2018北京市西城区高一（上）期末
数 学 2018.1
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1.已知sin 0α<，且tan 0α>，则α的终边所在的象限是（） （A ）第一象限
（B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
2.函数()sin 2f x x =的最小正周期为（） （A ）
2
π （B ）π （C ）2π （D ）4π
3.如果向量(1,2)=a ，(3,4)=b ，那么2-=a b （） （A ）(-1,0)
（B ）(-1,-2)
（C ）(1,0)
（D ）(1,-2)
4.计算sin()sin()ααπ-+π+=（） （A ）0
（B ）1
（C ）sin α2
（D ）2sin α-
5.如图，在矩形ABCD 中，AO OB AD ++=（）
（A ）AB
（B ）AC
（C ）AD
（D ）BD 6.已知向量,a b 满足2=a ，1=b
，?=a b ,a b 的夹角为（）
（A ）4
π
-
（B ）
4
π （C ）
3
2π （D ）
34
π 7.已知m 是函数()cos f x x =图象一个对称中心的横坐标，则()f m =（） （A ）1-
（B ）0
（C ）
2
1 （D ）1
9.函数()sin f x A x =（0A >）的图象如图所示，,P Q 分别为图象的最高点和最低点，O 坐标
原点，若OP OQ ⊥，则A =（）
8.要得到函数sin(2)3y x π
=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）
（A ）向左平移
3π
个单位长度 （B ）向右平移
3π
个单位长度 （C ）向左平移6
π
个单位长度
（D ）向右平移6
π
个单位长度
（A ）3
（B （C
（D ）1 10.已知在直角三角形ABC 中，A 为直角，1AB =，2BC =，若AM 是BC 边上的高，
点P 在△ABC 内部或边界上运动，则AM BP ?的取值范围是（） （A ）[1,0]- （B ）1
[,0]2-
（C ）31
[,]42-
（D ）3
[,0]4
-
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.7sin
6
π
=_____. 12.已知向量(1,2)=a ，(,2)x =-b ，若//a b ，则实数x =______.
13.角θ的始边与x 轴正半轴重合，终边上一点坐标为(1,2)-，则tan θ=______. 14.函数()sin cos f x x x =+的最大值为______.
15. 已知点(0,4)A ，(2,0)B ，如果2AB BC =，那么点C 的坐标为______； 设点(3,)P t ，且APB ∠是钝角，则t 的取值范围是______. 16.已知函数()sin tan f x x x =. 给出下列结论：
①函数()f x 是偶函数；
②函数()f x 在区间(,0)2π
-上是增函数；
③函数()f x 的最小正周期是2π； ④函数()f x 的图象关于直线x =π对称.
其中正确结论的序号是_____.（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知(,)2απ∈π，且3
cos 5
α=-.
（Ⅰ）求tan α的值；
（Ⅱ）求cos2sin 21
α
α+的值.
18．（本小题满分12分）
已知函数π
()sin(2)6
f x x =+.
（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在一个周期上的图象；
（Ⅱ）求()f x 在区间[,]122
ππ
上的最大值和最小值； （Ⅲ）写出()f x 的单调递增区间.
19．（本小题满分12分）
如图，已知AB BC ⊥，AB =，[1,3]a ∈，圆A 是以A 为圆心、半径为2的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为1的圆，设点E 、F 分别为圆A 、圆B 上的动点，//AE BF （且AE 与BF 同向），设BAE θ∠=（[0,]θ∈π）. （Ⅰ）当a =6
θπ
=
时，求AE AC ?的值； （Ⅱ）用,a θ表示出CE CF ?，并给出一组,a θ的值，使得CE CF ?最小.
B
A
F
E C
B 卷 [学期综合]本卷满分：50分
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．设全集U =R ，集合{|0}A x x =<，{|1}B x x =>，则()
U A B =_____．
2．函数()
28x f x =
-的定义域为_____.
3．已知函数12
2,1,()log ,01,x x f x x x ?>?
=?<≤??则1(())4f f =_____；若()1f x =，则x =_____．
4．sin 2，13
log 2，1
2
1
log 3
三个数中最大的是_____． 5．某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：
如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为______折.
在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为_______折（保留一位小数）.
二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）
已知函数2
1
()f x ax x =+是偶函数. （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.
7．（本小题满分10分）
设a 为实数，函数2
()1f x x x a =--+，x ∈R .
（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小值.
8．（本小题满分10分）
若函数()f x 满足：对于,[0,)s t ∈+∞，都有()0f s ≥，()0f t ≥，且()()()f s f t f s t +≤+，则称函数()f x 为“T 函数”.
（Ⅰ）试判断函数21()f x x =与2()lg(1)f x x =+是否是“T 函数”，并说明理由； （Ⅱ）设()f x 为“T 函数”，且存在0[0,)x ∈+∞，使00(())f f x x =，求证：00()f x x =； （Ⅲ）试写出一个“T 函数”()f x ，满足(1)1f =，且使集合{|(),01}y y f x x =≤≤中元素 的个数最少.（只需写出结论）
数学试题答案