 号都是随机的，因为确定信号对受信者不可 能载有信息。
信号分析
• 时域分析 –信号时域分析（线性系统叠加原理） –卷积积分的应用及其数学描述
• 频域分析 –周期信号的频域分析(三角与指数傅立叶级 数） –非周期信号的频域分析（傅立叶积分） –信号在频域与时域之间的变换（正反傅立 叶变换式） –频谱与时间函数的关系
时域分析
• 系统的输入信号称为激励，输出称为响应 • 激励与响应都是时间的函数