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9.2.3 自相关函数和自协方差函数上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性，不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。
例如，随机信号X(t) 分别在t 1，t 2时刻的随机取值X(t1)，X(t2) 之间的关联程度如何，这种关联称为自关联。
同样，我们也要研究两个随机信号X(t)和Y(t)数值之间的关联程度，这种关联性称为X 与Y 之间的互关联（下一小节介绍）。
1．自相关函数(Autocorrelation function)自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t 1，t 2，的取值之间的相关程度。
定义6 实随机信号X(t)的自相关函数定义为（9.2.7）由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设, 则有。
所以，平稳随机信号的自相关函数是时间间隔t 的函数，记为R xx (t).2．自协方差函数(Autocovariance function)自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t 1，t 2，的取值之间的二阶混合中心矩，用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化（相对与均值）的相关程度，也称为中心化的自相关函数。
定义7 实随机信号X(t)的自协方差函数定义为（9.2.8）当 时，有 。
显然，自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。
对于平稳随机信号，自协方差函数是时间间隔t 的函数，记为C xx (t),且有:(9.2.9) 当均值 时，有 。
当随机过程X(t)的均值为常数，相关函数只与时间间隔有关，且均方值为有限值时，则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。
它是由一维、二维数字特征定义的。
一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。
3．平稳随机信号自相关函数的性质设X(t)为平稳随机过程，其自相关函数为，自协方差函数，则有如下性质：(1) (9.2.10)(9.2.11)即时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于方差。
(2) (9.2.12)即当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数。
自相关函数与偏自相关函数上一节介绍了随机过程的几种模型。
实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。
1、自相关函数定义在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。
由第一节知随机过程{t x }中的每一个元素t x ，t = 1, 2, … 都是随机变量。
对于平稳的随机过程，其期望为常数，用μ表示，即()t E x μ=，1,2,t=随机过程的取值将以 μ 为中心上下变动。
平稳随机过程的方差也是一个常量2()t xVar x σ=，1,2,t=2x σ用来度量随机过程取值对其均值μ的离散程度。
相隔k 期的两个随机变量t x 与t k x -的协方差即滞后k 期的自协方差，定义为：(,)[()()]k t t k t t k Cov x x E x x γμμ--==--自协方差序列：k γ，0,1,2,k=称为随机过程{t x }的自协方差函数。
当k = 0 时，20()t x Var x γσ==。
自相关系数定义：k ρ=因为对于一个平稳过程有：2()()t t k x Var x Var x σ-==所以220(,)t t k k kk x x Cov x x γγρσσγ-===，当 k = 0 时，有01ρ=。
以滞后期k 为变量的自相关系数列k ρ（0,1,2,k =）称为自相关函数。
因为k k ρρ-=，即(,)t k t Cov x x -= (,)t t k Cov x x +，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。
2、自回归过程的自相关函数 （1）平稳AR(1)过程的自相关函数 AR(1) 过程：11t t t x x u φ-=+，|φ1| < 1。
已知()0t E x =（why?）。
用t k x -同乘上式两侧t x t k x -11t t k t t k x x u x φ---=+上式两侧同取期望：k γ11k φγ-=其中()0t t k E u x -=（why?）（由于x t = u t + φ1 u t -1 + φ12u t -2 +… ，所以x t-k = u t-k + φ1u t-k-1 + φ12 u t-k-2 +…，而u t 是白噪音与其t - k 期及以前各项都不相关）。
互相关函数，自相关函数计算和作图1.自相关和互相关的概念。
●互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。
●自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。
互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。
它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。
----------------------------------------------------------------------------------- 事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。
2.利用matlab中实现这两个相关并用图像显示：自相关函数：dt=.1;t=[0:dt:100];x=cos(t);[a,b]=xcorr(x,'unbiased');plot(b*dt,a)互相关函数：把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。
3. 实现过程：在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。
当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。
事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。
下面是检验两者结果相同的代码：dt=.1;t=[0:dt:100];x=3*sin(t);y=cos(3*t);subplot(3,1,1);plot(t,x);subplot(3,1,2);plot(t,y);[a,b]=xcorr(x,y);subplot(3,1,3);plot(b*dt,a);yy=cos(3*fliplr(t)); % or use: yy=fliplr(y);z=conv(x,yy);pause;subplot(3,1,3);plot(b*dt,z,'r');即在xcorr中不使用scaling。
