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3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )A．30°B．45°C．60° D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD ＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】解决问题如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC 为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：圆内接四边形【类型一】圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D ＝( )A．65°B．120°C．125° D．130°解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是( )A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD ＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF ⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O 的直径，点C为BD︵的中点，AC、BD交于点E.(1)求证：△CBE∽△CAB；(2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD 的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC＝∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC∶BC ＝BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C为BD︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC.在△CBE与△CAB中，∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB；(2)解：连接OC 交BD 于F 点，则OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，则AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶1.设FC ＝a ，则AD ＝3a .∵F 为BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，则OF ＝12AD ＝1.5a ，∴OC ＝OF ＋FC ＝1.5a ＋a ＝2.5a ，则AB ＝2OC ＝5a .在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝3a 5a ＝35. 方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1．圆周角和直径的关系2．圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆周角和圆心角的关系》的内容，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的度量等知识的基础上进行教授的。
这一节内容主要介绍了圆周角和圆心角的关系，即圆周角等于其所对圆心角的一半。
这是圆的重要性质之一，对于学生理解圆的性质和应用具有重要的意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的基本概念和度量知识有一定的了解。
但是，对于圆周角和圆心角的关系的理解，可能还需要进一步的引导和解释。
因此，在教学过程中，我将会注重学生的参与和实践，通过举例和练习，让学生深入理解圆周角和圆心角的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。
2.过程与方法：学生通过观察、实践和思考，培养观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，提高自信心，培养合作和探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。
2.教学难点：学生能够理解和证明圆周角等于其所对圆心角的一半。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动法和案例教学法。
通过提问和举例，引导学生思考和探索圆周角和圆心角的关系。
同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT 和动画，来辅助解释和展示圆周角和圆心角的关系。
六. 说教学过程1.导入：通过提问和回顾，引导学生回顾已知的圆的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.讲解：详细讲解圆周角和圆心角的关系，通过图示和实例，让学生直观地理解这一性质。
3.练习：给出一些练习题，让学生运用圆周角和圆心角的关系解决问题，巩固所学知识。
4.拓展：给出一些拓展题，让学生进一步思考和探索圆周角和圆心角的关系的应用。
5.小结：对本节课的内容进行总结，强调圆周角和圆心角的关系的重要性。
3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：圆内接四边形【类型一】圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝()A．65°B．120°C．125°D．130°解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是()A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD︵的中点，AC、BD交于点E.(1)求证：△CBE∽△CAB；(2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC ，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C 为BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC .在△CBE 与△CAB 中，∠DBC ＝∠BAC ，∠BCE ＝∠ACB ，∴△CBE ∽△CAB ；(2)解：连接OC 交BD 于F 点，则OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，则AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶1.设FC ＝a ，则AD ＝3a .∵F 为BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，则OF ＝12AD ＝1.5a ，∴OC ＝OF ＋FC ＝1.5a ＋a ＝2.5a ，则AB ＝2OC ＝5a .在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝3a 5a ＝35. 方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．圆周角和直径的关系2．圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.。
